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2023年黑龙江省哈尔滨市平房区中考数学二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数为．( )
A. B. C. D.
2. 下列运算正确的是( )
A. B. C. D.
3. 年月日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. 中国探火 B. 中国火箭
C. 中国行星探测 D. 航天神舟
4. 如图所示的几何体是由六个相同的小正方体组合而成的，它的俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5. 如图，在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
6. 二次函数的图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
7. 一款手机连续两次降价，由原来的元降到元．设平均每次降价的百分率为，则列方程为( )
A. B.
C. D.
8. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转一个锐角到的位置，连接，若，则旋转角的度数为( )
A. B. C. D.
9. 如图，点是的边上的一点，过点作的平行线交于点，连接，过点作的平行线交于点，则下列结论错误的是( )
A. B. C. D.
10. 甲、乙两个工程队同时开始维修某一段路面，一段时间后，甲队被调往别处，乙队独自完成了剩余的维修任务已知乙队每小时维修路面的长度保持不变，甲队每小时维修路面米甲、乙两队在此路段维修路面的总长度米与维修时间时之间的函数图象如图所示．
下列说法中甲队调离时，甲、乙两队已维修路面的总长度为米乙一共工作小时甲队调离后与之间的函数关系式为正确的有个．( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
11. 将数据用科学记数法可表示为______ ．
12. 函数中，自变量的取值范围是______ ．
13. 把多项式分解因式的结果是______ ．
14. 不等式组的解集是______ ．
15. 计算的结果为 ．
16. 如图，为的直径，弦于点，若，，则 ______ ．
17. 现有四个外观完全一样的粽子，其中有且只有一个有蛋黄若从中一次随机取出两个，则这两个粽子都没有蛋黄的概率是______ ．
18. 一个扇形的圆心角，半径为，则这个扇形的弧长为______ ．
19. 在矩形中，作的平分线交直线于点，则是______度．
20. 如图，在菱形中，对角线，交于点，点为的中点，点在上，，连接交于点，若，连接，，则线段的长为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21. 本小题分
先化简，再求值的值，其中．
22. 本小题分
如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为，线段、线段的端点均在小正方形的顶点上．
在图中以为边画，点在小正方形的格点上，使，且；
在的条件下，在图中画以为边且面积为的，点在小正方形的格点上，使，连接，直接写出线段的长．
23. 本小题分
为进一步开展“睡眠管理”工作，某校对部分学生的睡眠情况进行了问卷调查，设每名学生平均每天的睡眠时间为小时，其中的分组情况是：
组：；
组：；
组：；
组：；
组：．
如图是根据调查结果绘制出如图两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：
本次共调查了多少名学生？
通过计算将条形统计图补充完整；
若该校共有名学生，请估计该校睡眠时间不足小时的学生有多少人？
24. 本小题分
已知，在中，，点、点分别为、的中点，．
如图，求证：四边形是矩形；
如图，若点是上一动点，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出与四边形面积相等的三角形和四边形．
25. 本小题分
为进一步落实“德智体美劳”五育并举，某中学开展球类比赛，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球．已知购买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元．
足球和篮球的单价各多少元？
根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共个，但要求足球和篮球的总费用不超过元，学校最多可以购买多少个篮球？
26. 本小题分
如图，内接于中，为直径，点在弧上，连接，．
求证：；
如图，连接交于点，若，求证：；
在的条件下，如图，点在线段上，连接，交于点，若，，，求线段的长．
27. 本小题分
如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线与轴交于点、左右，与轴交于点，直线经过点、．
求抛物线的解析式；
如图，点在轴下方的抛物线上，连接，，设点的横坐标为，的面积为，求与之间的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
在的条件下，如图，点为抛物线的顶点，过点作轴于点，连接，交于点，连接，，点在上，，求点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是倒数的定义，即如果两个数的乘积等于，那么这两个数互为倒数根据倒数的定义进行解答即可．
【解答】
解：，
的倒数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：、，本选项错误；
B、，本选项错误；
C、，本选项错误；
D、，本选项正确．
故选：．
结合幂的乘方与积的乘方的概念和运算法则进行求解即可．
本题考查了幂的乘方与积的乘方，解答本题的关键在于熟练掌握该知识点的概念和运算法则．
3.【答案】
【解析】解：选项A、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
4.【答案】
【解析】解：从上面看第一层是两个小正方形，第二层是三个小正方形，
故选：．
根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图．
5.【答案】
【解析】解：在直角中，，
则．
故选B．
首先根据勾股定理求得的长，然后根据余弦函数的定义即可求解．
本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
6.【答案】
【解析】解：二次函数为顶点式，
图象的顶点坐标是．
故选：．
根据二次函数的顶点式解析式写出即可．
本题主要考查了二次函数的性质，掌握的顶点坐标为是解决问题的关键．
7.【答案】
【解析】解：根据题意得．
故选D．
设平均每次降价的百分率为，则第一次降价后售价为，第二次降价后售价为，然后根据两次降阶后的售价建立等量关系即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程：在解决实际问题时，要全面、系统地申清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
先根据平行线的性质得，再根据旋转得性质得，等于旋转角，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出的度数即可．
【解答】
解：，
，
绕点按逆时针方向旋转一个锐角到的位置，
，等于旋转角，
，
，
旋转角的度数为．
故选A．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握平行线分线段成比例定理相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质即可得出结论．
【解答】
解：，，
，∽，，，，
，
选项A、、C正确，D错误；
故选D．
10.【答案】
【解析】解：由图象知，甲队调离时，甲、乙两队已维修路面的总长度为米，故正确；
由图象知，甲乙共同工作小时，乙又工作小时，乙工作小时，故错误；
甲乙共同工作小时共维修米，甲维修米米，乙甲队每小时维修路面米米，小时维修米米，
米米米，故正确；
，，设的函数关系式为，
将点，代入，得，
解得：，
，
故正确；
故选：．
根据图象解答即可；
根据题意得出甲、乙两队每小时维修路面的总长度解答即可；
设所求函数关系式，利用待定系数法解答即可．
本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是读懂图象，获取相关信息，用待定系数法求函数解析式．
11.【答案】
【解析】解：将用科学记数法表示为：．
故答案为：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得到：，
解得．
故答案为：．
根据分式的分母不为进行计算．
本题考查了函数的取值范围，掌握函数式有意义的的取值范围．判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数是关键．
13.【答案】
【解析】解：原式
．
故答案为：．
原式提取，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
14.【答案】
【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故答案为：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
首先化简二次根式，进而合并求出答案．
【解答】
解：．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：连接，
为的直径，弦于点，
，
，，
，
，，
，
．
故答案为．
连接，根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理求出的长即可．
本题考查了勾股定理，由垂径定理得出得到直角三角形是解题的关键．
17.【答案】
【解析】解：用表示没蛋黄，表示有蛋黄的，画树状图如下：
一共有种情况，两个粽子都没有蛋黄的有种情况，
则这两个粽子都没有蛋黄的概率是，
故答案为：．
根据概率的求法，先画出树状图，求出所有出现的情况，即可求出答案．
此题主要考查了画树状图求概率，如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率．
18.【答案】
【解析】解：根据弧长的公式，
得到：．
故答案是：．
根据弧长的公式进行计算即可．
本题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解题的关键．
19.【答案】或
【解析】解：四边形是矩形，
，，
平分，
，
由题意可分：当的平分线交线段于点，
；
当的平分线交线段外于点，
；
综上所述：或；
故答案为：或．
根据题意分当的平分线交线段于点和当的平分线交线段外于点，然后根据矩形的性质及角平分线的定义可进行求解．
本题主要考查矩形的性质及角平分线的定义，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．
20.【答案】
【解析】解：作于，
四边形是菱形，
，，，
，
：：，
，
，
是的中位线，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，
，
，
的面积的面积，
，
，
，
，
．
故答案为：．
作于，由菱形的性质，平行线分线段成比例定理证明是的中位线，得到，因此，推出≌，得到，从而求出的长，得到的长，求出的长，由三角形面积公式求出长，得到的长，由勾股定理即可求出的长．
本题考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，关键是作于，证明≌，求出的长．
21.【答案】解：原式
，
，
当时，原式．
【解析】先根据分式的混合运算法则和运算顺序化简，再算出的值，最后代入计算即可．
本题主要考查分式的混合运算、特殊角的三角函数值，解题关键熟练掌握分式的混合运算法则和运算顺序，熟记特殊角的三角函数值．
22.【答案】解：如图，
由勾股定理得：，
，，
，
，
，
是直角三角形，且，
；
如图，，
，，，
，，
，
，，
，
．
【解析】本题是三角形的作图题，考查了等腰直角三角形的性质和判定及勾股定理及其逆定理的运用，并按条件作出三角形；本题的关键是熟练掌握勾股定理及其逆定理．
如图，作，且边，才能满足条件；
作，连接，则是以为边且面积为的三角形，连接，，则．
23.【答案】解：名，
即本次共调查了名学生，
故答案为：；
选择的学生有：人，
选择的学生有：人，
补全的条形统计图如右图所示；
人，
答：估计该校睡眠时间不足小时的学生有人．
【解析】根据组人数和所占的百分比，可以计算出本次调查的学生总人数；
根据中的结果、条形统计图中的时间和扇形统计图中的数据，可以计算出组和组的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
根据条形统计图中的数据，可以计算出该校睡眠时间不足小时的学生有多少人．
本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
24.【答案】证明：点、点别是、的中点，
，，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，为的中点，
，
四边形是矩形；
解：四边形是矩形，
，，
，，
四边形面积．
【解析】首先得到四边形是平行四边形，然后利用有一个角是直角的平行四边形是矩形判断矩形即可；
由矩形的性质得到，，得到，，即可得到结论．
本题考查了矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，平行线的性质，三角形的中位线的性质等知识；熟练掌握矩形的判定和性质是解题的关键．
25.【答案】解：设足球的单价为元，篮球的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：足球的单价为元，篮球的单价为元；
设购买篮球个，则购买足球个，
依题意得：，
解得：．
答：学校最多可以购买个篮球．
【解析】设足球的单价为元，篮球的单价为元，根据“购买个足球和个篮球共需元，购买个足球和个篮球共需元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设购买篮球个，则购买足球个，利用总价单价数量，结合购买总资金不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
26.【答案】证明：内接于中，为直径，
，
，
，
，
．
证明：，
，
在中，，
，
，
，
，
，
．
解：连接，，
垂直平分，
，
，
，
，
，
，
为直径，
，
设，
，，
过点作交的延长线于点，
，，
，
，
，，
，
过点作于点，
，
设，
，
，
，
，
，
解得舍去，，
，
，，
．
【解析】利直径所对的圆周角是直角求得，再利用同弧所对的圆周角相等即可证明；
根据圆周角定理及直角三角形的性质可证明，进而得出；
连接，，证出，由圆周角定理得出，设，则，，过点作交的延长线于点，求出，过点作于点，证出，得出 ，则，解方程求出，由勾股定理可得出答案．
本题是圆的综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，勾股定理，正确添加辅助线是解决该问题的关键．
27.【答案】解：在中，令，得，
，
令，得，
解得：，
，
将，代入，得，
解得：，
该抛物线的解析式为；
点在抛物线上，
，
过点作于点，连接，如图，
则，
；
，
，
轴，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
如图，延长至点，使，过点作于，过点作于点，于点，过点作于点，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
在中，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，即，
在和中，
，
≌，
，，
在中，，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，

【解析】先求出点、的坐标，再运用待定系数法即可求得抛物线解析式；
过点作于点，连接，由题意可得，，利用，即可求得答案；
利用配方法即可得出，进而得出，推出，，，延长至点，使，过点作于，过点作于点，于点，过点作于点，可证得≌，推出是等腰直角三角形，运用解直角三角形得出，进而可证得≌，得出，，进而可求得，，即可得出答案．
本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，函数图象上点坐标特征，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形和全等三角形，难度较大．
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