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(共61张PPT)
§2.4　函数的对称性
第二章　函　数
1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.
2.会利用对称公式解决问题.
考试要求
内容索引
第一部分
第二部分
第三部分
落实主干知识
探究核心题型
课时精练
落实主干知识
第
一
部
分
1.奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于______对称，偶函数关于_____对称.
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为_______；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为_______.
2.若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点_____对称.
原点
y轴
x＝－2
(－2,0)
(a,0)
3.两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于_____对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于_____对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于_____对称.
y轴
x轴
原点
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称.
(　 　)
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称.(　 　)
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称.(　 　)
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称.
(　 　)
√
×
×
√
A.(0,0) B.(0,1)
C.(1,0) D.(1,1)
√
2.已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为___________.
f(－4)>f(1)
∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，
∴f(x)关于直线x＝－2对称，
又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，
∴f(－4)＝f(0)>f(1)，
故f(－4)>f(1).
3.偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝___.
5
∵f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
由f(x)的图象关于x＝2对称，
可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.
探究核心题型
第
二部
分
例1　(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)等于
A.－2 B.2
C.0 D.－4
√
题型一
轴对称问题
定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，
故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(x)＝f(2－x)，
故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数.
则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)>f(1)的解集为________.
(2,4)
∵f(x＋2)是偶函数，
∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在(－∞，2]上单调递增.
又f(x－1)>f(1)，
∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1，
解得2∴原不等式的解集为(2,4).
函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝ 成轴对称.
思维升华
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是
A.f(－1)B.f(1)C.f(2)D.f(－1)√
因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，
所以f(x)的对称轴为x＝1，
又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)(2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥ 时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为
A.2 B.3
C.4 D.－1
√
那么求函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f(x)在[1,3]上的最大值与最小值之和，
例2　(1)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是
A.f(x)＝f(－x)
B.f(2＋x)＋f(2－x)＝0
C.f(－x)＝－f(x＋4)
D.f(x＋2)＝f(x－2)
√
题型二
中心对称问题
√
√
因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；
因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于(2,0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；
由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝x＋2，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正确；
由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误.
(2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝ ＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为_____.
4
因为f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称，
所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4.
跟踪训练2　(1)函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于
A.点(－2,0)对称 B.直线x＝－2对称
C.点(2,0)对称 D.直线x＝2对称
√
∵f(x)＝ex－2－e2－x，∴f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，
f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，
所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
因此，函数f(x)的图象关于点(2,0)对称.
(2)(2023·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是
A.f(x－1)－1 B.f(x－1)＋1
C.f(x＋1)－1 D.f(x＋1)＋1
√
因为f(2－x)＋f(x)＝－2，
所以f(x)关于点(1，－1)对称，
所以将f(x)向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数.
例3　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象
A.关于直线x＝1对称
B.关于直线x＝3对称
C.关于直线y＝3对称
D.关于点(3,0)对称
题型三
两个函数图象的对称
√
设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，
而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称.
跟踪训练3　设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象
A.关于y轴对称
B.关于x轴对称
C.关于直线x＝1对称
D.关于直线y＝1对称
√
A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A错误；
B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B错误；
C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C正确；
D选项，函数y＝f(x－1)关于直线y＝1对称的函数为y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D错误.
课时精练
第
三部
分
1.已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点
A.(－1,2) B.(1,2)
C.(－1，－2) D.(－2,1)
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√
基础保分练
函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2).
2.已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于
A.1 B.2
C.0 D.－2
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函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，
将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位可得函数y＝2|x－2|的图象，
所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.
3.已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2 025)等于
A.－1 B.1
C.0 D.3
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∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(－x)＝f(x＋2)，
∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(2 025)＝f(1)＝f(5)＝1.
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4.(2023·郑州质检)若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是
A.f(x－1)－1 B.f(x＋1)＋1
C.f(x)－1 D.f(x)＋1
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∵f(－x)＋f(x)＝2，
∴f(x)的图象关于(0,1)对称，
将y＝f(x)的图象向下平移1个单位得函数y＝f(x)－1的图象，该图象关于(0,0)对称，
∴y＝f(x)－1为奇函数.
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A.(－∞，e)∪(e3，＋∞) B.(1，e2)
C.(e，e3) D.(e，＋∞)
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6.(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有
A.f(x)的图象关于直线x＝1对称
B.f(x)在[0,1]上单调递增
C.f(x)在[1,2]上单调递减
D.f(2)＝f(0)
√
√
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根据题意，若f(x＋1)＝－f(x)，
则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为2的周期函数，
则有f(2)＝f(0)，故D正确；
若f(x＋2)＝f(x)，且函数f(x)为偶函数，
则有f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；
f(x)在[－1,0]上单调递增，且函数f(x)为偶函数，
则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；
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f(x)在[－1,0]上单调递增，且f(x)是周期为2的周期函数，
则函数f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误.
7.与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________.
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y＝e2－x
f(x)＝ex关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，
即y＝e2－x.
8.(2022·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝
__________________.
①f(x)是定义域为R的奇函数；
②f(1＋x)＝f(1－x)；
③f(1)＝2.
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对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R，
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10.函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数.
(1)若f(x)＝x3－3x2.求此函数图象的对称中心；
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设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，
则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2).
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论.
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推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数.
11.(多选)已知函数y＝f(x)，x∈R，下列4个命题中是真命题的是
A.若y＝f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称
B.函数f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称
C.若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象自身关于点(1,0)对称
D.若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象自身关于直线x＝1
对称
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综合提升练
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对于A，若y＝f(x＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x＝0对称，故y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位得f(x)的图象，故f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，正确；
对于B，将f(x)的图象向右平移1个单位，可得f(x－1)的图象，将f(x)的图象关于y轴对称得f(－x)的图象，然后将其图象向右平移1个单位得f(1－x)的图象，故f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称，故正确；
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对于C，若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故不正确；
对于D，因为f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，故f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故正确.
12.已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝____.
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因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，
又因为函数f(x＋2)向右平移2个单位得到函数f(x)的图象，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
因为y＝|x2－4x－5|＝|(x－2)2－9|，
所以函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，
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拓展冲刺练
A.0对 B.1对
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作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
再作出－y＝f(－x)，记为曲线C，
由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A，B就是符合题意的点.
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当x>2时，f(x)＝2x－2－4＝2|x－2|－4，
所以对任意的x∈R，f(x)＝2|x－2|－4，
则f(4－x)＝2|4－x－2|－4＝2|x－2|－4＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
因为函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
由f(2＋log4x)>f(1－log4x)可得|2＋log4x－2|>|1－log4x－2|，
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14§2.4　函数的对称性
考试要求　1.能通过平移，分析得出一般的轴对称和中心对称公式和推论.2.会利用对称公式解决问题．
知识梳理
1．奇函数、偶函数的对称性
(1)奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．
(2)若f(x－2)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝－2；若f(x－2)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(－2,0)．
2．若函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称，则f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a－x)＝－f(a＋x)，则函数的图象关于点(a,0)对称．
3．两个函数图象的对称
(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；
(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；
(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝f(x＋1)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　√　)
(2)函数y＝f(x－1)是奇函数，则函数y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称．(　×　)
(3)若函数f(x)满足f(x－1)＋f(x＋1) ＝0，则f(x)的图象关于y轴对称．(　×　)
(4)若函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称．(　√　)
教材改编题
1．函数f(x)＝图象的对称中心为(　　)
A．(0,0) B．(0,1)
C．(1,0) D．(1,1)
答案　B
解析　因为f(x)＝＝1＋，由y＝向上平移一个单位得到y＝1＋，又y＝关于(0,0)对称，
所以f(x)＝1＋的图象关于(0,1)对称．
2．已知定义在R上的函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，且f(－2－x)＝f(－2＋x)，则f(－4)与f(1)的大小关系为________．
答案　f(－4)>f(1)
解析　∵f(－2－x)＝f(－2＋x)，
∴f(x)关于直线x＝－2对称，
又f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，
∴f(－4)＝f(0)>f(1)，
故f(－4)>f(1)．
3．偶函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，且当x∈[2,3]时，f(x)＝2x－1，则f(－1)＝________.
答案　5
解析　∵f(x)为偶函数，
∴f(－1)＝f(1)，
由f(x)的图象关于x＝2对称，
可得f(1)＝f(3)＝2×3－1＝5.
题型一　轴对称问题
例1　(1)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数，对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，当f(－3)＝－2时，则f(2 023)等于(　　)
A．－2 B．2 C．0 D．－4
答案　B
解析　定义在R上的函数f(x)是奇函数，且对x∈R都有f(x＋1)＝f(1－x)，
故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(x)＝f(2－x)，
故f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x)＝－f(2＋x)＝f(4＋x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数．
则f(2 023)＝f(505×4＋3)＝f(3)＝－f(－3)＝2.
(2)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋2)为偶函数，f(x)在[2，＋∞)上单调递减，则不等式f(x－1)>f(1)的解集为________．
答案　(2,4)
解析　∵f(x＋2)是偶函数，
∴f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，
又f(x)在[2，＋∞)上单调递减，
∴f(x)在(－∞，2]上单调递增．
又f(x－1)>f(1)，
∴|x－1－2|<|1－2|，即|x－3|<1，
解得2∴原不等式的解集为(2,4)．
思维升华　函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称 f(x)＝f(2a－x) f(a－x)＝f(a＋x)；
若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝成轴对称．
跟踪训练1　(1)已知函数f(x)＝－x2＋bx＋c，且f(x＋1)是偶函数，则f(－1)，f(1)，f(2)的大小关系是(　　)
A．f(－1)B．f(1)C．f(2)D．f(－1)答案　D
解析　因为f(x＋1)是偶函数，所以其对称轴为x＝0，
所以f(x)的对称轴为x＝1，
又二次函数f(x)＝－x2＋bx＋c的开口向下，根据自变量离对称轴的距离可得f(－1)(2)如果函数f(x)对任意的实数x，都有f(1＋x)＝f(－x)，且当x≥时，f(x)＝log2(3x－1)，那么函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和为(　　)
A．2 B．3 C．4 D．－1
答案　C
解析　根据f(1＋x)＝f(－x)可知，f(x)的图象关于x＝对称，
那么求函数f(x)在[－2,0]上的最大值与最小值之和，即求函数f(x)在[1,3]上的最大值与最小值之和，
因为f(x)＝log2(3x－1)在上单调递增，所以最小值与最大值分别为f(1)＝1，f(3)＝3，f(1)＋f(3)＝4.
题型二　中心对称问题
例2　(1)(多选)若定义在R上的偶函数f(x)的图象关于点(2,0)对称，则下列说法正确的是(　　)
A．f(x)＝f(－x)
B．f(2＋x)＋f(2－x)＝0
C．f(－x)＝－f(x＋4)
D．f(x＋2)＝f(x－2)
答案　ABC
解析　因为f(x)为偶函数，则f(x)＝f(－x)，故A正确；
因为f(x)的图象关于点(2,0)对称，对于f(x)的图象上的点(x，y)关于(2,0)的对称点(4－x，－y)也在函数图象上，即f(4－x)＝－y＝－f(x)，用2＋x替换x得到，f[4－(2＋x)]＝－f(2＋x)，即f(2＋x)＋f(2－x)＝0，故B正确；
由f(2＋x)＋f(2－x)＝0，令x＝x＋2，可得f(x＋4)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x＋4)，故C正确；
由B知，f(2＋x)＝－f(2－x)＝－f(x－2)，故D错误．
(2)已知函数f(x)满足f(x)＋f(－x)＝2，g(x)＝＋1，y＝f(x)与y＝g(x)有4个交点，则这4个交点的纵坐标之和为________．
答案　4
解析　因为f(x)＋f(－x)＝2，所以y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称，
y＝g(x)＝＋1的图象也关于点(0,1)对称，则交点关于(0,1)对称，
所以4个交点的纵坐标之和为2×2＝4.
思维升华　函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称 f(a＋x)＋f(a－x)＝2b 2b－f(x)＝f(2a－x)；若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(b－x)＝c，则y＝f(x)的图象关于点成中心对称．
跟踪训练2　(1)函数f(x)＝ex－2－e2－x的图象关于(　　)
A．点(－2,0)对称 B．直线x＝－2对称
C．点(2,0)对称 D．直线x＝2对称
答案　C
解析　∵f(x)＝ex－2－e2－x，∴f(2＋x)＝e2＋x－2－e2－(2＋x)＝ex－e－x，
f(2－x)＝e2－x－2－e2－(2－x)＝e－x－ex，
所以f(2＋x)＋f(2－x)＝0，
因此，函数f(x)的图象关于点(2,0)对称．
(2)(2023·郑州模拟)若函数f(x)满足f(2－x)＋f(x)＝－2，则下列函数中为奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1
C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1
答案　D
解析　因为f(2－x)＋f(x)＝－2，
所以f(x)关于点(1，－1)对称，
所以将f(x)向左平移1个单位，再向上平移1个单位得到函数y＝f(x＋1)＋1，该函数的对称中心为(0,0)，故y＝f(x＋1)＋1为奇函数．
题型三　两个函数图象的对称
例3　已知函数y＝f(x)是定义域为R的函数，则函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象(　　)
A．关于直线x＝1对称
B．关于直线x＝3对称
C．关于直线y＝3对称
D．关于点(3,0)对称
答案　A
解析　设P(x0，y0)为y＝f(x＋2)图象上任意一点，
则y0＝f(x0＋2)＝f(4－(2－x0))，
所以点Q(2－x0，y0)在函数y＝f(4－x)的图象上，
而P(x0，y0)与Q(2－x0，y0)关于直线x＝1对称，
所以函数y＝f(x＋2)的图象与y＝f(4－x)的图象关于直线x＝1对称．
思维升华　函数y＝f(a＋x)的图象与函数y＝f(b－x)的图象关于直线x＝对称．
跟踪训练3　设函数y＝f(x)的定义域为R，则函数y＝f(x－1)的图象与y＝f(1－x)的图象(　　)
A．关于y轴对称
B．关于x轴对称
C．关于直线x＝1对称
D．关于直线y＝1对称
答案　C
解析　A选项，函数y＝f(x－1)关于y轴对称的函数为y＝f(－x－1)≠f(1－x)，故A错误；
B选项，函数y＝f(x－1)关于x轴对称的函数为y＝－f(x－1)≠f(1－x)，故B错误；
C选项，函数y＝f(x－1)关于直线x＝1对称的函数为y＝f(2－x－1)＝f(1－x)，故C正确；
D选项，函数y＝f(x－1)关于直线y＝1对称的函数为y＝2－f(x－1)≠f(1－x)，故D错误．
课时精练
1．已知函数y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(　　)
A．(－1,2) B．(1,2)
C．(－1，－2) D．(－2,1)
答案　A
解析　函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称，又y＝f(x)的图象经过点P(1，－2)，则函数y＝－f(－x)的图象必过点(－1,2)．
2．已知函数f(x)＝2|x－a|的图象关于直线x＝2对称，则a等于(　　)
A．1 B．2 C．0 D．－2
答案　B
解析　函数y＝2|x|的图象关于y轴对称，
将函数y＝2|x|的图象向右平移2个单位可得函数y＝2|x－2|的图象，
所以函数y＝2|x－2|的图象关于直线x＝2对称，故a＝2.
3．已知奇函数f(x)满足f(5)＝1，且f(x－2)的图象关于x＝3对称，则f(2 025)等于(　　)
A．－1 B．1 C．0 D．3
答案　B
解析　∵函数f(x－2)的图象关于直线x＝3对称，
∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，
∴f(－x)＝f(x＋2)，
∵f(x)为奇函数，
∴f(－x)＝f(2＋x)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x)，
∴f(x)是周期为4的周期函数，
∴f(2 025)＝f(1)＝f(5)＝1.
4．(2023·郑州质检)若函数f(x)满足f(－x)＋f(x)＝2，则下列函数是奇函数的是(　　)
A．f(x－1)－1 B．f(x＋1)＋1
C．f(x)－1 D．f(x)＋1
答案　C
解析　∵f(－x)＋f(x)＝2，
∴f(x)的图象关于(0,1)对称，
将y＝f(x)的图象向下平移1个单位得函数y＝f(x)－1的图象，该图象关于(0,0)对称，
∴y＝f(x)－1为奇函数．
5．已知函数f(x＋2)是R上的偶函数，且f(x)在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，则不等式f(ln x)>f(1)的解集为(　　)
A．(－∞，e)∪(e3，＋∞) B．(1，e2)
C．(e，e3) D．(e，＋∞)
答案　C
解析　因为函数f(x＋2)是R上的偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称，在[2，＋∞)上恒有<0(x1≠x2)，当x1f(x2)，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递减，f(x)在(－∞，2)上单调递增，不等式f(ln x)>f(1)需满足|ln x－2|<|1－2| 16．(多选)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上单调递增，则下列关于f(x)的结论中正确的有(　　)
A．f(x)的图象关于直线x＝1对称
B．f(x)在[0,1]上单调递增
C．f(x)在[1,2]上单调递减
D．f(2)＝f(0)
答案　AD
解析　根据题意，若f(x＋1)＝－f(x)，
则f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，
即f(x＋2)＝f(x)，f(x)是周期为2的周期函数，
则有f(2)＝f(0)，故D正确；
若f(x＋2)＝f(x)，且函数f(x)为偶函数，
则有f(x＋2)＝f(－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；
f(x)在[－1,0]上单调递增，且函数f(x)为偶函数，
则函数f(x)在[0,1]上单调递减，故B错误；
f(x)在[－1,0]上单调递增，且f(x)是周期为2的周期函数，
则函数f(x)在[1,2]上单调递增，故C错误．
7．与f(x)＝ex关于直线x＝1对称的函数是________．
答案　y＝e2－x
解析　f(x)＝ex关于直线x＝1对称的是f(2－x)＝e2－x，
即y＝e2－x.
8．(2022·江苏七市联考)写出一个同时具有性质①②③的函数f(x)＝________.
①f(x)是定义域为R的奇函数；
②f(1＋x)＝f(1－x)；
③f(1)＝2.
答案　2sin x(答案不唯一)
解析　由①②③可知函数f(x)是对称轴为x＝1，定义域为R的奇函数，且f(1)＝2，可写出满足条件的函数f(x)＝2sin x.
9．已知函数f(x)＝是奇函数．
(1)求a的值，并解关于x的不等式f(x)>；
(2)求函数g(x)＝图象的对称中心．
解　(1)对任意的x∈R,2x＋2－x>0，故函数f(x)的定义域为R，
又因为函数f(x)＝为奇函数，则f(0)＝＝0，解得a＝1，
所以f(x)＝，下面验证函数f(x)＝为奇函数，
f(－x)＝＝－f(x)，故函数f(x)＝为奇函数，
由f(x)＝＝＝>，得2·4x>4，即22x＋1>22，
所以2x＋1>2，解得x>，
因此不等式f(x)>的解集为.
(2)g(x)＝＝，
则g(－x)＝，
所以g(x)＋g(－x)＝＝2，
因此函数g(x)＝图象的对称中心为(0,1)．
10．函数y＝f(x)的图象关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数．
(1)若f(x)＝x3－3x2.求此函数图象的对称中心；
(2)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图象关于y轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论．
解　(1)设函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为P(a，b)，g(x)＝f(x＋a)－b，
则g(x)为奇函数，故g(－x)＝－g(x)，故f(－x＋a)－b＝－f(x＋a)＋b，
即f(－x＋a)＋f(x＋a)＝2b，
即[(－x＋a)3－3(－x＋a)2]＋[(x＋a)3－3(x＋a)2]＝2b.
整理得(3a－3)x2＋a3－3a2－b＝0，故解得
所以函数f(x)＝x3－3x2图象的对称中心为(1，－2)．
(2)推论：函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a成轴对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)为偶函数．
11．(多选)已知函数y＝f(x)，x∈R，下列4个命题中是真命题的是(　　)
A．若y＝f(x＋1)为偶函数，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称
B．函数f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称
C．若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)，则f(x)的图象自身关于点(1,0)对称
D．若f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，则f(x)的图象自身关于直线x＝1对称
答案　ABD
解析　对于A，若y＝f(x＋1)为偶函数，其函数图象关于直线x＝0对称，故y＝f(x＋1)的图象向右平移1个单位得f(x)的图象，故f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，正确；
对于B，将f(x)的图象向右平移1个单位，可得f(x－1)的图象，将f(x)的图象关于y轴对称得f(－x)的图象，然后将其图象向右平移1个单位得f(1－x)的图象，故f(x－1)与f(1－x)的图象关于直线x＝1对称，故正确；
对于C，若f(x)为奇函数，且f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，故f(x＋1)＝f(1－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故不正确；
对于D，因为f(x)为奇函数，且f(x)＝f(－x－2)，故f(x＋2)＝－f(x)＝f(－x)，所以f(x)的图象自身关于直线x＝1对称，故正确．
12．已知函数f(x)满足f(x＋2)是偶函数，若函数y＝|x2－4x－5|与函数y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，则横坐标之和x1＋x2＋…＋xn＝________.
答案　2n
解析　因为f(x＋2)是偶函数，所以函数f(x＋2)的图象关于直线x＝0对称，
又因为函数f(x＋2)向右平移2个单位得到函数f(x)的图象，
所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
因为y＝|x2－4x－5|＝|(x－2)2－9|，
所以函数y＝|x2－4x－5|的图象也关于直线x＝2对称，
所以x1＋x2＋…＋xn＝·4＝2n.
13．已知函数f(x)＝则此函数图象上关于原点对称的点有(　　)
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
答案　B
解析　作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，
再作出－y＝f(－x)，记为曲线C，
由图象可知，满足条件的对称点只有一对，图中的A，B就是符合题意的点．
14．已知函数f(x)＝则满足f(2＋log4x)>f(1－log4x)的x的取值范围是(　　)
A. B.
C．(0,2) D．(2，＋∞)
答案　A
解析　当x≤2时，f(x)＝x－2－4＝22－x－4＝2|x－2|－4，
当x>2时，f(x)＝2x－2－4＝2|x－2|－4，
所以对任意的x∈R，f(x)＝2|x－2|－4，
则f(4－x)＝2|4－x－2|－4＝2|x－2|－4＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，
因为函数f(x)在[2，＋∞)上单调递增，
由f(2＋log4x)>f(1－log4x)可得|2＋log4x－2|>|1－log4x－2|，
即|log4x|>|1＋log4x|，不等式|log4x|>|1＋log4x|两边平方得log4x<－，解得0

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