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专题02 函数的概念及其性质 2
一 函数的概念 2
考点一：函数的概念 6
考点二：函数的定义域 8
考点三：函数的值域 10
考点四：函数解析式及灵活运用 12
二 函数的基本性质 17
考点一：单调性 20
考点二：奇偶性与周期性 20
考点三：单调性与奇偶性 21
三 函数的零点 25
考点一：零点个数 25
考点二：零点所在区间 25
小试牛刀 28
巩固练习1 29
巩固练习2 31
专题02 函数的概念及其性质
一 函数的概念
课前诊断
1.如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量的对应关系，其中表示是的函数关系的有（ ）
2.下列各组函数中，与表示同一函数的一组是（ ）
A B，
C， D
3.函数的定义域为_________________
4.已知函数，若，则______．
5.函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
6.已知，则不等式的解集是________．
【教学目标】
1.理解函数的概念及表示
2.熟悉常规不等式解法及定义域的求解
3.能够求解常规初等函数的值域和换元法以及分段函数的值域理
4.灵活应用解析式，求解函数的值
【知识框架】
【知识要点】
1.函数的表示方法
列表法：通常列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．
图象法：用函数的图象来表示两个自变量之间关系的方法叫做图象法．
解析法：就是把两个自变量的函数关系，用一个等式表示出来，这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式．
2.函数的定义域
（1）函数的定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．函数的定义域包含三种形式：
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围．目前我们学过的有：
1）是整式时，定义域是全体实数；
2）是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；
3）是为二次式式，其定义域是使根号内的式子不小于0的实数的集合；
4）的定义域是
5）若是由以上几部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．
复合函数的定义域：
3．分段函数
有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系也不同，这样的函数叫做分段函数．
分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式．
分段函数的图像可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几段线段．
分段函数的值域，也就是各部分上的函数值集合的并集．
分段函数虽然有几部分组成，但它仍是一个函数．
4.函数的解析式的求法
（1）代入法（2）待定系数法（3）拼凑法（4）消元法
5.函数值域的求法
（1）观察法（2）配方法（3）反比例函数法（4）反解法（5）函数图象法
【考点分类】
考点一：函数的概念
【例1】若函数的定义域为,值域为,则函数的图象可能是（ ）
-2 -2 2 -2 2 -2 2
【练1】给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A0个 B1个 C2个 D3个
知识拓展
【例1】水厂监控某一地区居民用水情况，该地区A,B,C,D四个小区在8:00—12:00时用水总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四个小区中，单位时间内用水量逐步增加的是
【例2】函数的图象是（ ）
考点二：函数的定义域
【例1】求下列函数的定义域
（1）；（2）；（3）．
【例2】函数的定义域是___________．
【例3】函数的定义域是．
【例4】若的定义域是，求的定义域．
【练1】函数的定义域是（ ）
A B C D
【练2】函数的定义域为___.
【练3】函数的定义域为,求函数的定义域;
【练4】已知函数定义域是，则的定义域是（）
A B C D
知识拓展
【例1】已知已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）
A B C D
【例2】设，则的定义域为（）
A B
C D
考点三：函数的值域
【例1】已知,则的最小值是（）．
A1 B2 C D4
【例2】已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是________．
【例3】
【例4】求函数的值域：
【例54】求函数的值域．
【练1】函数的最大值为________.
【练2】.已知，则函数的最小值为________．
【练3】求下列函数的值域：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
知识拓展
【例1】设函数则____；函数的值域是____.
【例2】某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（ ）
（A） （B） （C） （D）6
考点四：函数解析式及灵活运用
【例1】函数对于任意实数满足条件，若，则______．
【例3】已知函数．
（1）求的值；（2）计算：．
【例4】已知，那么等于（ ）
A B C D
【练1】已知为常数，若求的值．
【练2】设函数则____；函数的极小值是____.
【练3】已知函数则______-
【练4】已知函数分别由下表给出
1 2 3
2 1 1
3 2 1
则的值为__________；=_________________
【练5】已知函数，分别由下表给出
1 2 3
1 3 1
1 2 3
3 2 1
则的值为 ；满足的的值是
知识拓展
【例1】已知函数若，则______
【例2】定义在上的函数满足.当时，
,当时，，则
（A） （B）
（C） （D）
【例3】函数的定义域为［－1,1］，图象如图1所示，函数的定义域为［－1,2］，图象如图2所示，若集合A＝，B＝，则AB中元素的个数为( )
A1 B2 C3 D4
【例4】某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费(元)满足关系已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：
月份 用气量 煤气费
一月份 4m3 4元
二月份 25m3 14元
三月份 35m3 19元
若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）
（A）11.5元 （B）11元
（C）10.5元 （D）10元
二 函数的基本性质
【教学目标】
了解函数的单调性的定义，掌握增函数与减函数的定义及其几何意义
掌握函数奇偶性的定义及其图像特征
掌握函数基本性质间的联系并会解决综合应用问题
了解函数的零点与方程的关系，会运用图像判断零点的个数，能够利用二分法判断函数的零点所在区间
【知识导航】
【知识要点】
函数的单调性
如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值,当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数。
如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值,当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数。
在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
函数的奇偶性
（1）如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数叫做奇函数，奇函数的图像关于原点对称。
（2）如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数叫做偶函数，偶函数的图像关于轴对称。
（3）若函数为奇函数，且在处有定义，则
（4）奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．
（5）除外的所有函数奇偶性满足：
奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶
奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数
函数的周期性
如果存在一个不为零的常数，使得函数对于定义域中的任意均有,则是周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期。
函数的对称性
定义域为的函数，若满足或是，则称函数的图像关于对称。
函数的零点
方程的根与函数的零点
（1） 函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数 叫做函数的零点。
（2）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（3）函数零点的求法：
求函数的零点就是求方程的实数根；
对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
（4）零点的存在性判定定理：如果函数在区间上的图像是不间断的，而且，则这个函数在区间上至少有一个零点。
【考点分类】
考点一：单调性
【例1】下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【例2】下列函数中，在区间上为增函数的是
（A） （B）
（C） （D）
【例3】设函数其中.
①当时，若，则 ；
②若在上是单调递增函数，则的取值范围 .
考点二：奇偶性与周期性
【例1】已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中 一定成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【例2】★函数的定义域为，“是奇函数”是“存在”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【例3】★函数是
（A）是奇函数但不是偶函数 （B）是偶函数但不是奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
【练1】★已知是周期为2的奇函数，当时，设则
（A）　　 （B）　 （C）　 （D）
【练2】★★已知是偶函数，则函数的图象的对称轴是________
（A） （B） （C） （D）
【练3】已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当 时，，则= .
考点三：单调性与奇偶性
【例1】下列函数中，在内单调递减，并且是偶函数的是
（A） （B） （C） （D）
【例2】已知函数，则
（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数
（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数
【例3】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值是 .
【练1】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)
（A） （B） （C） （D）
【练2】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ．
【练3】已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
知识拓展
【例1】已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数 满足，则的取值范围是 .
【例2】设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【例3】★★★以下几个命题：
①方程的有一个正实根，一个负实根，则.
②函数是偶函数，但不是奇函数.
③函数的值域是，则函数的值域为.
④ 设函数定义域为R且满足，则函数的图象关于轴对称.
⑤曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1.
其中正确的有___________________.
【例4】★★★给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域是，值域是；②函数的图像关于轴对称；③函数的图像关于坐标原点对称；④ 函数在上是增函数；则其中真命题是__ （填上真命题的序号）．
【例5】★★★设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数是“似周期函数”；
③函数是“似周期函数”；
④如果函数是“似周期函数”，那么“”．
其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）
三 函数的零点
考点一：零点个数
【例1】函数的零点个数是
（A） （B） （C） （D）
【例2】.★★已知是定义在上的奇函数，当时，则函数
的零点的集合为
【例3】函数的零点个数为
【练1】 函数的零点个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【练2】函数的零点个数为
考点二：零点所在区间
【例1】★函数的零点所在的一个区间是(　　)．
（A） （B） （C） （D）
【例2】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
（A） （B） （C） （D）
【练1】已知函数，则函数的零点所在的区间是
（A） （B） （C） （D）
【练2】已知函数关于的方程有且只有一个实根，则实数 的取值范围是 ．
知识拓展
【例1】．.设函数
，则的最小值为 .
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 .
【例2】已知函数若，则的取值范围是______.
【例3】已知函数若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围是___________________．
【例4】设函数其中.
①当时，若，则__________；
②若在上是单调递增函数，则的取值范围________.
【例5】已知定义在R上的函数 且．若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【例6】已知函数，函数，若函数恰好有个不同零点，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
小试牛刀
1. 下列函数中，在区间上为增函数的是
（A） （B）
（C） （D）
2． 函数是
（A）是奇函数但不是偶数 （B）是偶函数但不是奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
3． 在下列函数中，是偶函数,且在内单调递增的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值是 .
5. 已知是定义在上的奇函数，当时，则函数的零点的集合为
6. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
（A） （B） （C） （D）
巩固练习1
1.★下列函数中，值域为的偶函数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
2.★下列函数中为偶函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中一定为偶函数的是
（A） （B） （C） （D）
4.下列函数中为偶函数的是
（A） （B） （C） （D）
5. 若函数为偶函数，则
6. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
（A） （B） （C） （D）
7. 在下列函数中，是偶函数,且在内单调递增的是
（A） （B） （C） （D）
8. 若函数为奇函数，当时，，则的值为
9. 函数的零点所在区间
（A） （B） （C） （D）
10. 函数在定义域内零点的个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
巩固练习2
1.已知的解析式可取为（ ）
A B C D
2.函数的定义域是
A B C D
3.图中的图象所表示的函数的解析式为
(A) (0≤x≤2)
(B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2)
(D) (0≤x≤2)
4.设，则的定义域为（ ）
A B
C D
5.函数的定义域为（ ）
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
6.函数的值域是______________．
7.设定义在上的函数满足，若，则( )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
8.定义在上的函数满足（），，则等于（ ）
A2 B3 C6 D9
9.已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为
(A) (B) (C) (D)目录
专题02 函数的概念及其性质 2
一 函数的概念 2
考点一：函数的概念 6
考点二：函数的定义域 8
考点三：函数的值域 10
考点四：函数解析式及灵活运用 12
二 函数的基本性质 17
考点一：单调性 20
考点二：奇偶性与周期性 20
考点三：单调性与奇偶性 21
三 函数的零点 25
考点一：零点个数 25
考点二：零点所在区间 25
小试牛刀 28
巩固练习1 29
巩固练习2 31
专题02 函数的概念及其性质
一 函数的概念
课前诊断
1.如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量的对应关系，其中表示是的函数关系的有（ ）
【答案】（2）（3）
2.下列各组函数中，与表示同一函数的一组是（ ）
A B，
C， D
A中，的定义域为全体实数，的定义域为；
B中，；
D中，的定义域为全体实数，的定义域为；
C中，，故C正确．
【答案】C．
3.函数的定义域为_________________
【答案】
4.已知函数，若，则______．
【答案】
5.函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C；
6.已知，则不等式的解集是________．
【答案】
7.若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同,则称这些函数为“同族函数”,那么函数解析式为值域为{1,4}的“同族函数”共有个________．
【答案】9
【教学目标】
1.理解函数的概念及表示
2.熟悉常规不等式解法及定义域的求解
3.能够求解常规初等函数的值域和换元法以及分段函数的值域理
4.灵活应用解析式，求解函数的值
【知识框架】
【知识要点】
1.函数的表示方法
列表法：通常列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．
图象法：用函数的图象来表示两个自变量之间关系的方法叫做图象法．
解析法：就是把两个自变量的函数关系，用一个等式表示出来，这个等式叫做函数的解析表达式,简称解析式．
2.函数的定义域
（1）函数的定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．函数的定义域包含三种形式：
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围．目前我们学过的有：
1）是整式时，定义域是全体实数；
2）是分式时，定义域是使分母不为零的一切实数；
3）是为二次式式，其定义域是使根号内的式子不小于0的实数的集合；
4）的定义域是
5）若是由以上几部分的数学式子构成的，其定义域是使各部分式子都有意义的实数集合．
复合函数的定义域：
3．分段函数
有些函数在其定义域中，对于自变量的不同取值范围，对应关系也不同，这样的函数叫做分段函数．
分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式．
分段函数的图像可以是光滑的曲线段，也可以是一些孤立的点或几段线段．
分段函数的值域，也就是各部分上的函数值集合的并集．
分段函数虽然有几部分组成，但它仍是一个函数．
4.函数的解析式的求法
（1）代入法（2）待定系数法（3）拼凑法（4）消元法
5.函数值域的求法
（1）观察法（2）配方法（3）反比例函数法（4）反解法（5）函数图象法
【考点分类】
考点一：函数的概念
【例1】若函数的定义域为,值域为,则函数的图象可能是（ ）
-2 -2 2 -2 2 -2 2
【答案】B
【练1】给出下列四个图形，其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有（ ）
A0个 B1个 C2个 D3个
解析：注意函数的定义，有很多解析式虽然不是函数，但依旧可以用函数的方法解决．
【答案】B
知识拓展
【例1】水厂监控某一地区居民用水情况，该地区A,B,C,D四个小区在8:00—12:00时用水总量Q与时间t的函数关系如图所示，在这四个小区中，单位时间内用水量逐步增加的是
【答案】B
【例2】函数的图象是（ ）
【答案】D
解析：．
考点二：函数的定义域
【例1】求下列函数的定义域
（1）；（2）；（3）．
【答案】(1)(2)(3)且
【例2】函数的定义域是___________．
．
【答案】
【例3】函数的定义域是．
【答案】
【例4】若的定义域是，求的定义域．
的定义域是，即，
故，从而的定义域为．
【答案】
【练1】函数的定义域是（ ）
A B C D
要使有意义必需有，而若使有意义，必需有，
从而解得，所以函数的定义域是，从而选C．
【答案】C
【练2】函数的定义域为___.
【答案】
【练3】函数的定义域为,求函数的定义域;
的定义域为,要使有意义,需使,即或,的定义域为．
【答案】(1)
【练4】已知函数定义域是，则的定义域是（）
A B C D
．
【答案】A
知识拓展
【例1】已知已知函数f（x）=的定义域是R，则实数a的取值范围是（）
A B C D
【答案】B
由a=0或可得，答案B．
【例2】设，则的定义域为（）
A B
C D
【答案】B
考点三：函数的值域
【例1】已知,则的最小值是（）．
A1 B2 C D4
【答案】D
【例2】已知正实数x，y满足xy=3，则2x+y的最小值是________．
【答案】
【例3】
【答案】函数的值域为
【例4】求函数的值域：
【答案】
【例54】求函数的值域．
【答案】
【练1】函数的最大值为________.
【答案】
【练2】.已知，则函数的最小值为________．
【答案】3
【练3】求下列函数的值域：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
【答案】（1）（配方法），
∴的值域为．
改题：求函数，的值域．
（2）求复合函数的值域：
设（），则原函数可化为．
又∵，
∴，故，
∴的值域为．
（3）（法一）反函数法：
的反函数为，其定义域为，
∴原函数的值域为．
（法二）分离变量法：，
∵，∴，
∴函数的值域为．
（4）换元法（代数换元法）：设，则，
∴原函数可化为，∴，
∴原函数值域为．
知识拓展
【例1】设函数则____；函数的值域是____.
【答案】
【例2】某生产厂商更新设备，已知在未来x年内，此设备所花费的各种费用总和y（万元）与x满足函数关系，若欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x为（ ）
（A） （B） （C） （D）6
【答案】B
考点四：函数解析式及灵活运用
【例1】函数对于任意实数满足条件，若，则______．
【答案】
函数对任意实数满足条件，∴
∴
∴
【例2】若函数，则=___________．
【答案】-1
令．
【例3】已知函数．
（1）求的值；（2）计算：．
（1）由．
（2）原式
对规律的发现，能使我们实施巧算．正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键．
【答案】（1）1,（2）
【例4】已知，那么等于（ ）
A B C D
【答案】A
【解析】令
【练1】已知为常数，若求的值．
【答案】2
∴得，或，
∴．
【练2】设函数则____；函数的极小值是____.
【答案】 2
【练3】已知函数则______-
【答案】2
【练4】已知函数分别由下表给出
1 2 3
2 1 1
3 2 1
则的值为__________；=_________________
【答案】1;2
【练5】已知函数，分别由下表给出
1 2 3
1 3 1
1 2 3
3 2 1
则的值为 ；满足的的值是
由表中对应值知=；
当时，，不满足条件
当时，，满足条件，
当时，，不满足条件，
∴满足的的值是
【答案】=
知识拓展
【例1】已知函数若，则______
【答案】
【例2】定义在上的函数满足.当时，
,当时，，则
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【例3】函数的定义域为［－1,1］，图象如图1所示，函数的定义域为［－1,2］，图象如图2所示，若集合A＝，B＝，则AB中元素的个数为( )
A1 B2 C3 D4
【答案】C
【例4】某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费(元)满足关系已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表：
月份 用气量 煤气费
一月份 4m3 4元
二月份 25m3 14元
三月份 35m3 19元
若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为（）
（A）11.5元 （B）11元
（C）10.5元 （D）10元
【答案】A
二 函数的基本性质
【教学目标】
了解函数的单调性的定义，掌握增函数与减函数的定义及其几何意义
掌握函数奇偶性的定义及其图像特征
掌握函数基本性质间的联系并会解决综合应用问题
了解函数的零点与方程的关系，会运用图像判断零点的个数，能够利用二分法判断函数的零点所在区间
【知识导航】
【知识要点】
函数的单调性
如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值,当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数。
如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值,当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数。
在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．
函数的奇偶性
（1）如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数叫做奇函数，奇函数的图像关于原点对称。
（2）如果对于函数定义域内任意一个，都有,那么函数叫做偶函数，偶函数的图像关于轴对称。
（3）若函数为奇函数，且在处有定义，则
（4）奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．
（5）除外的所有函数奇偶性满足：
奇函数±奇函数=奇函数 奇函数×奇函数=偶函数 奇函数±偶函数=非奇非偶
奇函数×偶函数=奇函数 偶函数±偶函数=偶函数 偶函数×偶函数=偶函数
函数的周期性
如果存在一个不为零的常数，使得函数对于定义域中的任意均有,则是周期函数，不为零的常数叫做这个函数的周期。
函数的对称性
定义域为的函数，若满足或是，则称函数的图像关于对称。
函数的零点
方程的根与函数的零点
（1） 函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数 叫做函数的零点。
（2）函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点．
（3）函数零点的求法：
求函数的零点就是求方程的实数根；
对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
（4）零点的存在性判定定理：如果函数在区间上的图像是不间断的，而且，则这个函数在区间上至少有一个零点。
【考点分类】
考点一：单调性
【例1】下列函数中，在区间上为增函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【例2】下列函数中，在区间上为增函数的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
【例3】设函数其中.
①当时，若，则 ；
②若在上是单调递增函数，则的取值范围 .
【答案】 1，[1,+ ∞)
考点二：奇偶性与周期性
【例1】已知函数是定义在上的偶函数，且，则下列各式中 一定成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【例2】★函数的定义域为，“是奇函数”是“存在”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【答案】A
【例3】★函数是
（A）是奇函数但不是偶函数 （B）是偶函数但不是奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
【答案】A
【练1】★已知是周期为2的奇函数，当时，设则
（A）　　 （B）　 （C）　 （D）
【答案】D.
【练2】★★已知是偶函数，则函数的图象的对称轴是________
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【练3】已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当 时，，则= .
【答案】-2
考点三：单调性与奇偶性
【例1】下列函数中，在内单调递减，并且是偶函数的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【例2】已知函数，则
（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数
（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数
【答案】A
【例3】设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值是 .
【答案】
【练1】下列函数中，既是奇函数又是增函数的为(　　)
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【练2】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是 ．
【答案】
【练3】已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，则的大小关系为
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
知识拓展
【例1】已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增.若实数 满足，则的取值范围是 .
【答案】
【例2】设函数的定义域，如果存在正实数，使得对任意，都有，则称为上的“型增函数”．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，（）．若为上的“20型增函数”，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【例3】★★★以下几个命题：
①方程的有一个正实根，一个负实根，则.
②函数是偶函数，但不是奇函数.
③函数的值域是，则函数的值域为.
④ 设函数定义域为R且满足，则函数的图象关于轴对称.
⑤曲线和直线的公共点个数是，则的值不可能是1.
其中正确的有___________________.
【答案】①④⑤
【例4】★★★给出定义：若 (其中为整数)，则叫做离实数最近的整数，记作，即. 在此基础上给出下列关于函数的四个命题：
①函数的定义域是，值域是；②函数的图像关于轴对称；③函数的图像关于坐标原点对称；④ 函数在上是增函数；则其中真命题是__ （填上真命题的序号）．
【答案】①④
【例5】★★★设函数的定义域为，如果存在非零常数，对于任意，都有，则称函数是“似周期函数”，非零常数为函数的“似周期”．现有下面四个关于“似周期函数”的命题：
①如果“似周期函数”的“似周期”为-1，那么它是周期为2的周期函数；
②函数是“似周期函数”；
③函数是“似周期函数”；
④如果函数是“似周期函数”，那么“”．
其中是真命题的序号是 ．（写出所有满足条件的命题序号）
【答案】①③④
三 函数的零点
考点一：零点个数
【例1】函数的零点个数是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
【例2】.★★已知是定义在上的奇函数，当时，则函数
的零点的集合为
【答案】
【例3】函数的零点个数为
【答案】2
【练1】 函数的零点个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】B
【练2】函数的零点个数为
【答案】2
考点二：零点所在区间
【例1】★函数的零点所在的一个区间是(　　)．
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【例2】已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
【练1】已知函数，则函数的零点所在的区间是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
【练2】已知函数关于的方程有且只有一个实根，则实数 的取值范围是 ．
【答案】
知识拓展
【例1】．.设函数
，则的最小值为 .
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 .
【答案】
【例2】已知函数若，则的取值范围是______.
【答案】
【例3】已知函数若方程恰有4个互异的实数根，则实数的取值范围是___________________．
【答案】
【例4】设函数其中.
①当时，若，则__________；
②若在上是单调递增函数，则的取值范围________.
【答案】，
【例5】已知定义在R上的函数 且．若方程有三个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】C
【例6】已知函数，函数，若函数恰好有个不同零点，则实数的取值范围是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
【答案】D
小试牛刀
1. 下列函数中，在区间上为增函数的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】A
2． 函数是
（A）是奇函数但不是偶数 （B）是偶函数但不是奇函数
（C）既是奇函数又是偶函数 （D）非奇非偶函数
【答案】A
3． 在下列函数中，是偶函数,且在内单调递增的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
4. 设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中若，则的值是 .
【答案】
5. 已知是定义在上的奇函数，当时，则函数的零点的集合为
【答案】
6. 已知函数，在下列区间中，包含零点的区间是
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
巩固练习1
1.★下列函数中，值域为的偶函数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
2.★下列函数中为偶函数的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
3.如果是定义在上的奇函数，那么下列函数中一定为偶函数的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
4.下列函数中为偶函数的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】B
5. 若函数为偶函数，则
【答案】1
6. 下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】D
7. 在下列函数中，是偶函数,且在内单调递增的是
（A） （B） （C） （D）
【答案】A
8. 若函数为奇函数，当时，，则的值为
【答案】-6
9. 函数的零点所在区间
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
10. 函数在定义域内零点的个数为
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】C
巩固练习2
1.已知的解析式可取为（ ）
A B C D
【答案】C
2.函数的定义域是
A B C D
【答案】解：由，故选B.
3.图中的图象所表示的函数的解析式为
(A) (0≤x≤2)
(B) (0≤x≤2)
(C) (0≤x≤2)
(D) (0≤x≤2)
【答案】B
4.设，则的定义域为（ ）
A B
C D
【答案】B
5.函数的定义域为（ ）
Ａ Ｂ
Ｃ Ｄ
【答案】解析：选A.
6.函数的值域是______________．
【答案】：
7.设定义在上的函数满足，若，则( )
（Ａ） （Ｂ） （Ｃ） （Ｄ）
【答案】C
8.定义在上的函数满足（），，则等于（ ）
A2 B3 C6 D9
【答案】C
9.已知函数y=的最大值为M,最小值为m,则的值为
(A) (B) (C) (D)
【答案】C

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