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圆锥曲线的定值定点问题 2
【知识要点】 4
【考点分类】 5
类型一：定值问题 5
考点一：向量为定值问题 5
考点二：斜率为定值问题 7
考点三：弦长为定值问题 17
考点四：面积为定值问题 22
考点五：定点问题 24
小试牛刀 32
巩固练习 35
圆锥曲线的定值、定点问题
【入门测】
1. 已知椭圆（）过点（0，2），离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，且为锐角（其中为坐标原点),求直线倾斜角的取值范围.
【解析】（Ⅰ）由题意得 ，结合，解得
所以，椭圆的方程为. ………………4分
（Ⅱ） 设，则.
①当时，不妨令
，当斜率不存在时，为锐角成立 ………………6分
②当时，设直线的方程为：
由 得
即.
所以， ………………8分
……………10分
，解得.………12分
综上，直线倾斜角的取值范围是 . …………………13分
【教学目标】
1.理解定点和定值问题的转化思想；
2.熟练定值问题的计算
【知识框架】
【知识要点】
定值问题的转化思想
定值问题的转化思想
向量点乘为定值；
斜率有关的定值： 斜率、斜率的和或是斜率的积 ；
弦长与面积为定值；
需要练习的计算：
定点问题
定点的基本方程：
（1）或; （2）
基本题型
直接法（只有一个未知数）：直接带入，
两个未知数：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可
确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可.
【考点分类】
类型一：定值问题
考点一：向量为定值问题
【例1】★★已知抛物线：的焦点为F，且经过点，过点的直线与抛物线交于，两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）为坐标原点，直线，与直线分别交于，两点，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（Ⅰ）把点代入抛物线的方程，得，解得，
所以抛物线的方程为. ………….4分
（Ⅱ）因为，所以直线为，焦点的坐标为
设直线的方程为，，，
则直线的方程为,直线的方程为 . ……………….5分
由得，同理得． ……………….7分
所以，，则． ………….9分
由得，所以， …….11分
则．
所以，的值是定值，且定值为0. ……………….13
考点二：斜率为定值问题
【例2】★★已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【解析】（Ⅰ）依题意，由已知得 ，，由已知易得,
解得.…………………3分则椭圆的方程为.…………4分
(II) ①当直线的斜率不存在时，由解得.
设，，则为定值. ………5分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为：.
将代入整理化简，得.…6分
依题意，直线与椭圆必相交于两点，设，，
则，. ……………………7分
又，，所以………………8分
. …….………………13分
【例3】★★已知点和椭圆．
（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为，，试求的周长及椭圆的离心率；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于两个不同的点，，直线，与轴分别交于，两点，求证：．
【解析】解：(Ⅰ)由题意可知，，，所以．
因为是椭圆上的点，由椭圆定义得．
所以的周长为．
易得椭圆的离心率．………… ………………………………4分
(Ⅱ)由得．
因为直线与椭圆有两个交点，并注意到直线不过点，
所以解得或．
设，，则，,
，．
显然直线与的斜率存在，设直线与的斜率分别为，，
则
．
因为，所以．
【练1】★★已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，试求满足的关系式.
【解析】（Ⅰ）依题意，， ， 所以.
故椭圆的方程为. ………4分
（Ⅱ）①当直线的斜率不存在时，由解得.
不妨设，，因为，
又，所以， 所以的关系式为，即. …7分
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为.
将代入整理化简得，.
设，，则,. ………9分
又，.
所以
………12分
所以，所以，所以的关系式为.… …13分
综上所述，的关系式为.
【练2】★★如图，已知椭圆经过点，离心率.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，，
求证：，，成等差数列．
【答案】（Ⅰ）由点在椭圆上得，①
②
由①②得，
故椭圆的标准方程为……………….4分
（Ⅱ）椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，
设③…………….5分
代入椭圆方程，
整理得 ……………….6分
设，
则有④ ……………….7分
在方程③中，令得，，从而
，……………….9分
又因为共线，则有，
即有
所以
=⑤
将④代入⑤得
，……………….12分
又，
所以，即成等差数列.……………….13分
知识拓展
【例1】★★★已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交于两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．
【答案】（Ⅰ）设，由题意，得，
所以得．
则椭圆方程为 ，
又点在椭圆上，
所以 ，解得，
故椭圆方程为 ．
（Ⅱ）结论：存在，圆的方程为，
假设存在圆，设圆的方程为，
（1）当直线的斜率存在时，设此直线方程为，点，；
联立直线与椭圆 化简得，
由题知即，
联立直线与圆 化简得，
由题意，可知，则有 ，，
则有 ，
所以
令，（为常数），即，
化简得，即，
解得（舍）或，
（2）若直线的斜率不存在，即：，
不妨取直线，联立 解得则，
综上所述，存在满足条件的圆，圆的方程为．
考点三：弦长为定值问题
【例1】★★已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，求证：为定值．
【答案】（1）;
（2）为定值，定值为5.
【例2】★★已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点．
（Ⅰ）当时，求△面积的最大值；
（Ⅱ）设直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：为定值．
【解析】（Ⅰ）将代入，
解得，所以．[2分]
当为椭圆的顶点时，到直线的距离取得最大值，[4分]
所以△面积的最大值是．[5分]
（Ⅱ）设两点坐标分别为，，从而．[6分]
设，则有，，．[7分]
直线的方程为，[8分]
令，得，从而．[9分]
直线的方程为，[10分]
令，得，从而．[11分]
所以
[13分]
．
所以为定值．[14分]
知识拓展
【例1】★★已知椭圆经过点，离心率为．是椭圆上两点，且直线的斜率之积为，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若射线上的点满足，且与椭圆交于点，求的值．
【解析】（Ⅰ）由题意得
解得．
所以椭圆的方程为． ……………………………5分
（Ⅱ）设．
因为点在直线上且满足，
所以．
因为三点共线，
所以．
所以，
解得
因为点在椭圆上，所以．
所以．
即，
因为在椭圆上，
所以，．
因为直线的斜率之积为，
所以，即．
所以，解得．
所以． ……………………………14分
考点四：面积为定值问题
【例1】★★已知椭圆的右焦点，点在椭圆C上.
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为（为实数），求的值.
【答案】(I)由题意知：．
根据椭圆的定义得：，
即．
所以．
所以椭圆C的标准方程为．……………4分
(II)由题意知：的面积，
整理得．
①当直线l的斜率不存在时，l的方程是．
此时，，所以．
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，
设，．
由可得．
显然，则
因为，，
所以
．
所以，
此时，．
综上所述，为定值．……………14分
类型二、定点问题
考点五：定点问题
【例1】★★已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，设点关于轴的对称点为．直线与轴的交点是否为定点？请说明理由．
【答案】（Ⅰ）因为点（）在椭圆上，所以．
又因为，所以，．
所以椭圆的标准方程为：． ……………………5分
（Ⅱ）设．
设直线：． ……………………6分
联立，得：．
所以，． ……………8分
直线的方程为， ……………9分
令，解得 ………11分
又，
所以．
所以直线与轴的交点是定点，坐标为．………
【例2】★★曲已知曲线C:
(Ⅰ)若曲线C是焦点在轴的椭圆，求的范围；
(Ⅱ)设，曲线C与轴的交点为A,B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M,N,直线与直线BM交于点G求证：A,G,N三点共线.
【解析】（1）原曲线方程可化简得：，
由题意可得：，解得：
（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：，，解得：
由韦达定理得：①，，②
设，，
方程为：，则，
，，
欲证三点共线，
方法以：向量：只需证，共线
即成立，化简得：
将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。
方法二；单动点问题：两直线在处的横坐标相等。
【练1】★★已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由．
【解析】（Ⅰ）由已知得， 解得．
所以椭圆的标准方程为． ……………..4分
（Ⅱ）直线过定点.
说明如下：
由（Ⅰ）可知椭圆右顶点．
由题意可知，直线和直线的斜率存在且不为．
设直线的方程为．
由得．
成立，
所以．所以．
所以．
于是，点．
因为直线和直线的斜率乘积为，故可设直线的方程为．
同理，易得．
所以点．
所以，当时，即时，.
直线的方程为．
整理得．
显然直线过定点．（点关于原点对称）
当,即时，直线显然过定点．
综上所述，直线过定点． ……………..14分
【练2】★★已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△ 是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．
【解析】解：（Ⅰ）由已知可得 ， 所求椭圆方程为…5分
（Ⅱ）若直线的斜率存在，设方程为，依题意．
设，，
由 得 ． ………7分
则，由已知，
所以（计算技巧），即
10分
所以，整理得 ．（用k 表示m也可以）
故直线的方程为，即（）．
所以直线过定点（）． ………12分
若直线的斜率不存在，设方程为，
设，，由已知，
得．此时方程为，显然过点（）．
综上，直线过定点（）． ………13分
知识拓展
★★★已知圆,点为直线上的动点.
（Ⅰ）若从到圆的切线长为，求点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；
（Ⅱ）若点，直线与圆的另一个交点分别为,
求证:直线经过定点.
【解析】解：根据题意，设 . (I)设两切点为，则，
由题意可知即 ， .................2分
解得，所以点坐标为. ......................3分
在中，易得，所以. .........4分
所以两切线所夹劣弧长为. ....................5分
（II）设，，依题意，直线经过点，
可以设， .............................6分
和圆联立，得到 ，
代入消元得到， ， ............................7分
因为直线经过点，所以是方程的两个根，
所以有， ， ................. 8分
代入直线方程得，. ...............9分
同理，设，联立方程有 ，
代入消元得到，
因为直线经过点，所以是方程的两个根，
， ，代入得到 . ....11分
若，则，此时
显然三点在直线上，即直线经过定点...............12分
若，则，，
所以有， ..13分
所以， 所以三点共线，
即直线经过定点. 综上所述，直线经过定点...14分
小试牛刀
1.★★已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）若直线不经过椭圆上的点，求证：直线的斜率互为相反数．
【解析】（Ⅰ）由题意知, ，又因为，解得
故椭圆方程为． …………………4分
（Ⅱ）将代入并整理得，
解得． …………………7分
（Ⅲ）设直线的斜率分别为和，只要证明．
设，，则………………9分
所以直线的斜率互为相反数． …………………14分
2. ★★已知椭圆C : , 经过点P，离心率是.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线l恒过定点．
【解析】解：（I）由，解得 ，
所以椭圆C的方程是 . .…………………5分
（II）方法一
（1）由题意可知，直线的斜率为0时，不合题意.
(2)不妨设直线的方程为 ．
由 消去得. ……7分
设，，则有……①, ………②
………………… 8分
因为以为直径的圆过点，所以．
由，得．
将代入上式，
得. ……… ③ …… ………12分
将①②代入③，得 ，
解得或（舍）．
综上，直线经过定点 …………………14分
方法二
证明：
(1) 当不存在时，易得此直线恒过点. ……………7分
（2）当存在时.设直线，，.
由，可得.
……①
……. ② …………………9分
由题意可知
,
可得 . …………………10分
整理得 ③
把①②代入③整理得
由题意可知
解得
（i） 当，直线过定点（2,0）不符合题意，舍掉 12分
（ii） ，即，直线过定点，经检验符合题意.
综上所述，直线过定点 ……………14
巩固练习
1.★★已知椭圆的焦点分别为.
（Ⅰ）求以线段为直径的圆的方程；
（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（I）因为，，所以.
所以以线段为直径的圆的方程为.……………………………3分
（II）若存在点，使得，
则直线和的斜率存在,分别设为,.
等价于.
依题意，直线的斜率存在，故设直线的方程为.
由，得.
因为直线与椭圆有两个交点，所以.
即，解得.
设，,则，，
，.
令，
,
当时，，
所以，
化简得，，所以.
当时，也成立.
所以存在点，使得.……………………………14
★★已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【解析】（Ⅰ）解：由 ， 得 . …………2分
依题意△是等腰直角三角形，从而，故. ……4分
所以椭圆的方程是. ………………5分
（Ⅱ）解：设，，直线的方程为.
将直线的方程与椭圆的方程联立，
消去得 . ……………7分
所以 ，. ………………8分
若平分，则直线，的倾斜角互补，
所以. 9分
设，则有 .将 ，代入上式，
整理得 ，所以 . ………12分
将 ，代入上式，整理. 13分
由于上式对任意实数都成立，所以 .
综上，存在定点，使平分. …………14分
设直线方程是：
联列得：,
.目录
圆锥曲线的定值定点问题 2
【知识要点】 3
【考点分类】 4
类型一：定值问题 4
考点一：向量为定值问题 4
考点二：斜率为定值问题 5
考点三：弦长为定值问题 10
考点四：面积为定值问题 13
考点五：定点问题 14
小试牛刀 19
巩固练习 21
圆锥曲线的定值、定点问题
【入门测】
1. 已知椭圆（）过点（0，2），离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过定点（2，0）的直线与椭圆相交于两点，且为锐角（其中为坐标原点),求直线倾斜角的取值范围.
【教学目标】
1.理解定点和定值问题的转化思想；
2.熟练定值问题的计算
【知识框架】
【知识要点】
定值问题的转化思想
定值问题的转化思想
向量点乘为定值；
斜率有关的定值： 斜率、斜率的和或是斜率的积 ；
弦长与面积为定值；
需要练习的计算：
定点问题
定点的基本方程：
（1）或; （2）
基本题型
直接法（只有一个未知数）：直接带入，
两个未知数：要证明直线过定点，只需要找到与之间的关系即可
确定定点，可以证明任意两个斜率相等即可.
【考点分类】
类型一：定值问题
考点一：向量为定值问题
【例1】★★已知抛物线：的焦点为F，且经过点，过点的直线与抛物线交于，两点.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）为坐标原点，直线，与直线分别交于，两点，试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.
考点二：斜率为定值问题
【例2】★★已知椭圆的两个焦点分别为，，点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点的直线与椭圆相交于，两点,设点，记直线，的斜率分别为，，求证：为定值.
【例3】★★已知点和椭圆．
（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为，，试求的周长及椭圆的离心率；
（Ⅱ）若直线与椭圆交于两个不同的点，，直线，与轴分别交于，两点，求证：．
【练1】★★已知椭圆的两个焦点分别为，.点与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点的坐标为，点的坐标为.过点任作直线与椭圆相交于，两点，设直线，，的斜率分别为，，，若，试求满足的关系式.
【练2】★★如图，已知椭圆经过点，离心率.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，，
求证：，，成等差数列．
知识拓展
【例1】★★★已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设动直线与椭圆有且仅有一个公共点，判断是否存在以原点为圆心的圆，满足此圆与相交于两点，（两点均不在坐标轴上），且使得直线，的斜率之积为定值？若存在，求此圆的方程；若不存在，说明理由．
考点三：弦长为定值问题
【例1】★★已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设是椭圆长轴上的一个动点，过作斜率为的直线交椭圆于，两点，求证：为定值．
【例2】★★已知直线与椭圆相交于，两点，是椭圆上一点．
（Ⅰ）当时，求△面积的最大值；
（Ⅱ）设直线和与轴分别相交于点，，为原点．证明：为定值．
知识拓展
【例1】★★已知椭圆经过点，离心率为．是椭圆上两点，且直线的斜率之积为，为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若射线上的点满足，且与椭圆交于点，求的值．
考点四：面积为定值问题
【例1】★★已知椭圆的右焦点，点在椭圆C上.
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为（为实数），求的值.
类型二、定点问题
考点五：定点问题
【例1】★★已知椭圆的离心率为，点在椭圆上．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于两点，设点关于轴的对称点为．直线与轴的交点是否为定点？请说明理由．
【例2】★★曲已知曲线C:
(Ⅰ)若曲线C是焦点在轴的椭圆，求的范围；
(Ⅱ)设，曲线C与轴的交点为A,B（点A位于点B的上方），直线与曲线C交于不同的两点M,N,直线与直线BM交于点G求证：A,G,N三点共线.
【练1】★★已知椭圆过点，离心率为．过椭圆右顶点的两条斜率乘积为的直线分别交椭圆于两点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）直线是否过定点？若过定点，求出点的坐标；若不过，请说明理由．
【练2】★★已知椭圆的左、右焦点分别为，， 点是椭圆的一个顶点，△ 是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，且，证明：直线过定点（）．
知识拓展
★★★已知圆,点为直线上的动点.
（Ⅰ）若从到圆的切线长为，求点的坐标以及两条切线所夹劣弧长；
（Ⅱ）若点，直线与圆的另一个交点分别为,
求证:直线经过定点.
小试牛刀
1.★★已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，长轴长为，直线交椭圆于不同的两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求的取值范围；
（Ⅲ）若直线不经过椭圆上的点，求证：直线的斜率互为相反数．
2. ★★已知椭圆C : , 经过点P，离心率是.
(Ⅰ) 求椭圆C的方程；
(Ⅱ) 设直线与椭圆交于两点，且以为直径的圆过椭圆右顶点，求证：直线l恒过定点．
巩固练习
1.★★已知椭圆的焦点分别为.
（Ⅰ）求以线段为直径的圆的方程；
（Ⅱ）过点任作一条直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
★★已知椭圆的离心率为，定点，椭圆短轴的端点是，且.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设过点且斜率不为的直线交椭圆于，两点.试问轴上是否存在定点，使平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

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