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复习回顾
平面向量的基本定理
　　如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，有且只有一对实数 λ1，λ2，使
a＝λ1e1＋λ2e2．
若 e1，e2不共线，我们把{e1，e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．
x
y
z
O
Q
P
新课讲授
探究1 我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）. 对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？
三个不共面的向量
用两个不共线的向量能不能表示空间内所有向量？
用三个不共线的向量能不能表示空间内所有向量？
先考虑三个不共面的向量两两互相垂直的特殊情况：
O
Q
P
a
c
b
α
a
b
c
在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的结论吗？
如果三个向量 不共面，那么对任意一个空间向量 ，存在唯一的有序实数组( x,y,z)，使得
都叫做基向量
叫做空间的一个基底，空间任意三个不共面向量都可以构成空间的一个基底.
所有空间向量组成的集合为
空间向量基本定理
特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两互相垂直，且长度都为1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用 表示.
单位正交基底
由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量 ，均可以分解为三个向量 ，使 .
像这样，把一个空间向量分解为三个两两互相垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解.
正交分解
例1
例题讲解
P、A、B、C四点共面的充要条件是对空间任意一点O，
C
变式
C
例2
B
O
A
C
M
N
P
结合图形特征，利用三角形法则，
平行四边形法则，数乘运算解决问题.
变式
变式
例3 如图，在平行六面体 ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝4，
AA1＝5，∠DAB＝60°，∠BAA1＝60 ° ，∠DAA1＝60 ° ，
M，N 分别为D1C1，C1B1的中点．求证 MN⊥AC1．
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
M
N
例4 如图，正方体 ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，E，F，G分别为C'D'， A'D'， D'D的中点．
（1）求证：EF∥AC ;
（2）求 CE 与 AG 所成角的余弦值．
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
E
F
G
立体几何问题
①适当选取基底
向量
运算
②用基向量表示相关向量
③将相关向量的问题转化为基向量的问题
向量问题
向量问题的解
立体几何问题的解
转化
向量方法
理论基础：空间向量基本定理
用向量方法解决立体几何问题的路径
转化
练习1、2（课本P15习题T1，T2）
练习3（课本P12练习T3）
B
C
O
A1
B1
C1
O1
A
G
练习4、5（课本P15习题T3、T4）
课堂小结

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