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正余弦定理专题讲义 2
一、知识梳理 2
二、典型例题 4
三、题型分类 5
题型一 求边角 5
题型二 求面积 8
题型三 求最值 13
题型四 劣构型 16
正余弦定理专题讲义
一、知识梳理
一、正弦定理定义：
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即：.
2、正弦定理与外接圆：
若一个三角形的外接圆半径为，则正弦定理可扩展为：.
3、两类正弦定理解三角形的问题：
①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
② 已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
4、解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：
5、三角形面积公式：
二、余弦定理
1、三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的二倍，即
或，
或，
或.
2、余弦定理的有关问题：
（1） 勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达式中分别令，，为，上面关系式分别化为勾股定理形式．
（2） 在中，若，则，反之也成立。
在中，若，则，反之也成立。
在中，若，则，反之也成立。
【方法总结】
1.正弦定理的选取
总结：（1）边角互换（边长与对应角的正弦值）
（2）已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角
（3）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边与角
2.余弦定理的选取
总结：（1）已知三边，求三个角
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
二、典型例题
例1.在中,,则
（A） （B）或
（C） （D）或
练1.在△中,,,,则____.
练2.在中,,,则=_______.
练3.在中,,,,则.
练4.在中,.①_____;②若,则____.
例2.在中,角,,的对边分别是,,.若,,,则____.
练5.在中,,,,则.
例3.如图,在四边形中,,,,,,则;三角形的面积为___________.
例4.在中,则
练6.在中角,,的对边分别是,,,若,则.
三、题型分类
题型一 求边角
1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.[
（Ⅰ）求角A的大小;
（Ⅱ）若,,求的值.
2.在中,内角所对的边分别为.已知,,的面积为9.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求及的值.
3.在中,角所对的边分别为,,.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若,求的值.
4.在中,的角平分线
（Ⅰ）求的大小;
（Ⅱ）求的长.
5.如图,在中,点在边上,且记,
（Ⅰ）求证:;
（Ⅱ）若,,求的长.
题型二 求面积
1.在△中,角的对边分别为,且,.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若,求△的面积.
2.在中,角的对边分别是,已知
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若角为锐角,求的值及的面积
3.在中,已知,.
（Ⅰ）若,求的面积;
（Ⅱ）若为锐角,求的值.
4.在中,内角的对边分别为,,,且.
（Ⅰ）求角的值;
（Ⅱ）若,,求△的面积.
5.在中,已知.
（Ⅰ）求的大小;
（Ⅱ）若,,求的面积.
6.如图所示,在中,是边上的一点,且,,,.
（Ⅰ）求;
（Ⅱ）求的长和的面积.
题型三 求最值
1.在锐角中,.
（Ⅰ）求∠A的大小;
（Ⅱ）求的取值范围.
2.在△中,角的对边分别为,且.
（Ⅰ）求角的大小;
（Ⅱ）求的取值范围.
3.在△中,.
（Ⅰ）若,求;
（Ⅱ）求的最大值.
题型四：劣构型
1.在中，．
（1）求；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求c和的值．
条件①：，边上中线的长为；
条件②：，的面积为6；
条件③：，边上的高的长为2．
2.在△中，，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求边上的高.
条件①：；
条件②：；
条件③：△的面积为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
3.在△中，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使△存在. 求
△的面积.
条件①：； 条件②：.
4.在△中，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，证明：.目录
正余弦定理专题讲义 2
一、知识梳理 2
二、典型例题 4
三、题型分类 5
题型一 求边角 5
题型二 求面积 8
题型三 求最值 13
题型四 劣构型 16
正余弦定理专题讲义
一、知识梳理
一、正弦定理定义：
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即：.
2、正弦定理与外接圆：
若一个三角形的外接圆半径为，则正弦定理可扩展为：.
3、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.
② 已知两角和其中一边的对角，求其他边角.
4、解题中利用中，以及由此推得的一些基本关系式进行三角变换的运算，如：
5、三角形面积公式：
二、余弦定理
1、三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的二倍，即
或，
或，
或.
2、余弦定理的有关问题：
（1） 勾股定理是余弦定理的特殊情况，在余弦定理表达式中分别令，，为，上面关系式分别化为勾股定理形式．
（2） 在中，若，则，反之也成立。
在中，若，则，反之也成立。
在中，若，则，反之也成立。
【方法总结】
1.正弦定理的选取
总结：（1）边角互换（边长与对应角的正弦值）
（2）已知三角形的两角和任一边，求三角形的其他边与角
（3）已知三角形的两边和其中一边的对角，求三角形的其他边与角
2.余弦定理的选取
总结：（1）已知三边，求三个角
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角
点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：
第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.
第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.
第三步：求结果.
二、典型例题
例1.在中,,则
（A） （B）或
（C） （D）或
【答案】D
练1.在△中,,,,则____.
【答案】
练2.在中,,,则=_______.
【答案】
练3.在中,,,,则.
【答案】
练4.在中,.①_____;②若,则____.
【答案】
例2.在中,角,,的对边分别是,,.若,,,则____.
【答案】
练5.在中,,,,则.
【答案】或
例3.如图,在四边形中,,,,,,则;三角形的面积为___________.
【答案】
例4.在中,则
【答案】
练6.在中角,,的对边分别是,,,若,则.
【答案】
三、题型分类
题型一 求边角
1.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.[
（Ⅰ）求角A的大小;
（Ⅱ）若,,求的值.
解：（Ⅰ）由正弦定理及
得：，----------------------2分
化简----------------------4分
解得：，----------------------6分
因为0o（Ⅱ）由余弦定理得：，即.---------------------10分
解得和，---------------------12分
经检验1，4都是解，所以的值是1和4.---------------------13分
2.在中,内角所对的边分别为.已知,,的面积为9.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）求及的值.
解：（Ⅰ）因为的面积,
所以
所以.
因为,所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知在中,由余弦定理得,
所以.
又因为,
所以在中,由正弦定理得.
3.在中,角所对的边分别为,,.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若,求的值.
解：（Ⅰ）在中,由及正弦定理,得
,即.
因为,,所以.
所以.所以.
因为,所以.
（Ⅱ）由,,得.
又因为,所以.
所以.
4.在中,的角平分线
（Ⅰ）求的大小;
（Ⅱ）求的长.
解：（Ⅰ）在中,由正弦定理得:
（Ⅱ）因为所以
由余弦定理得
5.如图,在中,点在边上,且记,
（Ⅰ）求证:;
（Ⅱ）若,,求的长.
解：（Ⅰ）由正弦定理,在中
在中
且
（Ⅱ）由（Ⅰ）
在中,应用余弦定理,有
将带入上式，得到
题型二 求面积
1.在△中,角的对边分别为,且,.
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若,求△的面积.
解：（Ⅰ）因为，所以．
所以．
所以． …………7分
（Ⅱ）因为，所以．
又因为，所以．
所以． …………13分
2.在中,角的对边分别是,已知
（Ⅰ）求的值;
（Ⅱ）若角为锐角,求的值及的面积
解：（Ⅰ）因为，且，
所以．
因为，
由正弦定理，得．…………………6分
（Ⅱ）由得．
由余弦定理，得．
解得或（舍负）．
所以．…………………13分
3.在中,已知,.
（Ⅰ）若,求的面积;
（Ⅱ）若为锐角,求的值.
解：（Ⅰ）由正弦定理得,因为,
所以,,
因为,所以,
所以,
所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,因为为锐角,所以.
所以
4.在中,内角的对边分别为,,,且.
（Ⅰ）求角的值;
（Ⅱ）若,,求△的面积.
解：（Ⅰ）解:由已知得
即
解得,或
因为,故舍去
所以
（Ⅱ）解:由余弦定理得
将,代入上式,整理得
因为
所以
所以的面积
5.在中,已知.
（Ⅰ）求的大小;
（Ⅱ）若,,求的面积.
解：（Ⅰ）因为,
所以,
在中,由正弦定理得.
因为,
所以,
所以,
故.
（Ⅱ）在中,由余弦定理得,
所以得:,
整理得,
解得,或,均符合题意.
当时,的面积为
当时,的面积为
6.如图所示,在中,是边上的一点,且,,,.
（Ⅰ）求;
（Ⅱ）求的长和的面积.
解：（Ⅰ）在中,因为,
,
所以
.
因为,,
所以.
所以.
（Ⅱ）在中,由余弦定理可得
,
所以,
所以,
即.
所以或（舍）.
所以.
在中,由正弦定理得,
即,
所以.
所以.
题型三 求最值
1.在锐角中,.
（Ⅰ）求∠A的大小;
（Ⅱ）求的取值范围.
解：（Ⅰ）由正弦定理得，..………………2分
因为，所以，从而，..………………3分
所以.
因为锐角，
所以...………………6分
（Ⅱ）因为..………………7分
..………………9分
..………………11分
2.在△中,角的对边分别为,且.
（Ⅰ）求角的大小;
（Ⅱ）求的取值范围.
解：（Ⅰ）由，
得．[1分]
由正弦定理得．[3分]
所以．[4分]
因为，[5分]
所以．[6分]
（Ⅱ）[7分]
[8分]
．[9分]
因为，所以，[10分]
所以，[11分]
所以，[12分]
所以的取值范围是．[13分]
3.在△中,.
（Ⅰ）若,求;
（Ⅱ）求的最大值.
解：（Ⅰ）由余弦定理及题设
，
得．
由正弦定理，，
得．……………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．
．
因为，
所以当，取得最大值．…………………13分
题型四：劣构型
1.在中，．
（1）求；
（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求c和的值．
条件①：，边上中线的长为；
条件②：，的面积为6；
条件③：，边上的高的长为2．
（1）∵，
∴，即，
又，故，
∴；
（2）选①，设的中点为，在中，
由余弦定理可得，
∴，即，
解得或，
故有两组解，不合题意；
选②，由，的面积为6，
∴，
故，
由，
可得，
由，可得；
选③，∵，
∴，
∴，
又边上的高的长为2，
∴，
由，可得.
2.在△中，，.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）再从下列三个条件中选择一个作为已知，使△存在且唯一确定，求边上的高.
条件①：；
条件②：；
条件③：△的面积为.
注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
解：（Ⅰ）由正弦定理及，知，
因为，
所以，
因为，所以，
又，所以．
（Ⅱ）选择条件①：因为，且，所以，
所以，
故该不存在．
选择条件②：因为，所以，
由，知，
所以，
所以边上的高．
选择条件③：的面积，所以，
由余弦定理知，，
所以，
因为，所以边上的高．
3.在△中，.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，使△存在. 求
△的面积.
条件①：； 条件②：.
（Ⅰ）由正弦定理及，
得.
因为，所以.
又因为，
所以.
（Ⅱ）法1：选条件②：.
由可知,所以.
所以由可得.
所以，即
由余弦定理及，
得，
所以，
所以（舍去），
所以的面积为.
法2：选条件②：.
由可知,所以.
所以由可得.
所以，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，
由正弦定理可得，
所以的面积为.
4.在△中，.
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）若，证明：.
解：（Ⅰ）在中，因为，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以. ┄┄┄┄┄┄ 7分
（Ⅱ）因为，所以.
由余弦定理得，
所以，
即 . ①
因为，
所以. ②
将②代入①，得，
整理得 ，
所以.┄┄┄┄┄┄13分
5.已知函数，且的最小正周期为，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）设，若在区间上的最大值为，求的最小值.
条件①：的最小值为；
条件②：的图象经过点；
条件③：直线是函数的图象的一条对称轴.
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
解：由题意知，，
选条件①②：的最小值为；，则，
的图象经过点，得，，
，，，
选条件①③：的最小值为；，则，
直线是函数的图象的一条对称轴．
，，
，，，
选条件②③：直线是函数的图象的一条对称轴．
，，即，，
，，，
的图象经过点，得，，
，
，
由，，，，
若在区间，上的最大值为2，则，，
的最小值为．
6.已知函数. 再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个作为已知.
（Ⅰ）求的解析式及最小值；
（Ⅱ）若函数在区间上有且仅有个零点，求的取值范围.
条件①：函数的最小正周期为；
条件②：函数的图象经过点；
条件③：函数的最大值为.
注：如果选择的条件不符合要求，得分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分.
解：由题可知，
．
选择①②：
（Ⅰ）因为，所以．
又因为，所以．
所以．
当，，即，时，.
所以函数的最小值为． 9分
（Ⅱ）令，
则，，
所以，．
当时，函数的零点为，
由于函数在区间上有且仅有1个零点，
所以．
所以的取值范围是． 13分
选择①③：
（Ⅰ）因为，所以．
又因为函数的最大值为，
所以．
所以．
当，，即，时，
，
所以函数的最小值为． 9分
（Ⅱ）令，
则，，或，，
所以，，或，．
当时，函数的零点分别为，
由于函数在区间上有且仅有1个零点，
所以．
所以的取值范围是． 13分

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