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2023年全国中学生数学奥林匹克（贵州赛区）预赛试题
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。
1.设集合A={(x,y)川x+y=1},B={(x,y)川x2+y2=2},C=A∩B,则集合C的子集的个数
是
2.已知z为虚数，且z2=z,则z3=
3.已知，b是单位向量，|3a+4b曰4a-3b,若|c=2,则|a+b-c|的最大值是
4.已知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直，设二面角P-AB-C,P-BC-A,
P-CA-B的大小分别为a,B,y,则sina+sinB+siny。
cosa+cosB+cos2y
5.△ABC的三边分别为a,b,c,记BC,CA,AB边上的中线长分别为m。,m,,m。,则
m2+m+严的最小值是
a2b2+c2
6.设a,b∈N,且满足
111
ab2023
，则所有正整数对(a,b)的个数为
7.已知函数f(x)=x3-2x2-3x+4,若f(a)=f(b)=f(c),其中aa2+b2+c2=
8.已知5名同学分别擅长的学科为语文、数学、物理、化学、历史.现有5份试卷（语文、数学、物
理、化学、历史各一份)，老师随机分发给每名同学一份试卷，则至少有4名同学得到的试卷与自
己擅长的学科不符的概率是
二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
9.(本题满分16分)设{a,}是正项等差数列，公差为d(d>0),，前n项和为Sn，m,n,p,q
均为正整数.若n(1)anan(2)S +S>S+S.
10.(本题满分20分)如图1，设P是四边形ABCD内一点，满足
∠BPC=2∠BAC,∠PCA=∠PAD,∠PDA=∠PAC.
求证：∠PBD=∠BCA-∠PCA.
图1
11.（本题满分20分)定义：若一个数列中的每一项都是完全平方数，则称这种数列为完方数
列.已知数列{xn}满足=0，X=3,Xn+1+Xn-1=4xn,证明：{xm-1·xm+1+9}是一个完方数列。
2023年全国中学生数学奥林匹克（贵州赛区）
预赛试题及其评分标准
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分。
1.设集合A={(x,y)川x+y=1},B={(x,y)川x2+y2=2},C=A∩B,则集合C的子
集的个数是
答案：4.
解：易知集合C有2个元素，故C的子集有22=4个.
2.已知z为虚数，且z2=五，则z3=
答案：1.
解法1：设z=a+bi(a,b∈R),由z2=z,得a2-b2+2abi=a-bi,故
g4a=-56=±5
2ab =-b,
2
21
一十
i,因此z3=1.
22
解法2：由z2=z,得引z2曰z日z.因为z为虚数，故z≠0且z≠1，所以
1Hl1-1
于是z3=zz2=z·z=z=1.
3.已知a,b是单位向量，3a+4b曰4a-3b,若|c=2,则|a+b-c|的最大值是
答案：2+√2.
解：因为a=|b1=1,|3a+4b|=|4a-3b1,两边平方得ab=0,即a⊥b.
不妨设a=(1,0),b=(0,1),D(1,1),则a+b=(1,1)=OD
设c=OC,由c=2,知点C的轨迹是圆心在原点O,半径为2的圆.而
la+b-c=OD-OCCD],
根据圆的几何性质可知，|CD的最大值是2+√2.
4.己知三棱锥P-ABC的三条侧棱PA,PB,PC两两垂直，设二面角P-AB-C,
P-BC-A,P-CA-B的大小分别为a,B,y,则sna+simB+simy=

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