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标量场的梯度
标量场的梯度如果物理量是标量，称该场为标量场。例如：温度场、电位场、高度场等。如果物理量是矢量，称该场为矢量场。例如：流速场、重力场、电场、磁场等。如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。时变标量场和矢量场可分别表示为：确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。（field）从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：标量场和矢量场静态标量场和矢量场可分别表示为：4.坐标单位矢量之间的关系直角坐标与圆柱坐标系圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系ofxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系foqrz单位圆柱坐标系与球坐标系之间坐标单位矢量的关系qq标量场的等值面等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。等值面方程：常数C取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；相邻等值面的值差应是一个常数；标量场的等值面互不相交。等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间的分布状态。标量场的等值线(面)2.方向导数意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率。概念：——u(M)沿 方向增加；——u(M)沿 方向减小；——u(M)沿 方向无变化。M0M方向导数的概念特点：方向导数既与点M0有关，也与方向有关。问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？——的方向余弦。式中：3.标量场的梯度（或）意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念： ，其中取得最大值的方向哈密顿算子是一个矢性微分算子，它在直角坐标系的表达式如下：梯度的表达式：圆柱坐标系球坐标系直角坐标系标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。梯度的性质：梯度运算的基本公式：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）解(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为例设一标量函数 (x, y,z) =x2＋y2－z描述了空间标量场。试求：(1)该函数 在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数 沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。表征其方向的单位矢量(2)由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为而该点的梯度值为显然，梯度 描述了P点处标量函数 的最大变化率，即最大的方向导数，故恒成立。2.矢量场的通量问题：如何定量描述矢量场的大小？引入通量的概念。通量的概念其中：——面积元矢量；——面积元的法向单位矢量；——穿过面积元 的通量。如果曲面S是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是面积元矢量通过闭合曲面有净的矢量线穿出有净的矢量线进入进入与穿出闭合曲面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量的三种可能结果闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系。通量的物理意义

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