资源简介

5　专题 静电力作用下的平衡
[学习目标]
学会分析带电体的受力情况
学会分析同一直线上自由电荷的平衡和非共线力作用下带电体的平衡问题.
学会分析电场力的动态平衡过程
注意相似三角形及正弦定理等数学方法在静电平衡中的应用
库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
同种电荷：F＜k；
异种电荷：F＞k.
不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了．
知识点一：同一直线上三个点电荷的平衡问题
【探究重点】
三个自由电荷的平衡规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷.
只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的任意两个电荷列式即可.
注意：在三个共线点电荷的平衡问题中，若仅让其中一个电荷平衡，则只需要确定其位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求.
【例题精讲】
（2022·安徽·合肥市第六中学高一期末）真空中两个相同的带等量异种电荷的金属小球A和B（均可看作点电荷），分别固定在两处。若将小球A的电荷量增加为原来的5倍，然后将两小球接触后分开，并使两小球间的距离减为原来的一半，则在前后两种情况下，两小球之间的静电力之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设A、B带的电荷量分别为和、A和B间距离为r，由库仑定律得
现将球A的电荷量增加为原来的5倍为，A、B接触后，出电荷守恒定律得A、B所带电荷量均为，又此时A和B间距离为，可得
整理得，故ABD错误，C正确。故选C。
【巩固训练】
如图1所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：
图1
(1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？
(2)在(1)中的情形下，C的电荷量大小和电性对C的平衡有影响吗？
(3)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷C，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？电荷量是多少？
【答案】　见解析
【解析】　(1)由平衡条件，对C进行受力分析，C应在AB的连线上且在A、B之间，设C与A相距r，则
k＝k
解得：r＝
(2)在A、B间距离A为处，不论C为正电荷还是负电荷，A、B对其作用力的合力均为零，故C的电荷量大小和电性对其平衡无影响.
(3)若将C放在A、B电荷两边，A、B对C同为向左(或向右)的力，C都不能平衡；若将C放在A、B之间，C为正电荷，则A、B都不能平衡，所以C为负电荷.设放置的点电荷C的电荷量大小为Q，与A相距r1，分别对A、B受力分析，
根据平衡条件，对电荷A：有k＝k
对电荷B：有k＝k
联立可得：r1＝，Q＝q(负电荷)
即应在AB连线上且在A的右边，与点电荷A相距处放置一个电荷量为q的负电荷.
知识点二：非共线力作用下带电体的平衡
【探究重点】
分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样，具体步骤如下：
确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，用“整体法”或“隔离法”选取合适的研究对象.
对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝).
根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0.
解方程求出未知量.
【例题精讲】
（2022·辽宁·模拟预测）如图所示，圆心为O、半径为R的均匀带电圆环位于水平面内，带电量为Q。一个质量为m，带同种电荷带电量也为Q的小球，在圆心O的正上方高为h的处，处于静止状态，若与圆环上任一点的距离为L，则间的距离h为（静电力常量为k，重力加速度为g）（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在带电圆环上取一小段长度，则该小段长度圆环带电量为
该小段带电圆环对带电小球的库仑力为
该库仑力的竖直分力为
其合力为
解得，故选A。
【巩固训练】
(2021·江苏南通市高一期中)如图4所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时处于同一水平高度，丝线与竖直方向间的夹角分别为α、β，且β>α，则(　　)
图4
A.a球的质量一定比b球的大
B.a球的电荷量一定比b球的大
C.a球受到的库仑力比b球的小
D.丝线对a球的拉力比对b球的小
【答案】　A
【解析】　小球a受力如图，根据受力分析可知＝tan α，同理可得＝tan β，其中F库＝k，由牛顿第三定律可知两球之间的库仑力大小相等，但是无法判断两球电荷量之间的关系，所以B、C错误.由于β>α，则ma>mb，所以A正确.由于＝sin α，＝sin β，则FTa>FTb，所以D错误.
知识点三：静电力动态过程分析
【探究重点】
确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，用“整体法”或“隔离法”选取合适的研究对象.
对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝).
根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0.
解方程求出未知量.
【例题精讲】
（2022·江西二模）如图所示，在一绝缘斜面C上有带正电的小物体A处于静止状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从P点移至A正上方的Q点处，已知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质点。关于此过程，下列说法正确的是（　　）
A．物体A受到斜面的支持力先增大后减小 B．物体A受到小球B的排斥力恒定不变
C．斜面C受到地面的摩擦力一直增大 D．斜面C受到地面的支持力一直减小
【答案】A
【解析】AB．B对A的库仑力垂直斜面方向的分力，先逐渐增大后逐渐减小，当库仑力与斜面垂直时最大，设该分力为，斜面倾角为，根据平衡条件得斜面对A的支持力可知N先增大后减小，故A正确；
B．从点转至A正上方的O点处的过程中，库仑力的方向在时刻改变，故物体A受到的库仑力发生变化，故B错误；
C．以A和C整体为研究对象，分析受力情况如图所示
设B对A的库仑力大小为F，与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件得
由于F大小不变，θ减小，则知地面对斜面C的摩擦力逐渐减小，故C错误；
D．根据平衡条件得 由于F大小不变，θ减小，则知地面对斜面C的支持力逐渐增大，故D错误。
【巩固训练】
（2022·辽宁·二模）如图所示，带电小球A固定在竖直墙面上，用绕过固定在竖直墙上C点的小定滑轮的细线拉着带电小球B，小球B静止，此时A、B连线水平，A、B间的距离为r，A、C间的距离为h，h>r。用拉力F缓慢拉动绳端，使小球B缓慢向上移动，在小球B从图示位置一直运动到C点的过程中（　　）
A．拉力F一直减小 B．拉力F先增大后减小
C．小球一直做曲线运动 D．小球先做曲线运动后做直线运动
【答案】D
【解析】设小球B的质量为m，B、C间距离为L，在小球B到达竖直墙之前，对小球B受力分析，根据力的矢量三角形与几何三角形相似可得
在小球B从图示位置到与墙壁接触的过程中，mg、h、qA、qB均不变，L变小，则F变小，r不变，因此这个过程小球B绕A做圆周运动；当小球B与竖直墙接触后，在拉力作用下沿墙壁直线上升，库仑力变小，小球在竖直方向受力平衡，所以F变大。综上所述可知拉力F先减小后增大，小球先做曲线运动后做直线运动。故ABC错误，D正确。故选D。
知识点四：静电力与数学结合
【探究重点】
1.注意三角函数和正弦定理及相似三角形的应用
【例题精讲】
（2022·山西吕梁·二模）半圆形光滑绝缘细杆固定在竖直面内，O为圆心。可视为质点的甲、乙两个带电小球穿在细杆上，其静止时的位置如图所示，甲、乙两球的质量分别为m1、m2，则等于（　　）
A．4∶ 3 B．3∶ 4 C．3∶5 D．5∶ 3
【答案】B
【解析】ABCD．假设甲乙两球之间的静电力为F，对甲乙受力分析结合数学正弦定理有
，解得
故B正确，ACD错误。
【巩固训练】
（2022·湖南模拟）如图所示，质量分别为、的两个带同种电荷的小球、，分别用长为的绝缘细线悬挂在同一点，两细线与竖直方向各成一定的角度、，两小球用一绝缘轻质弹簧相接，A、B球连线与过点竖直线交于点，初始时刻弹簧处在压缩状态，现增加球的电荷量，下列说法中正确的是（　　）
A．两细线的拉力之比变大 B．两细线的夹角不变
C．与的长度之比不变 D．长度一定变大
【答案】C
【解析】对两小球受力分析如图
、为A、B两小球之间的库仑力，、为两小球之间的弹簧弹力，满足
对球受力分析，、、、三力满足相似三角形，则有
同理对球亦有
当球的电荷量增大则两球距离会增大，夹角、增大，但仍有 ，
绳长不变，点上移，长度变小。
完全一样的两个金属球A、B带有等量的电荷，相隔一定距离，两球之间相互吸引力的大小为F.今让第三个不带电的与A、B完全相同的金属球C先后与A、B两球接触后移开球C，这时，A、B两球之间的静电力的大小为(　　)
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　假设开始时A带电荷量为Q，B带电荷量为－Q，两球之间相互吸引力的大小为F＝k；第三个不带电的相同金属球C与A接触后，A和C的电荷量都为，C再与B接触时由于二者带异种电荷，则C、B分开后电荷量均为－；这时，A、B两球之间的静电力大小F′＝k＝k＝F，故A正确.
如图2所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，带电荷量分别为－4Q和＋Q，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是(　　)
图2
A.－Q，在A左侧距A为L处
B.－2Q，在A左侧距A为处
C.－4Q，在B右侧距B为L处
D.＋2Q，在A右侧距A为处
【答案】　C
【解析】　A、B、C三个电荷要平衡，三个电荷必须共线且外侧两电荷相排斥，中间电荷吸引外侧两电荷，而且外侧电荷电量大，所以C必须带负电，放在B右侧，
对C：＝k，代入得：r＝L
对B：＝，代入得：qC＝4Q.选项C正确.
（2021·甘肃一模）如图所示，把一带正电的小球a放在光滑绝缘斜面上，欲使小球a能静止在斜面上，需在MN间放一带电小球b，则b应（ ）
A．带负电，放在A点 B．带正电，放在B点
C．带负电，放在C点 D．带正电，放在C点
【答案】C
【解析】A．b带负电，放在A点，a球受到吸引力向下，则a合外力沿斜面向下，所以A错误；
B．b带正电，放在B点，电场力垂直斜面向上，则a的合外力沿斜面向下，所以B错误；
C．b带负电，放在C点，a球受到向右下方的吸引力，则a球受到三个力可能让其合外力为0，所以C正确；
D．b带正电，放在C点，a球受到的电场力是斥力指向左上方，所以a的合外力不可能为0，则D错误；
（2022·广东湛江模拟）某同学探究“影响静电力的因素”的实验过程如图所示。带电球体Q固定，电荷量不变，改变小球的电荷量后，把绝缘丝线先后挂在图中a、b位置，调整丝线长度使小球球心都与带电球Q的球心连线水平，丝线与竖直方向夹角的大小关系为θ1＞θ2。则两次实验中小球带电荷量和受到库仑力大小的关系为（　　）
A．qa>qb B．qaFb D．Fa【答案】C
【解析】AB．悬挂带电小球所受库仑力大小与本身带电荷量和电荷间距有关，无法直接确定电荷量大小关系，故AB错误；
CD．本题可以根据带电小球的受力平衡条件得到所受库仑力大小，由 F＝mgtanθ可知 Fa＞Fb
故C正确，D错误。
如图所示，质量为m的带电小球用绝缘丝线悬挂于P点，另一带正电小球M固定在带电小球的左侧，小球平衡时，绝缘丝线与竖直方向夹角为θ，且两球球心在同一水平线上.关于悬挂小球的电性和所受库仑力的大小，下列判断正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.正电， B.正电，mgtan θ
C.负电，mgtan θ D.负电，
【答案】　B
【解析】　以悬挂小球为研究对象，对悬挂小球进行受力分析，若使悬挂小球处于平衡状态，则M对悬挂小球的库仑力应水平向右，则悬挂小球应带正电；悬挂小球的受力分析图如图所示，根据小球处于平衡状态可知，在水平方向有F＝FTsin θ，在竖直方向有FTcos θ＝mg，解得F＝mgtan θ，则小球所受库仑力大小为mgtan θ；故选项B正确.
(2021·安徽蚌埠期中)如图所示，一质量m＝2×10－4 kg，电荷量q＝3×10－9 C的带正电小球A用长为10 cm的轻质绝缘细线悬挂于O点，另一带电量未知的小球B固定在O点正下方绝缘柱上(A、B均可视为点电荷).当小球A平衡时，恰好与B处在同一水平线上，此时细线与竖直方向的夹角θ＝37°.已知重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)小球A受到的静电力大小；
(2)小球A所在位置的场强大小和方向；
(3)小球B的电荷量.
【答案】　(1)1.5×10－3 N　(5)5×105 N/C　方向水平向右　(3)2×10－7 C
【解析】　(1)小球A受重力、细线的拉力和B球的斥力，根据小球A受力平衡可知，A球受到水平向右的静电力大小为F＝mgtan θ＝1.5×10－3 N.(3分)
(2)根据电场强度的定义式可知，小球A所在位置的电场强度大小为E＝＝5×105 N/C，方向水平向右.(3分)
(3)根据库仑定律得F＝(2分)
解得小球B的电荷量为Q＝2×10－7 C.(2分)
（2022·重庆模拟）如图所示，真空中b、c、d主点将线段四等分，两带电小球（均可视为点电荷）分别固定在a、d两点处，一试探电荷放在b、e两点所受库仑力大小相等，两小球的电性和电荷量可能是（　　）
A．异种电荷，电荷量之比 B．异种电荷，电荷量之比。
C．同种电荷，电荷量之比 D．同种电荷，电荷量之比
【答案】BC
【解析】AB．由题意可知，设Q1带正电，Q2带负电，ab=bc=cd=de=L，若试探电荷带正电，在b点时，受电场力方向都向右，电场力大小为 其合力大小为 =
在e点时，受Q1电场力方向向右，受Q2电场力方向向左，大小为
其合力大小为 = =解得 Q1:Q2= （4:3）若 = =解得 Q1:Q2=12:17
若试探电荷带负电，同理则有与以上结果相同，A错误，B正确；
CD．Q1、Q2都带正电，若试探电荷带正电，在b点，受电场力方向相反，则有=
在e点，受力方向相同，都向右，则有 = =解得 Q1:Q2=4:3
若 =解得 Q1:Q2= （12:17）若试探电荷带负电，同理则有与以上结果相同，若Q1、Q2都带负电，计算结果相同，C正确，D错误。
（2022·河南平顶山模拟）如图所示，光滑绝缘杆弯成直角，直角处固定在水平地面上，质量为m、带电荷量＋Q小圆环A穿在右边杆上，质量为3m、带电荷量＋3Q小圆环B穿在左边杆上，静止时两圆环的连线与地面平行，右边杆与水平面夹角为。重力加速度为g。则（　　）
A．右边杆对A环支持力大小为 B．左边杆对B环支持力大小为
C．A环对B环库仑力大小为 D．A环对B环库仑力大小为
【答案】D
【解析】AB．对A、B环受力分析，如图
对A环，由平衡条件可得 对B环，由平衡条件可得
因库仑力相等，则有 解得
则右边杆对A环支持力大小为 左边杆对B环支持力大小为 故AB错误；
CD．根据两环之间的库仑力大小为 故C错误，D正确。
如图6所示，质量为m、带电荷量为q(q>0)的小球A(可看作质点)用绝缘细线悬挂于O点，细线长为l.当将电荷量为－q的点电荷B置于空间某位置时，小球A静止，悬线与竖直方向的夹角θ＝30°，A、B连线与竖直方向的夹角恰好也为30°，重力加速度为g，静电力常量为k，则A、B之间的距离为(　　)
图6
A.l B.q
C.q D.q
【答案】　B
【解析】　对小球A受力分析，受竖直向下的重力，B对A斜向左上的静电力，斜向右上的细线的拉力，由题意知小球A静止，则小球受力平衡，设此时点电荷B与小球A间的距离为r，则＝，解得A、B之间的距离r＝q，选项B正确.
（2022·湖南模拟）如图所示，A小球带正电，B小球带负电，，用两根长均为L的绝缘轻绳系住后悬挂于天花板上的点O。空间存在水平向右的匀强电场，两小球质量相等，当系统平衡后可能的位置是（　　）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】ABCD．设上下两细绳和竖直方向的夹角分别为α、β，以两个小球组成的整体为研究对象，受力分析如图甲所示，根据平衡条件可知，上方细线的方向不可能沿竖直方向，应偏向右侧，由平衡条件可得
以b球为研究对象，受力分析如图乙所示，由平衡条件可得 对比可得 α<β
故ABD错误，C可能正确。
（2022·贵州一模）如图所示，在水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一带正电的点电荷，不带电的小球A与带正电的小球B通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连，开始时系统在图示位置静止，。若B球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），在B球到达O点正下方前，下列说法正确的是（ ）
A．A球的质量等于B球的质量 B．此过程中，A球始终保持静止状态
C．此过程中，点电荷对B球的库仑力不变 D．此过程中，滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小
【答案】B
【解析】A．开始时，B球受力如图所示，由几何关系知 而 则 A错误；
BC．假设此过程中A球保持静止状态，由于B球所带的电荷量缓慢减少，B球缓慢下摆，受力平衡，根据三角形相似原理有
由于、OC、T均不变，则OB不变，假设成立，BC逐渐减小，库仑力F逐渐减小，B正确，C错误；
D．由于轻绳拉力T不变，逐渐减小，轻绳OA，OB的拉力的合力逐渐增大，即滑轮受到轻绳的作用力逐渐增大，D错误。
质量均为m的两个可视为质点的小球A、B，分别被长为L的绝缘细线悬挂在同一点O，给A、B分别带上一定量的正电荷，并用水平向右的外力作用在A球上，平衡以后，悬挂A球的细线竖直，悬挂B球的细线向右偏60°角，如图所示.若A球的电荷量为q，重力加速度为g，静电力常量为k，求：
(1)B球的电荷量为多少；
(2)水平外力多大.
【答案】　(1)　(2)mg
【解析】　(1)当系统平衡以后，B球受到如图所示的三个力：重力mg、细线的拉力F1、库仑斥力F.
合力为零，由平衡条件得Fcos 30°－F1cos 30°＝0(2分)
Fsin 30°＋F1sin 30°－mg＝0(2分)
由库仑定律得F＝k(2分)
联立上述三式，可得B球的带电荷量qB＝.(2分)
(2)A球受到如图所示的四个力作用，合力为零.
得FT＝F′·cos 30°(2分)
而F′＝F＝mg(2分)
所以，A球受到的水平推力FT＝mgcos 30°＝mg.(2分)
(多选)如图所示，质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2的两小球，分别用绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别为α和β(α＞β)，两小球恰在同一水平线上，那么(　　)
A.两球一定带异种电荷
B.q1一定大于q2
C.m1一定小于m2
D.m1所受的静电力一定大于m2所受的静电力
【答案】　AC
【解析】　由于两带电小球相互吸引，所以一定带异种电荷，选项A正确.根据牛顿第三定律可知，两小球受到的静电力大小相等，无法判断电荷量的大小，选项B、D错误.设轻丝线与竖直方向的夹角为θ，根据平衡条件可得两球之间的静电力F＝mgtan θ，α>β，故m1g＜m2g，即m1＜m2，选项C正确.
如图所示，用两根长度相同的绝缘细线把一个质量为0.1 kg的小球A悬挂到水平板的M、N两点，A上带有Q＝3.0×10－6 C的正电荷.两线夹角为120°，两线上的拉力大小分别为F1和F2.A的正下方0.3 m处放有一带等量异种电荷的小球B，B与绝缘支架的总质量为0.2 kg(重力加速度g＝10 m/s2；静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，A、B球可视为点电荷)，则(　　)
A.支架对地面的压力大小为2.0 N
B.两线上的拉力大小F1＝F2＝1.9 N
C.将B水平右移，使M、A、B在同一直线上，此时两线上的拉力大小F1＝1.225 N，F2＝1.0 N
D.将B移到无穷远处，两线上的拉力大小F1＝F2＝0.866 N
【答案】　BC
【解析】　小球A、B间的库仑力为F库＝k＝9.0×109× N＝0.9 N，以B和绝缘支架整体为研究对象受力分析图如图甲所示，
地面对支架支持力大小为FN＝mg－F库＝1.1 N，由牛顿第三定律可得支架对地面的压力大小为1.1 N，A错误；以A球为研究对象，受力分析图如图乙所示，F1＝F2＝mAg＋F库＝1.9 N，B正确；
B水平向右移，当M、A、B在同一直线上时，A、B间距为r′＝0.6 m，F库′＝k＝0.225 N，以A球为研究对象受力分析图如图丙所示，可知F2′＝1.0 N，F1′－F库′＝1.0 N，F1′＝1.225 N，C正确；将B移到无穷远，则F库″＝0，可求得F1″＝F2″＝1 N，D错误.
(多选)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘.两个带有同种电荷的小球A、B(均可视为质点)分别位于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内.若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置.如果将小球B向左推动少许，并待两球重新达到平衡时，与原来相比(　　)
A.两小球的间距变大
B.B球受到的推力F变大
C.A球对竖直墙面的压力变小
D.水平地面对B球的支持力不变
【答案】　ACD
【解析】　对A球受力分析，受到三个力，如图所示，小球B向左缓慢推动一小段距离后，库仑力与竖直方向的夹角θ变小，A的重力不变，由mAg＝F库cos θ知，库仑力F库变小，由F库＝k知，两球间距变大，A对.由FN＝F库sin θ知墙面对小球A的弹力FN变小，即A球对墙面的压力变小；对整体分析，墙面对球的弹力等于推力F，则推力F将减小，B错，C对.由F地＝(mA＋mB)g可知，水平地面对B球的支持力不变，D对.
（2022·广东模拟）如图，圆环被竖直固定，两个质量均为m的带电小球A、B套在圆环上处于静止状态。A球带正电、位于圆环圆心O的正下方，B球光滑，两球连线与竖直方向成30°角。设A受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　）
A．圆环对B球的弹力方向由O指向B B．A球与圆环间的动摩擦因数不小于
C．圆环对B球弹力的大小为mg D．圆环对A球弹力的大小为2.5mg
【答案】D
【解析】A．若B球带负电，则A对B为吸引力，方向沿BA方向，此时无论圆环给球B的支持力指向圆心还是背离圆心，小球B都不能处于平衡状态，所以小球A对B为排斥力，方向沿AB方向，如图所知，且受力分析可得，圆环给球B的支持力指向圆心，即由B指向O，故A错误；
BCD．对球B受力分析可得，由几何关系可知圆环对B球弹力的大小为
则AB两球之间的排斥力为
对A球受力可得 所以当
时，动摩擦因数最小为 故BC错误，D正确。
(多选)(2021·江西赣州市高二期末)如图5所示，两个带电荷量分别为Q1与Q2的小球固定于相距为d的水平面上，另有一个质量为m，带电荷量为q的小球A，悬浮于空中不动，此时A离Q1的距离为d，离Q2的距离为d.已知重力加速度为g，静电力常量为k，三小球均可视为点电荷.则(　　)
图5
A.Q1与Q2为同种电荷 B.Q1＝3Q2
C.Q1＝ D.Q2＝
【答案】　AD
【解析】　小球A悬浮于空中，因此Q1对A的排斥力与Q2对A的排斥力的合力，一定与A所受的重力等大反向，故Q1与Q2与A都带同种电荷，A正确；利用三角形的边角关系可知∠AQ1Q2＝30°，∠AQ2Q1＝60°，根据库仑定律和平衡条件，可得sin 30°＋sin 60°＝mg，cos 30°＝cos 60°，解得Q1＝，Q2＝，因此B、C错误，D正确.
（2021·海南高考）如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】滑块Q在光滑斜面N上静止，则P与Q带电同性，两者之间为库仑斥力设为F，两滑块的受力分析和角度关系如图所示
对Q物体在沿着斜面方向有 可得
而对P物体动摩擦因素最小时有 联立解得
在光滑绝缘的水平地面上放置着四个相同的金属小球，小球A、B、C位于等边三角形的三个顶点上，小球D位于三角形的中心，如图6所示.现让小球A、B、C带等量的正电荷Q，让小球D带负电荷q，使四个小球均处于静止状态(带电小球均可视为点电荷)，则Q与q的比值为(　　)
A. B.
C.3 D.
【答案】　D
【解析】　设三角形边长为L，即AB、AC距离为L，则AD距离为L.以小球A为研究对象，由库仑定律知，B、C对A球的静电力大小均为F＝k，两静电力的合力大小为F合＝2Fcos 30°＝k，球A、D间的静电力大小为F′＝＝3k，根据平衡条件得F合＝F′，即k＝3k，所以Q＝q，则Q与q的比值为，选项D正确.5　专题 静电力作用下的平衡
[学习目标]
学会分析带电体的受力情况
学会分析同一直线上自由电荷的平衡和非共线力作用下带电体的平衡问题.
学会分析电场力的动态平衡过程
注意相似三角形及正弦定理等数学方法在静电平衡中的应用
库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图所示．
同种电荷：F＜k；
异种电荷：F＞k.
不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r→0时，两个带电体已不能看作点电荷了．
知识点一：同一直线上三个点电荷的平衡问题
【探究重点】
三个自由电荷的平衡规律
“三点共线”——三个点电荷分布在同一条直线上；
“两同夹异”——正、负电荷相互间隔；
“两大夹小”——中间电荷的电荷量最小；
“近小远大”——中间电荷靠近电荷量较小的电荷.
只要其中两个点电荷平衡，第三个点电荷一定平衡，只需根据平衡条件对其中的任意两个电荷列式即可.
注意：在三个共线点电荷的平衡问题中，若仅让其中一个电荷平衡，则只需要确定其位置即可，对其电性和所带电荷量没有要求.
【例题精讲】
（2022·安徽·合肥市第六中学高一期末）真空中两个相同的带等量异种电荷的金属小球A和B（均可看作点电荷），分别固定在两处。若将小球A的电荷量增加为原来的5倍，然后将两小球接触后分开，并使两小球间的距离减为原来的一半，则在前后两种情况下，两小球之间的静电力之比为（　　）
A． B． C． D．
【巩固训练】
如图1所示，带电荷量分别为＋q和＋4q的两点电荷A、B，相距L，问：
图1
(1)若A、B固定，在何处放置点电荷C，才能使C处于平衡状态？
(2)在(1)中的情形下，C的电荷量大小和电性对C的平衡有影响吗？
(3)若A、B不固定，在何处放一个什么性质的点电荷C，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？电荷量是多少？
知识点二：非共线力作用下带电体的平衡
【探究重点】
分析静电力作用下点电荷的平衡问题时，方法仍然与力学中分析物体的平衡方法一样，具体步骤如下：
确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，用“整体法”或“隔离法”选取合适的研究对象.
对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝).
根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0.
解方程求出未知量.
【例题精讲】
（2022·辽宁·模拟预测）如图所示，圆心为O、半径为R的均匀带电圆环位于水平面内，带电量为Q。一个质量为m，带同种电荷带电量也为Q的小球，在圆心O的正上方高为h的处，处于静止状态，若与圆环上任一点的距离为L，则间的距离h为（静电力常量为k，重力加速度为g）（　　）
A． B． C． D．
【巩固训练】
(2021·江苏南通市高一期中)如图4所示，a、b是两个带有同种电荷的小球，用绝缘丝线悬挂于同一点，两球静止时处于同一水平高度，丝线与竖直方向间的夹角分别为α、β，且β>α，则(　　)
图4
A.a球的质量一定比b球的大
B.a球的电荷量一定比b球的大
C.a球受到的库仑力比b球的小
D.丝线对a球的拉力比对b球的小
知识点三：静电力动态过程分析
【探究重点】
确定研究对象：如果有几个物体相互作用时，要依据题意，用“整体法”或“隔离法”选取合适的研究对象.
对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝).
根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0.
解方程求出未知量.
【例题精讲】
（2022·江西二模）如图所示，在一绝缘斜面C上有带正电的小物体A处于静止状态，现将一带正电的小球B沿以A为圆心的圆弧缓慢地从P点移至A正上方的Q点处，已知P、A在同一水平线上，且在此过程中物体A和C始终保持静止不动，A、B可视为质点。关于此过程，下列说法正确的是（　　）
A．物体A受到斜面的支持力先增大后减小 B．物体A受到小球B的排斥力恒定不变
C．斜面C受到地面的摩擦力一直增大 D．斜面C受到地面的支持力一直减小
【巩固训练】
（2022·辽宁·二模）如图所示，带电小球A固定在竖直墙面上，用绕过固定在竖直墙上C点的小定滑轮的细线拉着带电小球B，小球B静止，此时A、B连线水平，A、B间的距离为r，A、C间的距离为h，h>r。用拉力F缓慢拉动绳端，使小球B缓慢向上移动，在小球B从图示位置一直运动到C点的过程中（　　）
A．拉力F一直减小 B．拉力F先增大后减小
C．小球一直做曲线运动 D．小球先做曲线运动后做直线运动
知识点四：静电力与数学结合
【探究重点】
1.注意三角函数和正弦定理及相似三角形的应用
【例题精讲】
（2022·山西吕梁·二模）半圆形光滑绝缘细杆固定在竖直面内，O为圆心。可视为质点的甲、乙两个带电小球穿在细杆上，其静止时的位置如图所示，甲、乙两球的质量分别为m1、m2，则等于（　　）
A．4∶ 3 B．3∶ 4 C．3∶5 D．5∶ 3
【巩固训练】
（2022·湖南模拟）如图所示，质量分别为、的两个带同种电荷的小球、，分别用长为的绝缘细线悬挂在同一点，两细线与竖直方向各成一定的角度、，两小球用一绝缘轻质弹簧相接，A、B球连线与过点竖直线交于点，初始时刻弹簧处在压缩状态，现增加球的电荷量，下列说法中正确的是（　　）
A．两细线的拉力之比变大 B．两细线的夹角不变
C．与的长度之比不变 D．长度一定变大
完全一样的两个金属球A、B带有等量的电荷，相隔一定距离，两球之间相互吸引力的大小为F.今让第三个不带电的与A、B完全相同的金属球C先后与A、B两球接触后移开球C，这时，A、B两球之间的静电力的大小为(　　)
A. B. C. D.
如图2所示，光滑绝缘的水平地面上有相距为L的点电荷A、B，带电荷量分别为－4Q和＋Q，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是(　　)
图2
A.－Q，在A左侧距A为L处
B.－2Q，在A左侧距A为处
C.－4Q，在B右侧距B为L处
D.＋2Q，在A右侧距A为处
（2021·甘肃一模）如图所示，把一带正电的小球a放在光滑绝缘斜面上，欲使小球a能静止在斜面上，需在MN间放一带电小球b，则b应（ ）
A．带负电，放在A点 B．带正电，放在B点
C．带负电，放在C点 D．带正电，放在C点
（2022·广东湛江模拟）某同学探究“影响静电力的因素”的实验过程如图所示。带电球体Q固定，电荷量不变，改变小球的电荷量后，把绝缘丝线先后挂在图中a、b位置，调整丝线长度使小球球心都与带电球Q的球心连线水平，丝线与竖直方向夹角的大小关系为θ1＞θ2。则两次实验中小球带电荷量和受到库仑力大小的关系为（　　）
A．qa>qb B．qaFb D．Fa如图所示，质量为m的带电小球用绝缘丝线悬挂于P点，另一带正电小球M固定在带电小球的左侧，小球平衡时，绝缘丝线与竖直方向夹角为θ，且两球球心在同一水平线上.关于悬挂小球的电性和所受库仑力的大小，下列判断正确的是(重力加速度为g)(　　)
A.正电， B.正电，mgtan θ
C.负电，mgtan θ D.负电，
(2021·安徽蚌埠期中)如图所示，一质量m＝2×10－4 kg，电荷量q＝3×10－9 C的带正电小球A用长为10 cm的轻质绝缘细线悬挂于O点，另一带电量未知的小球B固定在O点正下方绝缘柱上(A、B均可视为点电荷).当小球A平衡时，恰好与B处在同一水平线上，此时细线与竖直方向的夹角θ＝37°.已知重力加速度g＝10 m/s2，静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)小球A受到的静电力大小；
(2)小球A所在位置的场强大小和方向；
(3)小球B的电荷量.
（2022·重庆模拟）如图所示，真空中b、c、d主点将线段四等分，两带电小球（均可视为点电荷）分别固定在a、d两点处，一试探电荷放在b、e两点所受库仑力大小相等，两小球的电性和电荷量可能是（　　）
A．异种电荷，电荷量之比 B．异种电荷，电荷量之比。
C．同种电荷，电荷量之比 D．同种电荷，电荷量之比
（2022·河南平顶山模拟）如图所示，光滑绝缘杆弯成直角，直角处固定在水平地面上，质量为m、带电荷量＋Q小圆环A穿在右边杆上，质量为3m、带电荷量＋3Q小圆环B穿在左边杆上，静止时两圆环的连线与地面平行，右边杆与水平面夹角为。重力加速度为g。则（　　）
A．右边杆对A环支持力大小为 B．左边杆对B环支持力大小为
C．A环对B环库仑力大小为 D．A环对B环库仑力大小为
如图6所示，质量为m、带电荷量为q(q>0)的小球A(可看作质点)用绝缘细线悬挂于O点，细线长为l.当将电荷量为－q的点电荷B置于空间某位置时，小球A静止，悬线与竖直方向的夹角θ＝30°，A、B连线与竖直方向的夹角恰好也为30°，重力加速度为g，静电力常量为k，则A、B之间的距离为(　　)
图6
A.l B.q
C.q D.q
（2022·湖南模拟）如图所示，A小球带正电，B小球带负电，，用两根长均为L的绝缘轻绳系住后悬挂于天花板上的点O。空间存在水平向右的匀强电场，两小球质量相等，当系统平衡后可能的位置是（　　）
A．B．C．D．
（2022·贵州一模）如图所示，在水平天花板下方固定一光滑小定滑轮O，在定滑轮的正下方C处固定一带正电的点电荷，不带电的小球A与带正电的小球B通过跨过定滑轮的绝缘轻绳相连，开始时系统在图示位置静止，。若B球所带的电荷量缓慢减少（未减为零），在B球到达O点正下方前，下列说法正确的是（ ）
A．A球的质量等于B球的质量 B．此过程中，A球始终保持静止状态
C．此过程中，点电荷对B球的库仑力不变 D．此过程中，滑轮受到轻绳的作用力逐渐减小
质量均为m的两个可视为质点的小球A、B，分别被长为L的绝缘细线悬挂在同一点O，给A、B分别带上一定量的正电荷，并用水平向右的外力作用在A球上，平衡以后，悬挂A球的细线竖直，悬挂B球的细线向右偏60°角，如图所示.若A球的电荷量为q，重力加速度为g，静电力常量为k，求：
(1)B球的电荷量为多少；
(2)水平外力多大.
(多选)如图所示，质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2的两小球，分别用绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别为α和β(α＞β)，两小球恰在同一水平线上，那么(　　)
A.两球一定带异种电荷
B.q1一定大于q2
C.m1一定小于m2
D.m1所受的静电力一定大于m2所受的静电力
如图所示，用两根长度相同的绝缘细线把一个质量为0.1 kg的小球A悬挂到水平板的M、N两点，A上带有Q＝3.0×10－6 C的正电荷.两线夹角为120°，两线上的拉力大小分别为F1和F2.A的正下方0.3 m处放有一带等量异种电荷的小球B，B与绝缘支架的总质量为0.2 kg(重力加速度g＝10 m/s2；静电力常量k＝9.0×109 N·m2/C2，A、B球可视为点电荷)，则(　　)
A.支架对地面的压力大小为2.0 N
B.两线上的拉力大小F1＝F2＝1.9 N
C.将B水平右移，使M、A、B在同一直线上，此时两线上的拉力大小F1＝1.225 N，F2＝1.0 N
D.将B移到无穷远处，两线上的拉力大小F1＝F2＝0.866 N
(多选)如图所示，竖直墙面与水平地面均光滑且绝缘.两个带有同种电荷的小球A、B(均可视为质点)分别位于竖直墙面和水平地面上，且处于同一竖直平面内.若用图示方向的水平推力F作用于小球B，则两球静止于图示位置.如果将小球B向左推动少许，并待两球重新达到平衡时，与原来相比(　　)
A.两小球的间距变大
B.B球受到的推力F变大
C.A球对竖直墙面的压力变小
D.水平地面对B球的支持力不变
（2022·广东模拟）如图，圆环被竖直固定，两个质量均为m的带电小球A、B套在圆环上处于静止状态。A球带正电、位于圆环圆心O的正下方，B球光滑，两球连线与竖直方向成30°角。设A受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（　　）
A．圆环对B球的弹力方向由O指向B B．A球与圆环间的动摩擦因数不小于
C．圆环对B球弹力的大小为mg D．圆环对A球弹力的大小为2.5mg
(多选)(2021·江西赣州市高二期末)如图5所示，两个带电荷量分别为Q1与Q2的小球固定于相距为d的水平面上，另有一个质量为m，带电荷量为q的小球A，悬浮于空中不动，此时A离Q1的距离为d，离Q2的距离为d.已知重力加速度为g，静电力常量为k，三小球均可视为点电荷.则(　　)
图5
A.Q1与Q2为同种电荷 B.Q1＝3Q2
C.Q1＝ D.Q2＝
（2021·海南高考）如图，V型对接的绝缘斜面M、N固定在水平面上，两斜面与水平面夹角均为，其中斜面N光滑。两个质量相同的带电小滑块P、Q分别静止在M、N上，P、Q连线垂直于斜面M，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力。则P与M间的动摩擦因数至少为（　　）
A． B． C． D．
在光滑绝缘的水平地面上放置着四个相同的金属小球，小球A、B、C位于等边三角形的三个顶点上，小球D位于三角形的中心，如图6所示.现让小球A、B、C带等量的正电荷Q，让小球D带负电荷q，使四个小球均处于静止状态(带电小球均可视为点电荷)，则Q与q的比值为(　　)
A. B.
C.3 D.

展开更多......

收起↑