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平面向量 2
一、平面向量的概念与线性运算 2
【知识梳理】 2
二、平面向量基本定理 4
【知识梳理】 4
【典例分析】 5
课后练习 7
三、平面向量的数量积及其应用 9
【知识梳理】 9
【典例分析】 11
课后练习 14
平面向量
一、平面向量的概念与线性运算
【知识梳理】
1.向量的基本概念
向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量．记作：
向量的模 向量的大小叫做向量的长度(或称模)，记作：
零向量 长度为0的向量叫做零向量．零向量的方向是任意的
平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量也叫共线向量
单位向量 长度为1个单位的向量叫做单位向量，的单位向量为
相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的向量叫做相等向量
温馨提示：平行向量不一定是相等向量．但相等向量一定是平等向量.
2.线性运算
（1）向量加法
三角形法则
已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量叫做与的和，记作，即这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则．如图．
平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作□OACB，则以O为起点的对角线向量就是与的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图．
向量加法的运算律
①交换律：；②结合律：.
（2）向量减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．可利用三角形法则。
（3）向量的数乘
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：．
当时，的方向与的方向相同：当时，的方向与的方向相反；
当时．．
知识拓展
向量数乘运算的结果仍然是向量．
实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．比如，无意义．
向量数乘满足的运算律：
λ（结合律），（第一分配律），
（第二分配律）．（，是实数）
特例：；.
（4）向量共线定理
向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个额实数，使得;
二、平面向量基本定理
【知识梳理】
（1）平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使．
我们把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（2）正交分解和坐标表示
正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
坐标表示：
在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底，任作一个向量，如图，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数、使，则叫做向量的坐标表示．
4.向量的坐标运算
（1）向量的坐标运算
若，，则
若，，则
若，则
（2）向量共线的坐标表示
设，其中，当且仅当时，向量共线．对条件的理解有两方面的含义：可判定共线；反之若，则.
三点共线定理 ：若,且 ,则三点共线,这个.
【典例分析】
1.若向量,,满足条件与共线,则的值为
（A） （B） （C） （D）
2.已知向量,则
（A） （B） （C） （D）
3.已知非零向量,,“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
4.设是非零向量,则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
5. 设,为非零向量,则“与方向相同”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
6.在中,点满足,则
（A） （B）
（C） （D）
7.设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且,,如果（为实数）,那么的值为
（A） （B）0 （C） （D）1
8.在平面直角坐标系中,已知点,,动点满足,其中,则所有点构成的图形面积为
（A） （B） （C） （D）
9.在直角梯形中,且是的中点,则为
（A） （B） （C） （D）
10.已知是正方形的中心,若,其中,则
（A） （B） （C） （D）
11.已知是正的中心.若,其中,,则的值为
（A） （B） （C） （D）
12.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数
（A） （B）
（C） （D）
课后练习
1.已知向量,若,则.
2.若平面向量,,且,则的值是______.
3.在梯形中,,,E为BC中点,若,则________.
4.已知为所在平面内的一点,且.若点在的内部(不含边界),则实数的取值范围是.
5.已知为的外心,且.
①若,则______;
②若,则的最大值为______.
6.如图,两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形,若直角边长为,且,则.
7.已知是平面上一点,,.
①若,则;
②若,则的最大值为.
8.设是由一平面内的个向量组成的集合.若,且的模不小于中除外的所有向量和的模.则称是的极大向量.有下列命题:
①若中每个向量的方向都相同,则中必存在一个极大向量;
②给定平面内两个不共线向量,在该平面内总存在唯一的平面向量,使得中的每个元素都是极大向量;
③若中的每个元素都是极大向量,且中无公共元素,则中的每一个元素也都是极大向量.
其中真命题的序号是.
三、平面向量的数量积及其应用
【知识梳理】
1.平面向量数量积的定义
（1）向量的夹角
已知两个非零向量和，如图，作 则叫做向最和的夹角（共起点的夹角）.
温馨提示
这两个向量有共同的起点．
向量夹角的范围为．
当时，和同向；当时，和反向：当时，.
④向量与向量的夹角和向量与向量的夹角相等．
（2）向量的数量积
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与数量积（或内积），记作．即，其中是与的夹角．
向量与都是非零向量，我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．
温馨提示
①两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量。其符号由夹角的余弦值决定．
②在运用数量积公式解题时．一定要注意两向量夹角的范围是.
③在书写两个向量的数量积时，中间的点乘不能省略不写．
（3）向量的投影
（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影．
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与 在的方向上的投影的乘积．
2.平面向量数量积的运算律
（1）交换律：
（2）结合律：.
（3）分配律：
（4）应用运算律得到的两个重要结论
知识拓展
（1）两向量的数量积不是向量而是数量．
（2）不能推出，由图可以看出．
（3）不一定等于．这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量．而与不一定共线．
3.平面向量数量积的重要性质
设,都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，，，则
当与同向时,;当与反向时，．
特别地,或;
【典例分析】
1.已知向量,,,则等于
（A） （B） （C）1 （D）-1
2.已知向量满足,,则
（A） （B） （C） （D）
3.已知向量,,则的夹角为
（A） （B） （C） （D）
4.已知为非零向量,则“”是“与夹角为锐角”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
5.已知曲线（为参数）,,.若曲线上存在点满足,则实数的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
6.设,是平面上的两个单位向量,.若,则的最小值是
（A） （B）
（C） （D）
7.如图,在等腰梯形中,,,,点在线段上运动,则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
8.如图,正方形的边长为6,点,分别在边上,且,.如果对于常数,在正方形的四条边上,有且只有6个不同的点P使得成立,那么的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
9.已知点在圆上,点在圆上,则下列说法错误的是
（A）的取值范围为
（B）的取值范围为
（C）的取值范围为
（D）若,则实数的取值范围为
10.如图,角均以为始边,终边与单位圆分别交于点,则
（A）
（B）
（C）
（D）
课后练习
1.若非零向量满足,,则向量夹角的大小为_______.
2.已知等边的边长为3,是边上一点,若,则的值是_______.
3.在四边形中,.若,则=____.
4.设平面向量为非零向量,能够说明若“,则”是假命题的一组向量的坐标依次为.
5.向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,则向量所成角的余弦值是;向量所张成的平行四边形的面积是.
6.若平面向量,,且,则实数的值为.
7.已知平面向量的夹角为,且满足则
8.如图,,,是三个边长为的等边三角形,且有一条边在同一直线上,边上有个不同的点,则.目录
平面向量 2
一、平面向量的概念与线性运算 2
【知识梳理】 2
二、平面向量基本定理 4
【知识梳理】 4
【典例分析】 5
课后练习 7
三、平面向量的数量积及其应用 9
【知识梳理】 9
【典例分析】 11
课后练习 14
平面向量
一、平面向量的概念与线性运算
【知识梳理】
1.向量的基本概念
向量的定义 既有大小又有方向的量叫向量．记作：
向量的模 向量的大小叫做向量的长度(或称模)，记作：
零向量 长度为0的向量叫做零向量．零向量的方向是任意的
平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量也叫共线向量
单位向量 长度为1个单位的向量叫做单位向量，的单位向量为
相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
相反向量 长度相等且方向相反的向量叫做相等向量
温馨提示：平行向量不一定是相等向量．但相等向量一定是平等向量.
2.线性运算
（1）向量加法
三角形法则
已知非零向量，在平面内任取一点A，作，则向量叫做与的和，记作，即这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则．如图．
平行四边形法则：以同一点为起点的两个已知向量，为邻边作□OACB，则以O为起点的对角线向量就是与的和．这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则，如图．
向量加法的运算律
①交换律：；②结合律：.
（2）向量减法：求两个向量差的运算，叫做向量的减法．
可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．可利用三角形法则。
（3）向量的数乘
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：．
当时，的方向与的方向相同：当时，的方向与的方向相反；
当时．．
知识拓展
向量数乘运算的结果仍然是向量．
实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算．比如，无意义．
向量数乘满足的运算律：
λ（结合律），（第一分配律），
（第二分配律）．（，是实数）
特例：；.
（4）向量共线定理
向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个额实数，使得;
二、平面向量基本定理
【知识梳理】
（1）平面向量基本定理
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使．
我们把不共线的向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
（2）正交分解和坐标表示
正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
坐标表示：
在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量作为基底，任作一个向量，如图，由平面向量基本定理可知，有且仅有一对实数、使，则叫做向量的坐标表示．
4.向量的坐标运算
（1）向量的坐标运算
若，，则
若，，则
若，则
（2）向量共线的坐标表示
设，其中，当且仅当时，向量共线．对条件的理解有两方面的含义：可判定共线；反之若，则.
三点共线定理 ：若,且 ,则三点共线,这个.
【典例分析】
1.若向量,,满足条件与共线,则的值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
2.已知向量,则
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
3.已知非零向量,,“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】D
4.设是非零向量,则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
5. 设,为非零向量,则“与方向相同”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
6.在中,点满足,则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
7.设E,F分别是正方形ABCD的边AB,BC上的点,且,,如果（为实数）,那么的值为
（A） （B）0 （C） （D）1
【答案】C
8.在平面直角坐标系中,已知点,,动点满足,其中,则所有点构成的图形面积为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
9.在直角梯形中,且是的中点,则为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
10.已知是正方形的中心,若,其中,则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
11.已知是正的中心.若,其中,,则的值为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
12.向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线,则实数
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
课后练习
1.已知向量,若,则.
【答案】
2.若平面向量,,且,则的值是______.
【答案】
3.在梯形中,,,E为BC中点,若,则________.
【答案】
4.已知为所在平面内的一点,且.若点在的内部(不含边界),则实数的取值范围是.
【答案】
5.已知为的外心,且.
①若,则______;
②若,则的最大值为______.
【答案】
6.如图,两块全等的等腰直角三角板拼在一起形成一个平面图形,若直角边长为,且,则.
【答案】
7.已知是平面上一点,,.
①若,则;
②若,则的最大值为.
【答案】;
8.设是由一平面内的个向量组成的集合.若,且的模不小于中除外的所有向量和的模.则称是的极大向量.有下列命题:
①若中每个向量的方向都相同,则中必存在一个极大向量;
②给定平面内两个不共线向量,在该平面内总存在唯一的平面向量,使得中的每个元素都是极大向量;
③若中的每个元素都是极大向量,且中无公共元素,则中的每一个元素也都是极大向量.
其中真命题的序号是.
【答案】②③
三、平面向量的数量积及其应用
【知识梳理】
1.平面向量数量积的定义
（1）向量的夹角
已知两个非零向量和，如图，作 则叫做向最和的夹角（共起点的夹角）.
温馨提示
这两个向量有共同的起点．
向量夹角的范围为．
当时，和同向；当时，和反向：当时，.
④向量与向量的夹角和向量与向量的夹角相等．
（2）向量的数量积
已知两个非零向量与，我们把数量叫做与数量积（或内积），记作．即，其中是与的夹角．
向量与都是非零向量，我们规定，零向量与任一向量的数量积为0．
温馨提示
①两向量的数量积，其结果是数量，而不是向量。其符号由夹角的余弦值决定．
②在运用数量积公式解题时．一定要注意两向量夹角的范围是.
③在书写两个向量的数量积时，中间的点乘不能省略不写．
（3）向量的投影
（）叫做向量在方向上（在方向上）的投影．
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与 在的方向上的投影的乘积．
2.平面向量数量积的运算律
（1）交换律：
（2）结合律：.
（3）分配律：
（4）应用运算律得到的两个重要结论
知识拓展
（1）两向量的数量积不是向量而是数量．
（2）不能推出，由图可以看出．
（3）不一定等于．这是因为表示一个与共线的向量，而表示一个与共线的向量．而与不一定共线．
3.平面向量数量积的重要性质
设,都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，，，则
当与同向时,;当与反向时，．
特别地,或;
【典例分析】
1.已知向量,,,则等于
（A） （B） （C）1 （D）-1
【答案】C
2.已知向量满足,,则
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
3.已知向量,,则的夹角为
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
4.已知为非零向量,则“”是“与夹角为锐角”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】B
5.已知曲线（为参数）,,.若曲线上存在点满足,则实数的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
6.设,是平面上的两个单位向量,.若,则的最小值是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
7.如图,在等腰梯形中,,,,点在线段上运动,则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
8.如图,正方形的边长为6,点,分别在边上,且,.如果对于常数,在正方形的四条边上,有且只有6个不同的点P使得成立,那么的取值范围是
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
9.已知点在圆上,点在圆上,则下列说法错误的是
（A）的取值范围为
（B）的取值范围为
（C）的取值范围为
（D）若,则实数的取值范围为
【答案】B
10.如图,角均以为始边,终边与单位圆分别交于点,则
（A）
（B）
（C）
（D）
【答案】C
课后练习
1.若非零向量满足,,则向量夹角的大小为_______.
【答案】
2.已知等边的边长为3,是边上一点,若,则的值是_______.
【答案】
3.在四边形中,.若,则=____.
【答案】
4.设平面向量为非零向量,能够说明若“,则”是假命题的一组向量的坐标依次为.
【答案】
5.向量在边长为1的正方形网格中的位置如图所示,则向量所成角的余弦值是;向量所张成的平行四边形的面积是.
【答案】
6.若平面向量,,且,则实数的值为.
【答案】-6
7.已知平面向量的夹角为,且满足则
【答案】
8.如图,,,是三个边长为的等边三角形,且有一条边在同一直线上,边上有个不同的点,则.
【答案】

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