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高二联考调研卷
数学
一 单选题：
1.设随机变量服从两点分布，若，则（ ）
A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7
2.若向量，且与夹角的余弦值为，则等于（ ）
A. B. C.或 D.2
3.二项式的展开式中的系数为（ ）
A.-21 B.21 C.36 D.-36
4.在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A. B.
C. D.
5.有甲 乙 丙 丁 戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）
A.12种 B.24种 C.36种 D.48种
6.已如是半径为1的球的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
7.某市2016年至2020年新能源汽车年销量（单位：百台）与年份代号的数据如下表，若根据表中的数据用最小二乘法求得关于的回归直线方程为，则表中的值为（ ）
年份 2016 2017 2018 2019 2020
年份代号 0 1 2 3 4
年销量 10 15 30 35
A.22 B.20 C.30 D.32.5
8.已知矩形为平面外一点，且平面分别为，上的点，且，则（ ）
A. B. C.1 D.
二 多选题：
9.下列利用方向向量 法向量判断线 面位置关系的结论中，正确的是（ ）
A.两条不重合直线的方向向量分别是，则
B.直线的方向向量，平面的法向量是，则
C.两个不同的平面的法向量分别是，则
D.直线的方向向量，平面的法向量是，则
10.下列统计量中，能度量样本的离散程度的是（ ）
A.样本的标准差 B.样本的中位数
C.样本的极差 D.样本的平均数
11.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
12.在棱长为1的正方体中，为正方形的中心，则下列结论正确的是（ ）
A.
B.平面
C.点到平面的距离为
D.直线与直线的夹角为
三 填空题：
13.设，且，若能被13整除，则__________.
14.从甲 乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲 乙都入选的概率为__________.
15.若，则__________，__________.
16.长方体的底面是边长为1的正方形，若在侧棱上至少存在一点，使得，则侧棱的长的最小值为__________.
四 解答题：
17.已知空间中的三点，设.
（1）若与互相垂直，求的值；
（2）求点到直线的距离.
18.篮球运动员比赛投篮，命中得1分，不中得0分，已知运动员甲投篮命中率的概率为.
（1）若投篮1次得分记为，求方差的最大值；
（2）当（1）中取最大值时，求运动员甲投5次篮得分为4分的概率.
19.佩戴头盔是一项对家庭与社会负责的表现，某市对此不断进行安全教育.下表是该市某主干路口连续4年监控设备抓拍到的驾驶员不戴头盔的统计数据：
年度 2018 2019 2020 2021
年度序号 1 2 3 4
不戴头盔人数 1150 1000 900 750
（1）请利用所给数据求不戴头盔人数与年度序号之间的回归直线方程；
（2）并估算该路口2022年不戴头盔的人数.
参考公式：.
20.若的展开式中只有第10项的二项式系数最大，
（1）求展开式中系数最大的项；
（2）设，求.
21.如图，已知图形，内部连有线段.（用数字作答）
（1）由点沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？
（2）由点沿着图中的线段到达点的最近路线有多少条？
（3）求出图中总计有多少个矩形？
22.如图，四面体中，分别为的中点，
（1）求证：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
高二年级5月学情测试答案
数学卷
一 单选题：
1.【答案】D 2.【答案】A 3.【答案】A 4.【答案】A
5.【答案】B 6.【答案】A 7.【答案】B 8.【答案】B
二 多选题：
9.【答案】AC 10.【答案】AC 11.【答案】ACD 12.【答案】ABC
三 填空题：
13.【答案】12 14.【答案】 15.【答案】； 16.【答案】2
四 解答题：
17.【答案】（1）或（2）
【解析】因为，
所以，
（1），
因为，所以，
整理得，解得或，所以的值为或.
（2）设直线的单位方向向量为，则.
由于，所以，
所以点到直线的距离.
18.【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由题意服从两点分布，写出方差的式子转化为二次函数求最值.
（2）由（1）知，投5次蓝得分为，则，再利用二项分布公式求出即可.
【详解】
解：（1）依题意，的分布列为
0 1
当时，取最大值，且最大值为.
（2）由（1）可知，投5次蓝得分为，则
那么
则运动员甲投5次篮得分为4分概率为.
19.【答案】（1）
（2）625
【解析】
【分析】
（1）根据表中数据，求得，进而得到，求出回归直线方程；
（2）令，代入（1）所求的回归直线方程求解.
（1）
解：由表中数据知，，
所以，
故所求回归直线方程为，
（2）解：令，则人，
则预计该路口2022年不戴头盔的人数为625人.
20.【答案】（1）；（2）.
21.【答案】（1）20
（2）175
（3）102
22.【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】（1）证明：连结.
.
.
在中，由已知可得，
即.
，
平面
（2）以为原点，如图建立空间直角坐标系，则
异面直线与所成角的余弦值为
（3）设平面的法向量为，
，
令，则，又，
点到平面的距离.

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