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第二章 机械振动
选择性必修第1册
第一二节 简谐运动
在生活中我们会观察到很多类似这样的运动。这些运动的共同点是什么？
一、机械振动
物体（或物体的某一部分）在某个位置两侧所做的往复运动，叫作机械振动，简称振动（vibration）。这个位置称为平衡位置（equilibrium position）。
思考：平衡位置有什么特点？
平衡位置——振动物体静止时的位置
二、弹簧振子
1、小球和弹簧组成的系统称为弹簧振子（spring oscillator），弹簧振子是一个理想化模型.
（1）不计摩擦
（2）弹簧的质量忽略不计
（3）小球可看成质点
弹簧振子的振动
2、弹簧振子的运动特点
（1）位移：
相对于平衡位置，由平衡位置指向小球所在的位置，是矢量。
（2）速度：
小球在平衡位置速度最大，在最大位移处，速度为零。小球每次经过同一位置，位移相同，速率相等，速度方向可能不同。
问题1：怎样才能得到弹簧振子中小球位移与时间的关系？
x
x
t
弹簧振子的频闪照片
x
t
x
问题1：怎样才能得到弹簧振子中小球位移与时间的关系？
问题2：如何确定弹簧振子中小球的位移与时间的关系是否遵从正弦函数的规律？
x
用数码相机和计算机绘制弹簧振子的x-t图像
描绘简谐运动的振动图像
如图所示，弹簧和小球分别套在光滑横杆上，弹簧左端与小球相连，右端固定在支架上，形成一个弹簧振子。在球底部固定一毛笔头，笔头下放一纸板。使小球偏离平衡位置并释放，其振动可视为简谐运动。沿图示方向匀速拉动纸板，笔头会在纸板上画出一图像。 请分析该图像。
弹簧振子的振动图像
问题3：什么是简谐运动？
如果物体的位移与时间的关系遵从正弦函数的规律， 即它的振动图像（x-t图像）是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动（simple harmonic motion）。
简谐运动是最简单、最基本的振动，任何复杂的振动都可以看作几个或很多个简谐运动的叠加。
三、简谐运动
问题4：描述简谐运动的特征量有哪些？
四、描述简谐运动的物理量
1、振幅( A )：振动物体离开平衡位置的最大距离
2、周期( T )：完成一次全振动所用的时间（单位s）
频率( f )：单位时间内完成全振动的次数（单位Hz）
3、简谐运动的能量
简谐运动过程中振动系统的机械能是守恒的
振幅是标量，振幅的大小表示振动的强弱。
简谐运动的周期和频率与振幅无关，只与振动系统的自身有关。
问题5：振子在往复运动过程中的受力有什么特点？
当小球偏离平衡位置时，都会受到一个指向平衡位置的力，这个力叫作回复力（ restoring force）。
五、简谐运动的回复力
回复力数学表达式：F=-kx
（1）x是相对于平衡位置的位移、k是比例系数
（2）回复力大小与离开平衡位置的位移大小成正比，回复力方向与位移方向总是相反
（3）回复力F=-kx是判定振动物体是否做简谐运动的动力学判据
做简谐运动的物体受到总是指向平衡位置，且大小与位移成正比的回复力的作用。
问题6：试证明竖直弹簧振子的运动是简谐运动？
如图所示，在弹簧下端挂一重物，上端固定在支架上，这就构成了竖直方向的弹簧振子。重物静止于点 O ，将重物向下拉一段距离，然后松手，重物便沿竖直方向振动起来。
O
竖直方向的弹簧振子
重物在竖直方向受到弹力和重力作用，这两个力的合力充当弹簧振子的回复力。当重物处于点 O 时，重力和弹力相互平衡，因此点 O 是弹簧振子的平衡位置。
假设重物所受的重力为 G，弹簧的劲度系数为 k，重物处于平衡位置时弹簧的伸长量为 x1。则G = kx1
设重物向下偏离平衡位置的位移为 x 时，弹簧
的伸长量为 x2，则x = x2 - x1 取竖直向下为正方向。
则此时弹簧振子的回复力 F= G - kx2 = kx1 - kx2 = -kx
所以，竖直方向的弹簧振子的运动是简谐运动。
B
O
C
A
B
B
O
C
B
O
C
k1
k2
x
问题7：试证明下面物体的运动是简谐运动
问题8:一小球做简谐运动，相继经过图所示的位置。试根据图示，判断小球在此 振动过程中的位移、回复力、加速度、速度、动能和弹簧的弹性势能分别是如何变化的，填入表中。并找出以上各物理量分别在小球运动至何处时最大，何处时最小。
小球简谐运动示意图
简谐运动的图像
1、物理意义：描述振动物体的位移随时间变化的规律
2、特点：简谐运动的图像是一条正弦（或余弦）曲线
3、图象包含信息
读：
判：
②某段时间内x、F、a、v、Ek、Ep的变化情况
求：
画：
注：简谐运动图象的实质是位移——时间图象，不是质点的运动轨迹。
x/m
t/s
0
0.5
–0.5
2
3
1
4
A、T、各时刻位移x
①各时刻回复力F、加速度a、速度v的方向
某段时间内振子的路程
画出Δt时间后的振动图象
物理学中把()叫作相位（phase）。0是t＝0时的相位， 称作初相位，或初相。
实际上，经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差（phase difference）。如果两个简谐运动的频率相 同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是 Δφ ＝（ωt ＋ φ1）－（ωt ＋ φ2）＝ φ1 － φ2 此时我们常说 1 的相位比 2 超前 Δφ，或者说 2 的相位比 1 落后 Δφ。
当 Δφ 等于 π 的奇数倍时，两者运动的步调正好相反。同理，当 Δφ 等于 0 或 2π 的整数倍时，两者同步振动，任意时刻的振动状态均相同。
简谐运动的表达式
根据一个简谐运动的振幅A、周期T、初相位φ0，可以 知道做简谐运动的物体在任意时刻t的位移x是
所以，振幅、周期、初相位是描述简谐运动特征的物理量。
（a）从平衡位置开始的简谐运动
（b）从正向最大位移处开始的简谐运动
问题9：图为甲、乙两个简谐运动的振动图像。请根据图像写出这两个简谐运动的位移随时间变化的关系式。
问题10：质点做简谐运动，在一个周期内、半个周期内、四分之一个周期内通过的路程分别是多大。
小球顺时针做圆周运动时其投影运动示意图
匀速圆周运动与简谐运动
匀速圆周运动与简谐运动
如图所示，质点 m 从 p 点开始，以角速度 ω 绕圆心 O 做半径为 A 的匀速圆周运动，建立直角坐标系 xOy，Op 连线与 y 轴夹角为 φ。质点 m 经过 t 时间后其与圆心的连线 Om 和 y 轴的夹角等于 ωt + φ。
质点 m 在 x 轴上的投影 m′ 相对于圆心 O 的位移：
x = Asin (ωt + φ)。 （简谐运动的运动学关系）
质点 m 做匀速圆周运动所受的向心力：F = mω2 A
在 x 轴方向上的分力是： Fx = -mω2 Asin(ωt+φ)
其中负号表示方向沿 x 轴负方向。
综合可得：质点 m 在 x 轴所受的分力为Fx = -mω2 x
令 k = mω2 ，则 Fx = -kx。（简谐运动的动力学关系）
其中角频率（角速度） ，周期 = 。
1. 关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A.物体所受的回复力始终指向平衡位置，方向不变
B. 如果物体的速度越来越大，加速度一定越来越小
C. 在恒力作用下，物体不可能做简谐运动
D. 物体的加速度方向和速度方向有时相同，有时相反
BCD
2.做简谐运动的弹簧振子，当它每次经过同一位置时，下列物理量相同的是( )
A. 速度　　　　B. 加速度　　　　C. 动能　　　　D. 动量
BC
5. 做简谐运动的物体，其加速度 a 随位移 x 变化的规律应是
3. 做简谐运动的物体，其加速度 a 随位移 x 变化的规律应是( )
B
4. 一个弹簧振子做简谐运动，周期为T。下列判 断中正确的是（ ）。
A. 若 t 时刻和（t+Δt）时刻振子位移的大小相等，方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
B. 若 t 时刻和（t+Δt）时刻振子速度的大小相等，方向相反，则Δt一定等于 T/2 的整数倍
C. 若 Δt=T，则在 t 时刻和（t+Δt）时刻振子的加速度一定相等
D. 若 Δt =T/2 ，则在 t 时刻和（t+Δt）时刻弹簧长度一定相等
C
5.（2021河北）如图，一弹簧振子沿x轴做简谐运动，振子零时刻向右经过A点，2s后第一次到达B点，已知振子经过A、B两点时的速度大小相等，2s内经过的路程为0.4m。该弹簧振子的周期为________s，振幅为______m。
【答案】 (1) 4 (2).0.2
6.光滑的水平面上盛放有质量分别为m和m/2的两木块，下方木块与一劲度系数为k的弹簧相连，弹簧的另一端固定在墙上，如图所示。己知两木块之间的最大静摩擦力为f ，为使这两个木块组成的系统像一个整体一样地振动，系统的最大振幅为（ ）
A． B． C． D．
C
7.如图，一轻弹簧一端固定，另一端连接一物块构成弹簧振子，该物块是由a、b两个小物块粘在一起组成的。物块在光滑水平面上左右振动 ，振幅为A0，周期为T0。当物块向右通过平衡位置时，a、b之间的粘胶脱开；以后小物块a振动的振幅和周期分别为A和T，则A______A0（填“>”、“<”或“=”）, T _______T0（填“>”、“<”或“=”）。
b
a
<
<
8.一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置一记录纸。当振子上下振动时，以速率 v 水平向左拉动 记录纸，记录笔在纸上留下如图所示的图像。y1、y2、x0、 2x0 为纸上印迹的位置坐标。求该弹簧振子振动的周期和振幅。
A
10.(2021广东)如图所示，一个轻质弹簧下端挂一小球，小球静止。现将小球向下拉动距离A后由静止释放，并开始计时，小球在竖直方向做简谐运动，周期为T。经T/8时间，小球从最低点向上运动的距离_____A/2（选填“大于”、“小于”或“等于”）；在T/4时刻，小球的动能______（选填“最大”或“最小”）。
【答案】 (1). 小于 (2). 最大
11.某鱼漂的示意图如图所示，O、M、N 为鱼漂上的三个点。当鱼漂静止时， 水面恰好过点 O。用手将鱼漂向下压，使点 M 到达水面，松手后，鱼漂会上下运动，上升到最高处时，点 N 到达水面。不考虑阻力的影响，下列说法正确的是( )
A.鱼漂的运动是简谐运动
B. 点 O 过水面时，鱼漂的速度最大
C. 点 M 到达水面时，鱼漂具有向下的加速度
D. 鱼漂由上往下运动时，速度越来越大
A
12.某弹簧振子做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x = Asin，单位为 cm，则弹簧振子( )
A.第 1 s 末与第 3 s 末的位移相同
B. 第 1 s 末与第 3 s 末的速度相同
C. 第 3 s 末至第 5 s 末的位移方向都相同
D. 第 3 s 末至第 5 s 末的速度方向都相同
AD
13.2014年理综浙江卷.一位游客在千岛湖边欲乘游船，当日风浪很大，游船上下浮动。可把游艇浮动简化成竖直方向的简谐运动，振幅为20cm，周期为3.0s。当船上升到最高点时，甲板刚好与码头地面平齐。地面与甲板的高度差不超过10cm时，游客能舒服地登船。在一个周期内，游客能舒服地登船的时间是( )
A．0.5s B．0.75s C．1.0s D．1.5s
C
14.一个质点在平衡位置O点附近做简谐运动。若从O点开始计时，经过3s质点第一次经过M点（如图所示）；再继续运动，又经过2s它第二次经过M点。
(1)该质点振动的周期是多大？
(2)该质点第三次经过M点还需要多少时间？
或14s
15.2018年天津卷．一振子沿x轴做简谐运动，平衡位置在坐标原点。t=0时振子的位移为-0.1 m，t=1 s时位移为0.1 m，则( )
A．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为2/3s
B．若振幅为0.1 m，振子的周期可能为4/5s
C．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为4s
D．若振幅为0.2 m，振子的周期可能为6s
AD
t
y/m
0.1
-0.1
-0.2
0.2
0
16.科幻作品是在尊重基础科学结论的基础上进行合理设想而作出的文艺作品，在某科幻小说中出现一道竖直裂缝，可简化为如图所示的模型，物体m从A处由静止释放后，穿过地心O到达B，用时t。已质量分布均匀的球壳对于放于内部的质点的引力为零；质量为M，劲度系数为k的弹簧振子的周期公式为= ，引力常量为G。可将地球看作质量均匀分布的球体，不计空气阻力。则地球的平均密度为 。
A
B
O

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