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成都市高 2024届零诊模拟考试数学试题(文科)
时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：共 12道小题，每题 5分,共 60分.
1.直线 l1 : x + 2y 1= 0与直线 l2 : ax + y + 2 = 0平行，则a = ( )
1 1
A． B． C． 2 D． 2
2 2
1 i
2.设 z = + 2i，则 z 的虚部为( )
1+ i
A． i B．3i C．1 D．3
3.一组数据包括 47、48、51、54、55，则这组数据的标准差为( )
A． 10 B．5 2 C．10 D．50
4.已知函数 f (x) 在其定义域 R 上的导函数为 f (x)，当 x R 时，“ f (x) 0”是“ f (x) 单
调递增”的( )
A．充要条件 B．既不充分也不必要条件
C．必要不充分条件 D．充分不必要条件
x y
5.圆C : (x 1)2 + (y 1)2 =1与直线 l : + =1的位置关系为( )
4 3
A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定
6.如图所示的算法框图思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减相术”，执行该
算法框图，若输入的 a、b 分别为 36 、96 ，则输出的 a = ( )
A． 0 B．8 C．12 D．24
7.直线 x = 2 与抛物线C : y2 = 2px( p 0) 交于 D 、 E 两点，若OD OE = 0 ，其中O 为坐标
原点，则C 的准线方程为( )
1 1
A． x = B． x = C． x = 1 D. x = 2
4 2
x =10x,
8.函数 y = lg x的图象经过变换 : 后得到函数 y = f (x )的图象，则 f (x) = ( )
y = y + 2
A． 1+ lg x B．1+ lg x C． 3 + lg x D．3 + lg x
1
三、解答题：共 5道大题，共 70分.
1 3 f ( 1)17. （12分）设函数 f (x) = x x2 + 2x f (1) ，
3 4
(1)求 f ( 1)、 f (1) 的值；
(2)求 f (x) 在[0,2]上的最值.
18．（12分）如图 1，E、F、G分别是边长为 4的正方形的三边 AB、CD、AD的中点，先沿
着虚线段 FG 将等腰直角三角形 FDG 裁掉，再将剩下的五边形 ABCFG 沿着线段EF 折
起，连接 AB、CG 就得到了一个空间五面体，如图 2.
(1)若O 是四边形EBCF 对角线的交点，求证： AO// 平面GCF ；
2π
(2)若 AEB = ，求三棱锥 A BEF 的体积.
3
19．（12分）信创产业即信息技术应用创新产业，是一条规模庞大、体系完整的产业链，
是数字经济的重要抓手之一．在政府、企业等多方面的共同努力下，中国信创产业市
场规模不断扩大，市场释放出前所未有的活力．下表为 2018—2022年中国信创产业规
模（单位：千亿元），其中 2018—2022年对应的代码依次为 1~5．
年份代码 x 1 2 3 4 5
中国信创产业规模 y/千
8.1 9.6 11.5 13.8 16.7
亿元
(1)从 2018—2022 年中国信创产业规模中任取 2个数据，求这 2个数据都大于 10的概
率．
(2)由上表数据可知，可用指数型函数模型 y = a bx 拟合 y 与 x的关系，请建立 y 关于
x的回归方程（ a，b 的值精确到 0.01），并预测 2023年中国信创产业规模能否超过
20千亿元．
参考数据：
5
1.919 0.177
v xivi e e 1.19
6
i=1
2.45 38.52 6.81 1.19 2.84
1 5
其中vi = ln yi ， v = vi ．
5 i=1
参考公式：对于一组数据 (u1, w1 )， (u2 , w2 )，…， (u n , wn )，其回归直线 w = + u 的
n
uiwi nuw
i=1
斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 = ， n = w
u ．
2
u2i nu
i=1
3
x2 y2
20. （12分）椭圆C : + =1(a b 0) 上顶点为 B ，左焦点为 F ，中心为O .已知T 为
a2 b2
x轴上动点，直线 BT 与椭圆C 交于另一点 D ；而 P 为定点，坐标为 ( 2, 3)，直线PT
与 y 轴交于点Q .当T 与 F 重合时，有 | PB |=| PT |，且 2BT = BP + BQ .
(1)求椭圆C 的标准方程；
3
(2)设T 的横坐标为 t ，且 t (0,1)，当△ DTQ面积等于 时， 求 t 的取值.
5
21.（12分）设函数 f (x) = ex ax ，其中 a R .
(1)讨论函数 f (x) 在 [1,+ ) 上的极值；
1 +1
(2)若 a =1，设 f (x)为 f (x) 的导函数，当 t 1时，有 + ，求正
f (ln t) f ( ln t) ln t
实数 的取值范围.
22.（10分）在平面直角坐标系 xOy 中,以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，

曲线C 和直线 l 的极坐标方程分别为 = 2sin + 2acos 和 sin(x ) = 2 .且二者
4
交于M , N 两个不同点.
（1）写出曲线C 和直线 l的直角坐标方程；
（2）若点P 的极坐标为 (2, )， PM + PN = 5 2 ，求a的值.
4
成都市高 2024届零诊模拟考试数学参考答案(文科)
一、单选题：共 12道小题，每题 5分,共 60分.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C A D A C B B C C C B
二、填空题：共 4道小题，每题 5分,共 20分.
5
13. x0 0 ， tan x0 x0 14. x + y = 0 15. 80.5 16. [ ,2)
4
三、解答题：共 5道大题，共 70分.
17. （12分）
f ( 1) f ( 1)
解：(1)由题设知 f (x) = x2 x + 2，取 x = 1，则有 f ( 1) = 3+ ，即 f ( 1) = 6 ；
2 2
1
也即 f (x) = x3
3 5 5
x2 + 2x f (1)，取 x =1，则有 f (1) = f (1) ，即 f (1) = .
3 2 6 12
5
故 f ( 1) = 6 ， f (1) = . ……6分
12
1 3 5
(2)由(1)知 f (x) = x3 x2 + 2x ， f (x) = x2 3x + 2 = (x 1)(x 2) ，
3 2 12
x 0 (0，1) 1 (1，2) 2
f (x) + 0 -
f (x) 5 单增 极 大 值 单减 1

12 5 4
12
5 5
故 f (x)max = f (1) = ， f (x)min = f (0) = . ……12分
12 12
18．（12分）
解：（1）在图 2中取线段CF 中点 H，连接OH、GH ，如图所示：
由图 1可知，四边形EBCF 是矩形，且CB = 2EB ，
1
∴O 是线段BF 与CE 的中点，∴OH //BC 且OH = BC ，
2
1
图 1中 AG //EF 且 AG = EF ，而 EF //BC 且 EF = BC .
2
1
所以在图 2中， AG //BC 且 AG = BC ，
2
∴ AG//OH 且 AG =OH ，
∴四边形 AOHG 是平行四边形，则 AO//HG ，
由于 AO 平面GCF ，HG 平面GCF ，
∴ AO// 平面GCF . ……6分
1
2t t2 3 2
而 3 = ，解得 t = ,或t =1(舍去) .
t2 + 4 5 3
2
故 t 的取值为 . ……12分
3
21.（12分）
解：(1)由 f (x) = ex ax 知 f (x) = ex a ，
1） 当 a e时，且有 x [1,+ )， f (x) 0 ， f (x) 单增，故无极值；
2） 当 a e 时，有 x (1, ln a) ， f (x) 0 ， f (x) 单减，而 x (ln a,+ ) ， f (x) 0，
f (x) 单增，故 f (x) = f (ln a) = a a ln a ， f (x) 无极大值.
极小值
综上，当 a e时， f (x) 无极值；
当 a e 时， f (x) 极小值为 a a ln a ， f (x) 无极大值. ……4分
1 t +1
(2)由(1)可知 f (x) = ex 1，即有 + ，
t 1 1 t ln t
( +1)(t 1)
整理可令得 F(t) = ln t 0 , ……6分
t +1
1 ( +1)2 ( 2t 1)(t 1)
而 F (t) = = ， ……7分
t ( t +1)2 t( t +1)2
(t 1)2
1）当 1时，且 t (1,+ ) ，有 F (t) 0 ，F (t)单增，F (t) F (1) = 0，
t( t +1)2
满足题设； ……9分
1
2）当 0 1时，且 t (1, )，有 F (t) 0，F (t)单减，F (t) F (1) = 0 ，不满足
2
题设； ……11分
综上， 的取值范围为[1,+ ) . ……12分
22.（10分）
解：（1）由 = 2sin + 2acos ，得 2 = 2 sin + 2a cos ，
2 2
故曲线C 的直角坐标方程为 x + y = 2y + 2ax，即 (x a)2 + (y 1)2 = a2 +1；

由 sin( ) = 2 ，得 sin cos = 2 ，
4
故直线 l 的直角坐标方程为 y = x + 2 . ……4分
2
x = 2+ t
2
（2）点 P 的直角坐标为 ( 2,0) ，在直线 l上，而直线 l的标准参数方程为
2
y = t
2
t 2 2
2
( 为参数），将其代入 x + y = 2y + 2ax，整理可得 t (3 2 + 2a) t + 4a + 4 = 0 .
由题设知 = 2(3+ a)2 4(4a + 4) = 2(a 1)2 0，解得a 1.
又 t1 + t2 = 3 2 + 2a ， t1t2 = 4a + 4 .
当 a 1,且a 1时，有 t1, t2 0，则 | PM | + | PN |=| t1 | + | t2 |= t1 + t2 = 2(a + 3) = 5 2 ，
解得 a = 2；

当 a 1时，有 t1t2 0 ，则 | PM | + | PN |=| t1 | + | t2 |=| t1 t2 |= = 2 | a 1|= 5 2 ，解
1
得 a = 4 .
故 a的值为 2或-4. ……10分
3

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