资源简介

(共62张PPT)
§2.1　函数的概念及其表示
第二章　函　数
1.了解函数的含义.
2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)
表示函数.
3.了解简单的分段函数，并会简单的应用.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.函数的概念
给定两个非空_______A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中________
____，在集合B中都有_________的实数y与x对应，则称___为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2.函数的三要素
(1)函数的三要素：_______、__________、_____.
(2)如果两个函数表达式表示的函数_______相同，_________也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数.
实数集
每一个实
数x
定义域
对应关系
值域
定义域
对应关系
唯一确定
f
3.函数的表示法
表示函数的常用方法有_______、图象法和_______.
4.分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数.
解析法
列表法
1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点.
2.在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集.
3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数.
(　　)
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线.(　　)
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数.(　　)
√
×
×
×
1.(多选)下列所给图象是函数图象的是
A中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；
B中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；
CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象.
√
√
√
y＝x－1的定义域为R，y＝ 的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A不正确；
√
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)函数y＝ 的定义域为
A.(－4，－1) B.(－4,1)
C.(－1,1) D.(－1,1]
题型一
函数的定义域
√
(2)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋ 的定义域为____________.
[－2，－1)
∵f(x)的定义域为(－4，－2)，
∴函数g(x)的定义域为[－2，－1).
(1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；
(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；
(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域.
思维升华
A.(1,3] B.(1,2)∪(2,3]
C.(1,3)∪(3，＋∞) D.(－∞，3)
所以1所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3].
√
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝
√
即(1－x)(1＋x)>0，解得－1所以函数f(x)的定义域为(－1,1).
例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
题型二
函数的解析式
(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2].
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2].
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞).
(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式.
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x， ①
∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x， ②
由①②解得f(x)＝3x.
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式.
函数解析式的求法
(1)配凑法；
(2)待定系数法；
(3)换元法；
(4)解方程组法.
跟踪训练2　(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是
A.f(x)＝x2＋6x B.f(x)＝x2＋8x＋7
C.f(x)＝x2＋2x－3 D.f(x)＝x2＋6x－10
√
f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，
则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
故f(x)＝x2＋6x.
(3)已知函数f(x)满足f(x)＋ ＝3x，则f(2)等于
A.－3 B.3 C.－1 D.1
√
题型三
分段函数
所以f(2 024)＝f(2 023)＝f(2 022)＝…＝f(1)，
又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2 024)＝1.
例3　(1)已知函数f(x)＝ 则f(2 024)的值为
A.－1 B.0 C.1 D.2
√
－2或5
[－3，－1)∪[4，＋∞)
若f(a)＝4，
解得a＝－2或a＝5.
若f(a)≥2，
解得－3≤a<－1或a≥4，
∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞).
分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验.
跟踪训练3　(1)已知函数f(x)＝ 若f(f(a))＝2，则a等于
A.0或1 B.－1或1
C.0或－2 D.－2或－1
√
令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，
当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，因此a＋2＝0 a＝－2，
当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，因此a＋2＝1 a＝－1，
综上所述，a＝－2或－1.
_____________.
当x≤0时，x＋1≤1，
当01，
此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，
∴当0当x>1时，x＋1>2，
f(x)课时精练
第
三部
分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
基础保分练
A.(2，＋∞) B.(2,3) C.(3，＋∞) D.(2,3)∪(3，＋∞)
∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞).
√
2.(2023·北京模拟)已知集合A＝{x|－2A.y＝x＋1 B.y＝ex
C.y＝x2 D.y＝|x|
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对于A，当x＝－1时，由y＝x＋1得y＝0，但0 B，故A错误；
对于B，因为从A＝{x|－2对于C，当x＝0时，由y＝x2得y＝0，但0 B，故C错误；
对于D，当x＝0时，由y＝|x|得y＝0，但0 B，故D错误.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
令x3＝10，则x＝ ，
∴f(10)＝lg ＝ .
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
水壶的结构：底端与上端细、中间粗，
所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，
由图可知选项A符合.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，当x＝1时，f(x)＝－x2＋2x＋3取得最大值4，所以当x≤2时，函数f(x)的值域是(－∞，4]，
所以当x>2时，函数f(x)＝6＋logax的值域为(－∞，4]的子集，
当a>1时，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上单调递增，
此时f(x)>f(2)＝6＋loga2>6，不符合题意，
当0此时f(x)7.(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
A.y＝－x＋1 B.
√
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
对A，函数的定义域和值域都是R；
对B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；
对C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；
所以ABD是定义域和值域相同的函数.
8.(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数.德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨.后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有
A.f(x2)＝|x| B.f(x2)＝x
C.f(cos x)＝x D.f(ex)＝x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
令t＝ex(t>0)，f(t)＝ln t，故D符合函数定义.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.已知f( )＝x－1，则f(x)＝___________.
x2－1(x≥0)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
解得－1≤x≤0，
所以函数g(x)的定义域是[－1,0].
11.已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋ 的定义域为__________.
[－1,0]
12.已知f(x)＝ 若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若
f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是_____________.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1或－3
①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；
当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍).
综上，a＝1或－3.
②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
13.(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
综合提升练
√
∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，
∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1， ①
当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2， ②
②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
作出函数f(x)的图象，如图所示.
因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－315. x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是
A.(－2,2) B.(－2,0)∪(0,2)
C.[－2,2]
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
拓展冲刺练
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，
当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，
若M(n)<1，则当－1当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，解得－2综上，－216.(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函
数F(x)＝ 被称为狄利克雷函数.关于狄利克雷函数，下列
说法正确的是
A.F(F(x))＝0
B.对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立
C.任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立
D.存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等
边三角形
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；
因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；
若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16§2.1　函数的概念及其表示
考试要求　1.了解函数的含义.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数.3.了解简单的分段函数，并会简单的应用．
知识梳理
1．函数的概念
给定两个非空实数集A与B，以及对应关系f，如果对于集合A中每一个实数x，在集合B中都有唯一确定的实数y与x对应，则称f为定义在集合A上的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数表达式表示的函数定义域相同，对应关系也相同，则称这两个函数表达式表示的就是同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有不同的对应方式，则称其为分段函数．
常用结论
1．直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点．
2．在函数的定义中，非空数集A，B，A即为函数的定义域，值域为B的子集．
3．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数是同一个函数．(　×　)
(2)函数y＝f(x)的图象可以是一条封闭曲线．(　×　)
(3)y＝x0与y＝1是同一个函数．(　×　)
(4)函数f(x)＝的定义域为R.(　√　)
教材改编题
1．(多选)下列所给图象是函数图象的是(　　)
答案　CD
解析　A中，当x>0时，每一个x的值对应两个不同的y值，因此不是函数图象；B中，当x＝x0时，y的值有两个，因此不是函数图象；CD中，每一个x的值对应唯一的y值，因此是函数图象．
2．下列各组函数表示同一个函数的是(　　)
A．y＝x－1与y＝
B．y＝x－1与y＝－
C．y＝2与y＝2x
D．y＝与v＝
答案　D
解析　y＝x－1的定义域为R，y＝的定义域为{x|x≠－1}，定义域不同，不是同一个函数，故选项A不正确；
y＝x－1＝与y＝－的对应关系不同，不是同一个函数，故选项B不正确；
y＝2＝2|x|与y＝2x的对应关系不同，不是同一个函数，故选项C不正确；
y＝与v＝的定义域都是(－∞，1)∪(1，＋∞)，对应关系也相同，所以是同一个函数，故选项D正确．
3．已知函数f(x)＝则函数f 等于(　　)
A．3 B．－3 C. D．－
答案　C
解析　由题意可知，f ＝ln ＝－ln 3，所以f ＝f(－ln 3)＝e－ln 3＝.
题型一　函数的定义域
例1　(1)函数y＝的定义域为(　　)
A．(－4，－1) B．(－4,1)
C．(－1,1) D．(－1,1]
答案　C
解析　由题意得解得－1(2)已知函数f(x)的定义域为(－4，－2)，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域为________．
答案　[－2，－1)
解析　∵f(x)的定义域为(－4，－2)，
要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，
则解得－2≤x<－1，
∴函数g(x)的定义域为[－2，－1)．
思维升华 (1)无论抽象函数的形式如何，已知定义域还是求定义域，均是指其中的x的取值集合；(2)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；(3)若复合函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
跟踪训练1　(1)函数f(x)＝＋的定义域为(　　)
A．(1,3] B．(1,2)∪(2,3]
C．(1,3)∪(3，＋∞) D．(－∞，3)
答案　B
解析　由题意知
所以1所以函数的定义域为(1,2)∪(2,3]．
(2)(2023·南阳检测)已知函数f(x)＝lg ，则函数g(x)＝f(x－1)＋的定义域是(　　)
A．{x|x>2或x<0} B.
C．{x|x>2} D.
答案　B
解析　要使f(x)＝lg 有意义，
则>0，
即(1－x)(1＋x)>0，解得－1所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．
要使g(x)＝f(x－1)＋有意义，
则
解得≤x<2，
所以函数g(x)的定义域为.
题型二　函数的解析式
例2　(1)已知f(1－sin x)＝cos2x，求f(x)的解析式；
(2)已知f ＝x2＋，求f(x)的解析式；
(3)已知f(x)是一次函数且3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)的解析式．
(4)已知f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x，求f(x)的解析式．
解　(1)(换元法)设1－sin x＝t，t∈[0,2]，
则sin x＝1－t，∵f(1－sin x)＝cos2x＝1－sin2x，
∴f(t)＝1－(1－t)2＝2t－t2，t∈[0,2]．
即f(x)＝2x－x2，x∈[0,2]．
(2)(配凑法)∵f ＝x2＋＝2－2，
∴f(x)＝x2－2，x∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
(3)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即ax＋(5a＋b)＝2x＋17，
∴解得
∴f(x)的解析式是f(x)＝2x＋7.
(4)(解方程组法)∵2f(x)＋f(－x)＝3x，①
∴将x用－x替换，得2f(－x)＋f(x)＝－3x，②
由①②解得f(x)＝3x.
思维升华 函数解析式的求法
(1)配凑法；(2)待定系数法；(3)换元法；(4)解方程组法．
跟踪训练2　(1)已知f(x－1)＝x2＋4x－5，则f(x)的解析式是(　　)
A．f(x)＝x2＋6x B．f(x)＝x2＋8x＋7
C．f(x)＝x2＋2x－3 D．f(x)＝x2＋6x－10
答案　A
解析　f(x－1)＝x2＋4x－5，设x－1＝t，x＝t＋1，
则f(t)＝(t＋1)2＋4(t＋1)－5＝t2＋6t，
故f(x)＝x2＋6x.
(2)若f ＝，则f(x)＝________.
答案　(x≠0且x≠1)
解析　f(x)＝＝(x≠0且x≠1)．
(3)已知函数f(x)满足f(x)＋2f ＝3x，则f(2)等于(　　)
A．－3 B．3 C．－1 D．1
答案　A
解析　f(x)＋2f ＝3x，①
则f ＋2f(x)＝－，②
联立①②解得f(x)＝－－x，则f(2)＝－－2＝－3.
题型三　分段函数
例3　(1)已知函数f(x)＝则f(2 024)的值为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案　C
解析　因为f(x)＝
所以f(2 024)＝f(2 023)＝f(2 022)＝…＝f(1)，
又f(1)＝f(1－1)＝f(0)＝－ln(0＋e)＋2＝－1＋2＝1，所以f(2 024)＝1.
(2)已知函数f(x)＝若f(a)＝4，则实数a的值是________；若f(a)≥2，则实数a的取值范围是________．
答案　－2或5　[－3，－1)∪[4，＋∞)
解析　若f(a)＝4，
则或
解得a＝－2或a＝5.
若f(a)≥2，
则或
解得－3≤a<－1或a≥4，
∴a的取值范围是[－3，－1)∪[4，＋∞)．
思维升华　分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
跟踪训练3 (1)已知函数f(x)＝若f(f(a))＝2，则a等于(　　)
A．0或1 B．－1或1
C．0或－2 D．－2或－1
答案　D
解析　令f(a)＝t，则f(t)＝2，可得t＝0或t＝1，
当t＝0时，即f(a)＝0，显然a≤0，
因此a＋2＝0 a＝－2，
当t＝1时，即f(a)＝1，显然a≤0，
因此a＋2＝1 a＝－1，
综上所述，a＝－2或－1.
(2)(2023·重庆质检)已知函数f(x)＝则f(x)答案　
解析　当x≤0时，x＋1≤1，
f(x)解得－当01，
此时f(x)＝x2－1≤0，f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，
∴当0当x>1时，x＋1>2，
f(x)综上，不等式f(x)课时精练
1．函数f(x)＝lg(x－2)＋的定义域是(　　)
A．(2，＋∞) B．(2,3)
C．(3，＋∞) D．(2,3)∪(3，＋∞)
答案　D
解析　∵f(x)＝lg(x－2)＋，
∴解得x>2，且x≠3，
∴函数f(x)的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)．
2．(2023·北京模拟)已知集合A＝{x|－2A．y＝x＋1 B．y＝ex
C．y＝x2 D．y＝|x|
答案　B
解析　对于A，当x＝－1时，由y＝x＋1得y＝0，但0 B，故A错误；
对于B，因为从A＝{x|－2对于C，当x＝0时，由y＝x2得y＝0，但0 B，故C错误；
对于D，当x＝0时，由y＝|x|得y＝0，但0 B，故D错误．
3．已知f(x3)＝lg x，则f(10)的值为(　　)
A．1 B. C. D.
答案　C
解析　令x3＝10，则x＝，
∴f(10)＝lg ＝.
4.图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术．科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时30秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为h，注水时间为t，则下面选项中最符合h关于t的函数图象的是(　　)
答案　A
解析　水壶的结构：底端与上端细、中间粗，
所以在注水恒定的情况下，开始水的高度增加的快，中间增加的慢，最后又变快，
由图可知选项A符合．
5．函数y＝1＋x－的值域为(　　)
A. B.
C. D.
答案　B
解析　设＝t，则t≥0，x＝，所以y＝1＋－t＝(－t2－2t＋3)＝－(t＋1)2＋2，因为t≥0，所以y≤.所以函数y＝1＋x－的值域为.
6．已知函数f(x)＝(a>0且a≠1)，若函数f(x)的值域是(－∞，4]，则实数a的取值范围是(　　)
A. B.
C．(1，] D．(1，)
答案　B
解析　当x≤2时，f(x)＝－x2＋2x＋3
＝－(x－1)2＋4，
当x＝1时，f(x)＝－x2＋2x＋3取得最大值4，
所以当x≤2时，函数f(x)的值域是(－∞，4]，
所以当x>2时，函数f(x)＝6＋logax的值域为(－∞，4]的子集，
当a>1时，f(x)＝6＋logax在(2，＋∞)上单调递增，
此时f(x)>f(2)＝6＋loga2>6，不符合题意，
当0此时f(x)所以a2≥，可得≤a<1，
所以实数a的取值范围是.
7．(多选)下列四个函数，定义域和值域相同的是(　　)
A．y＝－x＋1 B．
C．y＝ln|x| D．y＝
答案　ABD
解析　对A，函数的定义域和值域都是R；
对B，根据分段函数和幂函数的性质，可知函数的定义域和值域都是R；
对C，函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为R；
对D，因为函数y＝＝2＋，所以函数的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
所以ABD是定义域和值域相同的函数．
8．(多选)函数概念最早是在17世纪由德国数学家莱布尼茨提出的，后又经历了贝努利、欧拉等人的改译.1821年法国数学家柯西给出了这样的定义：在某些变数存在着一定的关系，当一经给定其中某一变数的值，其他变数的值可随着确定时，则称最初的变数叫自变量，其他的变数叫做函数．德国数学家康托尔创立的集合论使得函数的概念更严谨．后人在此基础上构建了高中教材中的函数定义：“一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数”，则下列对应法则f满足函数定义的有(　　)
A．f(x2)＝|x| B．f(x2)＝x
C．f(cos x)＝x D．f(ex)＝x
答案　AD
解析　令t＝x2(t≥0)，f(t)＝|±|＝，故A符合函数定义；
令t＝x2(t≥0)，f(t)＝±，设t＝4，f(t)＝±2，一个自变量对应两个函数值，故B不符合函数定义；
设t＝cos x，当t＝时，x可以取±等无数多个值，故C不符合函数定义；
令t＝ex(t>0)，f(t)＝ln t，故D符合函数定义．
9．已知函数f(x)＝则f ＝________.
答案　
解析　由已知得f ＝f ＝f ＝f ＝f ＝cos＝.
10．已知f()＝x－1，则f(x)＝________.
答案　x2－1(x≥0)
解析　令t＝，则t≥0，x＝t2，
所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
11．已知函数f(x)的定义域为[－2,2]，则函数g(x)＝f(2x)＋的定义域为__________．
答案　[－1,0]
解析　由条件可知，函数的定义域需满足
解得－1≤x≤0，
所以函数g(x)的定义域是[－1,0]．
12．已知f(x)＝若f(a)＝5，则实数a的值是__________；若f(f(a))≤5，则实数a的取值范围是__________．
答案　1或－3　[－，－1]
解析　①当a>0时，2a＋3＝5，解得a＝1；
当a≤0时，a2－4＝5，解得a＝－3或a＝3(舍)．
综上，a＝1或－3.
②设t＝f(a)，由f(t)≤5得－3≤t≤1.
由－3≤f(a)≤1，解得－≤a≤－1.
13．(2022·广州模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，则f(1)等于(　　)
A．－1 B．1 C．－ D.
答案　B
解析　∵定义在R上的函数f(x)满足，f(1－x)＋2f(x)＝x2＋1，
∴当x＝0时，f(1)＋2f(0)＝1，①
当x＝1时，f(0)＋2f(1)＝2，②
②×2－①，得3f(1)＝3，解得f(1)＝1.
14．(2023·南昌模拟)已知函数f(x)＝若f(a－3)＝f(a＋2)，则f(a)等于(　　)
A．2 B. C．1 D．0
答案　B
解析　作出函数f(x)的图象，如图所示．
因为f(a－3)＝f(a＋2)，且a－3所以即－2此时f(a－3)＝a－3＋3＝a，f(a＋2)＝，
所以a＝，即a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1(不满足a＝，舍去)，
则f(a)＝.
15． x∈R，用M(x)表示f(x)，g(x)中最大者，M(x)＝{|x|－1,1－x2}，若M(n)<1，则实数n的取值范围是(　　)
A．(－2,2) B．(－2,0)∪(0,2)
C．[－2,2] D．(－，)
答案　B
解析　当x≥0时，若x－1≥1－x2，则x≥1，
当x<0时，若－x－1≥1－x2，则x≤－1，
所以M(x)＝
若M(n)<1，则当－1当n≥1或n≤－1时，|n|－1<1，
解得－2综上，－216．(多选)德国数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名字命名的函数F(x)＝被称为狄利克雷函数．关于狄利克雷函数，下列说法正确的是(　　)
A．F(F(x))＝0
B．对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立
C．任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)对任意实数x均成立
D．存在三个点A(x1，F(x1))，B(x2，F(x2))，C(x3，F(x3))，使得△ABC为等边三角形
答案　BD
解析　∵当x为有理数时，F(x)＝1，当x为无理数时，F(x)＝0，当x为有理数时，F(F(x))＝F(1)＝1，当x为无理数时，F(F(x))＝F(0)＝1，所以F(F(x))＝1恒成立，故A错误；因为有理数的相反数是有理数，无理数的相反数是无理数，所以对任意x∈R，恒有F(x)＝F(－x)成立，故B正确；若x是有理数，T是有理数，则x＋T是有理数；若x是有理数，T是无理数，则x＋T是无理数；若x是无理数，则x＋T是无理数或有理数，所以任取一个不为0的实数T，F(x＋T)＝F(x)不恒成立，故C错误；取x1＝－，x2＝0，x3＝，可得F(x1)＝0，F(x2)＝1，F(x3)＝0，所以A，B(0,1)，C，恰好△ABC为等边三角形，故D正确．

展开更多......

收起↑