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2023年华侨、港澳、台联考高考数学试卷
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知，则( )
A. B. C. D.
3. 设向量，，若，则( )
A. B. C. D.
4. 不等式的解集为( )
A. B. C. D.
5. 抛物线过点，求焦点( )
A. B. C. D.
6. 长方体的对角线长为，表面积为，有一面为正方形，则其体积为( )
A. B. C. D.
7. 已知函数在处取得极小值，则( )
A. B. C. D.
8. 已知函数，则( )
A. 上单调递增 B. 上单调递增
C. 上单调递减 D. 上单调递增
9. 若，且，则( )
A. B. C. D.
10. 为等差数列的前项和，，，则( )
A. B. C. D.
11. 为原点，在圆上，与圆相切，则( )
A. B. C. D.
12. 在、、、中任选个不同数字，其乘积能被整除的概率为( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）
13. 曲线在处切线方程为______ ．
14. 若双曲线焦点在轴上，渐近线为，则离心率为______ ．
15. 已知，若，则 ______ ．
16. 已知函数，则在区间的最大值为______ ．
17. 在中，，，，则 ______ ．
18. 为上奇函数，，， ______ ．
三、解答题（本大题共4小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. 本小题分
在直三棱柱中，，，．
求直三棱柱的体积；
求直三棱柱的表面积．
20. 本小题分
已知为等比数列，其前项和为，，．
求的通项公式；
若，求的前项和．
21. 本小题分
盒中有个球，分别标有数字、、、，从中随机取个球．
求取到个标有数字的球的概率；
设为取出的个球上的数字之和，求随机变量的分布列及数学期望．
22. 本小题分
已知椭圆：的离心率为，直线交于、两点，．
求的方程；
记的左、右焦点分别为、，过斜率为的直线交于、两点，求的周长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为集合，，
所以，则．
故选：．
由题意得到，利用集合的交集运算即可求解．
本题考查了集合的交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由，
得
，
则，．
故选：．
把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数即复数的模的概念得答案．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：向量，，，
，可得，
．
故选：．
利用向量垂直的性质直接求解．
本题考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：，
则，解得，
故原不等式的解集为．
故选：．
根据已知条件，结合不等式的解法，即可求解．
本题主要考查不等式的解法，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：抛物线过点，
则，解得，
故该抛物线的焦点为
故选：．
根据已知条件，先求出，再结合抛物线焦点的性质，即可求解．
本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：不妨设长方体底面为正方形，边长为，高为，
则底面的对角线为，
长方体的对角线长为，表面积为，
，解得，
长方体体积为．
故选：．
根据已知条件，结合长方体表面积、体积公式，即可求解．
本题主要考查长方体表面积、体积公式，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，
则，
函数在处取得极小值，
，解得，
故，
，
令，解得或，
在，在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极小值，
故，符合题意．
故选：．
根据已知条件，对求导，利用导数研究函数的单调性，即可求解．
本题主要考查利用导数研究函数的极值，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：，
令，，解得，，
当时，，
故在上单调递增．
故选：．
根据已知条件，结合正弦函数的单调性，即可求解．
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：，
，且，解得．
故选：．
根据对数式和指数式的互化可得出，然后根据解出的值即可．
本题考查了指数式和对数式的互化，一元二次方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，则：，解得，
．
故选：．
可设公差为，根据，即可建立关于，的方程组，然后解出，的值，然后即可求出的值．
本题考查了等差数列的通项公式和前项和公式，考查了计算能力，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：为原点，在圆上，与圆相切，
则．
故选：．
由题意利用勾股定理即可求解．
本题考查了圆的切线长问题，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：在、、、中任选个不同数字，基本事件总数，
其乘积能被整除的基本事件有个，分别为：，，，，，
则其乘积能被整除的概率为．
故选：．
根据古典概型的概率公式即可求解．
本题考查了古典概型的概率计算，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由可得，，
曲线在点处的切线斜率为，
所以所求切线方程为即．
故答案为：．
利用导数几何意义可求得切线斜率，由此可得切线方程．
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为双曲线焦点在轴上，一条渐近线方程为，所以，
所以双曲线的离心率为．
故答案为：．
先根据渐近线方程求得，再由求解．
本题考查了双曲线的性质，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，且，，，
，，
，
，
解得或舍．
故答案为：．
利用二倍角公式得到，，则，，利用“”的代换即可求解．
本题考查了三角函数的求值问题，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：，
，
令，则，
在单调递减，在单调递增，
，，，
则在区间的最大值为．
故答案为：．
求导后得到在单调递减，在单调递增，由，，，比较大小即可求解．
本题考查了利用导数求函数的最值问题，属于中档题．
17.【答案】
【解析】解：在中，，，，
则，即，解得．
故答案为：．
根据已知条件，结合正弦定理，即可求解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
18.【答案】
【解析】解：，
则函数的周期为，
为上奇函数，
，
令，
则，解得，
令，
则，
，
所以．
故答案为：．
根据已知条件，结合奇函数的性质，以及函数的周期性，即可求解．
本题主要考查奇函数的性质，以及函数的周期性，属于基础题．
19.【答案】解：，，，
则直三棱柱的体积为；
，．
则，解得，
故直三棱柱的表面积为．
【解析】根据已知条件，结合棱柱的体积公式，即可求求解；
根据已知条件，结合余弦定理，求出，再结合棱柱的表面积，即可求解．
本题主要考查棱柱体积、表面积的求解，考查转化能力，属于中档题．
20.【答案】解：为等比数列，其前项和为，，．
，，
则，两式作商得，即，
得，，
则，
，
当时，，
即是公比为的等比数列，首项，
则．
【解析】利用等比数列的前项和公式，建立方程组进行求解即可．
求出的通项公式，得到是等比数列，利用等比数列的前项和公式进行求解即可．
本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式的计算，利用方程组法建立方程求出首项和公比是解决本题的关键，是中档题．
21.【答案】解：取到个标有数字的球的概率；
由题意可知，所有可能的取值为，，，，
，，，，
故的分布列为：


故E．
【解析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解；
由题意可知，所有可能的取值为，，，，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，以及期望公式的应用，属于中档题．
22.【答案】解：椭圆：的离心率为，
即，且，
则，，
则椭圆为，
直线交于、两点，．
则，，
将其中一点代入，解得，，，
故椭圆的方程为．
根据可知，，
记的左、右焦点分别为、，过斜率为的直线交于、两点，则为焦点三角形，
故的周长为．
【解析】根据题意可知，，且，直线交于、两点，则，，联立方程，求解即可；
根据可知，，为焦点三角形，求解即可．
本题考查椭圆的标准方程，椭圆的基本性质的应用，属于中档题．
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