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北师大版数学七年级下册强化提升复习题
一、单选题
1．如图，在中，点D在BC上，，那么的大小是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝30°，则∠CBD＝（　　）
A．5° B．10° C．15° D．20°
3．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（　　）
A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同
B．运动员高强度运动后，最高血乳酸浓度大约为250mg/L
C．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑70min后才能基本消除疲劳
D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松
4．如图，将一个棱长为3的正方体表面涂色，再把它分割成棱长为1的正方体，从中任取一个小正方体，则取得小正方体恰好有两个面涂色的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．将一副直角三角板的顶点重合（如图所示），则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．不能确定
6．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，点A的坐标为（0，1），点B是x轴正半轴上的一动点，把线段AB以A为旋转中心，逆时针方向旋转90°，得到线段AC，设点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，直线AB，CD交于点O，OE平分∠AOC，，OG平分∠EOF，若，则∠AOG等于（ ）
A． B． C． D．
9．已知4y2+my+9是完全平方式，求（6m4﹣8m3）÷（﹣2m2）+3m2的值是（　　）
A．±48 B．±24 C．48 D．24
10．如图，直线DE是ABC边AC的垂直平分线，且与AC相交于点E，与AB相交于点D，连接CD，已知BC＝8cm，AB＝12cm，则BCD的周长为（ ）
A．16cm B．18cm C．20cm D．22cm
11．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，DF是△CDE的中线，若S△DEF＝4，则S△ABC等于（ ）
A．16 B．24 C．32 D．30
12．把一副三角板ABC与BDE按如图所示的方式拼接在一起，其中A、D、B三点在同一条直线上，BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线．下列结论①∠MBN=45o，②∠BNE=∠BMC，③∠EBN=65o，④2∠NBD=∠CBM，其中结论正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
13．已知正整数a，b，c（其中a≠1）满足abc＝ab+50，则a+b+c的最小值是_____，最大值是_____．
14．如图，已知∠ABD=∠PCE，AB∥CD，∠AEC的角平分线交直线 CD于点H，∠AFD=86°，∠H=22°，∠PCE=______°．
15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点P以每秒1cm的速度从点A出发，沿折线AC→CB运动，到点B停止． 过点P作PD⊥AB于点D，PD的长y（cm）与点P的运动时间x（秒）的函数图象所示． 当点P运动6秒时，PD的长是________．
16．如图，线段AF⊥AE，垂足为点A，线段GD分别交AF、AE于点C，B，连接GF，ED，则∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数为__________.
17．如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AB⊥BC，∠DAB＝130°，点M，N分别是边BC，CD上两个动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为______．
三、解答题
18．如图，在△ABC中，AD，AF分别是△ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线．
(1)若△ABC的面积为40，BD＝5，求AF的长；
(2)若∠BED＝40°，∠BAD＝25°，求∠BAF的大小．
19．中国最长铁路隧道西康铁路秦岭一线隧道全长十八点四六千米，为目前中国铁路隧道长度之首，被称为”神州第一长隧”．为了安全起见在某段隧道两旁安置了两座可旋转探照灯．如图1所示，灯A发出的光束从AC开始顺时针旋转至AD便立即回转，灯B发出的光束从BE开始顺时针旋转至BF便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A旋转的速度是每秒3度，灯B旋转的速度是每秒2度．已知CD∥EF，且∠BAD=∠BAC，设灯A旋转的时间为t（单位：秒）．
（1）求∠BAD的度数；
（2）若灯B发出的光束先旋转10秒，灯A发出的光束才开始旋转，在灯B发出的光束到达BF之前，若两灯发出的光束互相平行，求灯A旋转的时间t；
（3）如图2，若两灯同时转动，在灯A发出的光束到达AD之前，若两灯发出的光束交于点M，过点M作∠AMN交BE于点N，且∠AMN=135°．请探究：∠BAM与∠BMN的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
20．一副直角三角板按如图1所示的方式放置在直线l上，已知AB=160，BC=80，点P以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的路线运动；同时，三角板ADE（含45°）绕点A顺时针旋转，速度为每秒3°，当点P运动至点C时，全部停止运动，设运动时间为t秒．图2是运动过程中某时刻的图形．
(1)当点P到达点B时，△ADE转动了 　 　°．
(2)当0＜t＜60时，若∠FAE与∠B互为余角，则t=　 　．
(3)在运动过程中，当t＝　 　时，使得AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线．
(4)当△ACP的面积大于△ABC面积的一半，且△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度时，直接写出：所有满足条件的t的取值之和为 　 　．
21．小星在学习中遇到这样一个问题：如图（1），Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，AC＝10cm，点E在线段CB上，且EC＝2cm，点P是线段BE上一动点，连接AP，以A为圆心、AP的长为半径画弧交线段AE于点Q，连接PQ，当BP是△PQE中某条边的1.5倍时，求BP的长．
小星的探究过程如下：
(1)小星分析发现，有三种可能存在的情况，其中，当BP＝1.5PE时，通过推理计算可得BP的长为_____cm．但当他进一步研究其余两种情况时，发现很难通过常规的推理计算得到BP的长，于是尝试利用学习函数的经验解决问题．
(2)小星将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2，并分别对函数y1，y2随着自变量x的变化规律进行探究．小星通过取点、画图、测量，得到了下表中的几组对应值：
x/cm 0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0
y1/cm 4.59 3.71 2.91 2.15 1.42 0.71 0
y2/cm ？ 2.40 2.16 1.78 1.27 0.68 0
在探究过程中，小星发现当BP＝0时，无需测量可以求出QE的长，此时QE的长约为_____cm（结果精确到0.01．参考数据：≈1.414）．
②利用表格中的数据，小星已经在如图（2）所示的平面直角坐标系中画出了y1关于x的函数图象，请你根据上文中y2和x的7组对应值在此平面直角坐标系中描点，并画出y2关于x的函数图象
(3)小星发现，想用函数图象彻底解决这个问题，还需要在平面直角坐标系内再画出一个函数的图象，请直接写出这个函数的解析式：____，并在上述平面直角坐标系中画出该函数的图象．
(4)请结合图象直接写出：当BP是PQ或QE的1.5倍时，BP的长约为____（结果精确到0.1cm）．
22．【定义】如图1，OM平分∠AOB，则称射线OB，OA关于OM对称．
(1)【理解题意】如图1，射线OB，OA关于OM对称且∠AOB＝45°，则∠AOM＝　 　度；
(2)【应用实际】如图2，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB内部，OP，OP1关于OB对称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数；
(3)如图3，若∠AOB＝45°，OP在∠AOB外部，且0°＜∠AOP＜45°，OP，OP1关于OB对称，OP，OP2关于OA对称，求∠P1OP2的度数；
(4)【拓展提升】如图4，若∠AOB＝45°，OP，OP1关于∠AOB的OB边对称，∠AOP1＝4∠BOP1，求∠AOP（直接写出答案）．
试卷第6页，共7页
试卷第5页，共7页
参考答案：
1．B
【分析】先根据等腰三角形的性质得出，，根据三角形的外角性质得出，即可得出△ABC各个内角之间的关系，即可求出∠C的度数．
【详解】，
，
，
，
∴，
，
∴，
∵∠ADB为△ADC的外角，
∴，
，
，
∴，
即，
故选：B．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理，熟知等腰三角形的两底角相等是解答此题的关键．
2．C
【分析】根据三角形内角和求得，根据折叠的性质得到，根据已知条件∠A'BC＝30°即可建立关于∠CBD的等式．
【详解】解：设，
∵在Rt△ABC中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,
故选C．
【点睛】本题考查三角形内角和定理和图形折叠的性质，解题的关键是根据图形折叠的性质得．
3．D
【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．
【详解】A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；
B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为200mg/L，错误；
C．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑40min后才能基本消除疲劳，错误；
D．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确．
故选D．
【点睛】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．
4．B
【分析】将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到27个小立方体，其中两个面涂色的有12块，可求出相应的概率．
【详解】解：将一个棱长为3的正方体分割成棱长为1的小正方体，一共可得到3×3×3=27（个），
在每条棱上只有1个两面涂色的小立方体，由于正方体有12条棱，因此，有12个两面涂色的小立方体，
所以，从27个小正方体中任意取1个，则取得的小正方体恰有两个面涂色的概率为，
故选：B．
【点睛】本题考查了概率公式，列举出所有等可能出现的结果数和符合条件的结果数是解决问题的关键．
5．B
【分析】和互余，和互余，然后利用同角或等角的余角相等可得出，从而得出正确选项．
【详解】解：如图，
，
．
故选：B．
【点睛】本题考查了余角的意义，掌握“同角或等角的余角相等”这一性质定理是解题的关键．
6．B
【分析】根据同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方运算法则逐项进行判断即可．
【详解】解：A．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
B．，故原选项计算正确，此项符合题意；
C．，故原选项计算错误，此项不符合题意；
D．，故原选项计算错误，此项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
7．A
【分析】作出适当的辅助线，证得，即可建立y与x的函数关系，确定出答案．
【详解】解：过点作轴于点，
∵，
∴，，
∵，
∴ ，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵点B是x轴正半轴上的一动点，
∴，
故选：.
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象问题，解题的关键是明确题意，建立函数关系，从而判断出正确的函数图象．
8．B
【分析】分别求出∠AOE和∠EOG，然后根据∠AOG＝∠EOG﹣∠AOE计算即可得解．
【详解】解：∵∠BOC＝48°，
∴∠AOC＝180°﹣48°＝132°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠AOE＝∠EOC＝∠AOC＝，
∵OF⊥AB，
∴∠BOF＝90°，
∴∠EOF＝360°﹣∠EOC﹣∠BOC﹣∠BOF
＝360°﹣66°﹣48°﹣90°
＝156°
∵OG平分∠EOF，
∴∠EOG＝∠FOG＝＝＝78°，
∴∠AOG＝∠EOG﹣∠AOE＝78°﹣66°＝12°，
故选：B．
【点睛】本题考查了角的计算，主要利用了角平分线的定义，熟记概念并准确识图，理清图中各个角度之间的关系是解题的关键．
9．A
【分析】先根据多项式除以单项式进行计算，再合并同类项，根据完全平方式求出m＝±12，最后代入求出答案即可．
【详解】解：（6m4﹣8m3）÷（﹣2m2）+3m2
＝ 3m2＋4m＋3m2
＝4m，
∵4y2+my+9是完全平方式，
∴m＝±2×2×3＝±12，
当m＝12时，原式＝4×12＝48；
当m＝ 12时，原式＝4×（ 12）＝ 48；
故选：A．
【点睛】本题考查了完全平方式和整式的化简与求值，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
10．C
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，求出△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+AB，再代入求出答案即可．
【详解】解：∵直线DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，
∵BC＝8cm，AB＝12cm，
∴△BCD的周长＝BC+CD+BD
＝BC+AD+BD
＝BC+AB
＝8+12
＝20（cm），
故选：C．
【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，能熟记线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解此题的关键．
11．C
【分析】由于三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．则可先求出，再求出，从而得到．
【详解】解：是的中线，
，
是的中线，
，
是的中线，
，
故选：．
【点睛】本题考查了三角形面积公式，熟练掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分是解题的关键．
12．C
【分析】根据三角板中角的度数及角平分线的概念逐个进行分析判断．
【详解】解：由题意可得：，，
∴，
∵BM为∠ABC的角平分线，BN为∠CBE的角平分线，
∴，，故③错误；
∴∠MBN==45o，故①正确；
∠BNE=180°-=60°，
∠BMC=90°-=60°，
∴∠BNE=∠BMC，故②正确；
，
∴2∠NBD=∠CBM，故④正确；
正确的是①②④，共3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，利用角平分线的定义计算角的度数是解答此题的关键．
13． 10 53
【分析】由已知abc＝a+50可化为ab(c﹣1)＝50，由于a、b、c都是正整数，a只能取5的倍数且最大值只能取50，即可得出 b、c的值，计算即可得出答案．
【详解】解：因为a＝a+50，
所以a﹣a＝50，
即a(c﹣1)＝50，
因为a、b、c都是正整数，
所以当a＝50时，b＝1，c＝2，a+b+c＝53，
当a＝25时，b＝1，c＝3，a+b+c＝29，
当a＝10时，b＝1，c＝6，a+b+c＝17，
当a＝5时，b＝2，c＝3，a+b+c＝10，
当a＝5时，b＝1，c＝11，a+b+c＝17，
所以则a+b+c的最小值是 10，最大值是53．
故答案为：10，53．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握整式的运算法则．
14．65
【分析】根据平行线的性质得到∠ABD=∠PDB，得到∠PDB=∠PCE，求得BD∥CE，根据平行线的性质得到∠CEG=∠DGH，根据角平分线的定义得到∠CEH=∠AEH，根据三角形外角的性质得到∠EGF=43°，于是得到结论．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠PDB，
∵∠ABD=∠PCE，
∴∠PDB=∠PCE，
∴BD∥CE，
∴∠CEG=∠DGH，
∵EH平分∠AEC，
∴∠CEH=∠AEH，
∵∠DGH=∠EGF，
∴∠EGF=∠GEF，
∵∠AFD=∠AEG+∠EGF=2∠EGF=86°，
∴∠EGF=43°，
∴∠DGH=43°，
∴∠PCE=∠PDG=∠H+∠DGH=65°，
故答案为：65．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形的外角的性质，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键．
15．
【分析】根据图2可判断AC=3，BC=4，则可确定t=6时BP的值，利用sinB的值，可求出PD．
【详解】解：由图2可得，AC=3，BC=4，根据勾股定理得AB=5
当t=6时，AC+CP=6，如图所示：
此时AC+CP=6，故BP=AC+BC-AC-CP= 3+4-6=1，
∵sinB=，
∴PD=BPsinB=1×=（cm）．
故答案为：．
【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解直角三角形，解答本题的关键是根据图2得到AC、BC的长度．
16．270°/270度
【分析】根据三角形的内角和定理及对顶角的性质可求得∠GCF+∠DBE=90°，再利用三角形的内角和定理可得∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，进而可求解∠D+∠G+∠AFG+∠AED的度数．
【详解】解：∵∠A+∠ACB+∠ABC=180°，∠A=90°，
∴∠ACB+∠ABC=90°，
∵∠GCF=∠ACB，∠DBE=∠ABC，
∴∠GCF+∠DBE=90°，
∵∠G+∠F+∠GCF=∠D+∠B+∠DBE=180°，
∴∠G+∠F+∠GCF+∠D+∠B+∠DBE=360°，
∴∠D+∠G+∠AFG+∠AED=270°，
故答案为：270°．
【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，掌握三角形的内角和定理是解题的关键．
17．80°/80度
【分析】作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于，此时周长最小，利用整体思想得出，从而得到答案．
【详解】如图，作点A关于CD的对称点，关于BC的对称点，连接交CD于，交BC于，
此时周长最小，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了轴对称，最短路径问题，三角形内角和定理等知识，运用整体思想是解题的关键．
18．(1)8
(2)
【分析】（1）先计算出BC的长度，再根据三角形的面积公式即可得到AF；
（2）根据是的一个外角，计算出，再根据角平分线的性质得到，再根据垂线的性质得到，最后根据三角形内角和定理即可计算出∠BAF．
【详解】（1）解：∵BD＝5，D是BC的中点，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵是的一个外角，
∴，
∵，，
∴，
∵BE是△ABD的角平分线，
∴，
∵，
∴,
∴．
【点睛】本题考查三角形内角和定理、三角形的高、三角形角平分线和三角形外角的性质，解题的关键是数量掌握相关知识．
19．（1）45；（2）当t=20秒或68秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAM与∠BMN关系不会变化
【分析】（1）因为邻补角互补，则∠BAC+∠BAD=180°，且∠BAD=∠BAC，则∠BAC：∠BAD=3：1，所以∠BAD=180°×=45°.（2）分情况讨论，①当0＜t＜60时，由平行线的性质可得∠EBE'=∠CAC'，所以3t=2（10+t），求解即可；②当60＜t＜80时，由平行线的性质可得∠EBE'+∠C'AD=180°，所以2（10+t）+（3t-180）=180，求解即可.（3）∠BAM与∠BMN关系不会变化，利用角的和差关系分别表示出∠BAM=3t-135°，
∠BMN= t-45°，则∠BMN=∠BAM，所以∠BAM和∠BMN关系不会变化．
【详解】解：（1）如图1，∵∠BAC+∠BAD=180°，∠BAD=∠BAC，
∴∠BAC：∠BAD=3：1，
∴∠BAD=180°×=45°，
故答案为45.
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，如图2，
∵CD∥EF，
∴∠EBE'=∠BE'A，
∵BE'∥AC'，
∴∠BE'A=∠CAC'，
∴∠EBE'=∠CAC'，
∴3t=2（10+t），
解得 t=20.
②当60＜t＜80时，如图3，
∵CD∥EF，
∴∠EBE'+∠BE'D=180°，
∵AC'∥BE'，
∴∠BE'D=∠C'AD，
∴∠EBE'+∠C'AD=180°，
∴2（10+t）+（3t-180）=180，
解得 t=68，
综上所述，当t=20秒或68秒时，两灯的光束互相平行.
（3）∠BAM与∠BMN关系不会变化.
．
理由如下：如图4，设灯A射线转动时间为t秒，
∵∠MAD=180°-3t，
∴∠BAM=∠BAD-∠MAD=45°-（180°-3t）=3t-135°，
又∵∠ABM=∠EBA-∠EBM=135°-2t，
∴∠BMA=180°-∠ABM-∠BAM=180°-（135°-2t）-（3t-135°）=180°-t，
又∵∠AMN=135°，
∴∠BMN=∠AMN -∠BMA=135°-（180°-t）=t-45°，
∴∠BAM：∠BMN=3：1，
即∠BMN=∠BAM，
∴∠BAM和∠BMN关系不会变化．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的综合问题，熟练掌握相关性质定理是解题关键.
20．(1)240
(2)10
(3)20或42.5或65
(4)195
【分析】（1）根据点P的运动可求出运动时间，再根据路程=速度×时间可求解；
（2）若∠FAE与∠B互余，则∠FAE=30°，由此可直接得出时间；
（3）分三种情况分类讨论，画出图形列出方程求解即可；
（4）由于三角形有三条边，分三种情况讨论，分别求出t的值，再求和即可．
【详解】（1）解：当点P到达点B时，所用时间t=160÷2=80（s），
此时∠FAE=3°×80=240°，
故答案为：240；
（2）解：当0＜t＜60时，点P在AB上，
由题意可知∠BAC=30°，∠B=60°，
若∠FAE与∠B互为余角，则∠FAE=30°，
∴t=30°÷3°=10（s），
故答案为：10；
（3）解：根据题意可知，∠EAD=45°，
若AE、AD、AB三条射线中，其中一条是另外两条射线夹角（小于180°）的角平分线，需要分三种情况：
①当射线AD是∠BAE的平分线时，如图1，
此时∠EAD=∠BAD=45°，
∴∠EAF=180°-∠BAC-∠EAD-∠BAD=60°，
此时t=60°÷3°=20（s）；
②当射线AB是∠DAE的平分线时，如图2，
此时∠EAB=∠DAB=22.5°，
∴∠EAF=180°-∠BAC-∠BAE=137.5°，
∴t=137.5°÷3°=42.5（s）；
③当射线AE是∠BAD的平分线时，如图3，
此时∠DAE=∠BAE=45°，
∴∠EAC=∠BAE-∠BAC=15°，
∴t=（180°+15°）÷3°=65（s），
故答案为：20或42.5或65．
（4）解：当△ACP的面积大于△ABC面积的一半时，点P在与AC平行的△ABC的中位线上方即可，此时t的取值范围为：160÷2÷2＜t＜（160+80÷2）÷2，
即40＜t＜100，
∴120°＜∠FAE＜300°，
根据题意可知，若△ADE的边所在直线与直线AB的夹角为90度，需要分以下三种情况：
①边DE⊥AB时，如图4，
此时∠EAF=150°，
∴t=150°÷3°=50（s）；
②边AD⊥AB时，如图5，
此时，射线AE旋转的角度为：150°+90°-45°=195°，
∴t=195°÷3°=65（s）；
③边AE⊥AB时，如图6，
此时，旋转角度为：150°+90°=240°，
∴t=240°÷3°=80（s），
∴50+65+80=195（s），
故答案为：195．
【点睛】本题角度的计算，包括垂直的定义，角平分线的定义等，涉及考查几何直观能力，分类讨论的数学思想，进行正确的分类及对t的限制是解题关键．
21．(1)3.6；
(2)①2.48；②见解析；
(3)，函数图象见解析；
(4)2.8cm或3.1cm．
【分析】（1）先通过勾股定理求出BC的长度，根据EC＝2cm，即可求出BE的长度，最后通过BP＝1．5PE即可求出BP的长度；
（2）①根据题意可知AP=AQ，当BP＝0时则点P与点B重合，此时勾股定理求出AE的长度，用AE-AQ即可求出QE的长度；②根据表格中的数据描点画图即可；
（3）根据BP是△PQE中某条边的1.5倍，可得到BP=1.5PQ或BP=1.5QE，即PQ=BP或QE=BP；将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2，直接写出y与x的函数表达式再画出该函数的图象即可；
（4）结合图象，分别找出与（2）中的两个函数图象的交点，找出交点的横坐标即可．
（1）
在Rt△ABC中，由勾股定理可得：BC=（cm）
∵EC＝2cm，
∴BE=BC-EC=8-2=6（cm），
∵BP＝1.5PE，
∴设PE=m，则BP=1.5m，
列出方程得：m+1.5m=6，解得：m=2.4，
∴BP=1.5m=1.5×2．4=3.6（cm），
故答案为：3.6；
（2）
①∵以A为圆心、AP的长为半径画弧交线段AE于点Q，
∴AP=AQ，
当BP=0时，点P与点B重合，此时AP=AB=6cm，
∴AQ=6cm，
由（1）可得：BE=6cm，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE=（cm），
∴QE=AE-AQ=≈2.48（cm），
故答案为：2.48；
②如图：
（3）
∵BP是△PQE中某条边的1.5倍，
∴BP=1.5PQ或BP=1.5QE，即PQ=BP或QE=BP；
将线段BP的长度记为x，PQ和QE的长度分别记为y1，y2，
∴，，
故还需要画出的函数图象，
如图：
（4）
由图可知，与两函数的交点分别为点M和点N，
∵点M的横坐标约为2.8；点N的横坐标约为3.1；
∴当BP是PQ或QE的1.5倍时，BP的长约为2.8cm或3.1cm，
故答案为：2.8cm或3.1cm
【点睛】本题主要考查了函数图象的画法，函数图象交点的意义以及勾股定理，仔细体会题意运用数形结合的思想来解决问题是解题的关键．
22．(1)22.5°；
(2)；
(3)；
(4)∠AOP =30°或54°；
【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到结论；
（2）根据OP和关于OB对称，得到，根据OP和关于OA对称，得到，根据角的和差即可得到结论；
（3）根据OP和关于OB对称，得到 ，根据OP和关 OA对称，求得，根据角的和差即可得到结论；
（4）①OP在∠AOB内部，如图4，②当OP 在∠AOB外部，根据轴对称的性质即可得到结论．
（1）
解：∵射线OB，OA关于OM 对称且∠AOB =45°，
∴∠AOМ=∠АОВ=×45°=22.5°，
故答案为：22.5°；
（2）
解：∵OP和 关于OB对称，
∴，
又∵OP 和关于OA对称，
∴，
∴，
∴；
（3）
解：OP和关于OB对称，
∴，
又OP和关于 OA 对称，
∴，
∵，
∴；
（4）
解：①OP在∠AOB内部，如图4，
∵OP，关于OB对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
②当OP在∠AOB 外部，
，
∴射线 OP 在射线 OB 的上面，如图5，
∵ OP，关于∠AOB的OB边对称，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，∠AOP =30或54°．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
答案第14页，共19页
答案第15页，共19页

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