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一 零点问题 1
题型一:求零点&讨论零点个数 2
题型二:只有唯一一个零点，证明&求参数范围 4
题型三:两个零点的证明或求参数范围 5
二 虚设零点问题 6
题型一：设是导函数零点 6
巩固练习 9
一 零点问题
方法总结
【零点概念】对于函数，把使成立的实数叫做函数，的零点.
【零点意义】函数的零点就是方程的实数根.亦是函数的图像与轴的交点的横坐标.
函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点
利用导数研究函数的零点问题基本方法
高考题中对导数的考查经常会出现一类对高次函数或混合函数研究零点个数，或者通过函数的零点个数求参数的取值范围的题目，解决这类问题通常需分三步走：
①对函数求导；
②研究函数的单调性并求极值；
③结合函数的单调性与极值画函数的草图，由草图研究函数的零点问题．
题型一:求零点&讨论零点个数
1.已知函数,其中.
（Ⅰ）求函数的零点个数;
2.已知在处的切线方程为
（Ⅱ）设求零点的个数;
3.已知函数,.
（Ⅱ）当时,讨论的零点个数.
4.已知函数.
（Ⅱ）当时,讨论函数的零点个数.
题型二:只有唯一一个零点，证明&求参数范围
1.方法清单
证明函数在区间上存在唯一一个零点，先研究函数单调性:
函数在区间上具有严格的单调性，即，根据零点存在定理证明其中.
函数在区间上寄存在单调递增区间也存在单调递减区间，则讨论函数的最值与0的关系.
2.题型练习
1.已知函数,函数,其中.
（Ⅱ）如果曲线与有且仅有一个公共点,求的取值范围.
2.已知函数,,.
（Ⅰ）当时,求的单调区间;
（Ⅱ）求证:有且仅有一个零点.
题型三:两个零点的证明或求参数范围
1.设函数.
（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点,求实数的取值范围.
2.已知函数.
（Ⅱ）若函数在区间有两个的零点,求实数a的取值范围.
二、虚设零点
题型一：设是导函数零点
1.方法清单
导函数的零点是划分单调区间的边界.
当明确存在零点但是零点不易求出具体值时，通常设是零点，通过引入的，我们可据此划分单调区间，对解题带来帮助.
（由于我们设的零点是用来分析函数单调区间的，故不必求出其具体数值，因此称虚设零点，舍而不求）
2.题型练习
1.已知函数.
（Ⅱ）证明:对于,在区间上有极小值,且极小值大于0
2.已知函数,.
（Ⅱ）证明:当时,函数存在唯一的极小值点为,且.
3.已知函数.
（Ⅱ）当时,若函数的最大值为,求的值.
4.已知函数,其中.
（Ⅱ）当时,证明:存在最小值.
5.已知函数.
（Ⅱ）若,求证:.
6.已知函数.
（Ⅱ）若恒成立,求的取值范围
（Ⅲ）求证:当时,曲线总在曲线的上方.
7.已知函数,.
（Ⅱ）当时,讨论的零点个数.
巩固练习
【已知切线方程求参+利用二次求导确定函数单调性】
1.设函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间．
【切线方程+利用二次求导求函数最值】
1.已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．
【切线方程+已知极值点求参数】
1.设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴平行,求;
（Ⅱ）若在处取得极小值,求的取值范围.
【求切线方程+构造函数证明不等式问题】
1.已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．
【利用导函数确定函数单调性、构造函数+虚设零点证明不等式】
1.已知函数，
求证：；
若在上恒成立，求的最大值与的最小值.
【二次求导+函数有唯一零点求参数范围】
1.已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求
【单调性+已知函数有两个零点求参数范围】
1.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
【利用导函数与函数单调性关系求解决双零点问题】
1.已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求的取值范围;
（Ⅱ）设,是的两个零点,证明：.
【证明函数的单调性+不等式恒成立问题求参】
1.设函数．
(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；
（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围．目录
一 零点问题 1
题型一:求零点&讨论零点个数 1
题型二:只有唯一一个零点，证明&求参数范围 4
题型三:两个零点的证明或求参数范围 6
二 虚设零点问题 8
题型一：设是导函数零点 8
巩固练习 14
一 零点问题
方法总结
【零点概念】对于函数，把使成立的实数叫做函数，的零点.
【零点意义】函数的零点就是方程的实数根.亦是函数的图像与轴的交点的横坐标.
函数有零点方程有实数根函数的图像与轴有交点
利用导数研究函数的零点问题基本方法
高考题中对导数的考查经常会出现一类对高次函数或混合函数研究零点个数，或者通过函数的零点个数求参数的取值范围的题目，解决这类问题通常需分三步走：①对函数求导；②研究函数的单调性并求极值；③结合函数的单调性与极值画函数的草图，由草图研究函数的零点问题．
题型一:求零点&讨论零点个数
1.已知函数,其中.
（Ⅰ）求函数的零点个数;
【解析】（Ⅰ）由，
得
．[2分]
令，得，或．
所以当时，函数有且只有一个零点：；当时，函数有两个相异的零点：，．[4分]
2.已知在处的切线方程为
（Ⅱ）设求零点的个数;
【解析】（Ⅱ）
在上递增,故存在一个零点
3.已知函数,.
（Ⅱ）当时,讨论的零点个数.
【解析】（Ⅱ）任取.
,
所以是偶函数.
.
当时,在上恒成立,所以时,.
所以在上单调递增.
又因为,所以在上有0个零点.
又因为是偶函数,所以在上有0个零点.
当时,令,得.
由可知存在唯一使得.
所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
因为,,.
①当,即时,在上有0个零点.
由是偶函数知在上有0个零点.
②当,即时,在上有1个零点.
由是偶函数知在上有2个零点.
综上,当时,有2个零点;当时,有0个零点.
4.已知函数.
（Ⅱ）当时,讨论函数的零点个数.
【解析】32.（Ⅱ）当时,令
得或.
当即时,
当变化时,的变化情况如下表:
极大值 极小值
所以函数在上单调递减,在和上单调递增.
又因为,
所以函数有一个零点.
当,即时,
当变化时,的变化情况如下表:
所以函数在上单调递增.
又因为,所以函数有一个零点.
当,即时,
当变化时,的变化情况如下表:
极大值 极小值
所以函数在上单调递减,在和上单调递增.
又因为,
.
所以当时,此时,函数有一个零点;
当时,此时,函数有两个零点;
当时,此时,函数有三个零点.
当即时,显然函数有两个零点.
综上所述,（1）时,函数有一个零点;
（2）时,函数有两个零点;
（3）时,函数有三个零点.
题型二:只有唯一一个零点，证明&求参数范围
1.方法清单
证明函数在区间上存在唯一一个零点，先研究函数单调性:
函数在区间上具有严格的单调性，即，根据零点存在定理证明其中.
函数在区间上寄存在单调递增区间也存在单调递减区间，则讨论函数的最值与0的关系.
2.题型练习
1.已知函数,函数,其中.
（Ⅱ）如果曲线与有且仅有一个公共点,求的取值范围.
【解析】（Ⅱ）解：设函数，． “曲线与有且仅有一个公共点”等价于“函数有且仅有一
个零点”．
求导，得.………………6分
①当时，
由，得，所以在单调递增．
又因为，所以有且仅有一个零点，符合题意．………………8分
②当时，
当变化时，与的变化情况如下表所示：
0
↘ 极小值 ↗
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，
故有且仅有一个零点，符合题意．………………10分
③当时，
令，解得．
当变化时，与的变化情况如下表所示：
0
↘ 极小值 ↗
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，．………………11分
因为，，且在上单调递增，
所以.
又因为存在，，
所以存在使得，
所以函数存在两个零点，1，与题意不符.
综上，曲线与有且仅有一个公共点时，的范围是，或.
2.已知函数,,.
（Ⅰ）当时,求的单调区间;
（Ⅱ）求证:有且仅有一个零点.
【解析】（Ⅰ）解:依题意.
令,,则.
所以在区间上单调递减.
因为,所以,即,
所以的单调递减区间是,没有单调递增区间.
（Ⅱ）证明:由（Ⅰ）知,在区间上单调递减,且,.
当时,在上单调递减.
因为,,所以有且仅有一个零点.
当,即时,,即,在上单调递增.
因为,,所以有且仅有一个零点.
当时,,,
所以存在,使得.
,,的变化情况如下表:
+ 0 -
极大值
所以在上单调递增,在上单调递减.
因为,,且,
所以,所以有且仅有一个零点.
综上所述,有且仅有一个零点.
题型三:两个零点的证明或求参数范围
1.设函数.
（Ⅱ）若函数在区间内有两个零点,求实数的取值范围.
【解析】2.（Ⅱ）（1）当时，，
显然在区间内没有两个零点，不合题意.
(2)当时，，.
①当且时，，函数区间上是增函数，所以函
数区间上不可能有两个零点，所以不合题意；
②当时，在区间上与、之间的关系如下表：
+ 0 -
增函数 极大值 减函数
因为，若函数区间上有两个零点，
则，所以，化简.
因为，
,
所以.
综上所述，当时，函数在区间内有两个零点.
2.已知函数.
（Ⅱ）若函数在区间有两个的零点,求实数a的取值范围.
【解析】(II)令,解得:（显然）
问题等价于函数与函数的图像有两个不同交点.
由(Ⅱ)可知:,,,解得:
故实数的取值范围是.
二、虚设零点
题型一：设是导函数零点
1.方法清单
导函数的零点是划分单调区间的边界.
当明确存在零点但是零点不易求出具体值时，通常设是零点，通过引入的，我们可据此划分单调区间，对解题带来帮助.
（由于我们设的零点是用来分析函数单调区间的，故不必求出其具体数值，因此称虚设零点，舍而不求）
2.题型练习
1.已知函数.
（Ⅱ）证明:对于,在区间上有极小值,且极小值大于0
【解析】4（Ⅱ）因为,所以在区间上是单调递增函数
因为，，…………………6分
所以,使得.…………………7分
所以，；，，…………………8分
故在上单调递减，在上单调递增，…………………9分
所以有极小值.…………………10分
因为,
所以.…………………11分
设，，
则，………………12分
所以，
即在上单调递减，所以，
即，所以函数的极小值大于0．………………13分
2.已知函数,.
（Ⅱ）证明:当时,函数存在唯一的极小值点为,且.
【解析】35.（Ⅱ）设,则.
因为,所以,.
又因为所以 ,
故在上为增函数.
又因,,由零点存在性定理,存在唯一的,有.
当时,,即在上为减函数,
当时,,即在上为增函数,
所以为函数的极小值点.
3.已知函数.
（Ⅱ）当时,若函数的最大值为,求的值.
【解析】25.（Ⅱ）当时,,.
设,则,
所以在上单调递减,
且,,
所以在区间内必存在唯一的零点,设为,
此时,,.
当时,,即,单调递增;
当时,,即,单调递减.
所以.
又因为,即
所以,即.
所以.
4.已知函数,其中.
（Ⅱ）当时,证明:存在最小值.
【解析】28（Ⅱ）由及知,
与同号.
令,
则.
所以对于任意,有,
故在单调递增.
因为,所以,
故存在,使得.
与在区间上的情况如下:
极小值
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增.
所以存在极小值
5.已知函数.
（Ⅱ）若,求证:.
【解析】21(Ⅱ)方法一:
,即
设
设
所以在小于零恒成立
即在上单调递减
因为
所以,
所以在上必存在一个使得
即
所以当时,,单调递增
当时,,单调递减
所以
因为
所以
令得
因为,所以,
因为,所以恒成立
即恒成立
综上所述,当时,
方法二:
定义域
为了证明,即
只需证明,即
令
则
令,得
令,得
所以在上单调递增,在上单调递减
所以
即,则
令
因为,所以
所以恒成立
即
所以
综上所述,
即当时,
6.已知函数.
（Ⅱ）若恒成立,求的取值范围
（Ⅲ）求证:当时,曲线总在曲线的上方.
【解析】22（Ⅱ）
①当时,恒成立,符合题意。
②当时,恒成立,则在上单调递增,当时,,不符合题意,舍去;
③当时,令,解得
当变化时,和变化情况如下
极小值
,由题意可,即,
解得
综上所述,的取值范围为
（Ⅲ）由题可知要证的图像总在曲线上方,即证恒成立,即要证明恒成立,构造函数
,令,故,则在单调递增,则单调递增.因为,,由零点存在性定理可知,在存在唯一零点,设该零点为,
令,即,且
当变化时,和变化情况如下
极小值
则,因为,所以,所以,当且仅当时取等,因为,故,即恒成立,曲线总在曲线的上方.
7.已知函数,.
（Ⅱ）当时,讨论的零点个数.
【解析】29（Ⅱ）任取.
,
所以是偶函数.
.
当时,在上恒成立,所以时,.
所以在上单调递增.
又因为,所以在上有0个零点.
又因为是偶函数,所以在上有0个零点.
当时,令,得.
由可知存在唯一使得.
所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
因为,,.
①当,即时,在上有0个零点.
由是偶函数知在上有0个零点.
②当,即时,在上有1个零点.
由是偶函数知在上有2个零点.
综上,当时,有2个零点;当时,有0个零点
巩固练习
【已知切线方程求参+利用二次求导确定函数单调性】
1.设函数，曲线在点处的切线方程为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的单调区间．
【考点】（I）导数的几何意义，已知切线斜率时利用构建等式求参数值
（II）利用导函数求函数单调区间
【解析】（Ⅰ）,
,
因为在处的切线方程为
所以,从而
（Ⅱ）,,令,
令,
当变化时,,的变化情况如下表:
极小值
,
恒成立,即恒成立,
函数在上单调递增.
【切线方程+利用二次求导求函数最值】
1.已知函数f（x）=excosx﹣x．
（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．
【考点】本题主要考察导数的几何意义，切线方程求法.
考查函数的单调性与导函数的关系，求最值
【分析】（1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程即可得到所求方程；
（2）求出f（x）的导数，再令g（x）=f′（x），求出g（x）的导数，可得g（x）在区间[0，]的单调性，即可得到f（x）的单调性，进而得到f（x）的最值．
【解答】解：（1）函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
可得曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为k=e0（cos0﹣sin0）﹣1=0，
切点为（0，e0cos0﹣0），即为（0，1），
曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=1；
（2）函数f（x）=excosx﹣x的导数为f′（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
令g（x）=ex（cosx﹣sinx）﹣1，
则g（x）的导数为g′（x）=ex（cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx）=﹣2ex sinx，
当x∈[0，]，可得g′（x）=﹣2ex sinx≤0，
即有g（x）在[0，]递减，可得g（x）≤g（0）=0，
则f（x）在[0，]递减，
即有函数f（x）在区间[0，]上的最大值为f（0）=e0cos0﹣0=1；
最小值为f（）=ecos﹣=﹣．
【切线方程+已知极值点求参数】
1.设函数.
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与轴平行,求;
（Ⅱ）若在处取得极小值,求的取值范围.
【考点】（I）导数的几何意义，已知切线方程时利用及构建等式求参数值
（II）对含参函数求导时分类讨论思想，极值与导函数的关系
【答案】
【解析】（Ⅰ）
因为在处的切线与轴平行,所以,,
经检验,时,切线与轴不重合.
所以
（Ⅱ）
（i）当时,令,
0
极大值
所以,当时,取极大值,不符合题意.
（ii）当时,令
极小值 极大值
所以,当时,取极大值,不符合题意.
（iii）当时
（1）当时,即时
极大值 极小值
所以,当时,取极小值,符合题意.
（2）当时,即时,,单调递增,
所以无极值,不符合题意.
（3）当时,即时.
极大值 极小值
所以,当时,取极大值,不符合题意.
综上所述:
【求切线方程+构造函数证明不等式问题】
1.已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）设实数使得对恒成立，求的最大值．
【考点】（I）本题主要考察导数的几何意义，切线方程求法.
（II）构造函数，通过导函数判断函数单调性，求最值
（III）对参数讨论，构造函数，通过导函数判断函数单调性，求最值
【解析
（Ⅰ），曲线在点处的切线方程为；
（Ⅱ）令=-2(x+)，则
=-2（1+）=.
因为>0（0所以>=0，x∈（0，1），
即当x∈（0，1）时，>2(x+).
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当k《2时，>k(x+)对x∈（0，1）恒成立.
当k>2时，令=- k(x+)，则
=-k（1+）=.
所以当时，<0，因此在区间（0，）上单调递减.
当时，<=0，即< k(x+).
所以当K>2时，> k(x+)并非对x∈（0，1）恒成立.
综上可知，k的最大值为2。
【利用导函数确定函数单调性、构造函数+虚设零点证明不等式】
1.已知函数，
求证：；
若在上恒成立，求的最大值与的最小值.
【解析】
（Ⅰ）由f(x)＝xcosx－sinx得
f′(x)＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.
因为在区间上f′(x)＝－xsinx＜0,
所以f(x)在区间上单调递减.
从而f(x)≤f(0)＝0.
（Ⅱ）当x＞0时,“”等价于“sinx－ax＞0”;“”等价于“sinx－bx＜0”.
令g(x)＝sinx－cx,则g′(x)＝cosx－c.
当c≤0时,g(x)＞0对任意恒成立.
当c≥1时,因为对任意,g′(x)＝cosx－c＜0,
所以g(x)在区间上单调递减.
从而g(x)＜g(0)＝0对任意恒成立.
当0＜c＜1时,存在唯一的使得g′(x0)＝cosx0－c＝0.
g(x)与g′(x)在区间上的情况如下:
x (0,x0) x0
g′(x) ＋ 0 －
g(x)
因为g(x)在区间[0,x0]上是增函数,
所以g(x0)＞g(0)＝0.
进一步,“g(x)＞0对任意恒成立”当且仅当,即.
综上所述,当且仅当时,g(x)＞0对任意恒成立;当且仅当c≥1时,g(x)＜0对任意恒成立.
所以,若对任意恒成立,则a的最大值为,b的最小值为1.
【二次求导+函数有唯一零点求参数范围】
1.已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求
【解析】(1)当时，等价于．
设函数，则．
当时，，所以在单调递减．
而，故当时，，即．
(2)设函数．
在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
（i）当时，，没有零点；
（ii）当时，．
当时，；当时，．
所以在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由(1)知，当时，，
所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
【单调性+已知函数有两个零点求参数范围】
1.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围．
（1）由于
故
当时，，．从而恒成立．
在上单调递减
当时，令，从而，得．
单调减 极小值 单调增
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增
（2）由（1）知，
当时，在上单调减，故在上至多一个零点，不满足条件．
当时，．
令．
令，则．从而在上单调增，而．故当时，．当时．当时
若，则，故恒成立，从而无零点，不满足条件．
若，则，故仅有一个实根，不满足条件．
若，则，注意到．．
故在上有一个实根，而又．
且．
故在上有一个实根．
又在上单调减，在单调增，故在上至多两个实根．
又在及上均至少有一个实数根，故在上恰有两个实根．
综上，．
【利用导函数与函数单调性关系求解决双零点问题】
1.已知函数有两个零点.
（Ⅰ）求的取值范围;
（Ⅱ）设,是的两个零点,证明：.
【解析】（Ⅰ）.
（i）设,则,只有一个零点.
（ii）设,则当时,;当时,.
所以在单调递减,在单调递增.
又,,取满足且,则
,
故存在两个零点.
（ⅲ）设,由得或.
若,则,故当时,,
因此在单调递增.
又当时,所以不存在两个零点.
若,则,
故当时,;当时,.
因此在单调递减,在单调递增.
又当时,,所以不存在两个零点.
综上,的取值范围为.
（Ⅱ）不妨设,
由（Ⅰ）知,,
在单调递减,
所以等价于,即.
由于,
而
所以.
设,则.
所以当时,,
而,故当时,.
从而,
故.
【证明函数的单调性+不等式恒成立问题求参】
1.设函数．
(Ⅰ)证明：在单调递减，在单调递增；
（Ⅱ）若对于任意，都有，求的取值范围．
【答案】Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）．
【解析】试题分析：（Ⅰ）先求导函数，根据的范围讨论导函数在和的符号即可；（Ⅱ）恒成立，等价于．由是两个独立的变量，故可求研究的值域，由(Ⅰ)可得最小值为，最大值可能是或，故只需，从而得关于的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解．
试题解析：（Ⅰ）.
若，则当时，，；当时，，.
若，则当时，，；当时，，.
所以在单调递减，在单调递增.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的m,在单调递减，在单调递增，故在x=0处取得最小值，所以对于任意，都有的充要条件是：，即，令，则，当时，；当时，.故在单调递减，在单调递增.又，，故当时，，当时，，，当时，根据单调性，；当时，，综上m的取值范围是.
考点：导数的综合应用．

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