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2023年四川省南充市中考数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 如果向东走记作，那么向西走记作( )
A. B. C. D.
2. 如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是( )
A. B. C. D.
3. 某女鞋专卖店在一周内销售了某种女鞋双，对这批鞋子尺码及销量进行统计，得到条形统计图如图根据图中信息，建议下次进货量最多的女鞋尺码是( )
A. B. C. D.
4. 如图，小兵同学从处出发向正东方向走米到达处，再向正北方向走到处，已知，则，两处相距( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
5. 孙子算经记载：“今有木，不知长短引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺木长几何？”尺、寸是长度单位，尺寸意思是，现有一根长木，不知道其长短用一根绳子去度量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余尺问长木长多少？设长木长为尺，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
6. 如图，数学活动课上，为测量学校旗杆高度，小菲同学在脚下水平放置一平面镜，然后向后退保持脚、镜和旗杆底端在同一直线上，直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端已知小菲的眼睛离地面高度为，同时量得小菲与镜子的水平距离为，镜子与旗杆的水平距离为，则旗杆高度为( )
A. B. C. D.
7. 若点在抛物线上，则下列各点在抛物线上的是( )
A. B. C. D.
8. 如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点，画射线与交于点，，垂足为则下列结论错误的是( )
A. B.
C. D. ：：
9. 关于，的方程组的解满足，则的值是( )
A. B. C. D.
10. 抛物线与轴的一个交点为，若，则实数的取值范围是( )
A. B. 或
C. D. 或
二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）
11. 若，则的值为______ ．
12. 不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有个白球，则袋中红球有______ 个
13. 如图，是的直径，点，分别是弦，弧的中点，，，则的长是______ ．
14. 小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和，当动力臂由增加到时，撬动这块石头可以节省______ 的力．
杜杆原理：阻力阻力臂动力动力臂
15. 如图，直线为常数，与，轴分别交于点，，则的值是______ ．
16. 如图，在等边中，过点作射线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在射线上的点处，连接，已知给出下列四个结论：为定值；当时，四边形为菱形；当点与重合时，；当最短时，其中正确的结论是______ 填写序号
三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
先化简，再求值：，其中．
18. 本小题分
如图，在 中，点，在对角线上，．
求证：；
．
19. 本小题分
为培养学生劳动习惯，提升学生劳动技能，某校在五月第二周开展了劳动教育实践周活动七班提供了四类活动：物品整理，环境美化，植物栽培，工具制作要求每个学生选择其中一项活动参加，该班数学科代表对全班学生参与四类活动情况进行了统计，并绘制成统计图如图．
已知该班有人参加类活动，则参加类活动有多少人？
该班参加类活动的学生中有名女生和名男生获得一等奖，其中一名女生叫王丽，若从获得一等奖的学生中随机抽取两人参加学校“工具制作”比赛，求刚好抽中王丽和名男生的概率．
20. 本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论为何值，方程总有实数根；
若，是方程的两个实数根，且，求的值．
21. 本小题分
如图，一次函数图象与反比例函数图象交于点，，与轴交于点，与轴交于点．
求反比例函数与一次函数的解析式；
点在轴上，若，求点的坐标．
22. 本小题分
如图，与相切于点，半径，与相交于点，连接．
求证：；
若，，求的长．
23. 本小题分
某工厂计划从，两种产品中选择一种生产并销售，每日产销件已知产品成本价元件为常数，且，售价元件，每日最多产销件，同时每日共支付专利费元；产品成本价元件，售价元件，每日最多产销件，同时每日支付专利费元，元与每日产销件满足关系式．
若产销，两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与的函数关系式，并写出的取值范围；
分别求出产销，两种产品的最大日利润产品的最大日利润用含的代数式表示
为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．
【利润售价成本产销数量专利费】
24. 本小题分
如图，正方形中，点在边上，点是的中点，连接，．
求证：；
将绕点逆时针旋转，使点的对应点落在上，连接当点在边上运动时点不与，重合，判断的形状，并说明理由．
在的条件下，已知，当时，求的长．
25. 本小题分
如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
点在抛物线上，点在轴上，以，，，为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
如图，抛物线顶点为，对称轴与轴交于点，过点的直线直线除外与抛物线交于，两点，直线，分别交轴于点，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：如果向东走记作，那么向西走记作．
故选：．
首先审清题意，明确“正”和“负”所表示的意义；再根据题意作答．
此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
2.【答案】
【解析】解：由平移的性质可知：，
故选：．
根据经过平移，对应点所连的线段相等解答即可．
本题考查的是平移的性质，掌握经过平移，对应点所连的线段平行且相等是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：由题意可知，销量最多的是，
所以建议下次进货量最多的女鞋尺码是．
故选：．
利用众数的意义得出答案．
此题主要考查了条形统计图以及众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，众数也是数据的一种代表数，反映了一组数据的集中程度，众数可作为描述一组数据集中趋势的量．
4.【答案】
【解析】解：由题意得：，
在中，，米，
米，
，两处相距米，
故选：．
根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：设长木长为尺，
用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺，
绳子长为尺，
绳子对折再量木条，木条剩余尺，
得方程为：．
故选：．
设长木长为尺，则用一根绳子去量一根木条，绳子剩余尺，可知绳子长为尺；绳子对折再量木条，木条剩余尺可知：，即可列出相应的方程．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的一元一次方程．
6.【答案】
【解析】解：如图：
，，
，
，
∽，
，
即，
，
故选：．
根据镜面反射的性质，∽，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．
本题考查了相似三角形的应用．应用镜面反射的基本性质，得出三角形相似，再运用相似三角形对应边成比例即可解答．
7.【答案】
【解析】解：点在抛物线上，
，
把代入得，故点和点不在抛物线上，故A、不合题意；
把代入得，故点不在抛物线上，故B不合题意；
把代入得，故点在抛物线上，符合题意；
故选：．
根据二次函数图象上点的坐标特征，把点代入即可求出，然后将四个选项中的坐标代入中，看两边是否相等，即可判断该点是否在抛物线上．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
8.【答案】
【解析】解：由作图可得，平分，
，故选项A不符合题意；
，，
，故选项B不符合题意；
在中，，，
，
的面积为的面积的面积，
，
，
解得，
，故选项C符合题意；
，
：：，故选项D不符合题意．
故选：．
由基本作图可判断；根据角平分线的性质可判断；由三角形的面积公式求出再根据勾股定理求出，可判断；求出的长可判断．
本题考查了作图基本作图、角平分线的性质的运用，勾股定理，解决本题的关键是掌握角平分线的性质，即角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
9.【答案】
【解析】解：方程组，
得，，
，
，
，
，
．
故选：．
根据方程组得，，即，再根据，得，所以．
本题考查了二元一次方程组的解，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法法则，能熟练掌握运算法则是解此题的关键．
10.【答案】
【解析】解：抛物线与轴有交点，
，即，
，
解得或；
抛物线与轴的一个交点为，，
，
即，
，
解得或，
实数的取值范围是或，
备注：没有正确选项，故选B
故选：．
由抛物线与轴有交点，可得，故或；根据抛物线与轴的一个交点为，，知和时的函数值异号，故，可得或，即可得到答案．
本题考查二次函数图象与系数的关系，抛物线与坐标轴的交点问题，解题的关键是根据已知列出满足条件的不等式．
11.【答案】
【解析】解：根据题意，得且，
解得．
故答案为：．
分母不为，分子为时，分式的值为．
本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：分子为；分母不为这两个条件缺一不可．
12.【答案】
【解析】解：设红球有个，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的根，
则袋中红球有个．
故答案为：．
设红球有个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案．
本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．
13.【答案】
【解析】解：点是弧的中点，
，
是的直径，
，
，，
，
，
点是弦的中点，
，，
，
．
故答案为：．
根据垂径定理得，根据圆周角定理得，根据勾股定理得，根据三角形中位线定理得，，所以，．
本题考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握和运用这些定理是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：根据“杠杆定律”有，
函数的解析式为，
当时，，
当时，，
因此，撬动这块石头可以节省，
故答案为：．
根据杠杆定律求得函数的解析式后代入和求得力的大小即可．
本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．
15.【答案】
【解析】解：直线，
当时，；当时，；
点的坐标为，点的坐标为，
，，
，
故答案为：．
根据一次函数的解析式，可以求得点和点的坐标，然后即可计算出的值．
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点和点的坐标，利用数形结合的思想解答．
16.【答案】
【解析】解：将沿折叠，使点落在射线上的点处，
，
，
是等边三角形，，
，
，故正确；
，
，
，
，
，
，
，
将沿折叠，使点落在射线上的点处，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
四边形为菱形；故正确；
当点与重合时，如图：
，，
，
将沿折叠，使点落在射线上的点处，
，，
，
，故错误；
当最短时，，过作于，交延长线于，如图：
，
，，，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
，
，
，
，
，
，，
设，则，，，
，
在中，，
，
解得，
，，
在中，，
，，
，
在中，
，故正确，
正确的有，
故答案为：．
根据将沿折叠，使点落在射线上的点处，得，故C，判断正确；由，得，可得是等边三角形，即可得，判断正确；当点与重合时，可得，，判断错误；当最短时，，过作于，交延长线于，设，有，可求得，设，则，，，有，可求出，，在中，，，故，在中，，判断正确．
本题考查等边三角形中的翻折问题，涉及含角的直角三角形三边的关系，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形解决问题．
17.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】原式第一项利用平方差公式就是，第二项利用完全平方公式展开，去括号合并得到最简结果，将的值代入计算即可求出值．
此题考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在与中，
，
≌，
，
，
；
≌，
，
．
【解析】根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到结论；
根据全等三角形的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到．
本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
19.【答案】解：该班总人数为：人，
参加类活动有：人，
答：参加类活动有人；
把名女生分别记为、其中为王丽，名男生分别记为、，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中刚好抽中王丽和名男生的结果有种，
刚好抽中王丽和名男生的概率为．
【解析】由参加类活动的人数除以所占百分比得出该班总人数，即可解决问题；
画树状图，共有种等可能的结果，其中刚好抽中王丽和名男生的结果有种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法以及扇形统计图．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
20.【答案】证明：
，
方程总有实数根；
解：由题意知，，，
，
，整理得，
或，
解得或．
【解析】由判别式，可得答案；
根据根与系数的关系知，，由进行变形直接代入得到，求解可得．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，也考查了根的判别式．
21.【答案】解：由题意，设反比例函数、一次函数分别为，
点在反比例函数图象上，
．
反比例函数解析式为．
点在反比例函数图象上，
．
．
．
点，在一次函数的图象上，
．
．
一次函数解析式为．
设点，由得，直线交轴于点，
．
在轴上，
．
又，
．
．
点的坐标为或．
【解析】把的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出反比例函数的解析式，把的坐标代入反比例函数解析式求出的坐标，把、的坐标代入所设一次函数解析式即可求出函数的解析式；
依据题意，结合图象，设出的坐标，求出和的面积，即可求出答案．
本题考查一次函数和反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积等知识点的综合运用，主要考查学生的计算能力和观察图形的能力，以及数形结合思想的运用．
22.【答案】证明：连接交于点，
是的切线，
，
，
，
，
，
，
；
解：过点作于点，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
设，则，
，
解得，
．
【解析】连接交于点，根据切线的性质和圆周角定理得，进而可以解决问题；
过点作于点，得是等腰直角三角形，根据锐角三角函数和勾股定理即可解决问题．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握圆的切线垂直于经过切点的半径．
23.【答案】解：根据题意，得，．
，．
，随的增大而增大，又，
当时，有最大值，即元．
．
又对称轴．
当时，随的增大而增大，
当时，元．
若，即，解得，
若，即，解得，
若，即，解得．
又，综上可得，为获得最大日利润：
当时，选择，产品产销均可；
当时，选择种产品产销；
当时，选择种产品产销．
答：当产品成本价为元时，工厂选择或产品产销日利润一样大，当产品时，工厂选择产品产销日利润最大，当时，工厂选择产品产销日利润最大．
【解析】根据利润售价成本产销数量专利费即可列出解析式，注意取值范围．
根据解析式系数确定增减性，再结合得取值范围选择合适的值得出最大值．
分类讨论当什么情况下、利润一样，什么情况下利润大于以及什么情况下利润小于即可得出结论．
本题主要考查了二次函数的应用，从实际问题中抽象出数学问题是解题的关键．
24.【答案】证明：在正方形中，，，
为的中点，
，
，
，
在和中，
，
≌，
；
解：是等腰直角三角形，理由如下：
根据旋转的性质可得，，
，
，
，，
，
，
，
在正方形中，，
，
，
是等腰直角三角形；
解：延长交于点，如图所示：
，，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
，
，
又，
∽，
：：，
，
，
在正方形中，，
设，则，
根据勾股定理，，
，
解得或舍去，
．
【解析】根据正方形的性质和直角三角形斜边中线的性质可证≌，根据全等三角形的性质即可得证；
根据折叠的性质可得根据旋转的性质可得，，再根据直角三角形斜边的中线的性质可得，进一步可得，可得，再根据正方形的性质可得，进一步可得，可证是等腰直角三角形；
延长交于点，根据三角形外角的性质可得，进一步可得，根据≌，可得，进一步可得，再证明∽，根据相似三角形的性质可得：：，可得，设，则，根据勾股定理，，列方程求解即可．
本题考查了四边形的综合题，涉及正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等，本题综合性较强，难度较大．
25.【答案】解：由题意得，抛物线的表达式为：，
即，
则抛物线的表达式为：；
设点的坐标为：，点，
当或为对角线时，由中点坐标公式得：，
解得：舍去或，
则点；
当为对角线时，同理可得：，
解得：，
则点的坐标为：，或；
是定值，理由：
直线过点，故设直线的表达式为：，
设点、的坐标分别为：，点，
联立和并整理得：，
则，，
由点、的坐标得，直线的表达式为：，
令，则，即点，
则，
同理可得，，
则．
【解析】由待定系数法即可求解；
当或为对角线时，由中点坐标公式列出等式，即可求解；当为对角线时，同理可解；
求出直线的表达式为：，得到，同理可得，，即可求解．
本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数的性质、平行四边形的性质、根和系数的关系等，有一定的综合性，难度适中．
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