资源简介

目录
一 单调性问题 2
题型一：求函数的单调区间—— 导函数有一个零点 3
题型二：求函数的单调区间—— 导函数有两个零点或多个零点 6
题型三：分类讨论求函数的单调区间 7
题型四：二次求导求函数单调性 9
题型五：已知函数单调性（区间），求参数范围 10
题型六：证明函数单调性（区间） 11
二 极值问题 12
题型一：求函数的极值 12
题型二：判断是否为极值点 13
题型三：存在极值点 （证明、求参） 14
题型四：存在唯一极值点 （证明、求参） 15
一 单调性问题
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
2已知函数，．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
方法总结：
首先对函数求导得到其导函数,然后判断导函数的正负性
若时则函数在区间上单调递增；
若时函数则在区间上单调递减.
题型一：求函数的单调区间—— 导函数有一个零点
1.已知函数.
（Ⅰ）当时,求函数的单调递增区间;
2.已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间;
3.已知函数,.
（Ⅰ）当时,求函数的单调区间;
4.设函数,
（Ⅰ）当时,求的单调区间;
5.设函数,(为常数),.曲线在点处的切线与轴平行.
（Ⅱ）求的单调区间和最小值;
6.已知函数,.
（Ⅱ）求函数的单调区间;
7.已知函数.
（Ⅰ）当时（ii）求函数的单调区间;
题型二：求函数的单调区间—— 导函数有两个零点或多个零点
1.已知
（Ⅰ）求的单调区间
2.已知函数.
（Ⅰ）当时,求函数的单调区间;
3.已知函数,.
（Ⅰ）当时,求的单调区间;
题型三：分类讨论求函数的单调区间
1.方法清单：
分类讨论首先要明确导函数中影响正负性的代数式是函数类型：
则分3种情况讨论
..............
【注：以上其中为恒正或恒负的代数式不影响在某区间内的正负性】
时化为（I）类型
②时，讨论次序：先考虑二次函数函数的开口方向再考虑方程根的个数再考虑跟的大小根在区间的位置确定在各个区间内的正负性
2.题型练习
1.已知函数(),.
（Ⅰ）求的单调区间;
2.已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间;
题型四：二次求导求函数单调性
1.方法清单
当函数的导函数不能确定正负性时，可构造新函数，通过的正负性，判断出新函数的单调性，进而判断函数的最值以及正负性，通过判断的正负性，从而判断函数的单调性
2.题型练习
1.已知函数,,.
（Ⅰ）当时,求的单调区间;
题型五：已知函数单调性（区间），求参数范围
1.方法清单
在区间上单调递增，则时恒成立
在区间上单调递减，则时恒成立
2.题型练习
1.已知函数.
（Ⅱ）若在上为单调递减,求的取值范围;
题型六：证明函数单调性（区间）
1.方法清单
证明函数在区间上单调递增即证明时
证明函数在区间上单调递减即证明时
2.题型练习
1.已知在处的切线方程为
（Ⅰ）求的解析式;
（Ⅱ）设求零点的个数;
（Ⅲ）求证:在上单调递增.
二 极值问题
方法总结
（1）极值的相关概念
①极小值点与极小值：
如图，函数y=f（x）在点x=a处的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f？（n）=0，而且在点x=a附近的左侧f '（x）＜0，右侧f '（x）＞0，则把点a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值．
②极大值点与极大值：
如图，函数y=f（x）在点x=b处的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f？（b）=0，而且在点x=b附近的左侧f '（x）＞0，右侧f '（x）＜0，则把点b叫做函数，y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值．
极小值点、极大值点绕称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
题型一：求函数的极值
1.已知函数.
（Ⅰ）当时, 设,求函数的极值;
2.已知函数.
（Ⅰ）求的极值;
题型二：判断是否为极值点
1.方法清单
一般地，可导函数y=f（x）在x=x0两侧f '（x）的符号相反，则存在极值；如果f '（x）不同．在x=x0两侧的符号相同，则f（x）在x=x0处无极值．
可导函数y=f（x）在点x0处取得极值的充要条件是f '=f（x0）=0，且在x0左右两侧f '（x）的符号不同．
2.题型练习
1.已知函数,其中实数.
（Ⅰ）判断是否为函数的极值点,并说明理由;
题型三：存在极值点 （证明、求参）
1.方法清单
一般地，可导函数y=f（x）在x=x0两侧f '（x）的符号相反，则存在极值；如果f '（x）不同．在x=x0两侧的符号相同，则f（x）在x=x0处无极值．
可导函数y=f（x）在点x0处取得极值的充要条件是f '=f（x0）=0，且在x0左右两侧f '（x）的符号不同．
2.题型练习
1.已知函数.
（Ⅱ）证明:对于,在区间上有极小值,且极小值大于0
2.已知函数.
（Ⅱ）若函数在上有极值,求的取值范围.
题型四：存在唯一极值点 （证明、求参）
1.已知函数(),.
（Ⅱ）当时,若函数在区间内存在唯一的极值点,求的值.
2.已知函数,.
（Ⅱ）证明:当时,函数存在唯一的极小值点为,且.目录
一 单调性问题 3
【课前诊断】 3
方法总结： 4
题型一：求函数的单调区间—— 导函数有一个零点 4
题型二：求函数的单调区间—— 导函数有两个零点或多个零点 7
题型三：分类讨论求函数的单调区间 8
题型四：二次求导求函数单调性 10
题型五：已知函数单调性（区间），求参数范围 11
二 极值问题 13
方法总结 13
题型一：求函数的极值 13
题型二：判断是否为极值点 14
题型三：存在极值点 （证明、求参） 15
题型四：存在唯一极值点 （证明、求参） 16
一 导数与单调性问题
【课前诊断】
成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差
1已知函数，．
（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；
【解析】
（Ⅰ）当时, ，．
．
则，而．
所以曲线在点(1,)处的切线方程为，即．
2已知函数，．
（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
【解析】
（Ⅰ）由已知得．
因为曲线在点处的切线与直线垂直，
所以．所以．
所以．
方法总结：
首先对函数求导得到其导函数,然后判断导函数的正负性
若时则函数在区间上单调递增；
若时函数则在区间上单调递减.
题型一：求函数的单调区间—— 有一个零点
1.已知函数.
（Ⅰ）当时,求函数的单调递增区间;
【解析】（Ⅰ）当时,,.
,
当,即,时,单调递增,
所以函数的单调递增区间为.
2.已知函数.
（Ⅰ）求的单调区间;
【解析】由已知得，的定义域为.
（Ⅰ），.
令，得，令，得.
所以函数的单调减区间是，单调增区间是
3.已知函数,.
（Ⅰ）当时,求函数的单调区间;
【解析】（Ⅰ），则.
令得，所以在上单调递增.
令得，所以在上单调递减.
4.设函数,
（Ⅰ）当时,求的单调区间;
【解析】（1）当时，，∴
令，则
∴的单调增区间为，单调减区间为
5.设函数,(为常数),.曲线在点处的切线与轴平行.
（Ⅱ）求的单调区间和最小值;
【解析】（Ⅱ）,定义域为
令得,当变化时,和的变化如下表
由上表可知的单调递减区间为,单调递增区间为,
最小值为.
6.已知函数,.
（Ⅱ）求函数的单调区间;
【解析】（Ⅱ）令，解得。
则在上为减函数，在上为增函数
所以在时取得最小值
因为，所以，则在和上为增函数。
7.已知函数.
（Ⅰ）当时（ii）求函数的单调区间;
【解析】（ii）令,
所以在上单调递减,且
所以当时,即
所以当时,即
综上所述,的单调递增区间是,单调递减区间是.
题型二：求函数的单调区间—— 有两个零点或多个零点
1.已知
（Ⅰ）求的单调区间
【解析】，
令，得：，（舍）
+ 0 -
单调增 极大值 单调减
2.已知函数.
（Ⅰ）当时,求函数的单调区间;
【解析】（Ⅰ）时且，
，
令则或；令则，
递增区间为和；递减区间为
3.已知函数,.
（Ⅰ）当时,求的单调区间;
【解析】（Ⅰ）当时,,.
.
当在区间上变化时,,的变化如下表
极大 极小 极大
所以的单调增区间为,;的单调减区间为,.
题型三：分类讨论求函数的单调区间
1.方法清单：
分类讨论首先要明确导函数中影响正负性的代数式是函数类型：
则分3种情况讨论
..............
【注：以上其中为恒正或恒负的代数式不影响在某区间内的正负性】
时化为（I）类型
②时，讨论次序：先考虑二次函数函数的开口方向再考虑方程根的个数再考虑跟的大小根在区间的位置确定在各个区间内的正负性
2.题型练习
1.已知函数(),.
（Ⅰ）求的单调区间;
【解析】（Ⅰ）由已知得，.
（ⅰ）当时，恒成立，则函数在为增函数；
（ⅱ）当时，由，得；
由，得；
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. ……4分
2.已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间;
【解析】（Ⅰ）函数的定义域为．．
（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；
（2）当时，令，得．
当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为．
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
题型四：二次求导求函数单调性
1.方法清单
当函数的导函数不能确定正负性时，可构造新函数，通过的正负性，判断出新函数的单调性，进而判断函数的最值以及正负性，通过判断的正负性，从而判断函数的单调性
2.题型练习
1.已知函数,,.
（Ⅰ）当时,求的单调区间;
【解析】（Ⅰ）解:依题意.
令,,则.
所以在区间上单调递减.
因为,所以,即,
所以的单调递减区间是,没有单调递增区间.
题型五：已知函数单调性（区间），求参数范围
1.方法清单
在区间上单调递增，则时恒成立
在区间上单调递减，则时恒成立
2.题型练习
1.已知函数.
（Ⅱ）若在上为单调递减,求的取值范围;
【解析】9.（Ⅱ）若函数在上为单调递减，
则在上恒成立．
即在上恒成立．
即在上恒成立．
设，
则．
因为，
所以当时，有最大值．
所以的取值范围为．
题型六：证明函数单调性（区间）
1.方法清单
证明函数在区间上单调递增即证明时
证明函数在区间上单调递减即证明时
2.题型练习
1.已知在处的切线方程为
（Ⅰ）求的解析式;
（Ⅱ）设求零点的个数;
（Ⅲ）求证:在上单调递增.
【解析】（Ⅰ）
所以
（Ⅱ）
在上递增,故存在一个零点
（Ⅲ）设
由（Ⅱ）可知,存在一个使
故在上递减,在递增.得即
故在上单调递增.
二 极值问题
方法总结
（1）极值的相关概念
①极小值点与极小值：
如图，函数y=f（x）在点x=a处的函数值f（a）比它在点x=a附近其他点的函数值都小，f？（n）=0，而且在点x=a附近的左侧f '（x）＜0，右侧f '（x）＞0，则把点a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值．
②极大值点与极大值：
如图，函数y=f（x）在点x=b处的函数值f（b）比它在点x=b附近其他点的函数值都大，f？（b）=0，而且在点x=b附近的左侧f '（x）＞0，右侧f '（x）＜0，则把点b叫做函数，y=f（x）的极大值点，f（b）叫做函数y=f（x）的极大值．
极小值点、极大值点绕称为极值点，极小值和极大值统称为极值．
题型一：求函数的极值
1.已知函数.
（Ⅰ）当时, 设,求函数的极值;
【解析】 (Ⅱ)解:,函数定义域为:
,
故的极小值为,无极大值.
2.已知函数.
（Ⅰ）求的极值;
【解析】（Ⅰ）,
令,得.
①当时,与符号相同,
当变化时,,的变化情况如下表:
↘ 极小 ↗
②当时,与符号相反,
当变化时,,的变化情况如下表:
↘ 极小 ↗
综上,在处取得极小值.
题型二：判断是否为极值点
1.方法清单
一般地，可导函数y=f（x）在x=x0两侧f '（x）的符号相反，则存在极值；如果f '（x）不同．在x=x0两侧的符号相同，则f（x）在x=x0处无极值．
可导函数y=f（x）在点x0处取得极值的充要条件是f '=f（x0）=0，且在x0左右两侧f '（x）的符号不同．
2.题型练习
1.已知函数,其中实数.
（Ⅰ）判断是否为函数的极值点,并说明理由;
【解析】5.解：法1：
（Ⅰ）由可得
函数定义域为，
,
由得.
因为，所以.
当时，，所以的变化如下表：
0
↘ 极小值 ↗
当时，，
的变化如下表：
0 0
↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
综上，是函数的极值点，且为极小值点.
题型三：存在极值点 （证明、求参）
1.方法清单
一般地，可导函数y=f（x）在x=x0两侧f '（x）的符号相反，则存在极值；如果f '（x）不同．在x=x0两侧的符号相同，则f（x）在x=x0处无极值．
可导函数y=f（x）在点x0处取得极值的充要条件是f '=f（x0）=0，且在x0左右两侧f '（x）的符号不同．
2.题型练习
1.已知函数.
（Ⅱ）证明:对于,在区间上有极小值,且极小值大于0
【解析】（Ⅱ）因为,所以在区间上是单调递增函数
因为，，…………………6分
所以,使得.…………………7分
所以，；，，…………………8分
故在上单调递减，在上单调递增，…………………9分
所以有极小值.…………………10分
因为,
所以.…………………11分
设，，
则，………………12分
所以，
即在上单调递减，所以，
即，所以函数的极小值大于0．………………13分
2.已知函数.
（Ⅱ）若函数在上有极值,求的取值范围.
【解析】（Ⅱ）
（ⅰ）当时,对于任意,都有
所以函数在上为增函数,没有极值,不合题意
（ⅱ）当时,令,则.
所以在上单调递增,即在上单调递增,
所以函数在上有极值,等价于
所以所以.
所以的取值范围是
题型四：存在唯一极值点 （证明、求参）
1.已知函数(),.
（Ⅱ）当时,若函数在区间内存在唯一的极值点,求的值.
【解析】（Ⅱ）
因为，
则.
由（Ⅰ）可知，函数在上单调递增，在上单调递减.
又因为，，
所以在上有且只有一个零点.
又在上，在上单调递减；
在上，在上单调递增.
所以为极值点，此时.
又，，
所以在上有且只有一个零点.
又在上，在上单调递增；
在上，在上单调递减.
所以为极值点，此时.
综上所述，或.
2.已知函数,.
（Ⅱ）证明:当时,函数存在唯一的极小值点为,且.
【解析】（Ⅱ）设,则.
因为,所以,.
又因为所以 ,
故在上为增函数.
又因,,
由零点存在性定理,存在唯一的,有.
当时,,即在上为减函数,
当时,,即在上为增函数,
所以为函数的极小值点.

展开更多......

收起↑