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练案[14]第五章　机械能
第1讲　功和功率
一、选择题(本题共10小题，1～7题为单选，8～10题为多选)
1．(2023·广东汕头模拟预测)关于功的概念，以下说法不正确的是( C )
A．力是矢量，位移是矢量，但功是标量
B．摩擦力可以对物体做正功
C．若某一个力对物体不做功，说明该物体一定没有位移
D．功有正、负之分，若某个力对物体做负功，表明这个力对该物体的运动起阻碍作用
[解析]力是矢量，位移是矢量，但功是标量，故A正确；功有正、负之分，但功的正负不是表示方向，是表示力对物体做功的效果，若某个力对物体做负功，表明这个力对该物体的运动起阻碍作用，故D正确；摩擦力可以做正功，也可以做负功，还可以不做功，故B正确；根据功的计算式W＝Flcos θ，可知若某一个力对物体不做功，说明该物体可能是没有位移，还可能是物体发生的位移与施加的力垂直，故C错误。本题选不正确项，故选C。
2．(2022·黑龙江齐齐哈尔二模)在同一水平高度(足够高)不同位置由静止释放A球，同时以初速度v0＝10 m/s水平抛出B球。已知两球质量相等且均可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。则A、B球在空中运动1 s时重力的瞬时功率之比为( B )
A．1? B.1?1
C.?1 D.1?2
[解析]A、B两球在竖直方向做自由落体运动，1 s末竖直方向获得的速度为vy＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，故A、B球在空中运动1 s时重力的瞬时功率之比为＝＝，故ACD错误，B正确。
3．(2023·浙江诸暨中学高三阶段练习)如表所示是厂商提供的某纯电动试验汽车的相关参数表。若该汽车由静止开始做加速度a＝1.5 m/s2的匀加速直线运动，当汽车车速达到v1＝72 km/h时，电机总功率恰好达到额定总功率，并保持该功率不变继续行驶，假设行驶过程中汽车的阻力大小恒定。下列说法正确的是( D )
电动汽车参数 数值
动力电池容量/kwh 45.6
动力电池能量效率 93%
电机额定总功率/ kW 85
整车质量/kg 1 710
A.行驶过程中该车所受的阻力为4 250 N
B．在电机额定总功率下，汽车的最大速度为72 km/h
C．表格中电池“容量”其实是指电池储存的电荷量
D．该汽车充满电后，以上述方式总共可行驶约0.5 h
[解析]本题由于没有给出电机额定输出功率，故无法计算阻力，但即使把额定总功率当额定输出功率计算，阻力也为f＝－ma＝1 685 N，实际比1 685 N还小一点，故A错误；汽车通过匀加速达到速度72 km/h，此后汽车可以通过减小牵引力而保持额定功率继续加速，故B错误；根据汽车参数单位，动力电池“容量”是指电池储存的电能，选项C错误；该汽车充满电后，加速时间为t1＝＝13.3 s，由于匀加速阶段P与v，v与t成线性关系，故加速过程中电机消耗的能量为：W＝t1≈0.16 kw·h，后续电机以额定总功率功率行驶，则t2＝≈0.50 h，t＝t1＋t2≈0.5 h，故以上述方式总共可行驶约0.5 h，D正确。
4．(2023·山东济南高三模拟)某同学用恒定的推力推橡皮，匀速擦除桌面上一段长为L的细直线痕迹，该过程中橡皮克服摩擦阻力做功为W。已知橡皮与桌面痕迹间的动摩擦因数均为μ，不计橡皮重力，则手对橡皮推力的大小为( D )
A. B.
C. D.
[解析]由题意可得：W＝fL，推力的水平分力Fx＝f，f＝μFy，F＝，求得F＝。故选D。
5．(2022·广东二模)质量为m的汽车由静止启动后沿平直路面行驶，汽车牵引力随速度变化的F－v图像如图所示，设汽车与路面间的摩擦力f保持不变，则( B )
A．速度为v1时，汽车牵引力的功率为fv1
B．速度为v1时，汽车的加速度为
C．汽车加速运动过程中，平均速度为
D．该过程中汽车的最大功率等于F0vm
[解析]速度为v1时，汽车牵引力的功率为P＝F0v1，故A错误；由图可知速度为v1时，汽车的牵引力为F0，加速度为a＝，故B正确；汽车加速运动过程中，先是从静止开始的匀加速直线运动，然后是加速度减小的变加速运动，所以平均速度不能表示成。故C错误；该过程中汽车的最大功率等于Pm＝fvm。故D错误。
6．(2021·湖南卷)“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比(F阻＝kv，k为常量)，动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是( C )
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为vm
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为mv－Pt
[解析]对动车组由牛顿第二定律有F－F阻＝ma，若动车组在匀加速启动，即加速度a恒定，但F阻＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而变大，故A错误；若四节动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有－kv＝ma，故可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶时加速度为零，有＝kv，而以额定功率匀速时，有＝kvm，联立解得v＝vm，故C正确；若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，由动能定理可知4Pt－WF阻＝mv－0，可得动车组克服阻力做的功为WF阻＝4Pt－mv，故D错误；故选C。
7．(2023·河北模拟预测)如图甲所示，某同学研究水平匀速拉动货物时拉力大小和方向间的关系。他以相同的速度拉动质量为50 kg的货物，拉力方向与水平方向的夹角为θ。已知货物所受阻力与货物对地面的压力成正比，拉力F大小与θ的函数图像如图乙所示，重力加速度g＝10 m/s2，下列说法正确的是( A )
A．货物受到的阻力与货物对地面压力的比值为0.5
B．当θ＝0.25π时，拉力大小为 N
C．当θ＝0与θ＝时，对应拉力大小相等
D．当0≤θ<时，可能有两个角度对应拉力的功率相等
[解析]设货物受到的阻力与货物对地面压力的比值为μ，对货物根据平衡条件有Fcos θ＝μ(mg－Fsin θ)，解得F＝。由题图乙可知，当θ＝0时，有F＝250 N，代入上式解得μ＝0.5，故A正确；当θ＝0.25π时，拉力大小为F＝＝ N，故B错误；当θ＝时，拉力大小为F＝＝1 000(2－)N≠250 N，故C错误；拉力的功率为P＝Fvcos θ＝，tan θ在0≤θ<区间内为单调函数，所以在此区间内不可能有两个角度对应拉力的功率相等，故D错误。
8．(2022·陕西榆林市二模)如图所示，物块A、B叠放在粗糙水平面上，A、B之间的接触面粗糙，用水平力F拉B，使A、B一起沿水平面做匀减速直线运动。在A、B一起运动的过程中，下列说法正确的是( BC )
A．B对A的摩擦力对A做正功
B．B对A的摩擦力对A做负功
C．A对B的摩擦力对B做正功
D．A对B的摩擦力对B做负功
[解析]A、B一起沿水平面做匀减速直线运动，可知a与v方向相反，A的加速度由B对A的摩擦力产生，可知B对A的摩擦力的方向与v的方向相反，可知B对A的摩擦力对A做负功；由牛顿第三定律可知， A对B的摩擦力的方向与v方向相同，则A对B的摩擦力对B做正功，选项AD错误，BC正确。
9．(2022·贵州一模)随着科技的发展，我国的航空母舰上将安装电磁弹射器以缩短飞机的起飞距离。如图所示，某航空母舰的水平跑道总长l＝180 m，电磁弹射区的长度l1＝80 m，一架质量m＝2.0×104 kg的飞机，其喷气式发动机可为飞机提供恒定的推力F推＝1.2×105 N，假设飞机在航母上受到的阻力恒为飞机重力的。若飞机可看成质量恒定的质点，从右边沿离舰的起飞速度v＝40 m/s，航空母舰始终处于静止状态(电磁弹射器提供的牵引力恒定，取g＝10 m/s2)。下列说法正确的是( AC )
A．飞机在电磁弹射区运动的加速度大小a1＝5.0 m/s2
B．飞机在电磁弹射区的末速度大小v1＝20 m/s
C．电磁弹射器对飞机的牵引力F牵的大小为2×104 N
D．电磁弹射器在弹射过程中的功率是不变的
[解析]根据牛顿第二定律，飞机离开电磁弹射区后有F推－0.2mg＝ma2，解得a2＝4.0 m/s2，由v2－v＝2a2(l－l1)，解得飞机在电磁弹射区的末速度v1＝20 m/s，由v＝2a1l1，解得飞机在电磁弹射区运动的加速度a1＝5 m/s2。根据牛顿第二定律有F牵＋F推－0.2mg＝ma1，代入数据解得F牵＝2×104 N，故B错误，AC项正确；根据P＝Fv可知电磁弹射器在弹射过程中的功率不断增加，故D错误。
10．(2023·湖南模拟预测)如图甲所示，一轻弹簧上端固定在天花板上，下端与一质量为m的物体相连，物体下有一托盘，用托盘托着物体使弹簧处于原长状态。现在突然撤去托盘，在物体竖直向下运动的整个过程中，其加速度a与弹簧的伸长量x间的关系如图乙所示。已知x2＝2x1，设弹簧的劲度系数为k，根据图中提供的信息，下列说法正确的是( BC )
A．a1>a2
B．x2＝
C．当弹簧的伸长量为x1时，物体的速度大小为
D．弹簧的伸长量从零增大到x2的过程中，弹簧弹力对物体做的功与重力做的功相同
[解析]由简谐振动的对称性可知，a1＝a2，A错误；当x＝x1时，对物体受力分析有kx1＝mg，则x2＝2x1＝，B正确；0～x1过程中图像与坐标轴围成的面积等于速度平方的一半，所以v2＝2·＝a1x1，解得伸长量为x1时，物体的速度v＝，C正确；弹簧的伸长量从零增大到x2的过程中，弹簧弹力对物体做负功，重力对物体做正功，两力对物体做功不相同，D错误。
二、非选择题
11．(2021·1月浙江高考)如图所示，质量m＝2 kg的滑块以v0＝16 m/s的初速度沿倾角θ＝37°的斜面上滑，经t＝2 s 滑行到最高点。然后，滑块返回到出发点。已知g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求滑块
(1)最大位移值x；
(2)与斜面间的动摩擦因数μ；
(3)从最高点返回到出发点的过程中重力的平均功率。
[答案]　(1)16 m　(2)0.25　(3)67.9 W
[解析](1)滑块沿斜面向上做匀减速直线运动，根据x＝t有
x＝t①
得x＝16 m。②
(2)根据a＝知，滑块上滑过程的加速度a1＝＝8 m/s2③
对上滑过程，由牛顿第二定律得
a1＝＝gsin θ＋μgcos θ④
得μ＝0.25。⑤
(3)对滑块下滑过程，由牛顿第二定律得
a2＝＝gsin θ－μgcos θ＝4 m/s2⑥
由速度位移公式：v＝＝8 m/s⑦
重力的平均功率＝mg，⑧
其中y＝，代入得＝48 W＝67.9 W。
12．(2022·北京海淀二模)2022年我国举办了第二十四届冬奥会，跳台滑雪是其中最具观赏性的项目之一、如图所示为某滑道示意图，长直助滑道AB与起跳平台BC平滑连接，C点是第二段倾斜雪坡(着陆坡)的起点，着陆坡与水平面的夹角θ＝37°。质量m＝80 kg的运动员从A处由静止开始匀加速下滑，加速度a＝4 m/s2，到达B点时速度vB＝30 m/s。经过一段时间后从C点沿水平方向飞出，在着陆坡上的D点着陆。已知CD间的距离L＝75 m，sin 37°＝0.60，cos 37°＝0.80，取重力加速度g＝10 m/s2，将运动员视为质点，忽略空气阻力的影响。
(1)求运动员在AB段运动的时间t；
(2)若运动员在BC段没有助滑，仅在摩擦力作用下运动，求BC段摩擦力所做的功；
(3)求运动员落在着陆坡上D点时所受重力做功的瞬时功率P。
[答案]　(1)7.5 s　(2)－2×104 J　(3)2.4×104 W
[解析](1)由题意得，运动员在AB段运动的时间为t＝＝7.5 s。
(2)从C点飞出后，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，由几何关系知
Lcos 37°＝v0t1，Lsin 37°＝gt，
解得t1＝3 s，v0＝20 m/s。
所以从B到C由动能定理得Wf＝mv－mv，
解得BC段摩擦力所做的功为Wf＝－2×104 J。
(3)因为落在着陆坡上D点时的竖直方向速度为vy＝gt1＝30 m/s，
运动员落在着陆坡上D点时所受重力做功的瞬时功率为P＝mgvy＝2.4×104 W。(共66张PPT)
第五章
机械能
课程标准
1.理解功和功率。了解生产生活中常见机械的功率大小及其意义。
2．理解动能和动能定理。能用动能定理解释生产生活中的现象。
3．理解重力势能，知道重力势能的变化与重力做功的关系。定性了解弹性势能。
4．通过实验，验证机械能守恒定律。理解机械能守恒定律，体会守恒观念对认识物理规律的重要性。能用机械能守恒定律分析生产生活中的有关问题。
5．了解自然界中存在多种形式的能量。知道不同形式的能量可互相转化，在转化过程中能量总量保持不变，能量转化是有方向性的。
6．知道利用能量是人类生存和社会发展的必要条件之一。
7．知道合理使用能源的重要性，具有可持续发展观念，养成节能的习惯。
命题热点
(1)做功和功率问题。
(2)动能定理的应用。
(3)机械能守恒的条件。
(4)机械能守恒定律与平抛运动、圆周运动的综合。
(5)功能关系与能量守恒。
课程标准 命题热点
备考策略 1.本章命题主要考查日常生活、生产中的物理情境，考查对象可以是一个物体，也可以是多个物体，解题方法主要是函数法和图像法及推理论证，学科核心素养主要考查运动观念、能量观念、模型建构、科学推理以及严谨认真的科学态度。 2．高考备考中要重视物理观念的形成，如动能、势能、机械能等；还要注意物理模型的建构，如物体上抛下落、车辆启动、各种轨道、弹簧、传送带等；要注意物理思想的把握，如转换与守恒、图像与文字、独立与分解等。 3．加强对能量规律的探究，培养实验探究能力，形成学科素养。 4．注意利用生产、生活中与功、能量关系紧密联系的实践活动，加强对能量规律的应用与探究，加强典型学科方法的掌握，如函数法、比较法、极限法、图像法、模型法等。 第1讲　功和功率
知识梳理·双基自测
核心考点·重点突破
名师讲坛·素养提升
2年高考·1年模拟
知识梳理·双基自测
知识点1
功
1．定义：物体受到力的作用，并在_______________发生一段位移，就说力对物体做了功。
2．做功的两个必要条件：
力和物体在力的方向上发生的______。
3．公式：W＝____________，其中F是恒力，l是位移，α是______和______的夹角。
注意：公式可理解为F·(lcos α)，也可理解为(Fcos α)·l
力的方向上
位移
Flcos α
力F
位移l
4．单位：焦耳(J)。
5．功是______，没有方向，但有正、负。根据W＝Flcos α可知：
(1)当0°≤α<90°时，力对物体做___功，是动力，物体获得动能。
(2)当90°<α≤180°时，力对物体做___功(如－2 J，也称物体克服这个力做了2 J的功)，是阻力，物体向外转移动能。
(3)当α＝90°时，力对物体___做功。
可见，正功、负功表示对物体做功的力是___力或___力，以及力对物体做功引起能量的转化。
标量
正
负
不
动
阻
思考：一阵风水平吹过，将熟透的苹果从2 m高的枝头吹落。若苹果重2 N，风力恒为3 N，下落的水平位移为1 m。
(1)苹果下落过程中，重力和风力各做多少功？
(2)重力和风力对苹果做的总功能不能用平行四边形定则来求？若不能应该怎么求？所做总功为多少？总结出两个力的总功的求法。
[答案]　(1)重力做功为4 J，风力做功为3 J。(2)不能，各力做功的代数和为总功，总功为7 J。
知识点2
功率
1．公式
(2)P＝____________，α为F与v的夹角。
①若v为平均速度，则P为____________。
②若v为瞬时速度，则P为____________。
平均功率
Fvcos α
平均功率
瞬时功率
2．物理意义：描述做功的______，功率大则做功___，功率小则做功___。
3．额定功率：机器______工作的功率，一般在机器的铭牌上标明。
4．实际功率：机器____________时输出的功率。要求____________额定功率。
快慢
快
慢
正常
实际工作
小于等于
思考：汽车以不同方式启动，一次以恒定功率启动，一次匀加速启动。
(1)用公式P＝Fv研究汽车启动问题时，力F是什么力？
(2)以恒定功率启动时，汽车的加速度变化吗？做什么运动？
(3)汽车上坡的时候，司机师傅必须换挡，其目的是什么？
[答案]　(1)牵引力　(2)变化，做加速度减小的加速运动　(3)减小速度，增大牵引力。
一、堵点疏通
1．一个力对物体做了负功，则说明这个力一定阻碍物体的运动。( 　　)
2．滑动摩擦力可能做负功，也可能做正功；静摩擦力对物体一定不做功。( 　　)
3．作用力做正功时，反作用力一定做负功。( 　　)
4．据P＝Fv可知，发动机功率一定时，交通工具的牵引力与运动速度成反比。( 　　)
5．汽车上坡的时候，司机必须换挡，其目的是减小速度，得到较小的牵引力。( 　　)
√
×
×
√
×
二、对点激活
1．(2022·北京房山二模)图甲为一男士站立在与水平成一定角度的自动人行道(可看作斜面)上匀速上楼，图乙为一女士站在自动扶梯(可看作台阶)上匀速上楼。关于两人受力以及做功情况，下列说法正确的是( 　　)
A．图甲中支持力对男士不做功
B．图乙中摩擦力对女士做负功
C．图乙中支持力对女士不做功
D．男士受到自动人行道的作用力和女士受到自动扶梯的作用力方向不相同
A
[解析]图甲中支持力的方向垂直于斜面向上，与男士速度方向始终垂直，所以对男士不做功，故A正确；图乙中女士与台阶共同做匀速运动，没有相对运动趋势，女士不受摩擦力，故B错误；图乙中支持力方向竖直向上，与女士速度方向夹角小于90°，所以支持力做正功，故C错误；男士和女士都做匀速运动，处于平衡状态，所以男士受到自动人行道的作用力和女士受到自动扶梯的作用力分别与各自的重力平衡，方向都为竖直向上，故D错误。
2．(2023·重庆市凤鸣山中学高三阶段练习)重庆由于其良好的生态环境和有利的地理位置，是鸟类的好居处。如图所示，质量为m的鸽子，沿着与水平方向成15°角、斜向右上方的方向以大小为v的速度匀速飞行，重力加速度大小为g，下列说法正确的是( 　　)
A．鸽子处于失重状态
B．空气对鸽子的作用力大于mg
C．空气对鸽子的作用力的功率为mgv
D．鸽子克服自身的重力的功率为mgvsin 15°
D
[解析]由鸽子匀速飞行可知，鸽子所受合外力为0，A错误；由共点力平衡条件可知，空气对鸽子的作用力等于mg，B错误；空气对鸽子的作用力竖直向上，所以空气对鸽子的作用力的功率为mgvcos 75°，C错误；鸽子克服自身的重力的功率为P＝－P重力，由力的功率表达式P重力＝mgvcos (15°＋90°)，联立解得P＝mgvsin 15°，D正确。
3．(2023·湖南娄底模拟预测)太阳能动力汽车，是以柔性高效的薄膜太阳能电池组件为核心技术、靠太阳能来驱动的汽车。相比传统热机驱动的汽车，太阳能汽车是真正的零排放。如图所示，某款太阳能概念车质量为m，在一段平直公路上由静止匀加速启动，加速度大小为a，经时间t达到额定功率。若汽车运动过程中阻力恒为f，则该汽车的额定功率为( 　　)
A．(ma＋f)at B.ma2t
C．(ma＋f)a D.fat
A
[解析]根据牛顿运动定律得F－f＝ma，则汽车匀加速运动阶段的牵引力大小为F＝ma＋f，达到额定功率时的汽车的速率大小为v＝at，所以汽车额定功率大小为P＝Fv＝(ma＋f)at，选项A正确。
核心考点·重点突破
考点一
功的分析与计算
1．判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据 适用情况
根据力和位移的方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断
2.计算功的方法
(1)恒力做的功
直接用W＝Flcos α计算或用动能定理
(2)合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功，尤其适用于已知质量m和加速度a的情况。
方法二：先求各个力做的功W1、W2、W3…，再应用W合＝W1＋W2＋W3＋…求合外力做的功。
方法三：利用动能定理，合力做的功等于物体动能的变化。
(3)变力做的功
①应用动能定理求解。
②用W＝Pt求解，其中变力的功率P不变。
③当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时，这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积。如滑动摩擦力做功、空气阻力做功等。
④有些变力做功问题通过转换研究对象，可转换为恒力做功，用W＝Flcos α求解。此法常用于轻绳通过定滑轮拉物体做功问题。
⑤在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移内所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正功，位于x轴下方的“面积”为负功，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、梯形、圆等规则的几何图形)。
恒力功的计算
(2022·宁夏石嘴山市高三期末)如图甲所示，质量m＝0.5 kg，初速度v0＝10 m/s的物体，受到一个与初速度方向相反的外力F的作用，沿粗糙的水平面滑动，经3 s撤去外力，直到物体停止，整个过程物体的v－t图像如图乙所示，g取10 m/s2，则( 　　)
A．物体与地面间的动摩擦因数为0.2
B．0～7 s内物体滑行的总位移为30 m
C．0～7 s内摩擦力做功为－29 J
D．0～3 s内F做的功为－10.5 J
例1
D
变力功的计算
(2023·湖南长沙高三阶段练习)木匠师傅用铁锤把钉子砸进木梁，每次砸钉的动作完全相同。木匠第一次砸钉就将钉子砸进了一半。已知钉子所受阻力与其进入木梁中的深度成正比，铁锤砸钉的能量全部用来克服钉子前进中的阻力做功，木匠要把一枚钉子全部砸进木梁，他共需砸锤( 　　)
A. 2次 B.3次
C. 4次 D.5次
例2
C
[解析]作出钉子所受阻力与进入深度的关系图可知前一半深度与后一半深度过程中，阻力做功之比为1?3，由题意可知，每次砸锤，锤对钉做功相同，则将钉全部砸进木梁需要砸4次，故C正确，ABD错误。
〔变式训练1〕　(2023·贵州贵阳修文北大新世纪贵阳实验学校模拟预测)为了节能，商场的自动扶梯在较长时间无人乘行时会自动停止运行。有人站上去后，扶梯开始加速，然后匀速运动。如图所示，下列说法正确的是( 　　)
A．匀速下行过程中，人的动能不变，扶梯对人不做功
B．加速下行过程中，扶梯对人的支持力大于人所受的重力
C．加速下行过程中，人受到的摩擦力方向水平向左
D．加速下行过程中，支持力对人做正功，摩擦力对人做负功
C
[解析]匀速下行过程中，由平衡条件可知，人和扶梯间没有摩擦力，人所受重力做正功，人的动能不变，可知扶梯对人做负功，故A错误；加速下行过程中，竖直方向分加速度向下，人处于失重状态，所以扶梯对人的支持力小于人所受的重力，故B错误；加速下行过程中，水平方向分加速度向左，水平方向只有摩擦力提供加速度，根据牛顿第二定律的同向性可知人受到的摩擦力方向水平向左，故C正确；加速下行过程中，人所受支持力与人的运动方向夹角大于90°，支持力做负功，摩擦力与人的运动方向夹角小于90°，摩擦力对人做正功，故D错误。
〔变式训练2〕　(2023·贵州黔南模拟预测)在多年前的农村，人们往往会选择让驴来拉磨把食物磨成面，假设驴对磨杆的平均拉力为600 N，半径r为0.5 m，转动一周为5 s，则( 　　)
A．驴转动一周拉力所做的功为0
B．驴转动一周拉力所做的功为650π J
C．驴转动一周拉力的平均功率为120π W
D．磨盘边缘的线速度为0.1π m/s
C
[解析]驴对磨的拉力沿圆周切线方向，拉力作用点的速度方向也在圆周切线方向，故可认为拉磨过程中拉力方向始终与速度方向相同，故根据微分原理可知，拉力对磨盘所做的功等于拉力的大小与拉力作用点沿圆周运动弧长的乘积，则转动一周，弧长L＝2πr＝π(m)，所以拉力所
考点二
功率的计算
计算功率的方法
1．平均功率的计算方法
2．瞬时功率的计算方法
(1)利用公式P＝F·vcos θ，其中v为t时刻的瞬时速度。
(2)P＝F·vF，其中vF为物体的速度 v在力F方向上的分速度。
(3)P＝Fv·v，其中Fv为物体受的外力F在速度v方向上的分力。
(多选)(2023·武汉高三模拟)质量为m的物体从距地面H高处自由下落，经历时间t，则下列说法中正确的是( )
例3
ACD
计算功率的基本思路
名师点拨
(1)首先要弄清楚是平均功率还是瞬时功率。
(2)平均功率与一段时间(或过程)相对应，计算时应明确是哪个力在哪段时间(或过程)内做功的平均功率。
(3)瞬时功率计算时应明确是哪个力在哪个时刻(或状态)的功率。求解瞬时功率时，如果F与v不同向，可用力F乘以F方向的分速度，或速度v乘以速度方向的分力求解。
〔变式训练3〕　(2023·浙江金华模拟预测)某同学骑自行车碰到了一段倾角为θ的斜坡，在不踩踏的情况下，他刚好能让自行车沿斜坡以速度v1匀速直线向下行驶，现在他要以速度v2沿那段斜坡匀速直线向上行驶，若人和自行车以及所有装备的总质量为M，上下坡人和自行车受到的阻力大小不变，那么此时这位同学的骑车功率大小约为( 　　)
A．Mgv1sin θ B.Mgv2sin θ
C．2Mgv1sin θ D.2Mgv2sin θ
[解析]同学沿斜坡向下行驶时，有f＝Mgsin θ，沿斜坡匀速直线向上行驶时，有动力为F＝f＋Mgsin θ＝2Mgsin θ。此时这位同学的骑车功率大小约为P＝Fv2＝2Mgv2sin θ，故ABC错误，D正确。
D
考点三
机车启动问题
1．两种启动方式的比较
例4
[答案]　(1)10 s　(2)60 s
〔变式训练4〕　(2022·上海市七宝中学二模)如图是中国为老挝设计制造的“澜沧号”动车组。在水平测试轨道上，动车组以额定功率7200 kW启动，总质量540t，测得最高时速为216 km/h，若运动阻力与速率成正比，当其加速到108 km/h时，动车组的加速度约为多大(g＝10 m/s2)( 　　)
A．0.09 m/s2 B.0.22 m/s2
C．0.33 m/s2 D.0.44 m/s2
C
名师讲坛·素养提升
功和功率计算中的两类易错题
一、滑轮两侧细绳平行
(2023·甘肃省民乐县高三月考)如图甲所示，滑轮质量、摩擦均不计，质量为2 kg的物体在拉力F作用下由静止开始向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图乙所示，由此可知( 　　)
A．物体加速度大小为2 m/s2
B．F的大小为21 N
C．4 s末F的功率为42 W
D．4 s内F的平均功率为42 W
例5
C
[解析]由题图乙可知，v－t图像的斜率表示物体加速度的大小，即a＝0.5 m/s2，由2F－mg＝ma可得：F＝10.5 N，A、B均错误；4 s末F的作用点的速度大小为vF＝2v物＝4 m/s，故4 s末F的功率为P＝FvF＝42 W，C正确；4 s内物体上升的高度h＝4 m，力F的作用点的位移l＝2h＝
名师点拨
(1)不计摩擦和滑轮质量时，滑轮两侧细绳拉力大小相等。
(2)通过定滑轮连接的两物体，位移大小相等。
(3)通过动滑轮拉动物体时，注意物体与力的作用点的位移、速度、作用力间的大小关系。
二、滑轮两侧细绳不平行
一木块前端有一滑轮，绳的一端系在右方固定处，水平穿过滑轮，另一端用恒力F拉住，保持两股绳之间的夹角θ不变，如图所示，当用力F拉绳使木块前进s时，力F对木块做的功(不计绳重和滑轮摩擦)是( 　　)
A．Fscos θ B.Fs(1＋cos θ)
C．2Fscos θ D.2Fs
例6
B
方法二：可看成两股绳都在对木块做功W＝Fs＋Fscos θ＝Fs(1＋cos θ)，则B正确。
名师点拨
对于通过动滑轮拉物体，当拉力F的方向与物体的位移方向不同时，拉力F做的功可用如下两种思路求解：
(1)用W＝Flcos α求，其中l为力F作用点的位移，α为F与l之间的夹角。
(2)用两段细绳拉力分别所做功的代数和求解。
2年高考·1年模拟
1.(多选)(2022·湖南卷)神舟十三号返回舱进入大气层一段时间后，逐一打开引导伞、减速伞、主伞，最后启动反冲装置，实现软着陆。某兴趣小组研究了减速伞打开后返回舱的运动情况，将其运动简化为竖直方向的直线运动，其v-t图像如图所示。设该过程中，重力加速度不变，返回舱质量不变，下列说法正确的是( )
A．在0～t1时间内，返回舱重力的功率随时间减小
B．在0～t1时间内，返回舱的加速度不变
C．在t1～t2时间内，返回舱的动量随时间减小
D．在t2～t3时间内，返回舱的机械能不变
AC
[解析]由题知，返回舱的运动简化为竖直方向的直线运动，所以重力的功率P＝mgv，因此在0～t1时间内，结合v－t图像可知返回舱重力的功率随时间减小，A项正确；v－t图像的斜率表示返回舱的加速度，故0～t1时间内，返回舱的加速度不断减小，B项错误；返回舱的动量大小与其速度大小成正比，所以t1～t2时间内，返回舱的动量随时间减小，C项正确；在t2～t3时间内，返回舱匀速下降，机械能不守恒，D项错误。
2．(多选)(2022·广东卷)载有防疫物资的无人驾驶小车，在水平MN段以恒定功率200 W、速度5 m/s匀速行驶，在斜坡PQ段以恒定功率570 W、速度2 m/s匀速行驶。已知小车总质量为50 kg，MN＝PQ＝20 m，PQ段的倾角为30°，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。下列说法正确的有( )
A．从M到N，小车牵引力大小为40 N
B．从M到N，小车克服摩擦力做功800 J
C．从P到Q，小车重力势能增加1 ×104 J
D．从P到Q，小车克服摩擦力做功700 J
ABD
3．(2023·浙江高三阶段练习)2021年东京奥运会上，中国奥运代表队共收获了38金32银18铜的出色成绩。在田径男子100米半决赛中，中国短跑运动员苏炳添跑出了9秒83的个人最好成绩，刷新了亚洲纪录。以下说法正确的是( 　　)
A．苏炳添赢得第一是因为冲过终点线时的速度大于其他人
B．百米赛跑由于是直跑道，所以位移就是路程
C．苏炳添起跑加速过程中，地面对他的摩擦力做正功
D．苏炳添起跑瞬间，地面对他的支持力大于他的重力
D
[解析]冲过终点线时的速度是瞬时速度，而赢得第一是因为跑完100米用时最短，对应平均速度大，故A错误；百米赛跑由于是直跑道，所以位移大小等于路程，但不能说位移就是路程，故B错误；摩擦力是静摩擦力，地面对他的摩擦力不做功，故C错误；百米赛跑是蹲踞式起跑，起跑时身体重心上升，存在超重现象，故D正确。
4．(2023·河北张家口高三模拟)如图所示为古代的水车，该水车周边均匀分布着n个盛水的容器。在流水的冲力作用下，水车边缘以速率v做匀速转动，当装满水的容器到达最高处时将水全部倒入水槽中。设每个盛水容器装入水的质量均为m，忽略容器装水的过程和水车浸入水的深度。已知重力加速度为g，则水车运水的功率为( 　　)
C
5．(2022·浙江6月卷)小明用额定功率为1 200 W、最大拉力为3 00 N的提升装置，把静置于地面的质量为20 kg的重物竖直提升到高为85.2 m的平台，先加速再匀速，最后做加速度大小不超过5 m/s2的匀减速运动，到达平台速度刚好为零，则提升重物的最短时间为( 　　)
A．13.2 s B.14.2 s
C.15.5 s D.17.0 s
C

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