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(共17张PPT)
第3章 圆的基本性质
3.4 圆心角
学习目标
1.经历探索圆的中心对称性和旋转不变性的过程，体会利用旋转来研究圆的性质.
2.理解圆心角的概念，掌握圆心角定理.
3.掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弦、两条弧、两个弦心距中有一对量相等，就可以推出它们所对应的其余各对量都相等.
4.会运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决简单的几何问题.
知识点1 圆的旋转不变性
1.圆的中心对称性：把圆绕圆心旋转 ，所得的图形与原图形重合，所以圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.
知识点2 圆心角定理重点
1.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.如图所示， 就是一个圆心角.
概念深化
（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；
（2）圆心角 所对的弦为线段 ，所对的弧为 .
2.圆心角定理及其推论如下表：
内容 图示 数学语言
圆心角定理及其推论 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 在 中，
，
, .
推论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等. 在 中，
， , ，
.
注意
不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果丢掉这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦、弦心距也不一定相等.如图，两个圆的圆心相同， 与 对应的圆心角相等，但 ， ， 典例1 （2023·杭州桐庐县期中）如图， 为 的直径，半径 弦 ，判断 与 是否相等，并说明理由.
解：相等.理由：如图，连结 ，
，
， .
，
，
，
.
证“弧相等”可转化为证弧所对的圆心角相等，故连结 ，证明 ，这体现了转化思想
知识点3 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系
1. 的弧的定义：在一个圆中， 的圆心角所对的弧叫做 的弧.如图.
反过来也成立， 的弧所对的是 的圆心角
2.圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：
的圆心角所对的弧就是 的弧.角与弧的度数相等可用符号“ ”表示.
如图， .
注意
（1）圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，不是角与弧相等，即不能写成 ，如图所示.
（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，度数也相等（即弯曲程度相同）.
典例2 （2023·东阳期中）如图， 是 的直径，弦 垂直平分 ，则 的度数为( )
B
求弧的度数即求弧所对的圆心角的度数，
所以需连结 ，构造弧 所对的圆心角
A. B. C. D.
[解析] 如图，连结 ，设 与 交于点 .
弦 垂直平分 ， , .
, ， 在 中， ，
， ， 的度数为 .
知识点4 圆心角、弦、弧、弦心距的关系重点
内容 图示 数学语言
圆心角、弦、弧、弦心距的关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量都相等. .
简记为：在同圆或等圆中，圆心角相等 弧相等 弦相等 弦心距相等
敲黑板
（1）在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆心角相等，如图， ,依据圆的旋转不变性，得 .
（2）在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等，推导思想是：如图，&1& &2&
（3）在同圆或等圆中，弦心距相等，则弦相等，弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等.推导思想是：如图，先利用全等三角形和等腰三角形的性质，推出 ，再由圆心角定理推出 , .
弦所对的弧有两条，这里的弧相等是指优弧与优弧相等，劣弧与劣弧相等
典例3 &3& 如图， ， 是 的两条弦，要使 ，在不添加线段与字母的条件下，需要补充的条件是________________________（补充一个即可）.
（答案不唯一）
[解析] 补充的条件： .理由如下： ，
，即 ， .
典例3 &3& 如图， ， 是 的两条弦，要使 ，在不添加线段与字母的条件下，需要补充的条件是________________________（补充一个即可）.
（答案不唯一）
补充的条件： .
理由： ，
，
即 ，
.
补充的条件： .
理由： , .
， .
又 ，
，
，
.
另解
补充的条件： .
理由：相等的圆心角所对的弦相等.
谢谢
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