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§2.9　指、对、幂的大小
比较[培优课]
第二章　函　数
指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．
命题点1　利用函数的性质
例1　设a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系是
A.a>c>b B.a>b>c
C.c>b>a D.b>c>a
题型一
直接法比较大小
√
所以 < ，即a又因为函数y＝ 在(0，＋∞)上单调递增，
所以 < ，
所以bb>a.
命题点2　找中间值
例2　(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝ ，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为
A.a>b>c B.a>c>b
C.b>a>c D.c>b>a
√
命题点3　特殊值法
例3　已知a>b>1,0A.acC.alogbc√
则ac＝ ，bc＝ ，
∴ac>bc，故A错误；
abc＝4× ＝ ，bac＝2× ＝ ，
∴abc>bac，故B错误；
∴alogbclogbc，故C正确，D错误.
利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0， ，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22思维升华
跟踪训练1　(1)已知a＝0.60.6，b＝lg 0.6，c＝1.60.6，则
A.a>b>c B.a>c>b
C.c>b>a D.c>a>b
√
因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，
所以1.60.6>0.60.6>0，
又b＝lg 0.6所以c>a>b.
A.a>b>c B.c>b>a
C.b>a>c D.a>c>b
√
且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，
所以log3 >log34，即a>b.
又因为b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1，
即b>c，所以a>b>c.
例4　(1)已知a＝ ，b＝ ，c＝ ，则a，b，c的大小关系为
A.aC.b题型二
利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
√
a＝ ＝ ＝ ，b＝ ＝ ，
所以a所以a(2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则
A.aC.b√
∴log53∵55<84，134<85，
∴5log85<4，4<5log138，
∴log85∴log53求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3
≈0.477 1)，则a，b，c的大小关系是
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.c>b>a
√
c＝930＝360，
a＝2100 lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1，
b＝365 lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5，
c＝930 lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626，
所以lg b>lg a>lg c，即b>a>c.
(2)(2022·汝州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，则
A.bC.a√
因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以log26所以a题型三
构造函数比较大小
A.aC.a√
∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴a∴b(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝ ，c＝－ln 0.9，则
A.aC.c√
设u(x)＝xex(0w(x)＝－ln(1－x)(0则当00，v(x)>0，w(x)>0.
①设f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)]
＝ln x＋x－[ln x－ln(1－x)]
＝x＋ln(1－x)(0所以f(x)在(0,0.1]上单调递减，
所以f(0.1)即ln[u(0.1)]－ln[v(0.1)]<0，
所以ln[u(0.1)]又函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以a②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln(1－x)(0设h(x)＝(1－x2)ex－1(0则h′(x)＝(1－2x－x2)ex>0在(0,0.1]上恒成立，
所以h(x)在(0,0.1]上单调递增，
所以h(x)>h(0)＝(1－02)×e0－1＝0，
即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立，
所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，
所以g(0.1)>g(0)＝0×e0＋ln(1－0)＝0，
即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0，
所以0.1e0.1>－ln 0.9，即a>c.
综上，c某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小.
跟踪训练3　(1)(2022·济南模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为
A.b>c>a B.c>b>a
C.a>c>b D.a>b>c
√
令f(x)＝(14－x)ln x，
所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)<0.
所以f(x)＝(14－x)ln x在(6，＋∞)上单调递减.
所以f(6)>f(7)>f(8)，
即8ln 6>7ln 7>6ln 8，
故68>77>86.故a>b>c.
√
∴当0当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝0，
∴c又c＝2ln 1.1>2ln 1＝0，
∴a课时精练
A.bC.b√
故c1
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2.(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝ ，则下列判断正确的是
A.cC.a√
3.设a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，则a，b，c的大小关系为
A.bC.a√
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所以a>c，所以b1
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4.(2023·潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则
A.x>y>z B.y>x>z
C.z>x>y D.x>z>y
√
因为3x＝4y＝10，
所以x＝log310>log39＝2；1＝log44则1y>1，
而z＝logxy所以x>y>z.
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√
由x，y，z为正实数，
设log2x＝log3y＝log5z＝k>1，
可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5.
令f(x)＝xk－1，
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(2)1
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6.(2023·茂名模拟)已知a＝sin 2，b＝ln 2，c＝ ，则a，b，c的大小关系是
A.cC.b√
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∴a>c，∴b1
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A.bC.c√
令f(x)＝sin x－x，
则f′(x)＝cos x－1≤0，
所以f(x)为减函数，
所以当x>0时，f(x)所以b1
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8.已知a＝5ln 4π，b＝4ln 5π，c＝5ln π4，则a，b，c的大小关系是
A.cC.b1
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√
可得函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，
∴5ln 4π>4ln 5π，∴a>b，
∴4ln π>πln 4，
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∴π4>4π，
∴5ln π4>5ln 4π，
∴c>a，∴b1
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9.(2022·赣州模拟)已知ea＝9.111.1，eb＝10.110.1，ec＝11.19.1，则
A.a>c>b B.c>a>b
C.b>a>c D.a>b>c
√
由题意a＝11.1ln 9.1，b＝10.1ln 10.1，c＝9.1ln 11.1，
令f(x)＝(10.1＋x)ln(10.1－x)，
所以f′(x)在[－1,1]上单调递减，
所以f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，所以f(x)在[－1,1]上单调递增，
所以f(1)>f(0)>f(－1)，即a>b>c.
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A.c>b>a B.b>a>c
C.a>b>c D.a>c>b
√
令f(x)＝x－sin x，
则f′(x)＝1－cos x≥0，
所以函数f(x)在R上单调递增，
所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
即有x>sin x(x>0)成立，
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所以令g(x)＝tan x－x，
所以函数g(x)在定义域内单调递增，
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所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，
即有tan x>x(x>0)成立，
综上，c>b>a.§2.9　指、对、幂的大小比较
指数与对数是高中一个重要的知识点，也是高考必考考点，其中指数、对数及幂的大小比较是近几年的高考热点和难点，主要考查指数、对数的互化、运算性质，以及指数函数、对数函数和幂函数的性质，一般以选择题或填空题的形式出现在压轴题的位置．
题型一　直接法比较大小
命题点1　利用函数的性质
例1　设a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>c>b B．a>b>c
C．c>b>a D．b>c>a
答案　C
解析　因为函数y＝x是增函数，
所以<，即a又因为函数y＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以<，
所以bb>a.
命题点2　找中间值
例2　(2023·上饶模拟)已知a＝log53，b＝，c＝7－0.5，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．c>b>a
答案　C
解析　因为1＝log55>log53>log5＝log5＝，
即b＝>20＝1,7－0.5＝<＝，
即0a>c.
命题点3　特殊值法
例3　已知a>b>1,0A．acC．alogbc答案　C
解析　取特殊值，令a＝4，b＝2，c＝，
则ac＝，bc＝，
∴ac>bc，故A错误；
abc＝4×＝，bac＝2×＝，
∴abc>bac，故B错误；
logac＝log4＝－1，logbc＝log2＝－2，alogbc＝－8，blogac＝－2，
∴alogbclogbc，故C正确，D错误．
思维升华　利用特殊值作“中间量”
在指数、对数中通常可优先选择“－1,0，，1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可以简化比较的步骤，也有一些题目需要选择特殊的常数对所比较的数的值进行估计，例如log23，可知1＝log22跟踪训练1　(1)已知a＝0.60.6，b＝lg 0.6，c＝1.60.6，则(　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．c>b>a D．c>a>b
答案　D
解析　因为y＝x0.6在(0，＋∞)上单调递增，
所以1.60.6>0.60.6>0，
又b＝lg 0.6所以c>a>b.
(2)已知a＝，b＝log34，c＝3－0.1，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a>b>c B．c>b>a
C．b>a>c D．a>c>b
答案　A
解析　因为a＝＝log3，＝34＝81>43＝64，且函数y＝log3x在(0，＋∞)上单调递增，
所以log3>log34，即a>b.
又因为b＝log34>log33＝1，c＝3－0.1<30＝1，
即b>c，所以a>b>c.
题型二　利用指数、对数及幂的运算性质化简比较大小
例4　(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．b答案　A
解析　c＝>＝1，
a＝＝＝，b＝＝，
因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，且<，
所以a又<0＝1，即b<1，
所以a(2)(2020·全国Ⅲ)已知55<84，134<85.设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则(　　)
A．aC．b答案　A
解析　∵log53－log85＝log53－＝
<＝
<＝0，
∴log53∵55<84，134<85，
∴5log85<4，4<5log138，
∴log85∴log53思维升华　求同存异法比较大小
如果两个指数或对数的底数相同，则可通过真数的大小与指数、对数函数的单调性判断出指数或对数的大小关系，要熟练运用指数、对数公式、性质，尽量将比较的对象转化为某一部分相同的情况．
跟踪训练2　(1)已知a＝2100，b＝365，c＝930(参考值lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．b>c>a D．c>b>a
答案　B
解析　c＝930＝360，
a＝2100 lg a＝lg 2100＝100lg 2≈30.1，
b＝365 lg b＝lg 365＝65lg 3≈31.011 5，
c＝930 lg c＝lg 360＝60lg 3≈28.626，
所以lg b>lg a>lg c，即b>a>c.
(2)(2022·汝州模拟)已知a＝log63，b＝log84，c＝log105，则(　　)
A．bC．a答案　D
解析　由题意得，
a＝log63＝log6＝1－log62＝1－，
b＝log84＝log8＝1－log82＝1－，
c＝log105＝log10＝1－log102＝1－，
因为函数y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，
所以log26则>>，
所以a题型三　构造函数比较大小
例5　(1)已知a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．aC．a答案　B
解析　a＝＝，c＝＝，
令f(x)＝，
∴a＝f ，b＝f(2)，c＝f(e)，
∴f′(x)＝，
∴当x∈(0，e)时，f′(x)>0，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，
∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，
∴f(x)max＝f(e)＝＝c，
∴a又b＝＝＝＝f(4)，
∵4>，
∴f(4)∴b(2)(2022·新高考全国Ⅰ)设a＝0.1e0.1，b＝，c＝－ln 0.9，则(　　)
A．aC．c答案　C
解析　设u(x)＝xex(0v(x)＝(0w(x)＝－ln(1－x)(0则当00，v(x)>0，w(x)>0.
①设f(x)＝ln[u(x)]－ln[v(x)]
＝ln x＋x－[ln x－ln(1－x)]
＝x＋ln(1－x)(0则f′(x)＝1－＝<0在(0,0.1]上恒成立，
所以f(x)在(0,0.1]上单调递减，
所以f(0.1)即ln[u(0.1)]－ln[v(0.1)]<0，
所以ln[u(0.1)]又函数y＝ln x在(0，＋∞)上单调递增，
所以u(0.1)所以a②设g(x)＝u(x)－w(x)＝xex＋ln(1－x)(0则g′(x)＝(x＋1)ex－
＝(0设h(x)＝(1－x2)ex－1(0则h′(x)＝(1－2x－x2)ex>0在(0,0.1]上恒成立，
所以h(x)在(0,0.1]上单调递增，
所以h(x)>h(0)＝(1－02)×e0－1＝0，
即g′(x)>0在(0,0.1]上恒成立，
所以g(x)在(0,0.1]上单调递增，
所以g(0.1)>g(0)＝0×e0＋ln(1－0)＝0，
即g(0.1)＝u(0.1)－w(0.1)>0，
所以0.1e0.1>－ln 0.9，即a>c.
综上，c思维升华　某些数或式子的大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小．
跟踪训练3　(1)(2022·济南模拟)已知a＝68，b＝77，c＝86，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．b>c>a B．c>b>a
C．a>c>b D．a>b>c
答案　D
解析　令f(x)＝(14－x)ln x，
则f′(x)＝－ln x＋－1.
因为y＝－ln x在(0，＋∞)上单调递减，y＝－1在(0，＋∞)上单调递减，
所以f′(x)＝－ln x＋－1在(0，＋∞)上单调递减．
而f′(5)＝－ln 5＋－1>0，f′(6)＝－ln 6＋－1<0，
所以当x∈(6，＋∞)时，f′(x)<0.
所以f(x)＝(14－x)ln x在(6，＋∞)上单调递减．
所以f(6)>f(7)>f(8)，
即8ln 6>7ln 7>6ln 8，
故68>77>86.故a>b>c.
(2)(2023·南昌模拟)设a＝e1.3－2，b＝4－4，c＝2ln 1.1，则(　　)
A．aC．b答案　B
解析　∵(e1.3)2＝e2.633，
∴e1.3<2，∴a<0；
b－c＝4－4－2ln 1.1＝2(2－2－ln 1.1)，
令f(x)＝2－2－ln x，
∴f′(x)＝－＝，
∴当0当x>1时，f′(x)>0，f(x)单调递增，
∴f(x)min＝f(1)＝0，
∴f(1.1)>0，即2－2－ln 1.1>0，
∴c又c＝2ln 1.1>2ln 1＝0，
∴a课时精练
1．设a＝，b＝2，c＝log2，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．bC．b答案　B
解析　a＝＝>1，且<2＝b，
又c＝log2故c2．(2021·新高考全国Ⅱ)已知a＝log52，b＝log83，c＝，则下列判断正确的是(　　)
A．cC．a答案　C
解析　a＝log523．设a＝log23，b＝2log32，c＝2－log32，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．bC．a答案　A
解析　由c＝2－log32＝log39－log32＝log3>log34＝2log32＝b，
a－c＝log23＋log32－2>2－2＝2－2＝0，
所以a>c，所以b4．(2023·潍坊模拟)若3x＝4y＝10，z＝logxy，则(　　)
A．x>y>z B．y>x>z
C．z>x>y D．x>z>y
答案　A
解析　因为3x＝4y＝10，
所以x＝log310>log39＝2；1＝log44则1y>1，
而z＝logxy所以x>y>z.
5．设x，y，z为正实数，且log2x＝log3y＝log5z>1，则，，的大小关系是(　　)
A.<< B.<<
C.<< D.＝＝
答案　B
解析　由x，y，z为正实数，
设log2x＝log3y＝log5z＝k>1，
可得x＝2k>2，y＝3k>3，z＝5k>5.
∴＝2k－1>1，＝3k－1>1，＝5k－1>1，
令f(x)＝xk－1，
∵f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(2)即<<.
6．(2023·茂名模拟)已知a＝sin 2，b＝ln 2，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．b答案　D
解析　a＝sin 2>sin ＝>，
＝e3>24 >2 ＝>ln 2，
即b<，∴a>b；
∵＝＝，3＝，
∴>，
∴c>b；
∵6＝，＝＝，
∴>，
∴a>c，∴b7．设a＝，b＝9sin ，c＝，则(　　)
A．bC．c答案　B
解析　令f(x)＝sin x－x，
则f′(x)＝cos x－1≤0，
所以f(x)为减函数，
所以当x>0时，f(x)所以b＝9sin <9×＝<1，
又a＝>＝1，c＝>＝1，且a45＝105，c45＝39＝3×94<105，
所以b8．已知a＝5ln 4π，b＝4ln 5π，c＝5ln π4，则a，b，c的大小关系是(　　)
A．cC．b答案　C
解析　令f(x)＝(x≥e)，
则f′(x)＝，
可得函数f(x)在(e，＋∞)上单调递减，
∴>，
∴5ln 4π>4ln 5π，∴a>b，
同理可得>，
∴4ln π>πln 4，
∴π4>4π，
∴5ln π4>5ln 4π，
∴c>a，∴b9．(2022·赣州模拟)已知ea＝9.111.1，eb＝10.110.1，ec＝11.19.1，则(　　)
A．a>c>b B．c>a>b
C．b>a>c D．a>b>c
答案　D
解析　由题意a＝11.1ln 9.1，b＝10.1ln 10.1，c＝9.1ln 11.1，
令f(x)＝(10.1＋x)ln(10.1－x)，
则f′(x)＝ln(10.1－x)＋＝ln(10.1－x)＋1＋，
所以f′(x)在[－1,1]上单调递减，
又f′(1)＝ln 9.1＋1－＝ln 9.1－>0，
所以f′(x)>0在[－1,1]上恒成立，
所以f(x)在[－1,1]上单调递增，
所以f(1)>f(0)>f(－1)，
即a>b>c.
10．(2022·全国甲卷)已知a＝，b＝cos ，c＝4sin ，则(　　)
A．c>b>a B．b>a>c
C．a>b>c D．a>c>b
答案　A
解析　因为b＝cos ＝1－2sin2，
所以b－a＝1－2sin2－＝－2sin2＝2.
令f(x)＝x－sin x，
则f′(x)＝1－cos x≥0，
所以函数f(x)在R上单调递增，
所以当x>0时，f(x)>f(0)＝0，
即有x>sin x(x>0)成立，
所以>sin ，得>sin2，所以b>a.
因为＝＝4tan ，
所以令g(x)＝tan x－x，
则g′(x)＝－1＝≥0，
所以函数g(x)在定义域内单调递增，
所以当x>0时，g(x)>g(0)＝0，
即有tan x>x(x>0)成立，
所以tan >，即4tan >1，
所以>1，又b>0，所以c>b.
综上，c>b>a.

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