资源简介

平面向量的应用举例
学习目标
1．能用向量方法解决简单的几何问题、力学问题等一些实际问题．
2．掌握用向量方法解决实际问题的基本方法．
3．掌握用向量方法解决实际问题的步骤．
新知导入
1．物理学中的量与向量的关系
(1)物理学中的许多量，如力、速度、加速度、位移都是向量.
(2)物理学中的力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加减法．
2．用向量方法解决平面问题的“三步法”
课堂练习
1．判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
(1)若△ABC是直角三角形，则有·＝0.(　　)
(2)若∥，则直线AB与CD平行．(　　)
(3)向量，的夹角与直线AB，CD的夹角不相等．(　　)
(4)功是力F与所产生的位移s的数量积．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2．在四边形ABCD中，·＝0，且＝，则四边形ABCD是(　　)
A．梯形　　　　　　 B．菱形
C．矩形 D．正方形
解析：由＝知，
四边形ABCD为平行四边形，
又·＝0，则AB⊥BC，
故平行四边形ABCD为矩形．
答案：C
3．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2，－1)，以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长分别是________，________.
解析：以线段AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线长分别是|＋|和|－|.
∵＝(3,5)，＝(－1,1)，
∴＋＝(2,6)，
－＝(4,4)．
∴|＋|＝＝2，
|－|＝＝4.
答案：2　4
4．已知三个力F1＝(－2，－1)，F2＝(－3,2)，F3＝(4，－3)同时作用于某物体上一点，为使物体保持平衡，现加上一个力F4，则F4等于(　　)
A．(－1，－2)　　　　 B．(1，－2)
C．(－1,2) D．(1,2)
解析：由已知F1＋F2＋F3＋F4＝0，
故F4＝－(F1＋F2＋F3)＝－[(－2，－1)＋(－3,2)＋(4，－3)]＝－(－1，－2)＝(1,2)．
答案：D
5．速度|v1|＝10 m/s，|v2|＝12 m/s，且v1与v2的夹角为60°，则v1与v2的合速度的大小是(　　)
A．2 m/s B．10 m/s
C．12 m/s D．2 m/s
解析：|v|2＝|v1＋v2|2＝|v1|2＋2v1·v2＋|v2|2＝
100＋2×10×12cos 60°＋144＝364.
∴|v|＝2(m/s)．
答案：D
向量在平面几何中的应用
例1 试用向量方法证明：平行四边形对角线的平方和等于其各边平方的和．
思路点拨：―→―→―→
证明：如图所示，在□OACB中，设＝a，＝b，
则＝a＋b，＝a－b.
由于2＝·＝(a＋b)·(a＋b)＝
|a|2＋2a·b＋|b|2，
2＝(a－b)·(a－b)＝|a|2－2a·b＋|b|2，
所以OC2＋BA2＝2|a|2＋2|b|2.
由于OA＝BC＝|a|，OB＝AC＝|b|，
所以OC2＋BA2＝OA2＋BC2＋OB2＋AC2.
规律方法　用向量证明平面几何问题的两种基本思路
(1)向量的线性运算法的四个步骤：
①选取基底；
②用基底表示相关向量；
③利用向量的线性运算或数量积找相应关系；
④把几何问题向量化．
(2)向量的坐标运算法的四个步骤：
①建立适当的平面直角坐标系；
②把相关向量坐标化；
③用向量的坐标运算找相应关系；
④把几何问题向量化．
　求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．
解：如图所示，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系．
设A(2a,0)，B(0,2a)，则D(a,0)，C(0，a)，从而可求＝(－2a，a)，＝(a，－2a)．不妨设，的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝＝－.
故所求钝角的余弦值为－.
向量在物理中的应用
例2如图，作用于同一点O的三个力F1，F2，F3处于平衡状态，已知|F1|＝1，|F2|＝2，F1与F2的夹角为，求|F3|.
思路点拨：解答本题的切入点是根据三个力F1，F2，F3处于平衡状态分析出F1＋F2＋F3＝0.
解：∵F1，F2，F3三个力处于平衡状态，
∴F1＋F2＋F3＝0，即F3＝－(F1＋F2)．
∴|F3|＝|F1＋F2|
＝＝
＝ ＝.
【互动探究】
在本例中，求F2与F3的夹角．
解：∵F1＋F2＋F3＝0，∴－F1＝F2＋F3.
∴(－F1)2＝(F2＋F3)2，
即F＝F＋2F2·F3＋F.
设F2与F3的夹角为θ，
∵|F1|＝1，|F2|＝2，|F3|＝，
∴12＝22＋2×2×cos θ＋()2.
解得cos θ＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
故F2与F3的夹角为.
规律方法向量解决物理问题的步骤
课堂小结
1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量；一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的运算获得几何命题的证明．
2．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤
一般来说分为四步：
(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；
(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；
(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；
(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．
1．如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行300 km，记飞机飞行的路程为s，位移为a，那么(　　)
A．s＞|a|　　　　　　　 B．s＜|a|
C．s＝|a| D．s与|a|不能比大小
解析：s＝200＋300＝500(km)，|a|＝＝100(km)，
∴s＞|a|.
答案：A
2．在△ABC中，若|＋|＝|－|，则△ABC的形状是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．等腰直角三角形
解析：由|＋|＝|－|得|＋|2＝|－|2，即·＝0，∴⊥.
∴∠A＝90°，即△ABC为直角三角形．
答案：B
3．已知力F的大小|F|＝10，在F的作用下产生的位移s的大小|s|＝14，F与s的夹角为60°，则F做的功为________.
解析：F做的功为F·s＝|F||s|cos 60°＝10×14×＝70.
答案：70
4．一条河宽40 km，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为__________.
解析：合速度v合＝＝16(km/h)，
∴t＝＝2.5 h.
答案：2.5 h
5.如图所示，已知AB是⊙O的直径，点P是⊙O上任一点(不与A，B重合)，求证：∠APB＝90°.
证明：如图，连接OP，设向量＝a，＝b，则＝－a且＝－＝a－b，
＝－＝－a－b，
∴·＝b2－a2＝|b|2－|a|2＝0.
∴⊥，即∠APB＝90°.
活页作业　平面向量应用举例
(时间：45分钟；满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．若向量＝(1,1)，＝(－3，－2)分别表示两个力F1，F2，则|F1＋F2|为(　　)
A．　 B．2　
C．　 D．
解析：F1＋F2＝(1,1)＋(－3，－2)＝(－2，－1)，
∴|F1＋F2|＝＝.
答案：C
2．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC为(　　)
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．无法确定
解析：∵(＋)·(－)＝2－2＝
||2－||2＝0，∴||2＝||2.
故||＝||，即△ABC为等腰三角形．
答案：C
3．当两人提起重量为|G|的旅行包时，夹角为θ，两人用力都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　)
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：作＝F1，＝F2，＝－G，
则＝＋，
当|F1|＝|F2|＝|G|时，△OAC为正三角形，
∴∠AOC＝60°.从而∠AOB＝120°.
答案：D
4．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10，10)，则5 s后点P的坐标为(　　)
A．(－2,4) B．(－30,25)
C．(10，－5) D．(5，－10)
解析：设5 s后P的坐标为(x，y)，
则(x，y)＝(－10,10)＋5(4，－3)，∴x＝10，y＝－5.
∴5 s后P的坐标为(10，－5)．
答案：C
5．设θ为两个非零向量a，b的夹角．已知对任意实数t，|b＋ta|的最小值为1.(　　)
A．若θ确定，则|a|唯一确定
B．若θ确定，则|b|唯一确定
C．若|a|确定，则θ唯一确定
D．若|b|确定，则θ唯一确定
解析：|b＋ta|2＝b2＋2a·bt＋a2t2，令f(t)＝a2t2＋2a·bt＋b2，而t是任意实数，所以可得f(t)的最小值为＝＝＝1，即|b|2sin2θ＝1.易知若θ确定，则|b|唯一确定．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线OB的两端点分别为O(0,0)，B(1,1)，则·＝ ________.
解析：由已知得A(1,0)，C(0,1)，
∴＝(0,1)，＝(－1,1)．
∴·＝1.
答案：1
7．一个重20 N的物体从倾斜角为30°，斜面长1 m的光滑斜面顶端下滑到底端，则重力做的功是________.
解析：W＝F·s＝|F|·|s|·cos θ＝20×1×cos 60°＝10 J.
答案：10 J
8．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.点E和F分别在线段BC和DC上，且＝，＝，则·的值为________.
解析：作CO⊥AB于O，建立如图所示的平面直角坐标系，则A，B，C，D，所以E，F.所以·＝·＝＋＝.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知点A(1,0)，直线l：y＝2x－6，点R是直线l上的一点，点＝2 ，求点P的轨迹方程．
解：设P(x，y)，R(x1，y1)，则＝(1－x1，－y1)，＝(x－1，y)．由＝2 得(1－x1，－y1)＝2(x－1，y)，即代入直线l的方程得y＝2x.所以，点P的轨迹方程为y＝2x.
10.如图所示，用两根分别长5 m和10 m的绳子将100 N的物体吊在水平屋顶AB上，平衡后G点距屋顶的距离恰好为5 m，求A处受力的大小．
解：由已知条件可知AG与铅直方向成45°角，BG与铅直方向成60°角，设A处所受的力为Fa，B处所受的力为Fb，
∴
解得|Fa|＝150－50.
故A处受力的大小为(150－50)N.
素质提升
一、选择题(每小题5分中，共10分)
1．若四边形A1A2A3A4满足2＋4＝0，(2－4)·3＝0，则该四边形一定是(　　)
A．矩形 B．菱形
C．正方形 D．直角梯形
解析：由2＋4＝0得2＝－4，
所以∥，||＝||.
所以四边形A1A2A3A4是平行四边形．又因为(2－4)·3＝2·3＝0，所以2⊥3.所以四边形A1A2A3A4是菱形．
答案：B
2．在直角三角形ABC中，∠C＝，AC＝3，取点D使＝2，那么·＝(　　)
A．3　 B．4　
C．5　 D．6
解析：如图，＝＋.
又∵＝2，
∴＝＋＝＋，即＝＋.
∵∠C＝，∴·＝0.
∴·＝·＝2＋·＝6.故选D．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，＝(＋)，且||＝||，则·等于________.
解析：设BC的中点是D，如图所示，则＋＝2 ，则＝，
所以O和D重合．
所以BC是圆O的直径．
所以∠BAC＝90°.
又||＝||，
则||＝1，||＝2，所以∠ABC＝60°.
所以·＝||||cos 60°＝1×2×＝1.
答案：1
4．若平面向量α，β满足|α|＝1，|β|≤1，且以向量α，β为邻边的平行四边形的面积为，则α与β的夹角θ的取值范围是__________．
解析：根据题意得|α||β|sin θ＝.
又|α|＝1，|β|≤1，
∴≤sin θ≤1.
∴≤θ≤.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知四边形ABCD是菱形，AC和BD是它的两条对角线．求证：AC⊥BD．
证明：证法一　∵＝＋，＝－，
∴·＝(＋)·(－)＝
||2－||2＝0.
∴⊥，即AC⊥BD．
证法二　解答本题还可以用坐标法，解法如下．
如图，以BC所在直线为x轴，以B为原点建立平面直角坐标系，
则B(0,0)，设A(a，b)，C(c,0)，
则由|AB|＝|BC|得a2＋b2＝c2.
∵＝－＝(c,0)－(a，b)＝(c－a，－b)，
＝＋＝(a，b)＋(c,0)＝(c＋a，b)，
∴·＝c2－a2－b2＝0.
∴⊥，即AC⊥BD．
6.在某海滨城市O附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O(如图所示)的东偏南θ方向300 km的海面P处，并以20 km/h的速度向西偏北45°方向移动．台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60 km，并以10 km/h的速度不断增大．问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？
解：设t h后，台风中心移动到Q处，此时城市开始受到台风的侵袭，∠OPQ＝θ－45°.
∵＝＋，∴2＝(＋)2＝
2＋2＋2·.
∴2＝2＋2－2||||cos(θ－45°)＝
3002＋(20t)2－2×300×20t×＝
100(4t2－96t＋900)．
依题意得2≤(60＋10t)2，解得12≤t≤24.
从而12 h后该城市开始受到台风的侵袭．

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