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圆柱坐标系中的分离变量法
圆柱坐标系中的分离变量法令其解为代入方程，可得到由此可将拉普拉斯方程分离为两个常微分方程在圆柱坐标系中，若位函数与z无关，则拉普拉斯方程为通常 (ρ, )随变量 的变化是以2 为周期的周期函数。因此，分离常数k应为整数，即k＝n(n＝0, 1, 2,…)。解选取圆柱坐标系，令z轴为圆柱轴线，电场强度的方向与x轴一致，即当导体圆柱处于静电平衡时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与z无关。解的形式可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条件：例3.6.2均匀外电场 中，有一半径为a、介电常数为ε的无限长均匀介质圆柱，其轴线与外电场垂直，圆柱外为空气，如图所示。试求介质圆柱内、外的电位函数和电场强度。xyaE0oεP(ρ, )①由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即②无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为那么，根据应满足的边界条件即可求得系数C1、D1应为此式表明，无限远处电位函数仅为cos 的函数，可见系数 ，且 。因此电位函数为代入前式，求得柱外电位分布函数为则圆柱外电场强度为E0电场线等位面xya 圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如图所示。圆柱表面的电荷分布3.6.4球坐标系中的分离变量法电位微分方程在球坐标系中的展开式为令代入上式，得与前同理， 的解应为且上式中第一项仅为r的函数，第二项与r无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令式中n为整数。这是尤拉方程，其通解为且令 ，则上式变为上式为连带勒让德方程，其通解为第一类连带勒让德函数与第二类连带勒让德函数之和，这里m<n。即根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时，因此，当场存在的区域包括 或 时， ，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。所以，通常令因此，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合若静电场与变量 无关，则m= 0。那么 称为勒让德多项式。此时，电位微分方程的通解为例3.6.3设半径为a、介电常数为 的介质球放在无限大的真空中，受到其中均匀电场E0的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。解取球坐标系，令E0的方向与z轴一致，即 。显然，此时场分布以z轴为旋转对称，因此与 无关。这样，球内、外的电位分布函数可取为则球内、外电位分别为E0zx a 0球内外电位函数应该满足下列边界条件：②无限远处电场未受影响，因此电位应为③球内电位与球外电位在球面上应该连续，即④根据边界上电位移的法向分量的连续性，可知内、外电位的法向导数在球面上应满足①球心电位 应为有限值；考虑到边界条件①，系数Dn应为零，即为了满足边界条件②，除了A1以外的系数An＝0，且 ，即再考虑到边界条件③，得为了进一步满足边界条件④，得式中由于上两式对于所有的 值均应满足，因此等式两边对应的各项系数应该相等。由此获知各系数分别为代入前式，求得球内、外电位分别为

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