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4. 中考培优专题：四边形综合
一．巩固练习
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，DE＝2CE，连接AE交BD于点F，则DF：BD＝（　　）
A．2：1 B．2：3 C．2：5 D．1：3
第1题 第2题 第3题 第4题
2．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，AB＝2AD＝4，则CF长度是（　　）
A． B． C． D．1
3．如图，将一个边长为10cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，
则AC＝　 　cm．
4．如图，点E，F，M在矩形ABCD的边上，四边形EFMN是正方形，B，M，N三点共线．若AB＝3，AD＝7，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．
5．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是　 　．
第5题 第6题 第7题 第8题
6．两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形ABCD中，边AB＝10，对角线AC＝12，那么△ABC与△ADC的“重心距”为 　 　．
7．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，OD＝2，将BC绕点B逆时针旋转得到BE，交CD于点F，且使得DE⊥BD．若AC＝4DE，则CF＝　 　．
8．如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD的比为2：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接BE，DF，则四边形DEBF与长方形ABCD的面积比为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（4，3）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为 　 　．
10．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为（﹣1，0），∠ABC＝60°，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A'OB'，当A'恰好第一次落在线段OD上时，B′的坐标为（　　）
A．（） B．（） C．（） D．（）
11．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为（　　）
A． B． C．1 D．
第11题 第12题 第13题 第14题
12．如图，在菱形ABCD中，tanA，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为 　 　．
13．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC为8，以顶点D为圆心，2为半径画圆，点P在对角线上运动，当射线BP与圆D相切时，AP的长是 　 　．
14．如图，在⊙O内放置两个全等的菱形ABCD和菱形EFGH．点A，C，E，G均在同一直径上，点A，B，F，G，H，D均在圆周上，已知AB＝4，AE＝10．则⊙O的半径为　 　．
15．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点N，点M是对角线BD中点，连接AM，CM．如果AM＝DC，AB⊥AC，且AB＝AC．
（1）求证：四边形AMCD是平行四边形．
（2）若DN，则BC＝　 　，tan∠DBC＝　 　．
17．如图1所示的晾衣架，支架的基本图形是菱形．如图2，晾衣架伸缩时，点E在射线DP上滑动，菱形的形状也随之发生变化．已知每个菱形的边长均等于20cm，且DF＝FE＝AN＝20cm．
（1）求证：相邻两根晾衣架之间的水平距离（AB、BC）相等；
（2）当晾衣架沿着DC方向平移时，∠CFG的度数逐渐减小．若∠CFG从120°逐渐减小到60°时，求点E在射线DP上移动的距离．
18．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且∠ANE＝∠DCE．
（1）如图，求证：AE是AM和AN的比例中项；
（2）当点N在线段AB的延长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长．
中考培优专题：四边形综合
参考答案与试题解析
一．试题
1．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在CD边上，DE＝2CE，连接AE交BD于点F，则DF：BD＝（　　）
A．2：1 B．2：3 C．2：5 D．1：3
【分析】由△DFE∽△BFA得到DF：BF＝DE：AB，由DE＝2CE得出DE：AB＝2：3，从而可以解决问题．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝DC，
∴△DFE∽△BFA
∴DF：BF＝DE：AB，
∵DE＝2CE，
∴DE：DC＝2：3，
∴DE：AB＝2：3，
∴DF：BF＝2：3，
∴DF：BD＝2：5，
故选：C．
【点评】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，关键是掌握并熟练应用以上知识点．
2．如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，AB＝2AD＝4，则CF长度是（　　）
A． B． C． D．1
【分析】首先利用矩形的性质可以分别求出BC、AC，然后利用面积公式可以求出CE，最后利用平行线分线段成比例即可求解．
【解答】解：∵矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，
∴BC＝2，
∴根据勾股定理得AC2，
∵S△ABCAB×BCAC×BE，
∴BE，
根据勾股定理得CE，
∴AE＝AC﹣CE，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴CF：AB＝CE：AE，
∴CF1．
故选：D．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，同时也利用了相似三角形的性质与判定、三角形的面积公式、勾股定理，有一定的综合性．
3．如图，将一个边长为10cm的正方形活动据架（边框粗细忽略不计）拉动成四边形ABCD，若∠BAD＝60°，则AC＝　10　cm．
【分析】设AC与BD相交于点O，根据菱形的性质可得AC⊥BD，AC＝2AO，ODBD，AD＝AB＝10cm，从而可得△ABD是等边三角形，进而可得BD＝10cm，然后再在Rt△ADO中，利用勾股定理求出AO，从而求出AC的长．
【解答】解：如图，设AC与BD相交于点O，
∵原来四边形为正方形，
∴四条边相等，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，ODBD，AD＝AB＝10 cm，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴BD＝AB＝10 cm，
∴DOBD＝5 cm，
在Rt△ADO中，AO5cm，
∴AC＝2AO＝10 cm．
故答案为：10．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
4．如图，点E，F，M在矩形ABCD的边上，四边形EFMN是正方形，B，M，N三点共线．若AB＝3，AD＝7，则的值为（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】设MD＝x，先根据△MDF≌△MCE，把MD，DF用含x的代数式表示出来，再利用△ABM∽△DMF，求出x的值，然后利用△ABM∽△NEB，求出的值，然后根据NE＝MN，求出的值．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝3，∠D＝∠C＝90°．
设MD＝x，则AM＝7﹣x，
∵四边形EFMN是正方形，
∴MF＝EF，∠MFE＝∠NMF＝90°．
∴∠MFD+∠EFC＝90°．
∵∠DMF+∠MFD＝90°．
∴∠DMF＝∠EFC．
在△MFD与△FEC中，
．
∴△MFD≌△FEC（AAS）．
∴FC＝MD＝x．
∴DF＝3﹣x．
∵∠AMB+∠DMF＝90°，
∴∠DMF＝∠AMB．
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABM∽△DMF．
∴．即．
解得x＝1．
∴．
∵AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EBN．
∵∠A＝∠BNE＝90°．
∴△ABM∽△NEB．
∴2．
∵NE＝NM，
∴．
故选：A．
【点评】本题是以矩形、正方形为背景考查了相似三角形的判断与性质，解题的关键是注意矩形、正方形的隐含条件．
5．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是　2　．
【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案．
【解答】解：如图，连接BE，
∵四边形BCED是正方形，
∴DF＝CFCD，BFBE，CD＝BE，BE⊥CD，
∴BF＝CF，
根据题意得：AC∥BD，
∴△ACP∽△BDP，
∴DP：CP＝BD：AC＝1：3，
∴DP：DF＝1：2，
∴DP＝PFCFBF，
在Rt△PBF中，tan∠BPF2，
∵∠APD＝∠BPF，
∴tan∠APD＝2．
方法二：如图，取格点H，连接AH，BH，证明∠AHB＝90°，CD∥BH，
可得∠APD＝∠ABH，
∴tan∠APD＝tan∠ABH2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键准确作出辅助线，注意转化思想与数形结合思想的应用．
6．两个三角形重心之间的距离称为两个三角形的“重心距”，如图，在菱形ABCD中，边AB＝10，对角线AC＝12，那么△ABC与△ADC的“重心距”为 　　．
【分析】连接BD，BD与AC交于点O，设点E为△ABC的重心，点F为△ADC的重心，利用菱形的性质和勾股定理求得OB，OD的长，利用三角形的重心的性质求得OE，OF的长，再利用“重心距”的定义解答即可．
【解答】解：连接BD，BD与AC交于点O，设点E为△ABC的重心，点F为△ADC的重心，如图，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OCAC＝6，OB＝OD．
∴OB＝OD8．
∵点E为△ABC的重心，点F为△ADC的重心，
∴OEOB，OFOD．
∴△ABC与△ADC的“重心距”为：OE+OF．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的重心的性质，利用菱形的性质和勾股定理求得OB，OD的长是解题的关键．
7．如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，OD＝2，将BC绕点B逆时针旋转得到BE，交CD于点F，且使得DE⊥BD．若AC＝4DE，则CF＝　　．
【分析】设DE的长度为x，根据菱形的性质以及勾股定理求出x＝2，可得BC＝DC2，根据平行线分线段成比例定理可得OM＝1，则MC＝OC﹣OM＝3，证明△DEF∽△CMF，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】解：设DE的长度为x，
∵AC＝4DE，
∴AC＝4x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AOAC＝2x，AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝4，OB＝OD，
∴BC＝CD＝AD，
∵DE⊥BD．
∴△DBE为直角三角形，
∴BE，
∵将BC绕点B逆时针旋转得到BE，
∴BE＝BC．
∴，
解得x＝2，
∴DE＝2，AC＝8，AO＝OC＝4，BC＝DC2，
设BE与AC交点为M，
∵DE⊥DB，AC⊥DB，
∴DE∥AC，
∵OB＝OD，
∴OMDE＝1，
∵OC＝4，
∴MC＝OC﹣OM＝3，
∵DE∥CM，
∴△DEF∽△CMF，
∴，
∴CFDC2．
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质、旋转的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是求出菱形的边长，利用相似三角形的判定和性质求解．
8．如图，一块长方形场地ABCD的长AB与宽AD的比为2：1，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，连接BE，DF，则四边形DEBF与长方形ABCD的面积比为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由AAS证明△ADE≌△CBF得出BF＝DE．由BF∥DE，即可得出四边形DEBF是平行四边形．设AD＝x，则AB＝2x，由勾股定理求出AC，再求出DE、CF、EF的长，计算出四边形DEBF与矩形ABCD的面积，再作比值即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠DAE＝∠BCF，
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AED＝∠CFB＝90°，BF∥DE，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（AAS），
∴DE＝BF，
又∵BF∥DE，
∴四边形DEBF是平行四边形．
设AD＝BC＝x，则CD＝AB＝2x，
∴ACx，
∵DE⊥AC于点E，
∴DE，
在△ADE中，AE，
同理CF，
∴EF＝AC﹣AE﹣CF，
∴S四边形DEBF＝EF×DE，
∵S矩形ABCD＝x×2x＝2x2，
∴四边形DEBF与矩形ABCD的面积之比为：2＝3：5；
故选：C．
【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握平行四边形的判定，证明三角形全等是解题的关键．
9．如图，平行四边形OABC的顶点A在x轴的正半轴上，点D（4，3）在对角线OB上，反比例函数的图象经过C、D两点．已知平行四边形OABC的面积是，则点B的坐标为 　（5，）　．
【分析】利用点D坐标求出反比例函数和正比例函数解析式，再设出点C坐标，利用平行四边形的性质和正比例函数解析式表示出点B的坐标，从而可得BC，再用BC与点C的纵坐标表示出平行四边形的面积，求解即可．
【解答】解：∵点D（4，3）在对角线OB上，
∴OB的解析式为：yx，
∵反比例函数的图象经过C、D两点，
∴k＝12，
∴反比例函数的解析式为：y，
∵点C在反比例函数图象上，
∴设点C坐标为（a，），
∵四边形OABC为平行四边形，
∴BC∥OA，
∴点B的纵坐标为，
将y代入yx，
解得：x，
∴点B坐标为（，），
∴BCa，
∵平行四边形OABC的面积是，
∴（a），
解得：a或a（舍去），
∴5，，
∴点B坐标为：（5，），
故答案为：（5，）．
【点评】本题考查反比例函数图象与性质，平行四边形的性质，一次函数图象等知识点，解题的关键是利用反比例函数和一次函数将点C，点B的坐标统一表示出来．
10．如图，在直角坐标系中，菱形ABCD顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为
（﹣1，0），∠ABC＝60°，将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A'OB'，当A'恰好第一次落在线段OD上时，B′的坐标为（　　）
A．（） B．（） C．（） D．（）
【分析】过点B′作B′E⊥OB于点E，证△AOD∽△EOB′，得，求出OB＝OB′＝1，OA，AD＝AB＝2，OD，再求出B′E，OE，即可得出结论．
【解答】解：将△AOB绕点O顺时针旋转得到△A'OB'，A'恰好第一次落在线段OD上，如图所示：
过点B′作B′E⊥OB于点E，
则∠OEB′＝90°，∠AOD+∠AOB′＝∠AOB，OB′＝OB，
∵∠AOB′+∠EOB′＝∠AOB，
∴∠AOD＝∠EOB′，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，AD∥BC，
∵A、B、C在坐标轴上，
∴AO⊥BC，
∴OA⊥AD，
∴∠AOB＝∠OAD＝90°，
∴∠OAD＝∠EOB′，
又∵∠AOD＝∠EOB′，
∴△AOD∽△EOB′，
∴，
∵点B的坐标为（﹣1，0），∠ABC＝60°，
∴OB＝OB′＝1，∠BAO＝90°﹣60°＝30°，
∴AD＝AB＝2OB＝2，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA，
在Rt△OAD中，由勾股定理得：OD，
∴B′E，OE，
∴B′（，），
故选：D．
【点评】本题考查了菱形的性质、含30°角直角三角形的性质、勾股定理、坐标与图形的性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识，熟练掌握旋转的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
11．如图，边长为5的大正方形ABCD是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成，连结AF并延长交CD于点M．若AH＝GH，则CM的长为（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，L利用已知条件和正方形的性质得到△ABF为等腰三角形，利用等腰三角形的三线合一性质，平行线的性质，对顶角相等和等量代换得到△MCF为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线合一的性质和勾股定理解答即可得出结论．
【解答】解：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，
∵AH＝GH，
∴AH＝HE＝GF＝EF．
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG．
∴BE＝EF＝GF＝FC．
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠DCG＝∠FAE，
∵AE∥GC，
∴∠FAE＝∠GFK．
∵∠GFK＝∠CFM，
∴∠CFM＝∠DCG，
∴MF＝MC，
∵MN⊥FC，
∴FN＝NCFC．
延长BF交CD于点P，如图，
∵PF∥MN，
∴MN为△CFP的中位线，
∴CMCP，
同理：PF为△CGD的中位线，
∴CPCD，
∴CMCD，
∴CM．
解法二：过点M作MN⊥FC于点N，设FA与GH交于点K，如图，
∵四边形EFGH是正方形，
∴HE＝HG＝GF＝EF，AH∥GF，
∵AH＝GH，
∴AH＝HE＝GF＝EF．
由题意得：Rt△ABE≌Rt△BCF≌Rt△ADH≌Rt△CDG，
∴BE＝CF＝AH＝DG，∠BAE＝∠DCG．
∴BE＝EF＝GF＝FC．
∵AE⊥BF，
∴AB＝AF，
∴∠BAE＝∠FAE，
∴∠DCG＝∠FAE，
∵AE∥GC，
∴∠FAE＝∠GFK．
∵∠GFK＝∠CFM，
∴∠CFM＝∠DCG，
∴MF＝MC，
设MF＝MC＝x，则AM＝5+x，DM＝5﹣x，
在Rt△ADM中，由勾股定理得：
52+（5﹣x）2＝（5+x）2，
解得：x．
∴CM．
故选：D．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键．
12．如图，在菱形ABCD中，tanA，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为 　　．
【分析】延长NF交CD于点H，利用折叠性质得出∠A＝∠DFH，从而判断NH⊥CD，再设出DM，分别表示出各个线段的长度即可求解．
【解答】解：如图，延长NF交CD于点H，
∵EF⊥AD，
∴∠ADF＝90°，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠A+∠FDH＝90°，
∵四边形AMNB沿MN翻折，
∴∠A＝∠E，∠B＝∠DFN，AB＝EF，AM＝EM，
∵∠DFN+∠DFH＝180°，∠A+∠B＝180°，
∴∠A＝∠DFH，
∴∠DFH+∠FDH＝90°，
∴∠DHF＝90°，
∴NH⊥CD，
设DM＝4k，
∵tanA，
∴tanE，
∴DE＝3k，EM＝5k，
∴CD＝AD＝AM+DM＝EM+DM＝9k，DF＝EF﹣DE＝AD﹣DE＝6k，
∵tan∠DFH＝tanA，
∴sin∠DFH，
∴DHk，
∴CH＝CD﹣DHk，
∵cosC＝cosA，
∴CN＝7k，
∴BN＝BC﹣CN＝2k，
∴，
故答案为：．
【点评】本题考查菱形的性质，翻折变换，解直角三角形，解题的关键是正确作出辅助线，得出NH⊥CD．
13．如图，菱形ABCD的边长为5，对角线AC为8，以顶点D为圆心，2为半径画圆，点P在对角线上运动，当射线BP与圆D相切时，AP的长是 　4或4　．
【分析】连接BD交AC于点H，当射线BP与⊙D相切于点E时，连接DE，分两种情况，当射线BP与⊙D相切于点E，当射线BP与⊙D相切于点F时，然后利用菱形的性质，以及相似三角形的判定与性质进行计算即可解答．
【解答】解：连接BD交AC于点H，当射线BP与⊙D相切于点E时，连接DE，如图：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝5，AC⊥BD，AHAC＝4，BD＝2BH，
在Rt△ABH中，BH3，
∴BD＝2BH＝6，
∵射线BP与⊙D相切于点E，
∴∠DEB＝90°，
∴BE4，
∵∠DEB＝∠BHP＝90°，∠PBH＝∠DBE，
∴△BHP∽△BED，
∴，
∴，
∴PH，
∴AP＝AH﹣PH＝4，
当射线BP与⊙D相切于点F时，如图：
同理可得：PH，
∴AP＝AH+PH＝4，
综上所述，当射线BP与圆D相切时，AP的长是4或4，
故答案为：4或4．
【点评】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，分两种情况进行计算即可解答．
14．如图，在⊙O内放置两个全等的菱形ABCD和菱形EFGH．点A，C，E，G均在同一直径上，点A，B，F，G，H，D均在圆周上，已知AB＝4，AE＝10．则⊙O的半径为　13　．
【分析】连接BD交AG于J，连接OA．设OE＝OC＝x，则OA＝OB＝x+10，AC＝AE+EC＝10+2x，根据BE2＝AB2﹣AJ2＝OB2﹣OJ2，构建方程求解即可．
【解答】解：连接BD交AG于J，连接OA．
由题意AE＝CG＝10，
∵OA＝OG，
∴OE＝OC，
设OE＝OC＝x，则OA＝OB＝x+10，AC＝AE+EC＝10+2x，
∵OA⊥BD，AJ＝JC，
∴AJ＝JC＝5+x，
OJ＝x+10﹣（5+x）＝5，
∵BJ2＝AB2﹣AJ2＝OB2﹣OJ2，
∴（4）2﹣（5+x）2＝（x+10）2﹣52，
∴x＝3或﹣18（舍弃），
∴OA＝13，
故答案为：13．
【点评】本题考查菱形的性质，垂径定理，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．
15．如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD＝2BC，∠ABD＝90°，E为AD的中点，连接BE．
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，BC＝1，求AC的长．
【分析】（1）由DE＝BC，DE∥BC，推出四边形BCDE是平行四边形，再证明BE＝DE即可解决问题；
（2）在Rt△ACD中只要证明∠ADC＝60°，AD＝2即可解决问题；
【解答】（1）证明：∵AD＝2BC，E为AD的中点，
∴DE＝BC，
∵AD∥BC，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵∠ABD＝90°，AE＝DE，
∴BE＝DE，
∴四边形BCDE是菱形．
（2）解：连接AC．
∵AD∥BC，AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝∠BCA，
∴AB＝BC＝1，
∵AD＝2BC＝2，
∴sin∠ADB，
∴∠ADB＝30°，
∴∠DAC＝30°，∠ADC＝60°，
在Rt△ACD中，∵AD＝2，
∴CD＝1，AC．
【点评】本题考查菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法，属于中考常考题型．
16．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，对角线AC，BD相交于点N，点M是对角线BD中点，连接AM，CM．如果AM＝DC，AB⊥AC，且AB＝AC．
（1）求证：四边形AMCD是平行四边形．
（2）若DN，则BC＝　12　，tan∠DBC＝　　．
【分析】（1）要证明四边形AMCD是平行四边形，已知AM＝DC，只需要证明AM∥DC即可；由条件可知△AMB≌△AMC（SSS），推理可得∠DCA＝∠MAC＝45°，由内错角相等两直线平行可知AM∥CD，可得结论；
（2）如图，延长AM交BC于点E，根据等腰直角三角形的选择得到AE⊥BC，且点E为BC的中点，根据三角形中位线的性质定理得到CD＝2ME，设AB＝a，则BCa，求得AEBCa，根据平行四边形的性质得到MN＝DN，设DC＝x，BC＝3x，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图，
∵点M是BD的中点，∠BCD＝90°，
∴CM是Rt△BCD斜边BD的中线，
∴CM＝BM＝MD，
又AB＝AC，AM＝AM，
∴△AMB≌△AMC（SSS），
∴∠BAM＝∠CAM，
∵BA⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴∠CAM＝45°，
又∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴∠DCA＝∠DCB﹣∠ACB＝45°，
∴∠DCA＝∠MAC，
∴AM∥CD，
又∵AM＝DC，
∴四边形AMCD为平行四边形；
（2）解：如图，延长AM交BC于点E，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∠BAM＝∠CAM，
∴AE⊥BC，且点E为BC的中点，
∵点M是BD的中点，点E是BC的中点，
∴ME是△BCD的中位线，
∴CD＝2ME，
又AM＝CD，
∴AM＝2ME，
∴MEAE，
设AB＝a，则BCa，AEBCa，
∴MEAEa，
又BE＝AEa，
∴tan∠DBC，
∵四边形AMCD为平行四边形，DN，
∴MN＝DN，
∴BD＝4，
在Rt△BCD中，
∵tan∠DBC，
∴设DC＝x，BC＝3x，
∴BDx，
∴x＝4，
∴x＝4，
∴DC＝4，
∴BC12，
故答案为12，．
【点评】本题利用了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数值等内容．
17．如图1所示的晾衣架，支架的基本图形是菱形．如图2，晾衣架伸缩时，点E在射线DP上滑动，菱形的形状也随之发生变化．已知每个菱形的边长均等于20cm，且DF＝FE＝AN＝20cm．
（1）求证：相邻两根晾衣架之间的水平距离（AB、BC）相等；
（2）当晾衣架沿着DC方向平移时，∠CFG的度数逐渐减小．若∠CFG从120°逐渐减小到60°时，求点E在射线DP上移动的距离．
【分析】（1）连接AB，BC，根据菱形的性质可得∠BNM＝∠BHM，BN＝BH＝CH＝20cm，从而利用等角的补角相等可得∠ANB＝∠BHC，再根据已知AN＝BH＝20cm，BN＝CH＝20cm，然后证明△ANB≌△BHC，利用全等三角形的性质即可解答；
（2）当∠CFG＝120°时，过点F作FK⊥DE，垂足为K，利用等腰三角形的三线合一的性质可得DE＝2DK，∠DFK＝60°，然后在Rt△DFK中，利用锐角三角函数的定义求出DK的长，从而求出DE的长，当∠CFG＝60°时，然后利用等边三角形的判定可得△DFE是等边三角形，从而求出DE的长，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接AB，BC，
∵四边形BNMH是菱形，四边形CHGF是菱形，
∴∠BNM＝∠BHM，BN＝BH＝CH＝20cm，
∵∠BNM+∠ANB＝180°，∠BHM+∠BHC＝180°，
∴∠ANB＝∠BHC，
∵AN＝BH＝20cm，BN＝CH＝20cm，
∴△ANB≌△BHC（SAS），
∴AB＝BC，
∴相邻两根晾衣架之间的水平距离（AB、BC）相等；
（2）解：当∠CFG＝120°时，过点F作FK⊥DE，垂足为K，如图：
∴∠DFE＝∠CFG＝120°，
∵DF＝EF＝20cm，FK⊥DE，
∴DE＝2DK，∠DFK∠DFE＝60°，
∴DK＝DF sin60°＝2010（cm），
∴DE＝2DK＝20（cm）；
当∠CFG＝60°时，如图：
∵∠DFE＝∠CFG＝60°，
∵DF＝EF＝20cm，
∴△DFE是等边三角形，
∴DE＝DF＝20cm，
∴点E在射线DP上移动的距离＝（2020）cm，
∴点E在射线DP上移动的距离为（2020）cm．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，解直角三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质是解题的关键．
18．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且∠ANE＝∠DCE．
（1）如图，求证：AE是AM和AN的比例中项；
（2）当点N在线段AB的延长线上时，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长．
【分析】（1）利用矩形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）利用△EDC∽△CAD，得出比例式求得线段DE，AE，利用△AME∽△DEC求得线段AM，利用（1）的结论求得线段AN，则MN＝AN﹣AM．
【解答】（1）证明：∵EM⊥EC，
∴∠AEM+∠DEC＝90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A＝∠D＝90°，
∴∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠AEM＝∠DCE，
∵∠ANE＝∠DCE，
∴∠ANE＝∠AEM．
∵∠A＝∠A，
∴△ANE∽△AEM，
∴．
∴AE2＝AM AN，
∴AE是AM和AN的比例中项；
（2）解：如图，
AC5．
∵AC与NE互相垂直，
∴∠AFE＝90°，
∴∠ANE+∠NAF＝90°．
∵∠NAF+∠CAD＝90°，
∴∠ANE＝∠DAC．
∵∠ANE＝∠DCE，
∴∠DAC＝∠DCE，
∵∠D＝∠D，
∴△EDC∽△CAD，
∴，
∴，
∴DE，
∴AE＝AD﹣DE．
∵EM⊥EC，
∴∠AEM+∠DEC＝90°．
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠MAE＝∠D＝90°，
∴∠DEC+∠ECD＝90°，
∴∠AEM＝∠DCE，
∴△AME∽△DEC，
∴，
∴，
∴AM．
由（1）知：AE2＝AM AN，
∴AN，
∴MN＝AN﹣AM．
【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
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