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一 最值问题 2
题型一:通过（求导）单调性求函数最值 2
题型二:构造新函数求函数最值 4
题型三:已知函数最值，求参 4
二 不等式恒（存在性）成立问题 6
题型一: 恒成立问题 6
题型二: 存在性成立问题 7
题型三: 不等式问题——构造函数 9
题型四: 含参不等式处理——分类讨论 11
题型五: 含参不等式处理——分离变量 13
一 最值问题
方法总结
函数的最大值与最小值
一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f（x）必有最大值与最小值．在开区间（a，b）内的连续函数f（x）不一定有最大值与最小值．
温馨提示：
函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值，
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得：有极值的未必有最值，有最值的未必有极值：极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则它就是函数的最值．
题型一:通过（求导）单调性求函数最值
1.方法清单
求函数的最大值与最小值的方法
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在 [a，b]上的最大值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个最大值，最小的一个是最小值．
2.题型练习
1.已知函数,.
（Ⅰ）求函数的最小值;
【解析】令，解得。则在上为减函数，在上为增函数
所以在时取得最小值
2.已知,曲线在处的切线方程为.
（Ⅱ）求在上的最大值;
【解析】（Ⅱ）令，则
故当时,,在单调递减
当时,,在单调递增
所以，故在单调递增
所以
3.设函数.
（Ⅰ）当时,求函数在区间内的最大值;
【解析】Ⅰ）当时，，
与、之间的关系如下表：
1
+ 0 -
增函数 极大值 减函数
函数在区间内只有一个极大值点，所以这个极值点也是最大值点，
最大值.
4.设函数,(为常数),.曲线在点处的切线与轴平行.
（Ⅱ）求的单调区间和最小值;
【解析】（Ⅱ）,定义域为
令得,当变化时,和的变化如下表
由上表可知的单调递减区间为,单调递增区间为,
最小值为.
题型二:构造新函数求函数最值
1.已知函数,曲线在处的切线经过点.
（Ⅱ）设,求在区间上的最大值和最小值.
【解析】（Ⅱ）.
当时,,,所以,故单调递增;
当时,,,所以,故单调递减.
所以在区间上单调递增,在区间上单调递减.
因为,所以最大值为.
设,其中.
则,
故在区间上单调递增.
所以,即,
故最小值为.
题型三:已知函数最值，求参
1.方法清单
函数在上存在最值的实质，即导函数在上存在变号零点.常采用虚设零点法.
函数在上存在最大值在上单调递增且在上单调递减时且时
函数在上存在最小值在上单调递减且在上单调递增时且时
2.题型练习
1.已知函数.
（Ⅱ）当时,若函数的最大值为,求的值.
【解析】（Ⅱ）当时,,.
设,则,
所以在上单调递减,
且,,
所以在区间内必存在唯一的零点,设为,
此时,,.
当时,,即,单调递增;
当时,,即,单调递减.
所以.
又因为,即
所以,即.
所以.
2.已知函数,其中.
（Ⅱ）当时,证明:存在最小值.
【解析】（Ⅱ）由及知,
与同号.
令,
则.
所以对于任意,有,
故在单调递增.
因为,所以,
故存在,使得.
与在区间上的情况如下:
极小值
所以在区间上单调递减,在区间上单调递增.
所以存在极小值
二 不等式——恒（存在性）成立问题
题型一: 恒成立问题
都有 （）成立时 （）；
都有 （ ）成立时 （）
1.题型练习
1.已知函数.
（Ⅱ）若恒成立,求的取值范围
【解析】（Ⅱ）
①当时,恒成立,符合题意。
②当时,恒成立,则在上单调递增,当时,,不符合题意,舍去;
③当时,令,解得
当变化时,和变化情况如下
极小值
,由题意可,即,
解得
综上所述,的取值范围为
2.设函数,
（Ⅱ）当时,恒成立,求的取值范围.
【解析】（Ⅱ）∵
∴在上恒成立
令，，
∴
∴在单调递减∴
∴∴
题型二: 存在性成立问题
1.方法清单
都有 （）成立时 （）；
都有 （ ）成立时 （）.
2.题型练习
1.设,函数.
（Ⅱ）若对于定义域内的任意,总存在使得,求a的取值范围.
【解析】解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值”．
①当时，由，得无最小值，符合题意．……………7分
②当时，
令，得或.………………8分
随着x的变化时，与的变化情况如下：
不存在 0
↘ 不存在 ↗ 极大 ↘
所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．…9分
因为当时，，当时，，
所以只要考虑，且即可．
当时，
由在上单调递减，且，
得，
所以存在，使得，符合题意；
同理，当时，令，
得，也符合题意；
故当时，对于定义域内的任意，总存在使得成立．……11分
③当时，
随着x的变化时，与的变化情况如下表：
0 不存在
↘ 极小 ↗ 不存在 ↘
所以函数的单调递减区间为，，单调递增区间为．
因为当时，，当时，，
所以．
所以当时，不存在使得．
综上所述，a的取值范围为.……………13分
题型三: 不等式问题——构造函数
1.方法清单
构造函数解决恒成立问题
证明形如f（a）+g（a）≥f（b）+g（b）型问题
通常将f（a）+g（a）≥f（b）+g（b）进行等价变换，根据不等式左右两边的结构特点，构造新函数h（x）=f（x）+g（x）．
2.题型练习
1.已知函数.
（Ⅲ）若在区间上恒成立,求的最小值
【解析】（Ⅲ）要使：在区间在恒成立，
等价于：在恒成立，
等价于：在恒成立
因为==
2.已知
（Ⅱ）当时,求证:对于恒成立;
【解析】（II），
可得，在上，，且在单调递减，
所以对于恒成立，得证。
（III）由（II）得：
当时，，所以， ，
又因为当时，，所以，
则此时没有满足条件的
当时，令
则，令，，
因为，又因为，所以，存在满足题意。
综上，的取值范围是。
3.已知函数,.
（Ⅲ）若恒成立,求的最大值.
【解析】（Ⅲ）设,则恒成立.
易得
（1）当时，
因为，所以此时在上单调递增.
①若，则当时满足条件，此时；
②若，取且
此时，所以不恒成立．
不满足条件；
（2）当时，
令，得由，得；
由，得
所以在上单调递减，在上单调递增.
要使得“恒成立”，必须有
“当时，”成立.
所以.则
令则
令，得由，得；
由，得所以在上单调递增，在上单调递减,
所以，当时，
从而，当时，的最大值为.
综上，的最大值为.
4.已知函数.
（Ⅲ）求证:当时,曲线总在曲线的上方.
【解析】（Ⅲ）由题可知要证的图像总在曲线上方,即证恒成立,即要证明恒成立,构造函数
,令,故,则在单调递增,则单调递增.因为,,由零点存在性定理可知,在存在唯一零点,设该零点为,
令,即,且
当变化时,和变化情况如下
极小值
则,因为,所以,所以,当且仅当时取等,因为,故,即恒成立,曲线总在曲线的上方.
题型四: 含参不等式处理——分类讨论
1.已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间;
（Ⅱ）当时,都有成立,求的取值范围;
【解析】（Ⅰ）函数的定义域为．．
（1）当时，恒成立，函数在上单调递增；
（2）当时，令，得．
当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为．
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
（1）当时，即时，函数在区间上为增函数，
所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；
（2）当时，即时，函数在上为减函数，在
上为增函数，所以．
依题意有，解得，所以．
（3）当时，即时，在区间上为减函数，
所以．
依题意有，解得，所以．
综上所述，当时，函数在区间上恒大于零．………………8分
2.已知函数,其中.
（Ⅱ）若不等式在定义域内恒成立,求实数的取值范围.
【解析】（Ⅱ）函数定义域为，且
下面对实数进行讨论：
①当时，恒成立，满足条件
②当时，由解得，从而知
函数在内递增；同理函数在内递减，
因此在处取得最小值
∴，
解得
综上：当时，不等式在定义域内恒成立.
题型五: 含参不等式处理——分离变量
1.已知函数,其中实数.
（Ⅱ）若在区间上恒成立,求的取值范围.
【解析】（Ⅱ）易知，
因为，
又因为，所以，
所以当时，在区间上，所以函数单调递减，
所以有恒成立；
当时，在区间上，所以函数单调递增，
所以，所以不等式不能恒成立；
所以时有在区间上恒成立.
2.已知函数,其中.
（Ⅱ）证明:是函数存在最小值的充分而不必要条件.
【解析】（Ⅱ）①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，
所以，函数无极值．
②当时，，的变化情况如下表：
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以，时，的极小值为．
又时，，
所以，当时，恒成立．
所以，为的最小值．
故是函数存在最小值的充分条件．
③当时，，的变化情况如下表：
↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
因为当时，，
又，
所以，当时，函数也存在最小值．
所以，不是函数存在最小值的必要条件．
综上，是函数存在最小值的充分而不必要条件．
3.设函数,
（Ⅱ）当时,恒成立,求的取值范围.
（Ⅲ）求证:当时,.
【解析】14（Ⅱ）∵
∴在上恒成立
令，，
∴
∴在单调递减
∴
∴∴
（Ⅲ）要证，只需要证，即证，即证
令，只需要证恒成立。
∵
又（2）可知，取时，恒成立，所以恒成立
所以
∴在上恒增
易知，
4.已知函数.
（Ⅱ）若,求证:.
【解析】(Ⅱ)方法一:
,即
设
设
所以在小于零恒成立
即在上单调递减
因为
所以,
所以在上必存在一个使得
即
所以当时,,单调递增
当时,,单调递减
所以
因为
所以
令得
因为,所以,
因为,所以恒成立
即恒成立
综上所述,当时,
方法二:
定义域
为了证明,即
只需证明,即
令
则
令,得
令,得
所以在上单调递增,在上单调递减
所以
即,则
令
因为,所以
所以恒成立
即
所以
综上所述,
即当时,目录
一 最值问题 2
题型一:通过（求导）单调性求函数最值 2
题型二:构造新函数求函数最值 4
题型三:已知函数最值，求参 4
二 不等式恒（存在性）成立问题 6
题型一: 恒成立问题 6
题型二: 存在性成立问题 7
题型三: 不等式问题——构造函数 9
题型四: 含参不等式处理——分类讨论 11
题型五: 含参不等式处理——分离变量 13
一 最值问题
方法总结
函数的最大值与最小值
一般地，在闭区间[a，b]上的连续函数f（x）必有最大值与最小值．在开区间（a，b）内的连续函数f（x）不一定有最大值与最小值．
温馨提示：
函数的最大值和最小值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大值，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小值，
函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得：有极值的未必有最值，有最值的未必有极值：极值有可能成为最值，最值只要不在端点必定是极值．
闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的可导函数不一定有最值，若有唯一的极值，则它就是函数的最值．
题型一:通过（求导）单调性求函数最值
1.方法清单
求函数的最大值与最小值的方法
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，求f（x）在 [a，b]上的最大值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a），f（b）比较，其中最大的一个最大值，最小的一个是最小值．
2.题型练习
1.已知函数,.
（Ⅰ）求函数的最小值;
2.已知,曲线在处的切线方程为.
（Ⅱ）求在上的最大值;
3.设函数.
（Ⅰ）当时,求函数在区间内的最大值;
4.设函数,(为常数),.曲线在点处的切线与轴平行.
（Ⅱ）求的单调区间和最小值;
题型二:构造新函数求函数最值
1.已知函数,曲线在处的切线经过点.
（Ⅱ）设,求在区间上的最大值和最小值.
题型三:已知函数最值，求参
1.方法清单
函数在上存在最值的实质，即导函数在上存在变号零点.常采用虚设零点法.
函数在上存在最大值在上单调递增且在上单调递减时且时
函数在上存在最小值在上单调递减且在上单调递增时且时
2.题型练习
1.已知函数.
（Ⅱ）当时,若函数的最大值为,求的值.
2.已知函数,其中.
（Ⅱ）当时,证明:存在最小值.
二 不等式——恒（存在性）成立问题
题型一: 恒成立问题
都有 （）成立时 （）；
都有 （ ）成立时 （）
1.题型练习
1.已知函数.
（Ⅱ）若恒成立,求的取值范围
2.设函数,
（Ⅱ）当时,恒成立,求的取值范围.
题型二: 存在性成立问题
1.方法清单
都有 （）成立时 （）；
都有 （ ）成立时 （）.
2.题型练习
1.设,函数.
（Ⅱ）若对于定义域内的任意,总存在使得,求a的取值范围.
题型三: 不等式问题——构造函数
1.方法清单
构造函数解决恒成立问题
证明形如f（a）+g（a）≥f（b）+g（b）型问题
通常将f（a）+g（a）≥f（b）+g（b）进行等价变换，根据不等式左右两边的结构特点，构造新函数h（x）=f（x）+g（x）．
2.题型练习
1.已知函数.
（Ⅲ）若在区间上恒成立,求的最小值
2.已知
（Ⅱ）当时,求证:对于恒成立;
3.已知函数,.
（Ⅲ）若恒成立,求的最大值.
4.已知函数.
（Ⅲ）求证:当时,曲线总在曲线的上方.
题型四: 含参不等式处理——分类讨论
1.已知函数.
（Ⅰ）求函数的单调区间;
（Ⅱ）当时,都有成立,求的取值范围;
2.已知函数,其中.
（Ⅱ）若不等式在定义域内恒成立,求实数的取值范围.
题型五: 含参不等式处理——分离变量
1.已知函数,其中实数.
（Ⅱ）若在区间上恒成立,求的取值范围.
2.已知函数,其中.
（Ⅱ）证明:是函数存在最小值的充分而不必要条件.
3.设函数,
（Ⅱ）当时,恒成立,求的取值范围.
（Ⅲ）求证:当时,.
4.已知函数.
（Ⅱ）若,求证:.

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