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物理线性系统 Linear System
物理线性系统 Linear System
§2-1 线性系统简介
一、用算符表示系统
二、线性系统的定义
g(x, y) = {f(x, y)}
{ }
输入
f(x, y)
输出
g(x, y)
{a1 f1 (x, y) + a2 f2 (x, y) }
= {a1 f1 (x, y)} + {a2 f2 (x, y) }
= a1 {f1 (x, y)} + a2 {f2 (x, y) }
= a1 g1 (x, y) + a2 g2 (x, y)
如果g1(x, y) = {f1(x, y)}， g2(x, y) = {f2(x, y)}
§2-1 线性系统简介
线性系统具有叠加性质
利用线性系统的叠加性质，可以把复杂的输入函数分解为简单的 “基元”函数的线性组合，则输出就是这些“基元”函数响应的线性组合。
常用 “基元”函数有d 函数、复指数函数等等。
系统对某个输入的响应不会因为其它输入的存在而改变
系统的响应性质不会因为输入幅度的增大而改变
线性系统对各个输入的响应是互相独立的。
§2-1 线性系统简介
任意复杂的输入函数可以分解为脉冲函数的线性组合
根据d 函数的卷积性质或d 函数的筛选性质:
此式的物理意义: 脉冲分解
函数 f(x, y)可以看成输入(x, y)平面上不同位置处的许多d 函数的线性组合.每个位于(x, h)的d 函数的权重因子是 f (x, h).
§2-1 线性系统简介
线性系统的输出为脉冲响应函数的线性组合
对于线性系统:
g(x, y) = {f(x, y)}
叠加积分
只要知道各个脉冲响应函数, 系统的输出即为脉冲响应函数的线性组合. 问题是如何求对任意点的脉冲d (x-x, y- h)的响应h(x, y; x,h)
对一般系统而言, 脉冲响应函数的形式可能是点点不同的
只有对一类特殊的系统—线性不变系统,
h(x, y; x,h)= h(x-x , y-h) 成立, 分析可以得到简化.
则 h (x;1) h (x-1)=1
例如, {d(x)}= h (x)=1
而 {d(x-1)}= h (x;1)= exp(-j2px)
§2-1 线性系统简介
脉冲响应函数h(x, y ; x, h )的求法:
§2-2 线性不变系统
一、定义
设系统在 t = 0时刻对脉冲的响应为 h(t), 即:
{d(t)}=h (t)
若输入脉冲延迟时间 t ,其响应只有相应的时间延迟t, 而函数形式不变, 即
{d (t - t )}=h (t - t )
则此线性系统称为时不变系统. 系统的性质不随所考察的时间而变, 是稳定的系统. 时间轴平移了, 响应也随之平移同样的时间,即具有平移不变性.
实际物理系统大多可近似为平移不变系统.
§2-2 线性不变系统
推广到二维空间函数
空间脉冲在输入平面发生位移, 线性系统的响应函数不变, 只是产生相应的位移, 即:
{d(x-x, y-h)}=h (x-x, y-h)
线性不变系统的脉冲响应:
线性不变系统的输入-输出变换关系不随空间位置变化.
则此线性系统称为空间不变系统或位移不变系统.
h (x, y; x, h) = h (x-x, y-h)
观察点坐标
输入脉冲坐标
二个坐标的相对间距
§2-2 线性不变系统: 例
时不变(一维)系统 : RC电路
t
t
0
d (t-t)
t
0
d (t)
空不变(二维)系统 : 等晕成像系统
d (x-x ; y-h)
(x ;h)
h(x-x ; y-h)
x
y
x
y
光学成像系统在等晕区内是空间不变的.
晕斑
d (x,y)
h(x,y)
t
h(t)
0
t
h(t-t)
t
0
§2-2 线性不变系统
输入输出关系: 空域
输出是输入与脉冲响应函数的卷积积分.这也是线性空不变系统的判据.
§2-2 线性不变系统
二、线性不变系统的传递函数
两边作F.T.:
G(fx,fy) = F (fx,fy) H (fx,fy)
传递函数
输出频谱
输入频谱
传递函数是脉冲响应函数的.F.T.
= {h(x,y)}
§2-2 线性不变系统
传递函数－频率响应
对于给定的系统和输入, F (fx,fy) 和H (fx,fy) 较容易求出, 因此容易由输出的频谱推算出系统的输出, 可避免冗繁的卷积积分求输出的运算
例: P62, 2.1
已知线性不变系统的输入为
g(x) = comb(x)
系统的传递函数为 rect(f/b), 若b取下列值, 求系统的输出 g’(x)
(1) b=1
(2) b=3

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