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练案[28]第2讲　磁场对运动电荷的作用
一、选择题(本题共8小题，1～5题为单选，6～8题为多选)
1．(2023·湖南高三课时练习)如图所示，真空中竖直放置一长直细金属导线MN，电流向上。空间中做一与导线同轴的半径为R的柱面。光滑绝缘管ab水平放置，端点a、b分别在柱面上。半径略小于绝缘管内径的带正电小球自a点以速度v0向b点运动过程中，下列说法正确的是( C )
A．小球先加速后减速
B．小球受到的洛伦兹力始终为零
C．小球在ab中点受到的洛伦兹力为零
D．小球受到洛伦兹力时，洛伦兹力方向向上
[解析]如图为俯视图，根据安培定则，磁感线如图中虚线所示，洛伦兹力不做功，小球速率不变，A错误；当小球运动到ab中点时，小球速度方向与磁感应强度方向平行，不受洛伦兹力作用，自a点到ab中点，小球受到的洛伦兹力沿柱面向下，自ab中点至b点，受到的洛伦兹力沿柱面向上，C正确，BD错误。
2．(2023·云南省玉溪高三开学考试)如图，一带电小球用绝缘丝线悬挂在水平天花板上，整个装置处于垂直于纸面向里的匀强磁场中，不计空气阻力，当小球由静止分别从等高的A点和B点向最低点O运动，经过O点时(丝线均保持伸直状态)( C )
A．小球所受的洛伦兹力相同
B．丝线所受的拉力相同
C．小球的动能相同
D．小球的速度相同
[解析]小球分别从A、B两点释放，经过O点时，速度的方向不同，洛伦兹力的方向也不同，即速度和洛伦兹力都不相同，故A、D错误；因为经过O点时，速度的方向不同，则洛伦兹力的方向也不同，拉力的大小不同，故B错误；由于洛伦兹力不做功，小球经过O点时速度的大小相同，小球的动能相同，选项C正确。
3．(2021·全国乙卷)如图，圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子从圆周上的M点沿直径MON方向射入磁场。若粒子射入磁场时的速度大小为v1，离开磁场时速度方向偏转90°；若射入磁场时的速度大小为v2，离开磁场时速度方向偏转60°。不计重力，则为( B )
A. B.
C. D.
[解析]根据题意作出粒子的轨迹如图所示设圆形磁场区域的半径为R，根据几何关系有第一次的半径r1＝R，第二次的半径r2＝R，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝，可得v＝。所以＝＝，故选B。
4．(2023·湖北高三模拟)如图所示，正六边形abcdef区域内有垂直于纸面的匀强磁场。一带正电的粒子从f点沿fd方向射入磁场区域，当速度大小为vb时，从b点离开磁场，在磁场中运动的时间为tb。当速度大小为vc时，从c点离开磁场，在磁场中运动的时间为tc，不计粒子重力。则( A )
A．vb?vc＝1?2，tb?tc＝2?1
B．vb?vc＝2?1，tb?tc＝1?2
C．vb?vc＝2?1，tb?tc＝2?1
D．vb?vc＝1?2，tb?tc＝1?2
[解析]如图所示设正六边形的边长为l，当带电粒子的速度大小为vb时，其圆心在a点，轨道半径r1＝l，转过的圆心角θ1＝π，当带电粒子的速度大小为vc时，其圆心在O点(即fa、cb延长线的交点)，故轨道半径r2＝2l，转过的圆心角θ2＝，根据qvB＝m得v＝，故＝＝，由T＝得T＝，所以两粒子在磁场中做圆周运动的周期相等，又因为t＝T，可得＝＝2，A正确，BCD错误。
5．(2023·安徽定远县高三阶段练习)如图所示，在绝缘板MN上方分布了水平方向的匀强磁场，方向垂直于纸面向里。距离绝缘板d处有一粒子源S，能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q、质量为m、速率为v的带正电粒子，不计粒子的重力和粒子间的相互作用，已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d，则( B )
A．粒子能打到板上的区域长度为2d
B．能打到板上最左侧的粒子所用的时间为
C．粒子从发射到打到板上的最长时间为
D．同一时刻发射的粒子打到板上的最大时间差为
[解析]粒子受到的洛伦兹力充当向心力，粒子运动的轨迹半径R＝d，粒子运动到绝缘板的两种临界情况如图甲所示
由几何关系可知，左侧最远处与S之间的距离恰好是圆的直径，则左侧最远处A到C距离为d，右侧离C最远处为B，距离为d，所以粒子能打在板上的区域长度是(＋1)d，故A错误；左侧最远处与S之间的距离恰好是圆的直径，所以从S到A的时间恰好是半个周期，则t1＝＝＝，故B正确；在磁场中运动时间最长和最短的粒子运动轨迹示意图如图乙所示，粒子做整个圆周运动的周期T＝，由几何关系可知，最短时间t2＝T＝，最长时间t1＝T＝，Δt＝t1－t2＝。故CD错误。
6．(2023·山西稷山县高三开学考试)一个带电微粒在如图所示的正交匀强电场和匀强磁场中的竖直平面内做匀速圆周运动，重力不可忽略，已知圆的半径为r，电场强度的大小为E，磁感应强度的大小为B，重力加速度为g，则( BD )
A．该微粒带正电
B．带电微粒沿逆时针旋转
C．带电微粒沿顺时针旋转
D．微粒做圆周运动的速度为
[解析]带电微粒在重力场、匀强电场和匀强磁场中做匀速圆周运动，可知，带电微粒受到的重力和电场力是一对平衡力，重力竖直向下，所以电场力竖直向上，与电场强度方向相反，故可知带电微粒带负电荷，故A错误；磁场方向向外，洛伦兹力的方向始终指向圆心，由左手定则可判断微粒的旋转方向为逆时针，故B正确，C错误；由微粒做匀速圆周运动，得知电场力和重力大小相等，得mg＝qE，带电微粒在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动qvB＝，联立得v＝，故D正确。
7．(2023·重庆高三专题练习)如图所示，有理想边界的匀强磁场方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B，某带电粒子的比荷大小为k，由静止开始经电压为U的电场加速后，从O点垂直射入磁场，又从P点穿出磁场，下列说法正确的是，不计粒子所受重力( AC )
A．如果只增大U，粒子可能从Pc之间某位置穿出磁场
B．如果只增大U，粒子可能从dP之间某位置穿出磁场
C．如果只增大B，粒子可能从ad之间某位置穿出磁场
D．如果只增大B，粒子可能从bc边某位置穿出磁场
[解析]设带电粒子的质量和电荷量分别为m和q，加速电场中，由动能定理得qU＝mv2，解得v＝＝，在磁场中，轨迹半径为r＝＝，如果只增大U，轨道半径r增大，粒子可以从Pc之间或者bc之间某位置穿出磁场，不可能从dP之间某位置穿出磁场，A正确，B错误；如果只增大B，轨迹半径r减小，粒子可以从ad之间某位置穿出磁场，粒子在磁场中偏转方向不变，不可能从bc边某位置穿出磁场，C正确，D错误。
8．(2022·湖北卷)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k，不计重力。若离子从Р点射出，设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为( BC )
A.kBL,0° B.kBL,0°
C．kBL,60° D.2kBL,60°
[解析]若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图
根据几何关系则有R＝L，qvB＝m，可得v＝＝kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°。当粒子上下均经历一次时，如图
因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有R＝L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB＝m，可得v＝＝kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2,3……)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝60°；当粒子从上部分磁场射出时，需满足v＝＝kBL(n＝1,2，3……)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ＝0°。故BC正确，AD错误。
二、非选择题
9．(2021·江苏卷)跑道式回旋加速器的工作原理如图所示。两个匀强磁场区域Ⅰ、Ⅱ的边界平行，相距为L，磁感应强度大小相等、方向垂直纸面向里。P、Q之间存在匀强电场，电场强度为E，方向与磁场边界垂直。质量为m、电荷量为＋q的粒子从P飘入电场，多次经过电场加速和磁场偏转后，从位于边界上的出射口K引出，引出时的动能为Ek。已知K、Q的距离为d。
(1)求粒子出射前经过加速电场的次数N；
(2)求磁场的磁感应强度大小B；
(3)如果在Δt时间内有一束该种粒子从P点连续飘入电场，粒子在射出K之前都未相互碰撞，求Δt的范围。
[答案]　(1)N＝　(2)B＝　(3)Δt<＋πd
[解析](1)粒子在磁场中运动，洛伦兹力不做功，故动能不会增加，引出时的末动能全来自电场力所做的功，由动能定理可得N·qEL＝Ek①
解得N＝。②
(2)粒子最后从Q点进入磁场到K点引出，设粒子引出时速度为v，运动轨迹的半径为r。粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律有
qvB＝m，③
由几何关系有r＝，④
粒子引出时的动能为Ek，则有Ek＝mv2，⑤
联立③④⑤可解得B＝。⑥
(3)粒子运动第一圈的过程中，若第一个粒子运动一圈回到P时最后一个粒子还未飘入P或刚好飘入P，则会发生碰撞，即Δt小于粒子运动一圈的总时间t总。
粒子从P加速至Q的过程中，设加速度为a，运动的时间为t1，射出Q时的速度为v1，由牛顿第二定律可知qE＝ma⑦
由运动学公式有v＝2aL，v1＝at1⑧
粒子在磁场Ⅱ中运动半圆周后匀速穿过中间宽为L的区域，再进入磁场区域Ⅰ运动半周，故粒子在两个磁场中运动的时间相当于一个周期。设粒子在磁场中运动的时间为t2，
即t2＝T＝⑨
结合③可得t2＝T＝⑩
设粒子匀速向左穿过中间宽为L区域的时间为t3，由运动学公式有L＝v1t3
粒子运动一圈的总时间t总＝t1＋t2＋t3
联立上述各式可解得t总＝＋πd
由前面分析可知Δt即Δt的范围为Δt<＋πd。
10．(2022·河南信阳二模)如图，平行的MN、PQ与MP间(含边界)有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界MN与MP的夹角α＝30°，点P处有一离子源，离子源能够向磁场区域发射各种速率的、方向平行于纸面且垂直于MP的正、负离子，离子运动一段时间后能够从不同的边界射出磁场。已知从边界PQ射出的离子，射出点与P点距离最大的离子的速度为v0，所有正、负离子的比荷均为k，不计离子的重力及离子间的相互作用。求：
(1)MP的长度；
(2)从边界MP射出的离子，速度的最大值。
[答案]　(1)　(2)
[解析](1)设离子的质量为m、电荷量为q，从边界PQ射出的速度为v0的离子，设其运动半径为R1，运动轨迹恰好与MN相切。设MP的长度为L，根据牛顿第二定律得qv0B＝m，
根据几何关系得Lsin α＝R1－R1sin α，解得L＝。
(2)从边界MP射出的离子，速度最大时离子运动轨迹恰好与MN相切，设其运动半径为R2。
根据牛顿第二定律得qvmB＝m，根据几何关系得MP的长度为L＝＋R2，
解得vm＝。(共73张PPT)
第十章
磁　场
第2讲　磁场对运动电荷的作用
知识梳理·双基自测
核心考点·重点突破
名师讲坛·素养提升
2年高考·1年模拟
知识梳理·双基自测
知识点1
洛伦兹力
1．洛伦兹力：磁场对____________的作用力。
2．洛伦兹力的方向(左手定则)：
(1)伸出左手，使拇指与其余四个手指______，并且都与手掌在同一个平面内。
(2)让磁感线从掌心进入，并使______指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)。
运动电荷
垂直
四指
(3)______所指的方向就是运动电荷在磁场中所受洛伦兹力的方向。
如图，①表示_________运动的方向或_________运动的反方向，②表示______的方向，③表示____________的方向。
3．洛伦兹力的大小：F＝____________，θ是v与B之间的夹角。
(1)当v∥B时，F＝___。
(2)当v⊥B时，F＝______。
拇指
正电荷
负电荷
磁场
洛伦兹力
qvBsin θ
0
qvB
知识点2
带电粒子在匀强磁场中的运动
1．洛伦兹力的特点：由于洛伦兹力F⊥___，F⊥___，即F垂直于B和v决定的______，所以洛伦兹力不改变带电粒子速度的______，或者说，洛伦兹力对带电粒子_________。
2．粒子的运动性质：
(1)若v0∥B，则粒子__________________，在磁场中做__________________。
(2)若v0⊥B，则带电粒子在匀强磁场中做__________________。
B
v
平面
大小
不做功
不受洛伦兹力
匀速直线运动
匀速圆周运动
注意：应用带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时的半径和周期公式时，一定要进行推导，不能直接应用。
思考：(1)为什么带电粒子在电场力、重力和洛伦兹力共同作用下的直线运动只能是匀速直线运动？
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，T、 f和ω的大小与速度v有关吗？与哪些因素有关？
一、堵点疏通
1．带电粒子在磁场中运动时一定会受到磁场力的作用。( 　　)
2．洛伦兹力的方向在特殊情况下可能与带电粒子的速度方向不垂直。( 　　)
成反比。( 　　)
4．由于安培力是洛伦兹力的宏观表现，所以洛伦兹力也可能做功。( 　　)
5．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，其运动半径与带电粒子的比荷有关。( 　　)
×
×
×
×
√
二、对点激活
1．(2022·江苏高三月考)关于洛伦兹力，下列说法正确的是( 　　)
A．带电粒子在磁场中运动时，一定受到洛伦兹力的作用
B．若带电粒子经过磁场中某点时所受洛伦兹力为零，则该点的磁感应强度一定为零
C．洛伦兹力对运动电荷一定不做功
D．洛伦兹力对运动电荷做功不一定为零
C
[解析]带电粒子在磁场中平行于磁场方向运动时，一定不受到洛伦兹力作用，A错误；若带电粒子经过磁场中某点时所受的洛伦兹力为零，可能是粒子运动的方向与磁场的方向平行。该点的磁感应强度不一定为零，B错误；洛伦兹力的方向与速度方向垂直，所以洛伦兹力不做功，只改变速度的方向，不改变速度的大小，C正确、D错误。
2．(2023·安徽安庆月考)美丽的安庆处在北纬30度附近，一束带负电的粒子从太空沿地球半径方向飞向安庆振风塔，由于受到地磁场的作用，粒子的运动方向将会发生偏转，该束带电粒子偏转方向是( 　　)
A．向东 B.向西
C．向南 D.向北
[解析]运动粒子带负电，而地磁场的水平分量由南向北，所以根据左手定则可以判断，粒子所受洛伦兹力的方向向西，应向西偏转，B正确。
B
3．(2023·重庆市涪陵第五中学校高三阶段练习)如图所示，虚线左侧的匀强磁场磁感应强度为B1，虚线右侧的匀强磁场磁感应强度为B2，且2B1＝B2，当不计重力的带电粒子从B1磁场区域运动到B2磁场区域时，粒子的( 　　)
A．速率将加倍
B．轨迹半径将减半
C．周期将加倍
D．做圆周运动的角速度将减半
B
核心考点·重点突破
考点一
对洛伦兹力的理解
1．洛伦兹力的特点
(1)洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷的速度方向和磁场方向共同确定的平面，所以洛伦兹力只改变速度的方向，不改变速度的大小，即洛伦兹力永不做功。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)用左手定则判断负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向负电荷运动的反方向。
2．洛伦兹力与安培力的联系及区别
(1)安培力是洛伦兹力的宏观表现，二者是相同性质的力。
(2)安培力可以做功，而洛伦兹力对运动电荷不做功。
3．洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力 电场力
产生条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中
大小 F＝qvB(v⊥B) F＝qE
方向 F⊥B且F⊥v 正电荷受力与电场强度方向相同，负电荷受力与电场强度方向相反
做功情况 任何情况下都不做功 可能做正功，可能做负功，也可能不做功
(多选)(2022·山东烟台高三期末)如图所示，在光滑绝缘的水平面上，虚线右侧有磁感应强度B＝0.25 T的匀强磁场，方向垂直纸面向里，质量mC＝0.001 kg、电荷量qC＝2×10－3 C的小球C静置于其中，虚线左侧一个质量为mA＝0.004 kg、不带电的绝缘小球A以速度v0＝20 m/s进入磁场与C球发生正碰(电荷不转移)，碰后C小球对水平面的压力刚好为零，取向右为正方向，g＝10 m/s2，下列说法正确的是( )
A．碰后C球速度为20 m/s
B．碰后C球速度为15 m/s
C．C对A的冲量大小为0.4 N·s
D．C对A的冲量大小为0.02 N·s
例1
AD
[解析]由于碰后C小球对水平面的压力刚好为零，根据左手定则可知C小球速度方向向右，则有qCvCB＝mCg，解得，碰后C球速度为vC＝20 m/s，故A正确，B错误；两球发生正碰过程中，根据动量守恒定律可得mAv0＝mAvA＋mCvC，解得vA＝15 m/s，根据动量定理可知，C对A的冲量I＝mAvA－mAv0＝－0.02 N·s，即大小为0.02 N·s，方向水平向左。
〔变式训练1〕　(2023·浙江高三月考)如图为一个光滑绝缘的半圆柱形容器的剖面图，圆心所在的轴线上水平固定一电流垂直纸面向内的通电长直导线，带正电的小物体(可视为点电荷)从左端由静止开始释放，下列说法正确的是( 　　)
A．刚释放时，正电荷所受洛伦兹力竖直向上
B．若电荷量足够大，运动过程中，小物体可能会脱离容器表面
C．无论小物体是否带电，都一定可以滑至右侧等高处
D．物块滑至容器底部时，轨道对物体的支持力大于轨道受到的压力
C
[解析]根据右手螺旋定则，由于通电直导线的电流方向垂直纸面向里，则其磁场方向为以直导线为圆心的顺时针方向圆，当正电荷释放时，则其运动方向总与磁场方向平行，所以不受洛伦兹力，小球只在重力和轨道的支持力作用下做圆周运动，不会脱离容器表面，选项AB错误；正电荷在运动过程中，因圆形容器是光滑的，依据能量转化与守恒定律，则可以滑至右侧等高处，故C正确；物块滑至容器底部时，轨道对物体的支持力与轨道受到的压力是一对作用力与反作用力，总是等大反向，选项D错误。
考点二
带电粒子在有界匀强磁场中的运动
1．带电粒子在有界磁场中的圆心、半径及运动时间的确定
(1)圆心的确定
①基本思路：与速度方向垂直的直线和弦的中垂线一定过圆心。
②两种常见情形：
Ⅰ.已知入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲a所示，图中P为入射点，M为出射点)。
Ⅱ.已知入射点和出射点的位置时，可以先通过入射点作入射方向的垂线，再连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图甲b所示，图中P为入射点，M为出射点)。
(2)半径的计算方法
②由几何方法求：一般由数学公式(勾股定理、三角函数等)计算来确定。
(3)运动时间的确定
①粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α(速度偏转角与圆心角相等)时，其运动时间由下式表示：
2．带电粒子在有界磁场中运动的常见情形
(1)直线边界(进出磁场具有对称性，如图所示)
(2)平行边界(存在临界条件，如图所示)
(3)圆形边界
①圆形边界的对称性：粒子沿半径方向进入有界圆形磁场区域时，若入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射时速度方向的反向延长线必经过该区域圆的圆心，如图甲。
②若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角也为θ，如图乙。
③若粒子做匀速圆周运动的半径等于磁场区域的半径，则有如下两个结论：
a．当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时，粒子离开磁场时的速度方向一定平行，(磁发散)如图丙。
b．当粒子以相互平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时，粒子会从同一点离开磁场区域，(磁聚焦)如图丁。
例2
A．两粒子在磁场中运动的轨迹相同
B．两粒子在磁场中运动的速度大小之比为2∶1
C．两粒子在磁场中运动的动能相同
D．两粒子在磁场中运动的时间之比为2∶1
ABC
题型(二)　平行边界磁场和圆形边界磁场
(2023·山东济南月考)如图(甲)所示有界匀强磁场Ⅰ的宽度与图(乙)所示圆形匀强磁场Ⅱ的半径相等，一不计重力的粒子从左边界的M点以一定初速度水平向右垂直射入磁场Ⅰ，从右边界射出时速度方向偏转了θ角；该粒子以同样的初速度沿半径方向垂直射入磁场Ⅱ，射出磁场时速度方向偏转了2θ角。已知磁场Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度大小分别为B1、B2，则B1与B2的比值为( 　　)
A．2cos θ B.sin θ
C．cos θ D.tan θ
例3
C
题型(三)　三角形或多边形边界磁场
(多选)(2022·内蒙古二模)如图所示的等边三角形区域ACD内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小为B，AC的中点O处有一粒子发射源，能向磁场区域沿垂直AC的方向发射一系列速率不同的同种正粒子，已知粒子的比荷为k，磁场区域的边长为L。则下列说法正确的是( )
A．粒子速度越大在磁场中运动的时间越短
B．从AC边离开的粒子在磁场中运动的时间相同
例4
BD
带电粒子在磁场中做匀速圆周运动解题“三步法”
名师点拨
(1)画轨迹：确定圆心，画出运动轨迹。
(2)找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度的联系；偏转角度与圆心角、运动时间的联系；在磁场中的运动时间与周期的联系。
(3)用规律：牛顿运动定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式。
考点三
带电粒子在磁场中运动的临界极值问题
解决此类问题常用的结论有：
(1)临界值
刚好穿出(穿不出)磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)时间极值
①当速度v一定时，弧长(弦长)越长或圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
②当速度v变化时，圆心角大的运动时间长。
(3)磁场区域面积极值
若磁场边界为圆形时，从入射点到出射点连接起来的线段就是圆形磁场的一条弦，以该条弦为直径的圆就是最小圆，可求出圆形磁场区的最小面积。
例5
B
一带电质点，质量为m，电荷量为q，重力忽略不计，以平行于x轴的速度v从y轴上的a点射入，如图所示。为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于x轴的速度射出，可在适当的地方加一垂直于xOy平面、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个圆形区域内，求这圆形磁场区域的最小半径。
例6
考点三
带电粒子在磁场中运动的多解问题
1．带电粒子电性不确定形成多解
受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。
如图(1)，带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为a，如带负电，其轨迹为b。
2．磁场方向不同形成多解
有些题目只告诉了磁感应强度大小，而未具体指出磁感应强度方向，此时必须要考虑磁感应强度方向不同而形成的多解。
如图(2)，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如B垂直纸面向里，其轨迹为a，如B垂直纸面向外，其轨迹为b。
3．临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图(3)所示，于是形成了多解。
4．运动的往复性形成多解
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有往复性，从而形成多解 。如图(4)所示。
(多选)(2023·湖南长郡中学高三阶段练习)真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场，磁场方向如图所示，MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)沿着与MN夹角为θ的方向射入磁场中，刚好没能从PQ边界射出磁场。则粒子射入磁场的速度大小v0和在磁场中运动的时间t可能为( )
例7
BD
[解析]若粒子带正电，则粒子刚好没能从PQ边界射出磁场时，其运动轨迹刚好与PQ相切，如图
名师讲坛·素养提升
“数学圆”模型在电磁学中的应用
一、“平移圆”模型的应用
如图所示，边长为L的正方形ABCD中存在匀强磁场，带电粒子从A点沿AB方向射入磁场，恰好从C点飞出磁场；若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直AD射入磁场，从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1，由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计)，则t1∶t2为( 　　)
A．2∶1 B.2∶3
例8
C
二、“旋转圆”模型的应用
例9
C
三、“放缩圆”模型的应用
(2020·课标Ⅲ)真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3a的同轴圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横截面如图所示。一速率为v的电子从圆心沿半径方向进入磁场。已知电子质量m，电荷量为e，忽略重力。为使该电子的运动被限制在图中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为( 　　)
例10
C
2年高考·1年模拟
1.(2022·广东卷)如图所示，一个立方体空间被对角平面MNPQ划分成两个区域，两区域分布有磁感应强度大小相等、方向相反且与z轴平行的匀强磁场。一质子以某一速度从立方体左侧垂直Oyz平面进入磁场，并穿过两个磁场区域。下列关于质子运动轨迹在不同坐标平面的投影中，可能正确的是( 　　)
A
[解析]由题意知当质子射出后沿先在MN左侧运动，刚射出时根据左手定则可知在MN左侧受到沿y轴正方向的洛伦兹力，即在MN左侧会向y轴正方向偏移，做匀速圆周运动，y轴坐标增大；在MN右侧根据左手定则可知洛伦兹力反向，质子轨迹向y轴负方向偏移，故A正确，B错误；根据左手定则可知质子在整个运动过程中都只受到平行于xOy平面的洛伦兹力作用，在z轴方向上没有运动，z轴坐标不变，故CD错误。
2．(多选)(2022·辽宁卷)粒子物理研究中使用的一种球状探测装置横截面的简化模型如图所示。内圆区域有垂直纸面向里的匀强磁场，外圆是探测器。两个粒子先后从P点沿径向射入磁场，粒子1沿直线通过磁场区域后打在探测器上的M点。粒子2经磁场偏转后打在探测器上的N点。装置内部为真空状态，忽略粒子重力及粒子间相互作用力。下列说法正确的是( )
A．粒子1可能为中子
B．粒子2可能为电子
C．若增大磁感应强度，粒子1可能打在探测器上的Q点
D．若增大粒子入射速度，粒子2可能打在探测器上的Q点
AD
BD

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