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第三节 单摆
一、单摆
1、在细线的一端拴一小球，另一端固定在悬点上，如果悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，线长又比球的直径大得多，这样的装置就叫做单摆（simple pendulum）。
①悬线——长且轻，不可伸缩
②摆球——小而重，密度大、体积小
2、单摆是理想化的物理模型
问题1：什么是单摆？
问题2：以下摆是否可以看成单摆？
粗麻绳
细绳
橡皮筋
②
③
④
①
A
O
O′
A
问题3：用什么方法探究单摆的振动是否为简谐运动？
方法1：是分析单摆位移与时间的关系是否满足正弦关系；
方法2：分析单摆的回复力，看其与位移是否成正比并且方向相反。
演示实验：画出单摆振动的位移-时间图像
沙摆
二、单摆的简谐运动
θ
O
A′
A
T
G
G1
G2
1、受力分析:
重力、拉力
3、回复力来源：
F回=G1=mgsinθ
重力沿切线方向的分力G1
2、平衡位置：最低点O
F回＝mgsinθ
且回复力方向与位移方向相反
F回 = kx
当θ很小时，sinθ ≈ θ =
=mg
结论：在摆角很小的情况下(θ <5°)，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡的位移大小成正比，方向始终指向平衡位置（即与位移方向相反），因此单摆在摆角很小时的振动是简谐运动。
=
（ k= ）
三、单摆做简谐运动的周期
问题4：单摆振动的周期可能与哪些因素有关呢？
1、周期与振幅是否有关
2、周期与摆球的质量是否有关
3、周期与摆长是否有关
4、周期与重力加速度是否有关
1、与振幅无关——单摆的等时性
2、与摆球的质量无关
3、与摆长有关——摆长越长，周期越大
4、与当地的重力加速度有关——重力加速度越大，周期越小
三、单摆做简谐运动的周期
单摆做简谐运动的振动周期T与跟摆长l的二次方根成正比，跟重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。
通过对弹簧振子做简谐运动的分析可知， 其周期= 。单摆做简谐运动的回复力 将代入即可得单摆小角度摆动时的周期 = 。
三、单摆做简谐运动的周期
四、单摆周期公式的应用
1、惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器
2、 用单摆测定重力加速度
关于单摆做简谐运动，下列说法正确的是（ ）
A.经过平衡位置时所受的合力为 0
B.经过平衡位置时所受的回复力为 0
C.回复力是重力和摆线拉力的合力
D.回复力是重力沿圆弧切线方向的分力
BD
2.若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的 4 倍，摆球经过平衡位置的速度减为原来的 1/2，则单摆振动的物理量变化的情况是（ ）。
A. 频率不变，振幅不变
B. 频率不变，振幅改变
C. 频率改变，振幅改变
D. 频率改变，振幅不变
B
3.将盛有细沙的漏斗吊在支架上，支架下放一块硬纸板演示单摆摆动图像。甲、 乙两同学分别得到两个摆中的细沙在各自木板上形成的曲线（如图 ），板上的直线 OO' 代表时间轴，板上的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系。甲和乙拉动硬纸板的速度分别为 v1 和 v2，且 v2 = 2v1，根据曲线推测两个摆的振动周期 T1 和 T2的大小关系。
=
4.如图所示，一单摆悬于点 O，摆长为 l，在点 O 正下方的点 O′ 处钉一颗钉子，且使 OO′ = l/2。将摆球拉至 A 处由静止释放，摆球将在 A、B、C 间来回振动。若振动过程中摆线与竖直方向的夹角均小于 5°，此单摆的周期为多大？
5.如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧轨道的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一小球B放在MN上离最低点C很近的M处，今使两球同时自由释放，则在不计空气阻力时有(　　)
A．A球先到达C点
B．B球先到达C点
C．两球同时到达C点
D．无法确定哪一个球先到达C点
为使两个小球能够相碰，小球A释放点离C点的高度h应满足什么条件
A
6.如图，大小相同的摆球a和b的质量分别为m和3m，摆长相同，并排悬挂，平衡时两球刚好接触，现将摆球a向左边拉开一小角度后释放，若两球的碰撞是弹性的，下列判断正确的是（ ）
A.第一次碰撞后的瞬间，两球的速度大小相等
B.第一次碰撞后的瞬间，两球的动量大小相等
C.第一次碰撞后，两球的最大摆角不相同
D.发生第二次碰撞时，两球在各自的平衡位置
a
b
AD
7.周期是 2 s 的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，已知月球上的自由落体加速度为 1.6 m/s2 ，它在月球上做 50 次全振动要用多少时间？
250s
8.一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k。设地球的半径为R。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d。
=R(1-)
9.如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。 图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t 变化的曲线，图中t＝0为摆球从A点开始运动的时刻，g取10 m/s2 。
（1）求单摆的振动周期和摆长。
（2）求摆球的质量。
（3）求摆球运动过程中的最大速度。
0.05kg
小 结
1、单摆的理想化模型：
在细线的一端拴上一个小球，另一端固定在悬点上，如果细线的伸缩和质量可以忽略不计，线长比球的直径大得多。
2、单摆运动的性质：
在摆角 <5°的条件下，单摆的振动可看作简谐运动。
3、单摆振动的周期公式
单摆周期与摆长和重力加速度有关，与振幅和质量无关。
θ
L
θ
L1
L2
L1
L2
类单摆
θ
R

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