资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第二单元第8讲 函数与方程
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：函数零点所在区间的判定
题型二：函数零点个数的判定
题型三：根据函数零点个数求参数
题型四：根据函数零点范围求参数
题型五：数形结合法求解函数零点问题
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【讲方法】
1.确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
2.求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
3.已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
二、【练】
【练题型】
【题型一】函数零点所在区间的判定
【典例1】函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
【解析】函数f(x)＝ln x－在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续．因为f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，所以f(2)f(3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．
故选B.
【典例2】若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【解析】∵a0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.
故选A.
【典例3】已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2【解析】对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
【题型二】函数零点个数的判定
【典例1】函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】方法一　∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
方法二　设y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．
故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
故选B.
【典例2】已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(　　)
A．9 B．10 C．11 D．18
【解析】由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lg x|的图象，
由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，
故原函数有10个零点．
故选B.
【典例3】函数y＝lg|x|－sin x的零点个数为________．
【解析】在平面直角坐标系中，分别作出y＝lg|x|与y＝sin x的图象，
如图所示，
由图可知，两函数图象共有6个交点，故原函数有6个零点．
【题型三】根据函数零点个数求参数
【典例1】已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
【解析】画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需00时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0【典例2】函数f(x)＝的零点个数是________．
【解析】当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
【典例3】(多选)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b可取的值可能是(　　)
A．0 B. C. D．1
【解析】函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的交点，
当x≤0时，f(x)＝(x＋1)ex，
则f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，且f(－2)＝－，f(0)＝1，
x→－∞时，f(x)→0，
从而可得f(x)的图象如图所示，
通过图象可知，若函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的交点，则b∈(0,1]．
故选BCD.
【题型四】根据函数零点范围求参数
【典例1】函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1,2)内有零点，则实数k的取值范围是________．
【解析】令f(x)＝0，
∴x·2x－kx－2＝0，
即k＝2x－，
即y＝k与φ(x)＝2x－，x∈(1,2)的图象有交点，
又φ(x)＝2x－在(1,2)上单调递增，
且φ(1)＝0，φ(2)＝3.
∴0【典例2】若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是____________．
【解析】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足
即
解得【典例3】已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，则m的取值范围为(　　)
A.
B.∪(0，＋∞)
C.∪(0，＋∞)
D.
【解析】由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1,3]上单调递增，
所以函数f(x)在(1,3]上单调递增，
由于函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，
则即
解得－≤m<0.
因此，实数m的取值范围是.
故选D.
【题型五】数形结合法求解函数零点问题
【典例1】若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)
A．mn＝1 B．mn>1
C．0【解析】由题设可得|logax|＝x，不妨设a>1，m结合图象可知01，且－logam＝m，logan＝n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝n－m<0，所以0故选C.
【典例2】已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C.∪(1，＋∞) D．R
【解析】作出函数f(x)的图象如图，
因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同实根，
所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，
得2a>2或<2a≤1.
解得a>1或【练真题】
【真题1】（2018·全国Ⅰ）已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点．
方法一　平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
故选C.
方法二　由图知－a≤1，∴a≥－1.
故选C.
【真题2】（2023·湖南雅礼中学月考）设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【解析】f(x)的定义域为{x|x>0}，
f′(x)＝－＝，
令f′(x)>0 x>3，f′(x)<0 0∴f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
又f ＝＋1>0，f(1)＝>0，
∴f(x)在内无零点．
又f(e)＝－1<0，∴f(x)在(1，e)内有零点．
故选D.
【真题3】（2023·绍兴模拟）若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，已知函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6,6]内的零点个数为(　　)
A．14 B．13 C．12 D．11
【解析】因为f(x＋1)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)(x∈R)是周期为2函数，
因为x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，
所以作出它的图象，则y＝f(x)的图象如图所示．(注意拓展它的区间)
再作出函数g(x)＝的图象，
容易得出交点为12个．
故选C.
【真题4】（2023·泉州模拟）设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　)
A．3 B．7 C．5 D．6
【解析】根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，
得f(x)＝1或f(x)＝.
作出f(x)的简图：
由图象可得当f(x)＝1和f(x)＝时，分别有3个和4个交点，
故关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为 7.
故选B.
【真题5】（2023·武汉质检）若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
【解析】由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，即a＝x＋在上有解，
设t＝x＋，x∈，
则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
故选D.
【真题6】（2023·重庆质检）已知函数f(x)＝x－log2x，设0A．x0c
C．x0b
【解析】f(x)＝x－log2x在(0，＋∞)上单调递减，由f(a)·f(b)·f(c)<0，
得f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0或f(a)>0，
f(b)>0，f(c)<0.
∴x0c不成立．
故选B.
【真题7】（2023·北京西城区模拟）若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的根的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．多于4
【解析】f(x)＝log3|x|的解的个数，等价于y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，
所以周期T＝2，
当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且f(x)为偶函数，
在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．
显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点．
故选C.
【真题8】（2023·枣庄模拟）已知函数f(x)＝|ln x|，若函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0，e2]上有三个零点，则实数a的取值范围是______________．
【解析】∵函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0，e2]上有三个零点，
∴y＝f(x)的图象与直线y＝ax在区间(0，e2]上有三个交点，
由函数y＝f(x)与y＝ax的图象可知，
k1＝＝，
f(x)＝ln x(x＞1)，f′(x)＝，
设切点坐标为(t，ln t)，则＝，
解得t＝e.∴k2＝.
则直线y＝ax的斜率a∈.
【真题9】（2023·济南质检）若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝________.
【解析】x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.
【真题10】（2023·厦门模拟）已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的所有零点之和为________．
【解析】当x≤0时，x＋1＝0，x＝－1，
由f(x)＝－1，
可得x＋1＝－1或log2x＝－1，
∴x＝－2或x＝；
当x>0时，log2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，
可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2；
∴函数y＝f(f(x))的所有零点为－2，，0,2，
∴所有零点的和为－2＋＋0＋2＝.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 函数f(x)＝x3－x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【解析】由题意知，f(x)＝x3－x－2，
f(0)＝－4，f(1)＝－1，f(2)＝7，
因为f(x)在R上连续且在R上单调递增，
所以f(1)·f(2)<0，f(x)在(1,2)内有唯一零点．
故选B.
2. 设函数f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(3)>0，则方程的近似解落在区间(　　)
A. B.
C. D.
【解析】取x1＝2，
因为f(2)＝4×8＋2－8＝26>0，
所以方程近似解x0∈(1,2)，
取x2＝，
因为f ＝4×＋－8＝7>0，
所以方程近似解x0∈.
故选A.
3. 若函数f(x)＝存在2个零点，则实数m的取值范围为(　　)
A．[－3,0) B．[－1,0)
C．[0,1) D．[－3，＋∞)
【解析】因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，
函数f(x)＝存在2个零点，
当且仅当f(x)在(－∞，1]上有一个零点，x≤1时，f(x)＝0 m＝－3x，
即函数y＝－3x在(－∞，1]上的图象与直线y＝m有一个公共点，
而y＝－3x在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x<0，则当－3≤m<0时，直线y＝m和函数y＝－3x(x≤1)的图象有一个公共点．
故选A.
4. 函数f(x)＝若方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则实数a满足(　　)
A．a＝1 B．a>1
C．0≤a<1 D．a<0
【解析】方程f(x)＝a有且只有一个实数根，即直线y＝a与f(x)的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象如图所示，当a＝1时，直线y＝a与函数f(x)的图象有且只有一个交点.
故选A.
【多选题】
5. 函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是(　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
【解析】由题意知，
f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]，
f(x)＝
在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示．
由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.
故选ABC.
6. 在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋x B．g(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝＋1 D．f(x)＝|log2x|－1
【解析】选项A，若f(x0)＝x0，则＝0，该方程无解，故A中函数不是“不动点”函数；
选项B，若g(x0)＝x0，则x－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故B中函数是“不动点”函数；
选项C，若f(x0)＝x0，则＋1＝x0，
可得x－3x0＋1＝0，且x0≥1，
解得x0＝，故C中函数是“不动点”函数；
选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，
即|log2x0|＝x0＋1，
作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，
由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，
即|log2x0|＝x0＋1，
故D中函数是“不动点”函数．
故选BCD.
【填空题】
7. 已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
【解析】依题意，f(1)＝＋a＝0，∴a＝－.
8. 已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________．
【解析】令f(x)＝0得或
解得x＝1或x＝－1，
∴f(x)的零点为－1和1.
【解答题】
9. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
所以函数f(x)的零点为3或－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同的实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0 a2－a<0，解得010. 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围．
【解析】(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.
(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足 解得111. 函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2,3.
(1)求b，c的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1,2)，(2,4)内，求m的取值范围．
【解析】(1)∵2,3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，
∴∴
(2)由(1)知f(x)＝x2－5x＋6.
∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，
依题意解得－故实数m的取值范围是.
【测能力】
【单选题】
1. 已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
【解析】因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0 f(2x2＋1)＝f(x－λ) 2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
故选C．
2. 已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)－2][f(x)＋a]有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【解析】作出f(x)的图象如图所示，
令g(x)＝0，
∴f(x)＝2或f(x)＝－a，
∵f(x)＝2有一解，
∴f(x)＝－a有两解．
由图知1<－a<2，
即－2故选A.
3. 已知函数f(x)＝2x＋x－1，g(x)＝log2x＋x－1，h(x)＝x3＋x－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小为(　　)
A．c>b>a B．b>c>a
C．c>a>b D．a>c>b
【解析】令f(x)＝0，则2x＋x－1＝0，
得x＝0，即a＝0，
令g(x)＝0，则log2x＋x－1＝0，
得x＝1，即b＝1，
因为函数h(x)＝x3＋x－1在R上为增函数，且h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，
所以h(x)在区间(0,1)上存在唯一零点c，
且c∈(0,1)，综上，b>c>a.
故选B.
4. 对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|<1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax＋1互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．[2，＋∞)
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
【解析】∵f(x)＝ex－1＋x－2，∴f(x)在R上单调递增，
又f(1)＝e0＋1－2＝0，
∴f(x)有唯一零点为1，
令g(x)的零点为x0，
依题意知|x0－1|<1，即0即函数g(x)在(0,2)上有零点，
令g(x)＝0，则x2－ax＋1＝0在(0,2)上有解，
即a＝x＋在(0,2)上有解，
∵x＋≥2，当且仅当x＝，
即x＝1时取等号，∴a≥2.
故选B.
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝若x1A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1【解析】由函数f(x)＝作出其函数图象：
由图可知，x1＋x2＝－2，－2当y＝1时，|log2x|＝1，有x＝，2，
所以由f(x3)＝f(x4)，有|log2x3|＝|log2x4|，
即log2x3＋log2x4＝0，
所以x3x4＝1，
则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)．
故选BCD.
6. 给出以下四个方程，其中有唯一解的是(　　)
A．ln x＝1－x B．ex＝
C．2－x2＝lg |x| D．cos x＝|x|＋1
【解析】对于A，设f(x)＝ln x＋x－1，易知y＝f(x)为增函数，又f(1)＝0，故ln x＝1－x有唯一解，符合题意；对于B，设g(x)＝ex－，易知y＝g(x)为增函数，又g＝－2＜0，g(1)＝e－1＞0，由函数零点存在定理可得ex＝有唯一解，符合题意；对于C，设h(x)＝x2＋lg x－2，易知y＝h(x)为增函数，由h(1)＝1－2＜0，h(2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h(x)＝x2＋lg x－2有唯一零点，又h(x)＝2－x2－lg|x|为偶函数，则2－x2＝lg|x|有两个解，不符合题意；对于D，因为cos x∈[－1，1]，|x|＋1≥1，当且仅当x＝0时，cos x＝x＋1，即cos x＝|x|＋1有唯一解，符合题意．
故选ABD.
【填空题】
7. 若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于________．
【解析】考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，而A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.
8. 设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】(1)若a＝1，则f(x)＝
作出函数f(x)的图象如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.
(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.
综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝－x2－2x，
g(x)＝
(1)求g[f(1)]的值；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
【解析】(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.
10. 定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝求函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和．
【解析】由题意知，当x<0时，
f(x)＝
作出函数f(x)的图象如图所示，
设函数y＝f(x)的图象与y＝交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，
令＋2＝，解得x3＝，
所以函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为.
11. 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围．
【解析】(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.
(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足 解得121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第二单元第8讲 函数与方程
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：函数零点所在区间的判定
题型二：函数零点个数的判定
题型三：根据函数零点个数求参数
题型四：根据函数零点范围求参数
题型五：数形结合法求解函数零点问题
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．函数的零点与方程的解
(1)函数零点的概念
对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．
(2)函数零点与方程实数解的关系
方程f(x)＝0有实数解 函数y＝f(x)有零点 函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．
2．二分法
对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．
【讲方法】
1.确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．
2.求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；
(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；
(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．
3.已知函数有零点求参数值或取值范围常用的方法和思路
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围．
(2)分离参数法：将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决．
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
二、【练】
【练题型】
【题型一】函数零点所在区间的判定
【典例1】函数f(x)＝ln x－的零点所在的区间是(　　)
A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5)
【解析】函数f(x)＝ln x－在(1，＋∞)上是增函数，且在(1，＋∞)上连续．因为f(2)＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3－1>0，所以f(2)f(3)<0，所以函数的零点所在的区间是(2,3)．
故选B.
【典例2】若aA．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
【解析】∵a0，
f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0，
由函数零点存在性定理可知，在区间(a，b)，(b，c)内分别存在零点，又函数f(x)是二次函数，最多有两个零点．因此函数f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)，(b，c)内.
故选A.
【典例3】已知函数f(x)＝logax＋x－b(a>0且a≠1)．当2【解析】对于函数y＝logax，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝logax，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点的横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.
【题型二】函数零点个数的判定
【典例1】函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,1)内的零点个数是(　　)
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】方法一　∵f(0)f(1)＝(－1)×1＝－1<0，且函数在定义域上单调递增且连续，
∴函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
方法二　设y1＝2x，y2＝2－x3，
在同一坐标系中画出两函数的图象如图所示，
在区间(0,1)内，两图象的交点个数即为f(x)的零点个数．
故函数f(x)在区间(0,1)内有且只有1个零点．
故选B.
【典例2】已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1，1]时，f(x)＝2|x|－1，则函数F(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是(　　)
A．9 B．10 C．11 D．18
【解析】由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再作出函数y＝|lg x|的图象，
由图可知，y＝f(x)与y＝|lg x|共有10个交点，
故原函数有10个零点．
故选B.
【典例3】函数y＝lg|x|－sin x的零点个数为________．
【解析】在平面直角坐标系中，分别作出y＝lg|x|与y＝sin x的图象，
如图所示，
由图可知，两函数图象共有6个交点，故原函数有6个零点．
【题型三】根据函数零点个数求参数
【典例1】已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,1] B．[1，＋∞)
C．(0,1) D．(－∞，1]
【解析】画出函数f(x)的大致图象如图所示．因为函数f(x)在R上有两个零点，所以f(x)在(－∞，0]和(0，＋∞)上各有一个零点．当x≤0时，f(x)有一个零点，需00时，f(x)有一个零点，需－a<0，即a>0.综上，0【典例2】函数f(x)＝的零点个数是________．
【解析】当x≤0时，令x2－2＝0，解得x＝－(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f(x)有一个零点；当x>0时，f′(x)＝2＋>0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
又因为f(2)＝－2＋ln 2<0，f(3)＝ln 3>0，所以f(x)在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.
【典例3】(多选)设函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有三个零点，则实数b可取的值可能是(　　)
A．0 B. C. D．1
【解析】函数g(x)＝f(x)－b有三个零点等价于函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的交点，
当x≤0时，f(x)＝(x＋1)ex，
则f′(x)＝ex＋(x＋1)ex＝(x＋2)ex，
所以f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0]上单调递增，且f(－2)＝－，f(0)＝1，
x→－∞时，f(x)→0，
从而可得f(x)的图象如图所示，
通过图象可知，若函数y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个不同的交点，则b∈(0,1]．
故选BCD.
【题型四】根据函数零点范围求参数
【典例1】函数f(x)＝x·2x－kx－2在区间(1,2)内有零点，则实数k的取值范围是________．
【解析】令f(x)＝0，
∴x·2x－kx－2＝0，
即k＝2x－，
即y＝k与φ(x)＝2x－，x∈(1,2)的图象有交点，
又φ(x)＝2x－在(1,2)上单调递增，
且φ(1)＝0，φ(2)＝3.
∴0【典例2】若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋2m＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是____________．
【解析】依题意，结合函数f(x)的图象分析可知，m需满足
即
解得【典例3】已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，则m的取值范围为(　　)
A.
B.∪(0，＋∞)
C.∪(0，＋∞)
D.
【解析】由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1,3]上单调递增，
所以函数f(x)在(1,3]上单调递增，
由于函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1,3]上有零点，
则即
解得－≤m<0.
因此，实数m的取值范围是.
故选D.
【题型五】数形结合法求解函数零点问题
【典例1】若函数f(x)＝|logax|－2－x(a>0且a≠1)的两个零点是m，n，则(　　)
A．mn＝1 B．mn>1
C．0【解析】由题设可得|logax|＝x，不妨设a>1，m结合图象可知01，且－logam＝m，logan＝n，以上两式两边相减可得loga(mn)＝n－m<0，所以0故选C.
【典例2】已知函数f(x)＝若关于x的方程f(x)＝2a(a∈R)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.
C.∪(1，＋∞) D．R
【解析】作出函数f(x)的图象如图，
因为关于x的方程f(x)＝2a恰有两个不同实根，
所以y＝2a与函数y＝f(x)的图象恰有两个交点，结合图象，
得2a>2或<2a≤1.
解得a>1或【练真题】
【真题1】（2018·全国Ⅰ）已知函数f(x)＝g(x)＝f(x)＋x＋a.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是(　　)
A．[－1,0) B．[0，＋∞)
C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)
【解析】令h(x)＝－x－a，
则g(x)＝f(x)－h(x)．
在同一坐标系中画出y＝f(x)，y＝h(x)图象的示意图，如图所示．
若g(x)存在2个零点，则y＝f(x)的图象与y＝h(x)的图象有2个交点．
方法一　平移y＝h(x)的图象可知，当直线y＝－x－a过点(0,1)时，有2个交点，
此时1＝－a，a＝－1.
当y＝－x－a在y＝－x＋1上方，即a<－1时，仅有1个交点，不符合题意；
当y＝－x－a在y＝－x＋1下方，即a>－1时，有2个交点，符合题意．
综上，a的取值范围为[－1，＋∞)．
故选C.
方法二　由图知－a≤1，∴a≥－1.
故选C.
【真题2】（2023·湖南雅礼中学月考）设函数f(x)＝x－ln x，则函数y＝f(x)(　　)
A．在区间，(1，e)内均有零点
B．在区间，(1，e)内均无零点
C．在区间内有零点，在区间(1，e)内无零点
D．在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点
【解析】f(x)的定义域为{x|x>0}，
f′(x)＝－＝，
令f′(x)>0 x>3，f′(x)<0 0∴f(x)在(0,3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，
又f ＝＋1>0，f(1)＝>0，
∴f(x)在内无零点．
又f(e)＝－1<0，∴f(x)在(1，e)内有零点．
故选D.
【真题3】（2023·绍兴模拟）若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，已知函数g(x)＝则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－6,6]内的零点个数为(　　)
A．14 B．13 C．12 D．11
【解析】因为f(x＋1)＝－f(x)，
所以函数y＝f(x)(x∈R)是周期为2函数，
因为x∈[－1,1]时，f(x)＝1－x2，
所以作出它的图象，则y＝f(x)的图象如图所示．(注意拓展它的区间)
再作出函数g(x)＝的图象，
容易得出交点为12个．
故选C.
【真题4】（2023·泉州模拟）设定义域为R的函数f(x)＝则关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为(　　)
A．3 B．7 C．5 D．6
【解析】根据题意，令2f2(x)－3f(x)＋1＝0，
得f(x)＝1或f(x)＝.
作出f(x)的简图：
由图象可得当f(x)＝1和f(x)＝时，分别有3个和4个交点，
故关于x的函数y＝2f2(x)－3f(x)＋1的零点的个数为 7.
故选B.
【真题5】（2023·武汉质检）若函数f(x)＝x2－ax＋1在区间上有零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(2，＋∞) B．[2，＋∞)
C. D.
【解析】由题意知方程ax＝x2＋1在上有实数解，即a＝x＋在上有解，
设t＝x＋，x∈，
则t的取值范围是.
所以实数a的取值范围是.
故选D.
【真题6】（2023·重庆质检）已知函数f(x)＝x－log2x，设0A．x0c
C．x0b
【解析】f(x)＝x－log2x在(0，＋∞)上单调递减，由f(a)·f(b)·f(c)<0，
得f(a)<0，f(b)<0，f(c)<0或f(a)>0，
f(b)>0，f(c)<0.
∴x0c不成立．
故选B.
【真题7】（2023·北京西城区模拟）若偶函数f(x)(x∈R)满足f(x＋2)＝f(x)且x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程f(x)＝log3|x|的根的个数是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．多于4
【解析】f(x)＝log3|x|的解的个数，等价于y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象的交点个数，因为函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，
所以周期T＝2，
当x∈[0,1]时，f(x)＝x，且f(x)为偶函数，
在同一平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象，如图所示．
显然函数y＝f(x)的图象与函数y＝log3|x|的图象有4个交点．
故选C.
【真题8】（2023·枣庄模拟）已知函数f(x)＝|ln x|，若函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0，e2]上有三个零点，则实数a的取值范围是______________．
【解析】∵函数g(x)＝f(x)－ax在区间(0，e2]上有三个零点，
∴y＝f(x)的图象与直线y＝ax在区间(0，e2]上有三个交点，
由函数y＝f(x)与y＝ax的图象可知，
k1＝＝，
f(x)＝ln x(x＞1)，f′(x)＝，
设切点坐标为(t，ln t)，则＝，
解得t＝e.∴k2＝.
则直线y＝ax的斜率a∈.
【真题9】（2023·济南质检）若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2＝________.
【解析】x1，x2分别是函数y＝ex，函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，所以A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.
【真题10】（2023·厦门模拟）已知函数f(x)＝则函数y＝f(f(x))的所有零点之和为________．
【解析】当x≤0时，x＋1＝0，x＝－1，
由f(x)＝－1，
可得x＋1＝－1或log2x＝－1，
∴x＝－2或x＝；
当x>0时，log2x＝0，x＝1，由f(x)＝1，
可得x＋1＝1或log2x＝1，∴x＝0或x＝2；
∴函数y＝f(f(x))的所有零点为－2，，0,2，
∴所有零点的和为－2＋＋0＋2＝.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 函数f(x)＝x3－x－2的零点所在的区间为(　　)
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
【解析】由题意知，f(x)＝x3－x－2，
f(0)＝－4，f(1)＝－1，f(2)＝7，
因为f(x)在R上连续且在R上单调递增，
所以f(1)·f(2)<0，f(x)在(1,2)内有唯一零点．
故选B.
2. 设函数f(x)＝4x3＋x－8，用二分法求方程4x3＋x－8＝0近似解的过程中，计算得到f(1)<0，f(3)>0，则方程的近似解落在区间(　　)
A. B.
C. D.
【解析】取x1＝2，
因为f(2)＝4×8＋2－8＝26>0，
所以方程近似解x0∈(1,2)，
取x2＝，
因为f ＝4×＋－8＝7>0，
所以方程近似解x0∈.
故选A.
3. 若函数f(x)＝存在2个零点，则实数m的取值范围为(　　)
A．[－3,0) B．[－1,0)
C．[0,1) D．[－3，＋∞)
【解析】因为函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增，且f(2)＝0，即f(x)在(1，＋∞)上有一个零点，
函数f(x)＝存在2个零点，
当且仅当f(x)在(－∞，1]上有一个零点，x≤1时，f(x)＝0 m＝－3x，
即函数y＝－3x在(－∞，1]上的图象与直线y＝m有一个公共点，
而y＝－3x在(－∞，1]上单调递减，且有－3≤－3x<0，则当－3≤m<0时，直线y＝m和函数y＝－3x(x≤1)的图象有一个公共点．
故选A.
4. 函数f(x)＝若方程f(x)＝a有且只有一个实数根，则实数a满足(　　)
A．a＝1 B．a>1
C．0≤a<1 D．a<0
【解析】方程f(x)＝a有且只有一个实数根，即直线y＝a与f(x)的图象有且只有一个交点，作出函数f(x)的图象如图所示，当a＝1时，直线y＝a与函数f(x)的图象有且只有一个交点.
故选A.
【多选题】
5. 函数f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k的交点个数可能是(　　)
A．1 B．2 C．4 D．6
【解析】由题意知，
f(x)＝sin x＋2|sin x|，x∈[0,2π]，
f(x)＝
在坐标系中画出函数f(x)的图象如图所示．
由其图象知，直线y＝k与y＝f(x)的图象交点个数可能为0,1,2,3,4.
故选ABC.
6. 在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，并是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔(L.E.J.Brouwer)，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数f(x)，存在一个点x0，使得f(x0)＝x0，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列为“不动点”函数的是(　　)
A．f(x)＝2x＋x B．g(x)＝x2－x－3
C．f(x)＝＋1 D．f(x)＝|log2x|－1
【解析】选项A，若f(x0)＝x0，则＝0，该方程无解，故A中函数不是“不动点”函数；
选项B，若g(x0)＝x0，则x－2x0－3＝0，解得x0＝3或x0＝－1，故B中函数是“不动点”函数；
选项C，若f(x0)＝x0，则＋1＝x0，
可得x－3x0＋1＝0，且x0≥1，
解得x0＝，故C中函数是“不动点”函数；
选项D，若f(x0)＝x0，则|log2x0|－1＝x0，
即|log2x0|＝x0＋1，
作出y＝|log2x|与y＝x＋1的函数图象，如图，
由图可知，方程|log2x|＝x＋1有实数根x0，
即|log2x0|＝x0＋1，
故D中函数是“不动点”函数．
故选BCD.
【填空题】
7. 已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为________．
【解析】依题意，f(1)＝＋a＝0，∴a＝－.
8. 已知函数f(x)＝则f(x)的零点为________．
【解析】令f(x)＝0得或
解得x＝1或x＝－1，
∴f(x)的零点为－1和1.
【解答题】
9. 设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点；
(2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
【解析】(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
所以函数f(x)的零点为3或－1.
(2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同的实根，所以b2－4a(b－1)>0恒成立，即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0 a2－a<0，解得010. 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围．
【解析】(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.
(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足 解得111. 函数f(x)＝x2＋bx＋c的两个零点为2,3.
(1)求b，c的值；
(2)若函数g(x)＝f(x)＋mx的两个零点分别在区间(1,2)，(2,4)内，求m的取值范围．
【解析】(1)∵2,3为方程x2＋bx＋c＝0的两根，
∴∴
(2)由(1)知f(x)＝x2－5x＋6.
∴g(x)＝x2＋(m－5)x＋6，
依题意解得－故实数m的取值范围是.
【测能力】
【单选题】
1. 已知奇函数f(x)是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是(　　)
A． B．
C．－ D．－
【解析】因为函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，所以方程f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0只有一个实数根，又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0 f(2x2＋1)＝f(x－λ) 2x2＋1＝x－λ，所以方程2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实数根，所以Δ＝(－1)2－4×2×(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
故选C．
2. 已知函数f(x)＝|ex－1|＋1，若函数g(x)＝[f(x)－2][f(x)＋a]有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
【解析】作出f(x)的图象如图所示，
令g(x)＝0，
∴f(x)＝2或f(x)＝－a，
∵f(x)＝2有一解，
∴f(x)＝－a有两解．
由图知1<－a<2，
即－2故选A.
3. 已知函数f(x)＝2x＋x－1，g(x)＝log2x＋x－1，h(x)＝x3＋x－1的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小为(　　)
A．c>b>a B．b>c>a
C．c>a>b D．a>c>b
【解析】令f(x)＝0，则2x＋x－1＝0，
得x＝0，即a＝0，
令g(x)＝0，则log2x＋x－1＝0，
得x＝1，即b＝1，
因为函数h(x)＝x3＋x－1在R上为增函数，且h(0)＝－1<0，h(1)＝1>0，
所以h(x)在区间(0,1)上存在唯一零点c，
且c∈(0,1)，综上，b>c>a.
故选B.
4. 对于函数f(x)和g(x)，设α∈{x|f(x)＝0}，β∈{x|g(x)＝0}，若存在α，β，使得|α－β|<1，则称f(x)与g(x)互为“零点相邻函数”．若函数f(x)＝ex－1＋x－2与g(x)＝x2－ax＋1互为“零点相邻函数”，则实数a的取值范围是(　　)
A. B．[2，＋∞)
C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
【解析】∵f(x)＝ex－1＋x－2，∴f(x)在R上单调递增，
又f(1)＝e0＋1－2＝0，
∴f(x)有唯一零点为1，
令g(x)的零点为x0，
依题意知|x0－1|<1，即0即函数g(x)在(0,2)上有零点，
令g(x)＝0，则x2－ax＋1＝0在(0,2)上有解，
即a＝x＋在(0,2)上有解，
∵x＋≥2，当且仅当x＝，
即x＝1时取等号，∴a≥2.
故选B.
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝若x1A．x1＋x2＝－1 B．x3x4＝1
C．1【解析】由函数f(x)＝作出其函数图象：
由图可知，x1＋x2＝－2，－2当y＝1时，|log2x|＝1，有x＝，2，
所以由f(x3)＝f(x4)，有|log2x3|＝|log2x4|，
即log2x3＋log2x4＝0，
所以x3x4＝1，
则x1x2x3x4＝x1x2＝x1(－2－x1)＝－(x1＋1)2＋1∈(0，1)．
故选BCD.
6. 给出以下四个方程，其中有唯一解的是(　　)
A．ln x＝1－x B．ex＝
C．2－x2＝lg |x| D．cos x＝|x|＋1
【解析】对于A，设f(x)＝ln x＋x－1，易知y＝f(x)为增函数，又f(1)＝0，故ln x＝1－x有唯一解，符合题意；对于B，设g(x)＝ex－，易知y＝g(x)为增函数，又g＝－2＜0，g(1)＝e－1＞0，由函数零点存在定理可得ex＝有唯一解，符合题意；对于C，设h(x)＝x2＋lg x－2，易知y＝h(x)为增函数，由h(1)＝1－2＜0，h(2)＝2＋lg 2＞0，由函数零点存在定理可得h(x)＝x2＋lg x－2有唯一零点，又h(x)＝2－x2－lg|x|为偶函数，则2－x2＝lg|x|有两个解，不符合题意；对于D，因为cos x∈[－1，1]，|x|＋1≥1，当且仅当x＝0时，cos x＝x＋1，即cos x＝|x|＋1有唯一解，符合题意．
故选ABD.
【填空题】
7. 若x1是方程xex＝1的解，x2是方程xln x＝1的解，则x1x2等于________．
【解析】考虑到x1，x2是函数y＝ex、函数y＝ln x与函数y＝的图象的交点A，B的横坐标，而A，B两点关于y＝x对称，因此x1x2＝1.
8. 设函数f(x)＝
(1)若a＝1，则f(x)的最小值为________；
(2)若f(x)恰有2个零点，则实数a的取值范围是________．
【解析】(1)若a＝1，则f(x)＝
作出函数f(x)的图象如图所示．由图可得f(x)的最小值为－1.
(2)当a≥1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足21－a≤0，即a≥2，所以a≥2；当a<1时，要使f(x)恰有2个零点，需满足解得≤a<1.
综上，实数a的取值范围为∪[2，＋∞)．
【解答题】
9. 已知函数f(x)＝－x2－2x，
g(x)＝
(1)求g[f(1)]的值；
(2)若方程g[f(x)]－a＝0有4个实数根，求实数a的取值范围．
【解析】(1)利用解析式直接求解得g[f(1)]＝g(－3)＝－3＋1＝－2.
(2)令f(x)＝t，则原方程化为g(t)＝a，易知方程f(x)＝t在t∈(－∞，1)上有2个不同的解，
则原方程有4个解等价于函数y＝g(t)(t<1)与y＝a的图象有2个不同的交点，作出函数y＝g(t)(t<1)的图象，如图，由图象可知，当1≤a<时，函数y＝g(t)(t<1)与y＝a有2个不同的交点，即所求a的取值范围是.
10. 定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝求函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和．
【解析】由题意知，当x<0时，
f(x)＝
作出函数f(x)的图象如图所示，
设函数y＝f(x)的图象与y＝交点的横坐标从左到右依次为x1，x2，x3，x4，x5，由图象的对称性可知，x1＋x2＝－6，x4＋x5＝6，x1＋x2＋x4＋x5＝0，
令＋2＝，解得x3＝，
所以函数F(x)＝f(x)－的所有零点之和为.
11. 已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝2x－1.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数g(x)＝f(x)－mx的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，求m的取值范围．
【解析】(1)由f(0)＝2得c＝2，又f(x＋1)－f(x)＝2x－1，得2ax＋a＋b＝2x－1，故解得a＝1，b＝－2，所以f(x)＝x2－2x＋2.
(2)g(x)＝x2－(2＋m)x＋2，若g(x)的两个零点分别在区间(－1，2)和(2，4)内，则满足 解得121世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑