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专题11 与一元一次不等式的应用题 高频考点（精讲）
专题前言
应用题在中考中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就一元一次不等式（组）不等式的应用题：分配不足问题、方案问题、费用优化问题、利润问题等问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
知识储备
不等式的应用题，与等式应用题类似，主要思路为：a.根据题意，列写不等关系式；b.设未知数，使之方便表示不等关系式；c.根据不等关系，列写不等关系式；d.解不等式求解问题。
高频考点
高频考点1. 分配不足问题
【解题技巧】不等式应用题从另一个角度可分为两大类：①含有明确的不等词（不少于、多余、不超过……）：将不等词化为不等号，以不等号的具体实际含义列出不等式；②不含有明确的不等词：根据题意中的实际意义列不等式。
例1．（2022·浙江·八年级阶段练习）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（　　）
A．24人 B．23人 C．22人 D．不能确定
【答案】C
【分析】根据若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，可以列出相应的不等式组，再求解，注意x为整数．
【详解】解：设每组预定的学生数为x人，由题意得，
解得是正整数故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，属于常规题，掌握相关知识是解题关键．
例2．（2022 市中区八年级期中）某幼儿园把一筐桔子分给若干个小朋友，若每人3只，那么还剩59只，若每人5只，那么最后一个小朋友分到桔子，但不足4只，试求这筐桔子共有多少只？
解：设幼儿园共有x名小朋友，则桔子的个数为（3x+59）个，
由“最后一个小朋友分到桔子，但不足4个”可得不等式组
0＜（3x+59）﹣5（x﹣1）＜4，解得30＜x＜32，
∴x＝31，∴有桔子3x+59＝3×31+59＝152（个）．
答：这筐桔子共有152个．
变式1．（2022春·广东揭阳·八年级校考阶段练习）某校将若干间宿舍分配给八年级（1）班女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，且有一间住不满．那么该班有____________名女生．
【答案】30
【分析】设有x间宿舍，由题意得，，进行计算即可得，结合实际问题可得，进行计算即可得女生人数．
【详解】解：设有x间宿舍，由题意得，，
解不等式①，得，解不等式②，得，∴不等式组的解集为：，
∵x为整数，∴，则女生人数为：（名），故答案为：30．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的运用，解题的关键是理解题意，能够根据题意列出一元一次不等式组并正确计算．
变式2．（2022·浙江杭州·八年级校考期中）某班共有48人，人人都会下棋，会下象棋的人数是会下围棋人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的有（ ）
A．20人 B．19人 C．11人或13人 D．19人或20人
【答案】D
【分析】设会下围棋的有x人，则会下象棋的有（2x-3）人，由两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，可得出不等式组，解出即可．
【详解】解：设会下围棋的有x人，则会下象棋的有（2x-3）人，
由题意得：5≤x+（2x-3）-48≤9，解得：≤x≤20，
故可得会下围棋的人数有19人或20人．故选D．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是表示出两种棋都会下的人数，有一定难度．
高频考点2：方案问题
【解题技巧】解决此类问题，依旧先按照普通不等式组解决问题的高频考点进行，最终会得到一个取值范围。那么提出的方案只需要符合这个取值范围即可。
例1．（2022·重庆·七年级期中）“学党史，办实事”，为解决停车难问题，某区政府治堵办对老旧小区新增停车位给予补贴，对于通过划线方式新增的和建设改造新增的给予不同的补贴．划线4个和建设改造3个，共补贴8000元；划线1个和建设改造1个，共补贴2500元．
(1)政府对划线新增一个停车位和建设改造新增一个停车位分别补贴多少元？
(2)在（1）的条件下，政府计划对老旧小区一共新增车位100个，建设改造新增的停车位不得少于划线新增停车位的1.5倍，且政府补贴不超过143000元，则老旧小区新增停车位共有几种方案？
【答案】(1)政府对划线新增一个停车位补贴500元，对建设改造新增一个停车位补贴2000元
(2)共有3种方案
【分析】（1）设政府对划线新增一个停车位补贴x元，对建设改造新增一个停车位补贴y元，根据“划线4个和建设改造3个，共补贴8000元；划线1个和建设改造1个，共补贴2500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设老旧小区划线新增m个停车位，则建设改造新增（100-m）个停车位，根据“建设改造新增的停车位不得少于划线新增停车位的1.5倍，且政府补贴不超过143000元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出老旧小区新增停车位方案的个数．
【详解】(1)设政府对划线新增一个停车位补贴元，对建设改造新增一个停车位补贴元，
依题意得：，解得：．
答：政府对划线新增一个停车位补贴500元，对建设改造新增一个停车位补贴2000元．
(2)设老旧小区划线新增个停车位，则建设改造新增个停车位，
依题意得：，解得：．
又为整数，可以为38，39，40，老旧小区新增停车位共有3种方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
变式1．（2022·湖南·八年级期中）太阳山晨光文具店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店有哪几种进货方案？
【答案】（1）购进A种纪念品每件需10元，购进B种纪念品每件需5元；（2）该商店共有3种进货方案．方案1为购进A种纪念品50件，购进B种纪念品50件；方案2为购进A种纪念品51件，购进B种纪念品49件；方案3为购进A种纪念品52件，购进B种纪念品48件．
【分析】（1）根据题目条件列出二元一次方程组求解即可；
（2）根据题目条件列出一元一次不等式组求解即可．
【详解】解：（1）设购进A纪念品每件需x元，购进B纪念品每件需y元．
根据题意可得解得
答：购进A种纪念品每件需10元，购进B种纪念品每件需5元．
（2）设购进A种纪念品m件，则购进B种纪念品件．
根据题意可得，解得．
因为m为购进A种纪念品的件数，所以m只能取正整数．
所以m取50，51，52，此时取50，49，48．故该商店共有3种进货方案．
方案1为购进A种纪念品50件，购进B种纪念品50件；
方案2为购进A种纪念品51件，购进B种纪念品49件；
方案3为购进A种纪念品52件，购进B种纪念品48件．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组或者不等式组是解题关键．
变式2．（2022·河北·七年级期末）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和2辆B型车，销售额为70万元；本周已售出3辆A型车和1辆B型车，销售额为80万元．（1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共7辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于150万元，则有哪几种购车方案？
【答案】（1）每辆车A型车的售价为18万元，每辆车B型车的售价为26万元；（2）有3种购车方案：购进A型车2辆，购B型5辆；购进A型车3辆，购B型4辆；购进A型车4辆，购B型3辆
【分析】（1）设每辆车型车的售价为万元，每辆车型车的售价为万元，根据“1辆型车和2辆型车，销售额为70万元；本周已售出3辆型车和1辆型车，销售额为80万元”即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型车辆，则购进型车辆，根据总价单价数量结合购车总费用不超过150万元，型号车不少于2辆，即可得出关于的一元一次不等式，再解即可．
【详解】解：（1）设每辆车A型车的售价为x万元，每辆车B型车的售价为y万元，
依题意，得：，解得：，
答：每辆车A型车的售价为18万元，每辆车B型车的售价为26万元．
（2）设购进A型车m辆，则购进B型车（7﹣m）辆，
依题意，得：，解得：，
又∵m为整数且m≥2，∴m=2或3或4，
答：有3种购车方案：购进A型车2辆，购B型5辆；购进A型车3辆，购B型4辆；购进A型车4辆，购B型3辆．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
例2．（2022·江苏·七年级专题练习）某市七年级“新体考”新增了“三大球”选考项目，即足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球行进间运球上篮．为了使学生得到更好的训练，某学校计划到某商场采购一批足球和排球，该商场的每个足球与每个排球的标价之和为90元；若按标价购买4个足球、5个排球，则共需400元．（1）该商场足球和排球的标价分别是多少元？（2）若该商场有两种优惠方式：
方式一：足球和排球一律按标价8折优惠；
方式二：每购买2个足球，赠送1个排球（单买排球按标价计算）．
①若学校需采购足球、排球各50个，你认为应该采用哪种优惠方式购买合算？
②若学校计划在此商场采购足球、排球共100个，其中足球数量为偶数且不超过48个，并且用方式二购买的费用不超过用方式一购买的费用，请问学校有几种采购方案，并说明理由．
【答案】（1）该商场足球的标价为50元个，排球的标价为40元个；（2）①采用优惠方式二购买合算；②学校有2种采购方案．
【分析】（1）设该商场足球的标价为元个，排球的标价为元个，根据“该商场的每个足球与每个排球的标价之和为90元；若按标价购买4个足球、5个排球，则共需400元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出该商场足球和排球的标价；
（2）①利用总价单价数量，结合两种优惠方式的优惠策略，即可分别求出采用两次优惠方式所需费用，比较后即可得出采用优惠方式二购买合算；
②设购买足球个，则购买排球个，根据“购买足球的数量不超过48个，并且用方式二购买的费用不超过用方式一购买的费用”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数且为偶数，即可得出采购方案的个数．
【详解】解：（1）设该商场足球的标价为元个，排球的标价为元个，
依题意得：，解得：．
答：该商场足球的标价为50元个，排球的标价为40元个．
（2）①采用优惠方式一的费用为（元；
采用优惠方式二的费用为（元．
答：采用优惠方式二购买合算．
②设购买足球个，则购买排球个，
依题意得：，解得：．
又为正整数，且为偶数，可以取46，48，学校有2种采购方案．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）①利用总价单价数量，分别求出采用两种优惠方式所需费用；②根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
变式3．（2022·河南·校联考三模）为贯彻落实双减政策，丰富学生课外活动，学校决定购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需550元，购买3个篮球和2个足球共需900元．
(1)求篮球和足球的单价；
(2)为积极响应“双减”政策，商场近期针对学生购买体育用品进行促销活动．
购买数量不少于20个 购买数量不少于20个
篮球 不打折 打8折
足球 不打折 打7.5折
若学校需要购买篮球、足球共40个，且购买足球的数量不多于篮球数量的，如何购买才能使花费最小，最少费用为多少元？
【答案】(1)篮球单价为200元，足球单价为150元
(2)当时，有最小值为6300元，即购买30个篮球，10个足球
【分析】（1）设篮球单价为元，足球单价为元，再根据购买2个篮球和1个足球共需550元，购买3个篮球和2个足球共需900元列出方程组求解即可；
（2）设购买篮球个，足球个，根据购买足球的数量不多于篮球数量的，可确定，设购买篮球、足球得总费用为，则，由此利用一次函数的性质求解即可．
(1)解：设篮球单价为元，足球单价为元，
由题意可知：，解得，∴篮球单价为200元，足球单价为150元，
答：篮球单价为200元，足球单价为150元；
(2)解：设购买篮球个，足球个，由题意可知，，解得：，
设购买篮球、足球得总费用为，则，
∵，∴随的增大而增大，
∴当时，有最小值为6300元，即购买30个篮球，10个足球，
答：购买30个篮球，10个足球才能使花费最小，最小为6300元．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意，列出式子求解是解题的关键．
高频考点3. 利润问题
例1．（2022·重庆八年级阶段练习）节日将至，某水果店打算将红心猕猴桃、奉节脐橙、阿克苏糖心苹果以鲜果礼盒的方式进行销售．其中一个红心猕猴桃与一个阿克苏糖心苹果成本价之和为一个奉节脐橙的成本价的两倍，一个阿克苏糖心苹果与一个红心猕猴桃成本价之差的两倍等于一个奉节脐橙的成本价．商家打算将甲种鲜果礼盒装红心猕猴桃6个、奉节脐橙4个、阿克苏糖心苹果6个；乙种鲜果礼盒装红心猕猴桃8个、奉节脐橙4个、阿克苏糖心苹果6个；丙种鲜果礼盒装红心猕猴桃4个、奉节脐橙8个、阿克苏糖心苹果8个．已知每个鲜果礼盘的成本价定为各水果成本价之和，每个甲种鲜果礼盒在成本价的基础上提高之后进行销售，每个乙种鲜果礼盒的利润等于两个阿克苏糖心苹果的成本价，每个丙种鲜果礼盒的利润率和每个乙种鲜果礼盒时利润率相等．某单位元旦节发福利，准备给每个员工发一个鲜果礼盒．采购员向该水果店预订了80个甲种鲜果礼盒，预订乙种鲜果礼盒的数量与丙种鲜果礼盒的数量之差位于12和28之间．该水果店通过核算，此次订单的利润率为，则该单位一共有________名员工．
【答案】140
【分析】设一个红心猕猴桃的成本价为x元，一个奉节脐橙的成本价为z元，一个阿克苏糖心苹果的成本价为y元，然后由题意易得，则有甲种鲜果礼盒的成本价为元，乙种鲜果礼盒的成本价为元，丙种鲜果礼盒的成本价为元，进而可得甲的利润为元，乙的利润为元，利润率为，丙的利润为元，设预定乙种鲜果礼盒的数量为m，丙种鲜果礼盒的数量为n，则根据“订单的利润率为”列出方程，最后根据“预订乙种鲜果礼盒的数量与丙种鲜果礼盒的数量之差位于12和28之间”来求解即可．
【详解】解：设一个红心猕猴桃的成本价为x元，一个奉节脐橙的成本价为z元，一个阿克苏糖心苹果的成本价为y元，由题意得：
，解得：，∴甲种鲜果礼盒的成本价为元，乙种鲜果礼盒的成本价为元，丙种鲜果礼盒的成本价为元，
∴甲的利润为元，乙的利润为元，则有它的利润率为，进而可得丙的利润为元，设预定乙种鲜果礼盒的数量为m，丙种鲜果礼盒的数量为n，由题意得：
，化简得：，∴，
∵预订乙种鲜果礼盒的数量与丙种鲜果礼盒的数量之差位于12和28之间，
∴，即，解得：，
∵m为正整数，∴m的值可能为36、37、38、39、40、41、42、43、44，
∵n为正整数，∴是6的倍数，∴，
∴该单位一共有80+40+20=140（名）；故答案为140．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用，熟练掌握利用消元思想及不定方程的求解方法是解题的关键．
变式1．（2023春·重庆南岸·八年级校考阶段练习）某超市在元宵节这天对几种零食进行清仓促销．已知巧克力、薯片和瓜子的成本价分别为12元/袋、8元/袋、6元/袋，折后售价之比为，白天三种商品销量之比为．下午六点后，超市进行大促，每种商品都参加“买4送1”活动（即每5袋捆绑在一起销售，只付4袋的费用）．截止到营业时间结束时，三种商品均售出了白天销量的一半，且全天总销量超过250袋且不足350袋（商品的销量为整数）．已知这天薯片的销售额为1344元，则全天的利润为______元．
【答案】
【分析】设巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元，设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋，则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋，根据全天总销量超过250袋且不足350袋，这天薯片的销售额为1344元，列出不等式组和方程，求解出的值，最后计算全天的利润即可．
【详解】由题意得，
设巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元，
设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋，
则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋，
∵全天总销量超过250袋且不足350袋，这天薯片的销售额为1344元，
∴，解得，
∴巧克力、薯片和瓜子的折后售价分别为元，元，元，
设巧克力、薯片和瓜子白天三种商品的销量分别为袋，袋，袋，
则巧克力、薯片和瓜子三种商品活动后的销量分别为袋，袋，袋，
∴全天的利润为
（元），故答案为：．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，列出方程是解题的关键．
例2．（2022春·北京西城·七年级校考期末）《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》中明确指出：“健康体魄是青少年为祖国和人民服务的基本前提，是中华民族旺盛生命力的体现．”王老师所在的学校为加强学生的体育锻炼，需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表：
足球数量（个） 篮球数量（个） 总费用（元）
第一次 6 5 700
第二次 3 7 710
第三次 7 8 693
(1)王老师是第　　次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的；
(2)求足球和篮球的标价；
(3)如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销，王老师决定从该商场一次性购买足球和篮球60个，且总费用不能超过2500元，那么最多可以购买　　个篮球．
【答案】(1)三(2)50元，80元(3)38个
【分析】（1）根据图表可得按打折价购买足球和篮球是第三次购买；
（2）设足球的标价为元，篮球的标价为元，根据图表列出方程组求出和的值；
（3）设购买个篮球，根据从该商场一次性购买足球和篮球60个，且总费用不能超过2500元，列出不等式求解即可．
【详解】（1）解：王老师是第三次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售．
理由：王老师在某商场购买足球和篮球共三次，只有一次购买时，足球和篮球同时打折，其余两次均按标价购买，且只有第三次购买数量明显增多，但是总的费用不高，
按打折价购买足球和篮球是第三次购买；
（2）解：设足球的标价为元，篮球的标价为元．
根据题意，得，解得：．
答：足球的标价为50元，篮球的标价为80元；
（3）解：设购买个篮球，依题意有
，解得．
故最多可以买38个篮球．故答案为：三；38．
【点睛】本题考查了一元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
变式2．（2022春·山东东营·七年级统考期末）某种家用电器的进价为每件800元，以每件1200元的标价出售，由于电器积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的（ ）折出售
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【分析】设按标价的x折出售，根据利润率不低于5%列，计算可得．
【详解】解：设按标价的x折出售，由题意得
，解得，
∴最低可按标价的七折出售，故选：B．
【点睛】此题考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
高频考点4：费用优化问题
费用优化问题是在方案问题上进一步深化，再求出费用（结果）最大（小）的方案。
解题方法为：先按照方案问题，求解出所有合适的方案，在求出各个方案的费用（结果），比较得出费用最大（小）利润（结果）的方案。
例1．（2022·浙江嘉兴市·八年级期末）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共10台，具体情况如下表：经预算，企业最多支出136万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于2150吨．（1）该企业有哪几种购买方案？（2）哪种方案更省钱？并说明理由．
A型 B型
价格（万元/） 15 12
月污水处理能力（吨/月） 250 200
【答案】（1）有3种购买方案：第一种是购买3台A型污水处理设备，7台B型污水处理设备；第二种是购买4台A型污水处理设备，6台B型污水处理设备；第三种是购买5台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备；（2）购买3台A型污水处理设备，7台B型污水处理设备更省钱
【分析】（1）设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（10﹣x）台，由不等量关系购买A型号的费用+购买B型号的费用≤136；A型号每月处理的污水总量+B型号每月处理的污水总量≥2150，列出不等式组，然后找出最合适的方案即可．（2）计算出每一方案的花费，通过比较即可得到答案．
【详解】设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（10﹣x）台，
根据题意，得， 解这个不等式组，得：．
∵x是整数，∴x=3或x=4或x=5．当x=3时，10﹣x=7；当x=4时，10﹣x=6；当x=5时，10-x=5．
答：有3种购买方案：第一种是购买3台A型污水处理设备，7台B型污水处理设备；
第二种是购买4台A型污水处理设备，6台B型污水处理设备；
第三种是购买5台A型污水处理设备，5台B型污水处理设备；
（2）当x=3时，购买资金为15×3+12×7=129（万元），
当x=4时，购买资金为15×4+12×6=132（万元），
当x=5时，购买资金为15×5+12×5=135（万元）．
因为135＞132>129，所以应购污水处理设备A型号3台，B型号7台．
答：购买3台A型污水处理设备，7台B型污水处理设备更省钱．
【点睛】此题考查方案类不等式组的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意，根据题意列得不等式组是解题的关键．
变式1．（2022·重庆八中八年级阶段练习）某木板加工厂将购进的A型、B型两种木板加工成C型，D型两种木板出售，已知一块A型木板的进价比一块B型木板的进价多10元，且购买2块A型木板和3块B型木板共花费220元．（1）A型木板与B型木板的进价各是多少元？
（2）根据市场需求，该木板加工厂决定用不超过8780元购进A型木板、B型木板共200块，若一块A型木板可制成2块C型木板、1块D型木板；一块B型木板可制成1块C型木板、2块D型木板，且生产出来的C型木板数量不少于D型木板的数量的．①该木板加工厂有几种进货方案？②若C型木板每块售价30元，D型木板每块售价25元，且生产出来的C型木板、D型木板全部售出，哪一种方案获得的利润最大，求出最大利润是多少？
【答案】（1）A型木板的进价为50元/块，B型木板的进价为40元/块；（2）①该木板加工厂有4种进货方案；方案1：购进A型木板75块，B型木板125块；方案2：购进A型木板76块，B型木板124块；方案3：购进A型木板77块，B型木板123块；方案4：购进A型木板78块，B型木板122块．②方案1购进A型木板75块，B型木板125块利润最大，最大利润为7625元．
【分析】（1）设A型木板的进价为x元/块，B型木板的进价为y元/块，根据“一块A型木板的进价比一块B型木板的进价多10元，购买2块A型木板和3块B型木板共花费220元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）①设购入A型木板m块，则购入B型木板（200-m）块，由购进木板的总资金不超过8780元且生产出来的C型木板数量不少于D型木板的数量的，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数即可得出各进货方案； ②根据利润=销售收入-进货成本，分别求出4个进货方案的销售利润，比较后即可得出结论．
【详解】解：（1）设A型木板的进价为x元/块，B型木板的进价为y元/块，
依题意，得：， 解得：．
答：A型木板的进价为50元/块，B型木板的进价为40元/块．
（2）①设购入A型木板m块，则购入B型木板（200-m）块，
依题意，得：， 解得：75≤m≤78．
∵m为整数， ∴m=75，76，77，78． ∴该木板加工厂有4种进货方案，
方案1：购进A型木板75块，B型木板125块；
方案2：购进A型木板76块，B型木板124块；
方案3：购进A型木板77块，B型木板123块；
方案4：购进A型木板78块，B型木板122块．
②方案1获得的利润为（75×2+125）×30+（75+125×2）×25-75×50-125×40=7625（元），
方案2获得的利润为（76×2+124）×30+（76+124×2）×25-76×50-124×40=7620（元），
方案3获得的利润为（77×2+123）×30+（77+123×2）×25-77×50-123×40=7615（元），
方案4获得的利润为（78×2+122）×30+（78+122×2）×25-78×50-122×40=7610（元）．
∵7625＞7620＞7615＞7610，
∴方案1购进A型木板75块，B型木板125块利润最大，最大利润为7625元．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）①根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；②利用利润=销售收入-进货成本，分别求出4个进货方案的销售利润．
变式2．（2022 衡阳县期末）星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
解：（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台，
根据题意得：，解得：，
∴20×（250﹣200）+10×（200﹣160）＝1400（元）．
答：橱具店在该买卖中赚了1400元．
（2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台，
根据题意得：，解得：23≤a≤25．
又∵a为正整数，∴a可取23，24，25．
故有三种方案：①购买电饭煲23台，购买电压锅27台；②购买电饭煲24台，购买电压锅26台；③购买电饭煲25台，购买电压锅25台．
（3）设橱具店赚钱数额为w元，
当a＝23时，w＝23×50+27×40＝2230；
当a＝24时，w＝24×50+26×40＝2240；
当a＝25时，w＝25×50+25×40＝2250；
综上所述，当a＝25时，w最大，
即购进电饭煲、电压锅各25台时，橱具店赚钱最多．
高频考点5：其他问题
例1．（2022·江苏·七年级专题练习）中午放学后，有a个同学在学校一食堂门口等侯进食堂就餐，由于二食堂面积较大，所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍，开始配餐后，仍有学生续前来排队等候就餐，设一食堂排队的学生人数按固定的速度增加，且二食堂学生人数增加的速度是一食堂的2倍，两个食堂每个窗口阿姨配餐的速度是一样的，一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放2个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；若需要在15分钟内配餐完毕，则两个食堂至少需要同时一共开放___个配餐窗口．
【答案】29
【分析】设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，根据“一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放20个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕”，即可得出关于x，y，a的三元一次方程组，解之即可用含y的代数式表示出a，x，设设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，根据需要在15分钟内配餐完毕，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
【详解】解：设每分钟来一食堂就餐的人数为x人，食堂每个窗口阿姨配餐的速度为每分钟y人，则每分钟来二食堂就餐的人数为2x人，依题意得：，∴，
设两个食堂同时一共开放m个配餐窗口，
依题意得：15my≥a+2a+15×（x+2x），解得：m≥29．故答案为：29．
【点睛】本题考查了三元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键．
变式1．（2023春·广西八年级课时练习）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至多15元．”乙说：“至少12元．”丙说：“至少10元．”小明说：“这本书的价格是你们三个人所说价格的公共部分”．则这本书的价格（元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据“这本书的价格是你们三个人所说价格的公共部分”得出不等式组解答即可．
【详解】根据题意可得：，可得：，
∴这本书的价格（元）所在的范围为 故选：D．
【点睛】此题考查一元一次不等式组的应用，关键是根据题意得出不等式组．
变式2．（2023春·北京海淀·九年级校考阶段练习）某工厂生产I号、II号两种产品，并将产品按照不同重量进行包装，已知包装产品款式有三种：A款，B款，C款，且三款包装的重量及所含I号、II号产品的重量如下表：
包装款式 包装的重量（吨） 含I号新产品的重量（吨） 含II号产品的重量（吨）
A款 6 3 3
B款 5 3 2
C款 5 2 3
现用一辆最大载重量为28吨的货车一次运送5个包装产品，且每种款式至少有1个．
（1）若恰好装运28吨包装产品，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为______；
（2）若装运的I号产品不超过13吨．同时装运的II号产品最多，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为___．（写出一种即可）
【答案】 3，1，1 1，1，3
【分析】（1）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，根据题意可得方程组，求解即可；（2）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，则，解得，然后由装运的I号产品不超过13吨，同时装运的II号产品最多，可得不等式组，进一步分析即得结果．
【详解】解：（1）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，
则，解得，
由于x、y、z为整数，且每种款式至少有1个，所以，故答案为：3，1，1；
（2）设装运方案中A款、B款、C款的个数依次x、y、z，
则，解得，
∵装运的I号产品不超过13吨，同时装运的II号产品最多，
∴，
当时，，
符合题目要求；故答案为：1，1，3．
【点睛】本题考查了三元一次方程组和不等式组的应用，正确理解题意、列出相应的方程组和不等式组是解题的关键．
变式3．（2022·福建·厦门一中八年级期末）A、B两地相距25km，甲上午8点由A地出发骑自行车去B地，乙上午9点30分由A地出发乘汽车去B地．(1)若乙的速度是甲的速度的4倍，两人同时到达B地，请问两人的速度各是多少 (2)已知甲的速度为，若乙出发半小时后还未追上甲，此时甲、乙两人的距离不到，判断乙能否在途中超过甲，请说明理由．
【答案】(1)甲的速度是12.5千米/时，乙的速度是50千米/时；(2)乙能在途中超过甲．理由见解析
【分析】（1）设甲的速度是x千米/时，乙的速度是4x千米/时，根据A、B两地相距25千米，甲骑自行车从A地出发到B地，出发1.5小时后，乙乘汽车也从A地往B地，且两人同时到达B地，可列分式方程求解；（2）根据乙出发半小时后还未追上甲，此时甲、乙两人的距离不到，列不等式组求得乙的速度范围，进步计算即可判断．
(1)解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度是4x千米/时，
由题意，得，解得x=12.5，
经检验x=12.5是分式方程的解，12.5×4=50．
答：甲的速度是12.5千米/时，乙的速度是50千米/时；
(2)解：乙能在途中超过甲．理由如下：
设乙的速度是y千米/时，由题意，得，解得：44甲走完全程花时间：小时，则乙的时间为：小时，
∴乙小时走的路程s为：×44【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等和不等关系，并据此列出方程和不等式组．
例2．（2022年广东八年级数学应用知识展示试题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城周长的最小值为（ ）（注：1里=300步，且两个正数的和大于等于其积开方的两倍，当两数相等时取等号）．
A．里 B．里 C．里 D．里
【答案】D
【分析】根据题意得出，进而可得出EF GF＝AG BE＝10，结合基本不等式求4（EF+GF）的最小值即可．
【详解】因为1里=300步，则由图知步=4里，步=2.5里，
由题意，得，则，
所以该小城的周长为，当且仅当时等号成立． 故选D
【点睛】本题考查基本不等式的实际应用，考查数学运算和直观想象的能力，属于中档题．
变式1．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）疫情的发生，各地积极响应政府“管住门，看住人”的要求，温华物业管理有限公司，对管辖的各小区实行门绳拦截管理，对符合3天出门一次采购生活用品的人员才能签证放行，为此，他们要把长19米的绳子剪成2米或1米的绳子，分发给各小区，请帮助公司设计有（ ）种裁剪方案．
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【分析】设2米长的绳子x根，则1米长的绳子为根，根据绳子的根数为正整数列出不等式组，解不等式组即可．
【详解】解：设2米长的绳子x根，则1米长的绳子为根，根据题意得：
，解得：，
∵x必须取正整数，∴，，，4，5，6，7，8，9，
∴有9种裁剪方案，故B正确．故选：B．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组．
变式2．（2022·北京西城·八年级期末）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．4
【答案】C
【分析】根据三角形三边关系列出不等式，根据不等式的解集求整数m的最大值．
【详解】解：条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则，即
又为整数，则整数m的最大值是7故选C
【点睛】本题考查求不等式的整数解，三角形三边关系，根据三角形的三边关系列出不等式是解题的关键．
变式3．（2022·浙江诸暨·八年级期中）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖的纸盒．
（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设竖式纸盒x个，需要长方形纸板________________张，正方形纸板_____________张（请用含有x的式子）（2）在（1）的条件下，有哪几种生产方案？（3）若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜300，求a的值．
【答案】（1）长方形纸板用了（x+300）张，正方形纸板用了（200﹣x）张；（2）共有3种生产方案，方案1：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；方案2：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；方案3：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个；（3）293或298
【分析】（1）可根据竖式纸盒+横式纸盒=100个，每个竖式纸盒需1个正方形纸板和4个长方形纸板，每个横式纸盒需3个长方形纸板和2个正方形纸板来填空；（2）根据题意，列不等式组求解即可；（3）设可以生产竖式纸盒m个，横式纸盒个，可列出方程，再根据a的取值范围求出a的取值范围即可．
【详解】解：（1）设生产竖式纸盒x个，则生产横式纸盒（100﹣x）个，
则长方形纸板用了张，正方形纸板用了张
∴长方形纸板用了（x+300）张，正方形纸板用了（200﹣x）张．
（2）依题意，得：， 解得：．∵x为整数，∴x＝38，39，40，
∴共有3种生产方案，方案1：生产竖式纸盒38个，横式纸盒62个；方案2：生产竖式纸盒39个，横式纸盒61个；方案3：生产竖式纸盒40个，横式纸盒60个．
（3）设可以生产竖式纸盒m个，横式纸盒个，由此可得，为偶数，依题意，得：
∵∴∴
∴或∴或答：a的值为293或298．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的应用，列代数式，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，正确列不等式求解，注意实际问题最后取整数解．
例3．（2022·重庆九年级开学考试）春节期间，某超市推出了甲、乙、丙三种腊味套盒，各套盒均含有香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚等四种腊味各若干袋，每袋腊味的重量为500克，一袋腊肉的售价不低于30元，一袋香肠的售价比一袋腊肉的售价贵，单袋腊味的售价均为整数元，套盒的售价即为单袋腊味的售价之和，甲套盒中含有香肠2袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚2袋，乙套盒中含有香肠4袋，腊肉5袋，腊排骨1袋，腊猪脚1袋，丙套盒中含有香肠3袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚1袋，甲、乙礼盒售价均为415元，丙礼盒售价比甲礼盒贵10元，则腊排骨每袋______元．
【答案】50
【分析】设香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚四种腊味的单价分别为每袋元，元，元，元，再列方程组，分别用含的代数式 再利用都为正整数，且 求解的范围，从而可得答案.
【详解】解：设香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚四种腊味的单价分别为每袋元，元，元，元，
则 由①②得： 由②③得： 则
把代入①可得：
都为正整数，且 当时， 则
或
当时， 不合题意，舍去，当时， 符合题意，
此时，所以：腊排骨每袋50元.故答案为：50
【点睛】本题考查的是方程组的应用，方程组的正整数解问题，一元一次不等式组的应用，熟练的利用方程组与不等式组解决实际问题是解本题的关键.
变式1．（2022秋·重庆大足·九年级统考期末）某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商．十一月该养殖户捕捞了第二批成熟的大闸蟹，并将这批大闸蟹根据品质及重量分为（小蟹）、（中蟹）、（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）进行销售，若6只类蟹、5只类蟹和4只类蟹的价格之和正好是第一批蟹16只的价格，而1只类蟹和1只类蟹的价格之和正好是第一批蟹2只的价格，且类蟹与类蟹每只的单价之比为，根据市场有关部门的要求三类蟹的单价之和不低于38元、不高于65元，则第一批大闸蟹每只价格为___元．
【答案】14
【分析】设第一批大闸蟹每只价格为a元，A类蟹每只x元，B类蟹每只y元，则C类蟹每只2x元，根据等量关系式：6只A类蟹价格+5只B类蟹价格+4只C类蟹的价格=第一批蟹16只的价格，1只A类蟹价格+1只B类蟹的价格=第一批蟹2只的价格，列出方程组，将a看作已知数，用a表示x，y，再根据A、B、C三类蟹的单价之和不低于38元、不高于65元，列出不等式组，解不等式组得出a的取值范围，最后根据a、x、y都是整数，得出a的值即可．
【详解】解：设第一批大闸蟹每只价格为a元，A类蟹每只x元，B类蟹每只y元，则C类蟹每只元，根据题意得：
，解得：，
∵A、B、C三类蟹的单价之和不低于38元、不高于65元，
∴，即，解得：，
∵a取整数，，13，14，15，16，17，18，19，
又∵，y都必须取整数，只有符合题意，
即第一批大闸蟹每只价格为14元．故答案为：14．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的应用，根据题意用第一批大闸蟹的单价表示出第二批成熟的大闸蟹中A、B、C三类蟹的单价是解题的关键．
变式2．（2022·广西江州·七年级期末）崇左市甲超市和乙超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：
甲超市 乙超市
全场商品一律优惠15% 购物不超过200元，不优惠购物超过200元而不超过500元，一律八折购物超过500元，其中的500元优惠10%，超过的部分打七五折．
已知两家超市相同的商品的标价都一样．
(1)若小华同学一次性购物200元，请问小华同学到两家超市实际付款分别是多少？
(2)当购物总额为多少时，小华同学到两家超市实际付款相同？(3)若小华在乙超市购物实际付款480元，则买同样的商品到甲超市实际付款多少元，他的选择划算吗？试说明理由．
【答案】(1)小华同学到甲乙两家超市实付款分别170元和200元．
(2)当购物总额是750元时，小华同学到甲乙两家超市实付款相同；(3)小华选择在乙超市购物不划算．
【分析】（1）根据甲超市和乙超市促销方式代入计算即可；
（2）设购物总额是x元时，先计算出x的取值范围，确定打折方式后根据题意列出方程即可求出答案；（3）由于500×0.8＝400＜480，所以小华在乙超市购物实际总额多于500元，设小华在乙超市购物总额为y元，y＞500时，根据乙超市的促销方式列方程即可求得， 再将求出的金额用甲超市促销方式进行计算后比较，即可判断．
【解析】(1)解：（1）由题意可知，一次性购物总额是200元时：
甲超市实付款：200×（1 15%）＝170（元），乙超市实付款： 200（元），
小华同学到甲乙两家超市实付款分别170元和200元．
(2)（2）设购物总额是 x元时，甲乙两家超市实付款相同，
当一次性购物标价总额恰好是500元时，
甲超市实付款＝500×0.85＝425（元），乙超市实付款＝500×0.8＝400（元），
∵425＞400，∴x＞500．
根据题意得 x（1 15%）＝500（1 10%）＋（x 500）×0.75，解得x＝750，
∴当购物总额是750元时，小华同学到甲乙两家超市实付款相同；
（3）∵500×0.8＝400＜480，∴该小华在乙超市购物实际总额多于500元，
设该小华同学在乙超市购物总额为y元，且y＞500，根据题意得：
500（1 10%）＋（y 500）×0.75＝480，解得 y＝540．540×（1 15%）＝459（元），
∴该顾客在步步高超市购物，购买总额540元的商品，实际付款为459元，
∵459＜480，∴小华选择在乙超市购物不划算．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，不等式，有理数大小比较，解题的关键是判断清楚题目中描述的促销方式并准确找出等量关系进行求解．
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专题11 与一元一次不等式的应用题 高频考点（精讲）
专题前言
应用题在中考中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，该份资料就一元一次不等式（组）不等式的应用题：分配不足问题、方案问题、费用优化问题、利润问题等问题进行梳理及对应试题分析，方便掌握。
知识储备
不等式的应用题，与等式应用题类似，主要思路为：a.根据题意，列写不等关系式；b.设未知数，使之方便表示不等关系式；c.根据不等关系，列写不等关系式；d.解不等式求解问题。
高频考点
高频考点1. 分配不足问题
【解题技巧】不等式应用题从另一个角度可分为两大类：①含有明确的不等词（不少于、多余、不超过……）：将不等词化为不等号，以不等号的具体实际含义列出不等式；②不含有明确的不等词：根据题意中的实际意义列不等式。
例1．（2022·浙江·八年级阶段练习）某校在一次外出郊游中，把学生编为9个组，若每组比预定的人数多1人，则学生总数超过200人；若每组比预定的人数少1人，则学生总数不到190人，那么每组预定的学生人数为（　　）
A．24人 B．23人 C．22人 D．不能确定
例2．（2022 市中区八年级期中）某幼儿园把一筐桔子分给若干个小朋友，若每人3只，那么还剩59只，若每人5只，那么最后一个小朋友分到桔子，但不足4只，试求这筐桔子共有多少只？
变式1．（2022春·广东揭阳·八年级校考阶段练习）某校将若干间宿舍分配给八年级（1）班女生住宿，已知该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；若每个房间住8人，则空一间房，且有一间住不满．那么该班有____________名女生．
变式2．（2022·浙江杭州·八年级校考期中）某班共有48人，人人都会下棋，会下象棋的人数是会下围棋人数的2倍少3人，两种棋都会下的至多9人，但不少于5人，则会下围棋的有（ ）
A．20人 B．19人 C．11人或13人 D．19人或20人
高频考点2：方案问题
【解题技巧】解决此类问题，依旧先按照普通不等式组解决问题的高频考点进行，最终会得到一个取值范围。那么提出的方案只需要符合这个取值范围即可。
例1．（2022·重庆·七年级期中）“学党史，办实事”，为解决停车难问题，某区政府治堵办对老旧小区新增停车位给予补贴，对于通过划线方式新增的和建设改造新增的给予不同的补贴．划线4个和建设改造3个，共补贴8000元；划线1个和建设改造1个，共补贴2500元．
(1)政府对划线新增一个停车位和建设改造新增一个停车位分别补贴多少元？
(2)在（1）的条件下，政府计划对老旧小区一共新增车位100个，建设改造新增的停车位不得少于划线新增停车位的1.5倍，且政府补贴不超过143000元，则老旧小区新增停车位共有几种方案？
变式1．（2022·湖南·八年级期中）太阳山晨光文具店决定购进A、B两种纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要95元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要80元．（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，但不超过764元，那么该商店有哪几种进货方案？
变式2．（2022·河北·七年级期末）某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周售出1辆A型车和2辆B型车，销售额为70万元；本周已售出3辆A型车和1辆B型车，销售额为80万元．（1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？（2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共7辆，且A型号车不少于2辆，购车费不少于150万元，则有哪几种购车方案？
例2．（2022·江苏·七年级专题练习）某市七年级“新体考”新增了“三大球”选考项目，即足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球行进间运球上篮．为了使学生得到更好的训练，某学校计划到某商场采购一批足球和排球，该商场的每个足球与每个排球的标价之和为90元；若按标价购买4个足球、5个排球，则共需400元．（1）该商场足球和排球的标价分别是多少元？（2）若该商场有两种优惠方式：
方式一：足球和排球一律按标价8折优惠；
方式二：每购买2个足球，赠送1个排球（单买排球按标价计算）．
①若学校需采购足球、排球各50个，你认为应该采用哪种优惠方式购买合算？
②若学校计划在此商场采购足球、排球共100个，其中足球数量为偶数且不超过48个，并且用方式二购买的费用不超过用方式一购买的费用，请问学校有几种采购方案，并说明理由．
变式3．（2022·河南·校联考三模）为贯彻落实双减政策，丰富学生课外活动，学校决定购买一批篮球和足球，已知购买2个篮球和1个足球共需550元，购买3个篮球和2个足球共需900元．
(1)求篮球和足球的单价；
(2)为积极响应“双减”政策，商场近期针对学生购买体育用品进行促销活动．
购买数量不少于20个 购买数量不少于20个
篮球 不打折 打8折
足球 不打折 打7.5折
若学校需要购买篮球、足球共40个，且购买足球的数量不多于篮球数量的，如何购买才能使花费最小，最少费用为多少元？
高频考点3. 利润问题
例1．（2022·重庆八年级阶段练习）节日将至，某水果店打算将红心猕猴桃、奉节脐橙、阿克苏糖心苹果以鲜果礼盒的方式进行销售．其中一个红心猕猴桃与一个阿克苏糖心苹果成本价之和为一个奉节脐橙的成本价的两倍，一个阿克苏糖心苹果与一个红心猕猴桃成本价之差的两倍等于一个奉节脐橙的成本价．商家打算将甲种鲜果礼盒装红心猕猴桃6个、奉节脐橙4个、阿克苏糖心苹果6个；乙种鲜果礼盒装红心猕猴桃8个、奉节脐橙4个、阿克苏糖心苹果6个；丙种鲜果礼盒装红心猕猴桃4个、奉节脐橙8个、阿克苏糖心苹果8个．已知每个鲜果礼盘的成本价定为各水果成本价之和，每个甲种鲜果礼盒在成本价的基础上提高之后进行销售，每个乙种鲜果礼盒的利润等于两个阿克苏糖心苹果的成本价，每个丙种鲜果礼盒的利润率和每个乙种鲜果礼盒时利润率相等．某单位元旦节发福利，准备给每个员工发一个鲜果礼盒．采购员向该水果店预订了80个甲种鲜果礼盒，预订乙种鲜果礼盒的数量与丙种鲜果礼盒的数量之差位于12和28之间．该水果店通过核算，此次订单的利润率为，则该单位一共有________名员工．
变式1．（2023春·重庆南岸·八年级校考阶段练习）某超市在元宵节这天对几种零食进行清仓促销．已知巧克力、薯片和瓜子的成本价分别为12元/袋、8元/袋、6元/袋，折后售价之比为，白天三种商品销量之比为．下午六点后，超市进行大促，每种商品都参加“买4送1”活动（即每5袋捆绑在一起销售，只付4袋的费用）．截止到营业时间结束时，三种商品均售出了白天销量的一半，且全天总销量超过250袋且不足350袋（商品的销量为整数）．已知这天薯片的销售额为1344元，则全天的利润为______元．
例2．（2022春·北京西城·七年级校考期末）《中共中央国务院关于深化教育改革全面推进素质教育的决定》中明确指出：“健康体魄是青少年为祖国和人民服务的基本前提，是中华民族旺盛生命力的体现．”王老师所在的学校为加强学生的体育锻炼，需要购买若干个足球和篮球．他曾三次在某商场购买过足球和篮球，其中有一次购买时，遇到商场打折销售，其余两次均按标价购买．三次购买足球和篮球的数量和费用如下表：
足球数量（个） 篮球数量（个） 总费用（元）
第一次 6 5 700
第二次 3 7 710
第三次 7 8 693
(1)王老师是第　　次购买足球和篮球时，遇到商场打折销售的；
(2)求足球和篮球的标价；
(3)如果现在商场均以标价的6折对足球和篮球进行促销，王老师决定从该商场一次性购买足球和篮球60个，且总费用不能超过2500元，那么最多可以购买　　个篮球．
变式2．（2022春·山东东营·七年级统考期末）某种家用电器的进价为每件800元，以每件1200元的标价出售，由于电器积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最低可按标价的（ ）折出售
A．6 B．7 C．8 D．9
高频考点4：费用优化问题
费用优化问题是在方案问题上进一步深化，再求出费用（结果）最大（小）的方案。
解题方法为：先按照方案问题，求解出所有合适的方案，在求出各个方案的费用（结果），比较得出费用最大（小）利润（结果）的方案。
例1．（2022·浙江嘉兴市·八年级期末）某企业新增了一个化工项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共10台，具体情况如下表：经预算，企业最多支出136万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于2150吨．（1）该企业有哪几种购买方案？（2）哪种方案更省钱？并说明理由．
A型 B型
价格（万元/） 15 12
月污水处理能力（吨/月） 250 200
变式1．（2022·重庆八中八年级阶段练习）某木板加工厂将购进的A型、B型两种木板加工成C型，D型两种木板出售，已知一块A型木板的进价比一块B型木板的进价多10元，且购买2块A型木板和3块B型木板共花费220元．（1）A型木板与B型木板的进价各是多少元？
（2）根据市场需求，该木板加工厂决定用不超过8780元购进A型木板、B型木板共200块，若一块A型木板可制成2块C型木板、1块D型木板；一块B型木板可制成1块C型木板、2块D型木板，且生产出来的C型木板数量不少于D型木板的数量的．①该木板加工厂有几种进货方案？②若C型木板每块售价30元，D型木板每块售价25元，且生产出来的C型木板、D型木板全部售出，哪一种方案获得的利润最大，求出最大利润是多少？
变式2．（2022 衡阳县期末）星光橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表：
进价（元/个） 售价（元/个）
电饭煲 200 250
电压锅 160 200
（1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5600元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？（2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过9000元的资金采购电饭煲和电压锅共50个，且电饭煲的数量不少于23个，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？
高频考点5：其他问题
例1．（2022·江苏·七年级专题练习）中午放学后，有a个同学在学校一食堂门口等侯进食堂就餐，由于二食堂面积较大，所以配餐前二食堂等待就餐的学生人数是一食堂的2倍，开始配餐后，仍有学生续前来排队等候就餐，设一食堂排队的学生人数按固定的速度增加，且二食堂学生人数增加的速度是一食堂的2倍，两个食堂每个窗口阿姨配餐的速度是一样的，一食堂若开放12个配餐窗口，则需10分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；二食堂若开放2个配餐窗口，则14分钟才可为排队就餐的同学配餐完毕；若需要在15分钟内配餐完毕，则两个食堂至少需要同时一共开放___个配餐窗口．
变式1．（2023春·广西八年级课时练习）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至多15元．”乙说：“至少12元．”丙说：“至少10元．”小明说：“这本书的价格是你们三个人所说价格的公共部分”．则这本书的价格（元）所在的范围为（ ）
A． B． C． D．
变式2．（2023春·北京海淀·九年级校考阶段练习）某工厂生产I号、II号两种产品，并将产品按照不同重量进行包装，已知包装产品款式有三种：A款，B款，C款，且三款包装的重量及所含I号、II号产品的重量如下表：
包装款式 包装的重量（吨） 含I号新产品的重量（吨） 含II号产品的重量（吨）
A款 6 3 3
B款 5 3 2
C款 5 2 3
现用一辆最大载重量为28吨的货车一次运送5个包装产品，且每种款式至少有1个．
（1）若恰好装运28吨包装产品，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为______；
（2）若装运的I号产品不超过13吨．同时装运的II号产品最多，则装运方案中A款、B款、C款的个数依次为___．（写出一种即可）
变式3．（2022·福建·厦门一中八年级期末）A、B两地相距25km，甲上午8点由A地出发骑自行车去B地，乙上午9点30分由A地出发乘汽车去B地．(1)若乙的速度是甲的速度的4倍，两人同时到达B地，请问两人的速度各是多少 (2)已知甲的速度为，若乙出发半小时后还未追上甲，此时甲、乙两人的距离不到，判断乙能否在途中超过甲，请说明理由．
例2．（2022年广东八年级数学应用知识展示试题）《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门.出东门一十五里有木.问出南门几何步而见木？”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城周长的最小值为（ ）（注：1里=300步，且两个正数的和大于等于其积开方的两倍，当两数相等时取等号）．
A．里 B．里 C．里 D．里
变式1．（2022春·黑龙江齐齐哈尔·九年级校考期中）疫情的发生，各地积极响应政府“管住门，看住人”的要求，温华物业管理有限公司，对管辖的各小区实行门绳拦截管理，对符合3天出门一次采购生活用品的人员才能签证放行，为此，他们要把长19米的绳子剪成2米或1米的绳子，分发给各小区，请帮助公司设计有（ ）种裁剪方案．
A．10 B．9 C．8 D．7
变式2．（2022·北京西城·八年级期末）已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是（ ）
A．10 B．8 C．7 D．4
变式3．（2022·浙江诸暨·八年级期中）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖的纸盒．
（1）现有正方形纸板162张，长方形纸板340张，若要做两种纸盒共100个，设竖式纸盒x个，需要长方形纸板________________张，正方形纸板_____________张（请用含有x的式子）（2）在（1）的条件下，有哪几种生产方案？（3）若有正方形纸板162张，长方形纸板a张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．已知290＜a＜300，求a的值．
例3．（2022·重庆九年级开学考试）春节期间，某超市推出了甲、乙、丙三种腊味套盒，各套盒均含有香肠、腊肉、腊排骨、腊猪脚等四种腊味各若干袋，每袋腊味的重量为500克，一袋腊肉的售价不低于30元，一袋香肠的售价比一袋腊肉的售价贵，单袋腊味的售价均为整数元，套盒的售价即为单袋腊味的售价之和，甲套盒中含有香肠2袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚2袋，乙套盒中含有香肠4袋，腊肉5袋，腊排骨1袋，腊猪脚1袋，丙套盒中含有香肠3袋，腊肉5袋，腊排骨2袋，腊猪脚1袋，甲、乙礼盒售价均为415元，丙礼盒售价比甲礼盒贵10元，则腊排骨每袋______元．
变式1．（2022秋·重庆大足·九年级统考期末）某大闸蟹养殖户十月捕捞了第一批成熟的大闸蟹，并以每只相同的价格（价格为整数）批发给某经销商．十一月该养殖户捕捞了第二批成熟的大闸蟹，并将这批大闸蟹根据品质及重量分为（小蟹）、（中蟹）、（大蟹）三类，每类按照不同的单价（价格都为整数）进行销售，若6只类蟹、5只类蟹和4只类蟹的价格之和正好是第一批蟹16只的价格，而1只类蟹和1只类蟹的价格之和正好是第一批蟹2只的价格，且类蟹与类蟹每只的单价之比为，根据市场有关部门的要求三类蟹的单价之和不低于38元、不高于65元，则第一批大闸蟹每只价格为___元．
变式2．（2022·广西江州·七年级期末）崇左市甲超市和乙超市在元旦节期间分别推出如下促销方式：
甲超市 乙超市
全场商品一律优惠15% 购物不超过200元，不优惠购物超过200元而不超过500元，一律八折购物超过500元，其中的500元优惠10%，超过的部分打七五折．
已知两家超市相同的商品的标价都一样．
(1)若小华同学一次性购物200元，请问小华同学到两家超市实际付款分别是多少？
(2)当购物总额为多少时，小华同学到两家超市实际付款相同？(3)若小华在乙超市购物实际付款480元，则买同样的商品到甲超市实际付款多少元，他的选择划算吗？试说明理由．
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专题11 与一元一次不等式的应用题 高频考点（精练）
一、选择题
1.（2022·浙江余杭·八年级期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据平均数的定义，并结合三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8可得7.2≤≤7.8，从而得出答案．
【详解】解：根据题意知7.2≤≤7.8，∴7.2×3≤7.4+7.9+x≤7.8×3，故选：A．
【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，解题的关键是掌握平均数的定义．
2．（2022·浙江·八年级期中）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220-年龄）×0.8，最低值不低于（220-年龄）×0.6．以30岁为例计算，，，1，所以30岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题干中信息可得“不超过”即“≤”，“不低于”即“≥”，于是30岁的年龄最佳燃脂心率范围用不等式表示为114≤p≤152．
【详解】 最佳燃脂心率最高值不应该超过（220-年龄）×0.8，， p≤152
最佳燃脂心率最低值不低于（220-年龄）×0.6，，114≤p
在四个选项中只有A选项正确.故选: A．
【点睛】本题主要考查不等式的简单应用，能将体现不等关系的文字语言转化为数学语言是解决题目的关键．体现不等关系的文字语言有“大于”、“小于”、“不高于”、“不低于”等．
3．（2022·浙江宁波·八年级期末）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分，小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（　　）
A．10x﹣5（19﹣x）≥90 B．10x﹣5（19﹣x）＞90
C．10x﹣（19﹣x）≥90 D．10x﹣（19﹣x）＞90
【答案】B
【分析】小聪答对题的得分：10x；小聪答错的得分：-5（19-x），不等关系：小聪得分超过90分．
【详解】解：设他答对了x道题，根据题意，得10x-5（19-x）＞90．故选：B．
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，抓住关键词语，找到不等关系是解题的关键．
4．（2022·江苏·七年级专题练习）小明和小亮共下了10盘围棋，小明胜一盘记1分，小亮胜一盘记3分，当他俩下完第9盘后，小明的得分高于小亮；等下完第10盘后，小亮的得分高过小明，小亮胜（ ）盘？（已知比赛中没有出现平局）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题可设小亮赢了x盘，然后列出一元一次不等式组，化简后得出x的取值范围，找出取值范围中的整数即可得出本题的答案．
【详解】解：设下完10盘棋后小亮胜了x盘．
根据题意得，解得 ．∴所列不等式组的整数解为x＝3．
答：小亮胜了3盘．故选：C.
【点睛】本题考查的是一元一次不等式的运用．解此类题目要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
5．（2023春·全国·七年级专题练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设购买篮球x个，则购买足球个，根据购买篮球的数量不少于足球数量的一半、总价单价购买数量结合购买资金不超过3200元，即可得出关于x的一元一次不等式组．
【详解】解：设购买篮球x个，则购买足球个，
由题意，得，故C正确故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组．
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，植树的棵数为棵，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵列一元一次不等式组即可．
【详解】解：位同学植树棵数为，
∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵，
∴可列不等式组为：．故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键．
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】每人送4本，则还余9本即一共有本书，再根据每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本列出不等式组即可．
【详解】解：设初二年级有名学生获奖，由题意得，故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．
8．（2023·广东佛山·统考一模）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（ ）
A．17 B．18 C．19 D．16
【答案】B
【分析】设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有道题，再根据答对一题得5分，答错或不答一道题扣1分列出不等式求解即可．
【详解】解：设小明答对了x道题，则答错和不答的一共有道题，
由题意得，，
解得，
∵x为正整数，
∴的最小值为18，
∴小明至少答对了18道题，
故选B．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，正确理解题意找到不等关系是解题的关键．
二、填空题
9．（2022·上海市八年级期中）一件商品的成本价是30元，若按标价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按标价的九折销售，可获得不足20%的利润，设这件商品的标价为元，则x的取值范围是______________
【答案】
【分析】根据“八八折销售至少可获得10%的利润、九折销售可获得不足20%的利润”列不等式组求解可得．
【详解】解：根据题意，得：解得：37.5≤x＜40，故答案为：37.5≤x＜40．
【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是理解题意抓住题目中的关键语句，列出不等式组．此题用到的公式是：进价+利润=售价．
10．（2022·浙江义乌·八年级期末）某产品进价为每件200元，商店标价为每件300元．现商店准备将这批服装打折出售，但要保证毛利润不低于5%，则商店最低可按______折出售．
【答案】7
【分析】设售价可以按标价打x折，根据“保证毛利润不低于5%”列出不等式，解之可得．
【详解】解：设售价可以按标价打x折，
根据题意，得：200+200×5%≤300×，解得：x≥7，
答：售价最低可按标价的7折．故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的不等关系，并据此列出不等式．
11．（2022·浙江余杭·八年级期中）若等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x的取值范围是______；若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长y的取值范围是______．
【答案】 x>3 0【分析】由等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x，已知腰长是6，底边长为y，根据三角形三边关系列出不等式，通过解不等式即可得到答案；等腰三角形的两腰长度相等，根据三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可求出解．
【详解】等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x，则根据x+x＞6且x-x＜6，即x＞3．
腰长是6，底边长为y，根据三边关系可知：6-6＜y＜6+6，即0＜y＜12．故答案为x＞3．0＜y＜12；
【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两腰相等，以及三角形的三边关系．
12．（2022秋·重庆云阳·九年级统考期末）由于国家有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，某地某个房地产公司为了加快资金周转，2022年春季在搞买房子送车位的促销活动的同时对销售人员进行个人奖励，每卖出一套两居室奖励1万元，每卖出一套三居室奖励2万元，每卖出一套四居室奖励4万元．公司将销售人员分成三组，经统计，第一组平均每人售出6套两居室、4套三居室、3套四居室；第二组平均每人售出2套两居室、2套三居室、1套四居室；第三组平均每人售出8套两居室、5套三居室．这三组销售人员在此次活动中共获得奖金466万元，其中通过销售三居室所获得的奖金为216万元，且第三组销售人员的人数不超过20人，则第一组和第三组销售人员的人数之和为______人．
【答案】18
【分析】设第一组销售人员为x人，第二组销售人员为y人，第三组销售人员为z人，然后根据题意易得，进而可得，则根据第三组销售人员的人数不超过20人可进行求解．
【详解】解：设第一组销售人员为x人，第二组销售人员为y人，第三组销售人员为z人，则，由题意得：
，
整理得：，
∴，即，
∵，且，
∴，
∴当时，则；当时，则；
∵当时，则时，不符合方程的解，故舍去；
∴第一组和第三组销售人员的人数之和为18；
故答案为18．
【点睛】本题主要考查三元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是得到已知与未知之间的等量关系．
13．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住：若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有___________人．
【答案】或
【分析】设安排住宿的房间有间，则学生有人，根据“每间住4人，则还余10人无宿舍住和；每间住6人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答即可．
【详解】解：设安排住宿的房间有间，则学生有人，
根据题意，得，解得.
又因为只能取正整数，所以或
当时，.当时， 故答案为：或．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题目中的不等关系式正确列出一元一次不等式组是解决本题的关键．
14．（2023春·重庆云阳·九年级校考阶段练习）贴春联是我国过春节时的重要传统习俗，春联有长有短，有五字联，七字联，十二字联等．一副完整的春联由上下两联配一个四字横批组成，如一副五字联“人开致富路，猪拱发财门”，横批“恭喜发财”，共由14个字组成．寒假期间，学校书法社开展现场书写并赠送春联的公益活动，按计划，社员甲需书写五字春联，社员乙需书写七字春联，社员丙需书写十二字春联各若干副，且他们分别书写一副完整的五字，七字和十二字春联所需时间分别是10分钟，15分钟和20分钟，若按计划完成任务，甲与丙的时间之和不超过10小时，且是乙的两倍，实际开展活动时，甲帮丙写了1副横批，乙帮丙写了n副横批，活动结束后，书法社统计员惊讶地发现，三人书写的字数一样多，则原计划甲书写春联的字数是___字．
【答案】196
【分析】由题意得每副五字春联有（字）；每副七字春联有（字）；每副十二字春联有（字）；若设甲、乙、丙三人最终每人都写了x字，则由题意可得甲社员原计划用时为分钟，乙社员原计划用时分钟，丙社员原计划用时分钟．然后根据等量关系列出方程求解即可．
【详解】解：设活动结束时每人都写了x个字，则甲社员计划用时为分钟，乙社员计划用时为分钟，丙社员计划用时为分钟，
由题意列方程，整理得，解得，
由，把代入解得，
∵，
又∵应为整数，∴式中应是7的倍数，∴，∴，
故原计划甲社员书写的春联字数为个字．故答案为：196．
【点睛】本题考查了方程与不等式的应用．解题的关键在于审清题意，根据等量关系列方程．
15．（2023春·广东·八年级专题练习）安排学生住宿，若每间住3人，则还有13人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为_____．
【答案】5或6
【分析】设共有间宿舍，则共有个学生，然后根据每间住6人，则还有一间不空也不满，列出不等式组进行求解即可．
【详解】解：设共有间宿舍，则共有个学生，
依题意得：，解得：．
又为正整数，或6．故答案为：5或6．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键在于能够准确根据题意列出不等式组进行求解．
16．（2023春·广西·八年级专题练习）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产、两种产品50件．生产一件产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克．设生产件种产品，应满足的不等式组是：______．
【答案】
【分析】设生产件种产品，则生产产品件，共需要甲种原料千克，乙种原料千克，结合题意“有甲种原料360千克，乙种原料290千克”，即可列出不等式组．
【详解】解：设生产件种产品，则生产产品件，共需要甲种原料千克，乙种原料千克，
由题意，得．故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
17．（2023·山东·九年级期中）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆，则符合要求的搭配方案有____种．
【答案】3
【分析】设可以搭配成个A种造型，则可以搭配成个B种造型，根据搭配50个园艺造型所需甲种花卉不超过2660盆、乙种花卉不超过3000盆，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出符合要求的搭配方案有3种．
【详解】解：设可以搭配成个A种造型，则可以搭配成个B种造型，
依题意得：，解得：．
又∵x为整数，∴x可以为20，21，22，
∴符合要求的搭配方案有3种．故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．
三、解答题
18．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）某企业举办职工足球比赛，准备购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过60套，则购买足球打八折．
(1)求每套队服和每个足球的价格是多少？(2)若购买100套队服和个足球，请用含y的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；(3)在（2）的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？
【答案】(1)每个足球的费用为元，每套队服的费用为元
(2)到甲商场购买所需费用为元，到乙商场购买所需费用为：元
(3)当购买的足球数大于10而小于时，到甲商场购买比较合算；当购买个足球时，到两个商场所花费用相同；当购买的足球数大于时，到乙商场购买比较合算
【分析】（1）设每个足球的费用为元，则每套队服的费用为元，根据三套队服与五个足球的费用相等，列出方程，求解即可；
（2）根据甲、乙商场的优惠方案，列出代数式即可；
（3）求出到甲，乙两个商场所花费用相同时，所购买足球的个数，再分和，两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：设每个足球的费用为元，则每套队服的费用为元，
由题意，得：，解得：，∴，
∴每个足球的费用为元，每套队服的费用为元；
（2）解：由题意，得：到甲商场购买所需费用为：（元）；
到乙商场购买所需费用为：（元）；
（3）解：当时，即：；
即：当购买个足球时，到两个商场所花费用相同；
当，解得：，
即：当购买的足球数大于时，到甲商场所花费用大于到乙商场所花费用，因此到乙商场购买比较合算；
当，解得：，
即：当购买的足球数大于10而小于时，到甲商场所花费用小于到乙商场所花费用，因此到甲商场购买比较合算．
答：当购买的足球数大于10而小于时，到甲商场购买比较合算；当购买个足球时，到两个商场所花费用相同；当购买的足球数大于时，到乙商场购买比较合算．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．根据题意，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
19．（2022·浙江仙居·七年级期末）某杨梅经销商以每千克40元的价格分三批向果农购进杨梅，均分拣成“特优”和“普通”两类销售，分拣和包装费用为每千克6元．每批杨梅中最差的10%不能销售，为损耗，其余杨梅均能售完．“特优”杨梅售价是每千克110元，“普通”杨梅售价为每千克30元．
（1）该经销商购进的第一批杨梅为500千克，分拣出“特优”杨梅150千克，则他获得的利润是 　 　元；（2）该经销商购进的第二批杨梅为800千克，获利4800元，求其中售出“特优”和“普通”杨梅各多少千克？（3）该经销商希望自己第三批杨梅的销售的利润率不少于35%，他收购杨梅时要确保能分拣出“特优”杨梅占收购总量的百分比至少要达到多少（精确到1%）？（利润＝销售收入﹣总成本，利润率＝利润÷总成本×100%）
【答案】（1）2500；（2）售出“特优”杨梅250千克，“普通”杨梅470千克；（3）44%
【分析】（1）用总收入 成本 包装费即可求解；（2）设售出“特优”杨梅x千克，“普通”杨梅y千克，根据购进的第二批杨梅为800千克，获利4800元列出方程即可解答；（3）设收购总量为m千克，“特优”杨梅占收购总量的百分比为a，根据第三批杨梅的销售的利润率不少于35%列出不等式即可解答．
【详解】解：（1）110×150＋（500 150 500×10%）×30 6×500 40×500＝2500；故答案为：2500；
（2）设售出“特优”杨梅x千克，“普通”杨梅y千克，
则解得；
答：售出“特优”杨梅250千克，“普通”杨梅470千克．
（3）设收购总量为m千克，“特优”杨梅占收购总量的百分比为a，
则，解得a≥43.875%，即a≥44%．
答：他收购杨梅时要确保能分拣出“特优”杨梅占收购总量的百分比至少要达到44%．
【点睛】本题已销售为背景考查了一元一次不等式和二元一次方程组的知识，解题时找到等量关系和不等量关系，根据等量关系列出方程，不等量关系列出不等式是解题的关键．
20.（2022·河南长垣·模拟预测）2021年元旦新冠病毒肆虐，为抗疫救灾，甲、乙两运输队接受了运输20000箱抗疫物资的任务，任务要求在11天之内（包含11天）完成．已知两队共有18辆汽车，甲队每辆车每天能够运输120箱的抗疫物资，乙队每辆车每天能够运输100箱的抗疫物资，前4天两队一共运输了8000箱．(1)求甲、乙两队各有多少辆汽车；(2)4天后，甲队另有紧急任务需要抽调车辆支援，在不影响工期的情况下，甲队最多可以抽调多少辆汽车走？
【答案】(1)甲队有10辆汽车，乙队有8辆汽车(2)甲队最多可以抽调2辆汽车走
【分析】（1）设甲队有x辆汽车，乙队有y辆汽车，根据题意得：，计算求解即可；（2）设甲队可以抽调m辆汽车走，根据题意得：，求解最大的整数即可．
【解析】(1)解：设甲队有x辆汽车，乙队有y辆汽车
根据题意得：解得： ∴甲队有10辆汽车，乙队有8辆汽车．
(2)解：设甲队可以抽调m辆汽车走
根据题意得：解得：
则m最大的整数是2∴甲队最多可以抽调2辆汽车走．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于依据题意列正确的等式或不等式．
21．（2022 柳南区校级期末）某服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，如果购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，就需要1810元；如果购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，就需要1880元．问题：（1）求A、B两种型号的服装每件分别为多少钱？（2）已知销售1件A种型号服装可获利18元，销售B种型号服装可获利30元．根据市场需求，服装店老板的决定，购进A种型号服装的数量要比B种型号服装数量的2倍多4件，且A种型号服装最多购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于732元．问有几种进货方案？
解：（1）设A种型号的服装每件x元，B种型号的服装每件y元，
，解得，，
即A种型号的服装每件90元，B种型号的服装每件100元；
（2）设B型号x件，则A型号（2x+4）件，
，解得，10≤x≤12
故有三种进货方案：方案一：进24件A型号，10件B型号；
方案二：26件A型号，11件B型号；
方案三：28件A型号，12件B型号．
22．（2022 饶平县校级期末）开学之前，学校总务部门安排新生宿舍，算了一笔细账、如果每间宿舍住4个学生，那么还余20个人无处安身，如果每间住8个人，那么其中一间不满也不空，其余各间全满，试问，共有多少位要住宿的新生？共为他们提供了多少间宿舍？
解：设宿舍为x间，则有学生4x+20，
，解得5＜x＜7，
∵x是正整数，∴x＝6，而4x+20＝44．
答：新生有44人，学校准备了6间宿舍．
23．（2022·湖南·八年级期末）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派小亮到文具店为获奖同学购买奖品．小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元．（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？
【答案】（1）设每个笔记本3元，每支钢笔5元；（2）有三种购买方案：①购买笔记本10个，则购买钢笔14个；②购买笔记本11个，则购买钢笔13个；③购买笔记本12个，则购买钢笔12个．
【分析】（1）每个笔记本x元，每支钢笔y元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔(24-m)个利用总费用不超过100元和钢笔数不少于笔记本数列出不等式组求得m的取值范围后即可确定方案．
【详解】解：（1）设每个笔记本x元，每支钢笔y元
依题意得：解得：
答：设每个笔记本3元，每支钢笔5元．
（2）设购买笔记本m个，则购买钢笔(24-m)个
依题意得：解得：12≥m≥10
∵m取正整数∴m＝10或11或12∴有三种购买方案：①购买笔记本10个，则购买钢笔14个．
②购买笔记本11个，则购买钢笔13个．③购买笔记本12个，则购买钢笔12个．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用及二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细的分析题意并找到等量关系列方程或不等关系列不等式．
24．（2022·重庆南开中学）在重庆南开中学建校85周年之际，学校举行了隆重的庆祝活动．为感谢参与活动的师生，学校定制了水杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元．（1）定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元？（2）学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件（其中水杯不超过300个），并委托商家进行包装，现有如下两种方案：
方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折；
方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元．
求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同？（总费用=定制物品的总费用+包装总费用）
【答案】（1）定制一个水杯的单价为60元，一本手账的单价为20元；（2）定制水杯195个时，两种方案的总费用．
【分析】（1）设定制一个水杯的单价为x，一本手账的单价为y，根据“定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元”，列二元一次方程组，求解即可；
（2）设定制水杯的个数为m个，且m300，则手账的个数为(600-m)个，分别求得方案1和方案2的总费用，依题意解一元一次方程即可求解．
【详解】解：（1）设定制一个水杯的单价为x元，一本手账的单价为y元，
依题意得：，解得：，
答：定制一个水杯的单价为60元，一本手账的单价为20元；
（2）设定制水杯的个数为m个，且m300，则手账的个数为(600-m)个，
方案1：设总费用为w1，
则w1=；
方案2：设总费用为w2，则w2=；
依题意，令w1= w2，即，
解得：m=195<300，符合题意，
答：定制水杯195个时，两种方案的总费用．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确得出一次函数的解析式．
25．（2022·湖南邵阳·中考真题）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
【答案】(1)购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
(2)购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
【分析】（1）设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，利用总价=单价×数量，结合购买“冰墩墩”摆件和“冰墩墩”挂件共180个且共花费11400元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，利用总价=单价×数量，结合至少盈利2900元，即可得出关于m的不等式，解之即可得出结论．
【解析】 (1)解：设购进“冰墩墩”摆件x件，“冰墩墩”挂件的y件，
依题意得：，解得：，
答：购进“冰墩墩”摆件80件，“冰墩墩”挂件的100件；
(2)解：设购买“冰墩墩”挂件m个，则购买“冰墩墩”摆件（180-m）个，
依题意得：（100-80）（180-m）+（60-50）m≥2900，解得：m≤70，
答：购进的“冰墩墩”挂件不能超过70个．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26．（2022·安徽霍邱·七年级期末）为了支持贫困地区发展，某企业需运输一批扶贫物资．据调查得知，2辆大货车与4辆小货车一次可以运输1000箱物资；5辆大货车与2辆小货车一次可以运输1300箱物资．（1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱物资？
（2）该企业计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元，若一次运输物资不少于2200箱，且总费用小于5600元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需总费用最少，最少总费用是多少？
【答案】（1）1辆大货车一次可运输200箱物资，1辆小货车一次可运输150箱物资；（2）方案①：大货车用8辆，小货车用4辆，方案②：大货车用9辆，小货车用3辆；方案①所需费用最少，最少费用是5200元
【分析】（1）设1辆大货车一次可运输x箱物资，1辆小货车一次可运输y箱物资，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可．
（2）设该企业用大货车a辆，则小货车用辆，根据题意即可列出关于a的一元一次不等式组，求出a的解集．再结合题意a必须为整数，即得出a的具体值．在分类讨论，即可得出答案．
【详解】解：（1）设1辆大货车一次可运输x箱物资，1辆小货车一次可运输y箱物资，
根据题意，得：，解得：．
因此，1辆大货车一次可运输200箱物资，1辆小货车一次可运输150箱物资．
（2）设该企业用大货车a辆，则小货车用辆，
根据题意，得：，解得：．
因为a为正整数，所以或，共有两种运输方案，
即方案①：大货车用8辆，小货车用4辆，
所需费用为（元）；
方案②：大货车用9辆，小货车用3辆，
所需费用为（元）．
因此，方案①所需费用最少，最少费用是5200元．
【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用．根据题意找出等量关系或数量关系是解答本题的关键．
27．（2022·浙江省衢州市八年级阶段练习）为纪念今年建党一百周年，学校集团党委决定印制《党旗飘扬》、《党建知识》两种党建读本．已知印制《党旗飘扬》5册和《党建知识》10册，需要350元；印制《党旗飘扬》3册和《党建知识》5册，需要190元．（1）求印制两种党建读本每册各需多少元？（2）考虑到宣传效果和资金周转，印制《党旗飘扬》不能少于60册，且用于印制两种党建读本的资金不能超过2630元，现需要印制两种读本共100册，问有哪几种印制方案？哪种方案费用最少？
【答案】（1）印制《党旗飘扬》每册30元，《党建知识》每册20元；（2）有四种方案：方案一：印制《党旗飘扬》60册，印制《党建知识》40册，需要付款：2600元；方案二：印制《党旗飘扬》61册，印制《党建知识》39册，需要付款：2610元；方案三：印制《党旗飘扬》62册，印制《党建知识》38册，需要付款：2620元；方案四：印制《党旗飘扬》63册，印制《党建知识》37册，需要付款：2630元；方案一费用最少．
【分析】（1）根据题意设印制《党旗飘扬》每册x元，《党建知识》每册y元，进而依据等量关系建立二元一次方程组求解；（2）根据题意设印制《党旗飘扬》a册，则印制《党建知识》（100﹣a）册，可得30a+20（100﹣a）≤2630且a≥60，进而求得a对四种方案进行分析即可.
【详解】解：（1）设印制《党旗飘扬》每册x元，《党建知识》每册y元，
由题意可得，解得，
答：印制《党旗飘扬》每册30元，《党建知识》每册20元；
（2）设印制《党旗飘扬》a册，则印制《党建知识》（100﹣a）册，
由题意可得：30a+20（100﹣a）≤2630且a≥60，解得：60≤a≤63，
∵a为整数，∴a＝60，61，62，63，∴有四种方案，
方案一：印制《党旗飘扬》60册，印制《党建知识》40册，需要付款：30×60+20×40＝2600（元）；
方案二：印制《党旗飘扬》61册，印制《党建知识》39册，需要付款：30×61+20×39＝2610（元）；
方案三：印制《党旗飘扬》62册，印制《党建知识》38册，需要付款：30×62+20×38＝2620（元）；
方案四：印制《党旗飘扬》63册，印制《党建知识》37册，需要付款：30×63+20×37＝2630（元）；
由上可得，方案一费用最少．
【点睛】本题考查二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，读懂题意并根据题意等量或不等量关系建立方程组和不等式是解题的关键.
28．（2022·北京东城·七年级期末）某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察了甲、乙两家运输公司．甲、乙公司的收费标准如下表：
运输公司 起步价（单位：元） 里程价（单位：元/千米）
甲 1000 5
乙 500 10
(1)仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？
(2)仓库B，C，D与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时，可以从甲、乙两家运输公司任选一家？(3)根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？
【答案】(1)该工厂选择甲运输公司更划算
(2)运送到C仓库时，甲、乙两家运输公司收费相同，可以任选一家
(3)当仓库与工厂的距离大于100千米时，选择甲公司；当仓库与工厂的距离等于100千米时，可以从甲、乙公司中任选一家；当仓库与工厂的距离小于100千米时，选择乙公司
【分析】（1）据收费方式分别计算出甲乙公司的费用比较即可；（2）设当运输距离为x千米时，甲、乙两家运输公司收费相同，由两家公司的收费方式列方程，后解出即可；（3）根据收费方式计算出甲公司的费用大于乙公司时的运输距离，和甲公司的费用小于于乙公司时的运输距离即可得出结论．
【解析】(1)甲运输公司收费为（元），
乙运输公司收费为（元）．
因为，所以该工厂选择甲运输公司更划算．
(2)设当运输距离为x千米时，甲、乙两家运输公司收费相同．
根据题意，得，解得．
答：运送到C仓库时，甲、乙两家运输公司收费相同，可以任选一家．
(3)当甲公司收费大于乙公司时：， ，
当甲公司收费小于乙公司时：，，
综上：当仓库与工厂的距离大于100千米时，选择甲公司；
当仓库与工厂的距离等于100千米时，可以从甲、乙公司中任选一家；
当仓库与工厂的距离小于100千米时，选择乙公司．
【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用及一元一次不等式的应用，依据题意，正确建立方程是解题关键．
29．（2022·河南三门峡·七年级期末）第27届三门峡黄河文化旅游节在三门峡开幕，节会期间，全市所有A级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元．（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？写出这些进货方案，并写出你的分析过程．（3）若销售甲种纪念品每件可获利润30元，乙种纪念品每件可获利润20元，在（2）中的各种进货方案中，若购进商品能全部销售，当甲种纪念品购进 件时，可获得最大利润，最大利润是 元．
【答案】（1）购进甲种纪念品每件80元，购进乙种纪念品每件60元；（2）共有三种购买方案：方案一：购进甲种纪念品38件，购进乙种纪念品62件；方案二：购进甲种纪念品39件，购进乙种纪念品61件；方案三：购进甲种纪念品40件，购进乙种纪念品60件；（3）40，2400
【分析】（1）设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，根据“若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品（100-m）件，根据“购进种纪念品的数量不少于38件，且购进这100件纪念品的资金不能超过6800元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案；
（3）由每件甲种纪念品的利润高于每件乙种纪念品的利润，可得出购进甲种纪念品越多，全部售完后的利润越大，结合（2）即可得出结论．
【详解】解：（1）设购进每件甲种纪念品需要x元，购进每件乙种纪念品需要y元，
依题意得：，解得：．
答：购进每件甲种纪念品需要80元，每件乙种纪念品需要60元；
（2）设购进甲种纪念品m件，则购进乙种纪念品（100-m）件，
依题意得：，解得：38≤m≤40．
又∵m为正整数，∴m可以为38，39，40，∴该商店共有3种进货方案，
方案1：购进甲种纪念品38件，乙种纪念品62件；
方案2：购进甲种纪念品39件，乙种纪念品61件；
方案3：购进甲种纪念品40件，乙种纪念品60件．
（3）∵30＞20，∴购进甲种纪念品越多，全部售完后的利润越大，
∴当甲种纪念品购进40件时，可获得最大利润，最大利润是30×40+20×60=2400（元）．
故答案为：40；2400．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）根据两种纪念品每件销售利润间的关系，找出购进甲种纪念品越多，全部售完后的利润越大．
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专题11 与一元一次不等式的应用题 高频考点（精练）
一、选择题
1.（2022·浙江余杭·八年级期末）检测游泳池的水质，要求三次检验的pH的平均值不小于7.2，且不大于7.8．前两次检验，pH的读数分别是7.4，7.9，那么第三次检验的pH应该为多少才能合格？设第3次的pH值为x，由题意可得（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·浙江·八年级期中）研究表明，运动时将心率p（次）控制在最佳燃脂心率范围内，能起到燃烧脂肪并且保护心脏功能的作用．最佳燃脂心率最高值不应该超过（220-年龄）×0.8，最低值不低于（220-年龄）×0.6．以30岁为例计算，，，1，所以30岁的年龄最佳燃脂心率的范围用不等式可表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·浙江宁波·八年级期末）某次知识竞赛共20道题，每一题答对得10分，不答得0分，答错扣5分，小聪有一道题没答，竞赛成绩超过90分．设他答对了x道题，则根据题意可列出不等式为（　　）
A．10x﹣5（19﹣x）≥90 B．10x﹣5（19﹣x）＞90
C．10x﹣（19﹣x）≥90 D．10x﹣（19﹣x）＞90
4．（2022·江苏·七年级专题练习）小明和小亮共下了10盘围棋，小明胜一盘记1分，小亮胜一盘记3分，当他俩下完第9盘后，小明的得分高于小亮；等下完第10盘后，小亮的得分高过小明，小亮胜（ ）盘？（已知比赛中没有出现平局）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023春·全国·七年级专题练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023春·江苏·八年级专题练习）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，植树的棵数为棵，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2023春·浙江·八年级专题练习）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（ ）．
A． B． C． D．
8．（2023·广东佛山·统考一模）某环保知识竞赛一共有20道题，规定：答对一道题得5分，答错或不答一道题扣1分．在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），则小明至少答对了______道题．（ ）
A．17 B．18 C．19 D．16
二、填空题
9．（2022·上海市八年级期中）一件商品的成本价是30元，若按标价的八八折销售，至少可获得10%的利润；若按标价的九折销售，可获得不足20%的利润，设这件商品的标价为元，则x的取值范围是______________
10．（2022·浙江义乌·八年级期末）某产品进价为每件200元，商店标价为每件300元．现商店准备将这批服装打折出售，但要保证毛利润不低于5%，则商店最低可按______折出售．
11．（2022·浙江余杭·八年级期中）若等腰三角形的底边长为6，则它的腰长x的取值范围是______；若等腰三角形的腰长为6，则它的底边长y的取值范围是______．
12．（2022秋·重庆云阳·九年级统考期末）由于国家有关房地产的新政策出台，购房者持币观望，某地某个房地产公司为了加快资金周转，2022年春季在搞买房子送车位的促销活动的同时对销售人员进行个人奖励，每卖出一套两居室奖励1万元，每卖出一套三居室奖励2万元，每卖出一套四居室奖励4万元．公司将销售人员分成三组，经统计，第一组平均每人售出6套两居室、4套三居室、3套四居室；第二组平均每人售出2套两居室、2套三居室、1套四居室；第三组平均每人售出8套两居室、5套三居室．这三组销售人员在此次活动中共获得奖金466万元，其中通过销售三居室所获得的奖金为216万元，且第三组销售人员的人数不超过20人，则第一组和第三组销售人员的人数之和为______人．
13．（2023·陕西西安·八年级高新一中校考阶段练习）某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住：若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有___人．
14．（2023春·重庆云阳·九年级校考阶段练习）贴春联是我国过春节时的重要传统习俗，春联有长有短，有五字联，七字联，十二字联等．一副完整的春联由上下两联配一个四字横批组成，如一副五字联“人开致富路，猪拱发财门”，横批“恭喜发财”，共由14个字组成．寒假期间，学校书法社开展现场书写并赠送春联的公益活动，按计划，社员甲需书写五字春联，社员乙需书写七字春联，社员丙需书写十二字春联各若干副，且他们分别书写一副完整的五字，七字和十二字春联所需时间分别是10分钟，15分钟和20分钟，若按计划完成任务，甲与丙的时间之和不超过10小时，且是乙的两倍，实际开展活动时，甲帮丙写了1副横批，乙帮丙写了n副横批，活动结束后，书法社统计员惊讶地发现，三人书写的字数一样多，则原计划甲书写春联的字数是___字．
15．（2023春·广东·八年级专题练习）安排学生住宿，若每间住3人，则还有13人无房可住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，则宿舍的房间数量可能为_____．
16．（2023春·广西·八年级专题练习）某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产、两种产品50件．生产一件产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克．设生产件种产品，应满足的不等式组是：______．
17．（2023·山东·九年级期中）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆，则符合要求的搭配方案有____种．
三、解答题
18．（2023秋·广东广州·七年级统考期末）某企业举办职工足球比赛，准备购买一批足球运动装备，市场调查发现：甲、乙两商场以同样的价格出售同种品牌的足球队服和足球，已知每套队服比每个足球多60元，三套队服与五个足球的费用相等，经洽谈，甲商场优惠方案是：每购买十套队服，送一个足球；乙商场优惠方案是：若购买队服超过60套，则购买足球打八折．
(1)求每套队服和每个足球的价格是多少？(2)若购买100套队服和个足球，请用含y的式子分别表示出到甲商场和乙商场购买装备所花的费用；(3)在（2）的条件下，假如你是本次购买任务的负责人，你认为到哪家商场购买比较合算？
19．（2022·浙江仙居·七年级期末）某杨梅经销商以每千克40元的价格分三批向果农购进杨梅，均分拣成“特优”和“普通”两类销售，分拣和包装费用为每千克6元．每批杨梅中最差的10%不能销售，为损耗，其余杨梅均能售完．“特优”杨梅售价是每千克110元，“普通”杨梅售价为每千克30元．
（1）该经销商购进的第一批杨梅为500千克，分拣出“特优”杨梅150千克，则他获得的利润是 　 　元；（2）该经销商购进的第二批杨梅为800千克，获利4800元，求其中售出“特优”和“普通”杨梅各多少千克？（3）该经销商希望自己第三批杨梅的销售的利润率不少于35%，他收购杨梅时要确保能分拣出“特优”杨梅占收购总量的百分比至少要达到多少（精确到1%）？（利润＝销售收入﹣总成本，利润率＝利润÷总成本×100%）
20.（2022·河南长垣·模拟预测）2021年元旦新冠病毒肆虐，为抗疫救灾，甲、乙两运输队接受了运输20000箱抗疫物资的任务，任务要求在11天之内（包含11天）完成．已知两队共有18辆汽车，甲队每辆车每天能够运输120箱的抗疫物资，乙队每辆车每天能够运输100箱的抗疫物资，前4天两队一共运输了8000箱．(1)求甲、乙两队各有多少辆汽车；(2)4天后，甲队另有紧急任务需要抽调车辆支援，在不影响工期的情况下，甲队最多可以抽调多少辆汽车走？
21．（2022 柳南区校级期末）某服装店老板到厂家选购A、B两种型号的服装，如果购进A种型号服装9件，B种型号服装10件，就需要1810元；如果购进A种型号服装12件，B种型号服装8件，就需要1880元．问题：（1）求A、B两种型号的服装每件分别为多少钱？（2）已知销售1件A种型号服装可获利18元，销售B种型号服装可获利30元．根据市场需求，服装店老板的决定，购进A种型号服装的数量要比B种型号服装数量的2倍多4件，且A种型号服装最多购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于732元．问有几种进货方案？
22．（2022 饶平县校级期末）开学之前，学校总务部门安排新生宿舍，算了一笔细账、如果每间宿舍住4个学生，那么还余20个人无处安身，如果每间住8个人，那么其中一间不满也不空，其余各间全满，试问，共有多少位要住宿的新生？共为他们提供了多少间宿舍？
23．（2022·湖南·八年级期末）为奖励在文艺汇演中表现突出的同学，班主任派小亮到文具店为获奖同学购买奖品．小亮发现，如果买1个笔记本和3支钢笔，则需要18元；如果买2个笔记本和5支钢笔，则需要31元．（1）求购买每个笔记本和每支钢笔各多少元？（2）班主任给小亮的班费是100元，需要奖励的同学是24名（每人奖励一件奖品），若购买的钢笔数不少于笔记本数，求小亮有哪几种购买方案？
24．（2022·重庆南开中学）在重庆南开中学建校85周年之际，学校举行了隆重的庆祝活动．为感谢参与活动的师生，学校定制了水杯和手账两种纪念品，已知定制2个水杯和3本手账共需180元，定制5个水杯和6本手账共需420元．（1）定制一个水杯和一本手账的单价各是多少元？（2）学校最终决定定制水杯和手账的总数量为600件（其中水杯不超过300个），并委托商家进行包装，现有如下两种方案：方案1：一个水杯的包装费为6元，一本手账的包装费为1元，总费用打8折；
方案2：定制一个水杯，就赠送一本手账，并将一个水杯和一本手账作为套装进行包装，此种方案中每个套装的包装费为4元，剩下需要单独定制的单品每件包装费为2元．
求定制水杯多少个时，两种方案的总费用相同？（总费用=定制物品的总费用+包装总费用）
25．（2022·湖南邵阳·中考真题）2022年2月4日至20日冬季奥运会在北京举行．某商店特购进冬奥会纪念品“冰墩墩”摆件和挂件共180个进行销售．已知“冰墩墩”摆件的进价为80元/个，“冰墩墩”挂件的进价为50元/个．(1)若购进“冰墩墩”摆件和挂件共花费了11400元，请分别求出购进“冰墩墩”摆件和挂件的数量．(2)该商店计划将“冰墩墩”摆件售价定为100元/个，“冰墩墩”挂件售价定为60元/个，若购进的180个“冰墩墩”摆件和挂件全部售完，且至少盈利2900元，求购进的“冰墩墩”挂件不能超过多少个？
26．（2022·安徽霍邱·七年级期末）为了支持贫困地区发展，某企业需运输一批扶贫物资．据调查得知，2辆大货车与4辆小货车一次可以运输1000箱物资；5辆大货车与2辆小货车一次可以运输1300箱物资．（1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱物资？
（2）该企业计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元，若一次运输物资不少于2200箱，且总费用小于5600元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需总费用最少，最少总费用是多少？
27．（2022·浙江省衢州市八年级阶段练习）为纪念今年建党一百周年，学校集团党委决定印制《党旗飘扬》、《党建知识》两种党建读本．已知印制《党旗飘扬》5册和《党建知识》10册，需要350元；印制《党旗飘扬》3册和《党建知识》5册，需要190元．（1）求印制两种党建读本每册各需多少元？（2）考虑到宣传效果和资金周转，印制《党旗飘扬》不能少于60册，且用于印制两种党建读本的资金不能超过2630元，现需要印制两种读本共100册，问有哪几种印制方案？哪种方案费用最少？
28．（2022·北京东城·七年级期末）某工厂需将产品分别运送至不同的仓库，为节约运费，考察了甲、乙两家运输公司．甲、乙公司的收费标准如下表：
运输公司 起步价（单位：元） 里程价（单位：元/千米）
甲 1000 5
乙 500 10
(1)仓库A距离该工厂120千米，应选择哪家运输公司？
(2)仓库B，C，D与该工厂的距离分别为60千米、100千米、200千米，运送到哪个仓库时，可以从甲、乙两家运输公司任选一家？(3)根据以上信息，你能给工厂提供选择甲、乙公司的标准吗？
29．（2022·河南三门峡·七年级期末）第27届三门峡黄河文化旅游节在三门峡开幕，节会期间，全市所有A级旅游景区将实行门票五折的优惠政策．一商店抓住商机，决定购进甲，乙两种旅游节纪念品在节会期间进行销售．若购进甲种纪念品2件，乙种纪念品3件，需要340元；若购进甲种纪念品4件，乙种纪念品5件，需要620元．（1）求购进甲、乙两种纪念品每件各需多少元？（2）若该商店决定购进两种纪念品共100件，其中甲种纪念品的数量不少于38件，考虑到资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不能超过6800元，那么该商店共有几种进货方案？写出这些进货方案，并写出你的分析过程．（3）若销售甲种纪念品每件可获利润30元，乙种纪念品每件可获利润20元，在（2）中的各种进货方案中，若购进商品能全部销售，当甲种纪念品购进 件时，可获得最大利润，最大利润是 元．
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