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第二章 机械振动
第2节 简谐运动的描述
(1)在 0.5 s 时刻，质点的位置在哪里？
(2)在 1.5 s 时刻，质点向哪个方向运动？
(3)在 2.5 s 时刻，质点加速度向哪个方向？
(4)在哪些时间内位移跟速度方向相同？
图像分析
位移：图像位于 t 轴上方位移为正。
速度：图像斜率正负反映速度方向。
加速度：位移为正时加速度为负。
质点位移为正，x=7.07cm
斜率为负，向负方向运动
指向平衡位置，加速度向正方向
0~1s和2~3s内速位移和速度同向
思维导图
思考：做简谐运动的物体在一个位置附近不断地重复同样的运动。如何描述简谐运动的这种独特性呢？
傅科摆：指仅受引力和吊线张力作用而在惯性空间固定平面内运动的摆。
做简谐运动的物体的位移x与运动时间t之间满足正弦函数关系，由数学知识知道，因此，位移x的一般函数表达式可写为：
t
x
o
x＝Asin（ωt＋φ）
一、描述简谐运动的物理量
1．振幅
位移x的一般函数表达式可写为:x＝Asin（ωt＋φ）,因为∣sin（ωt＋φ）∣≤1，所以∣x∣≤A，这说明A是物体离开平衡位置的最大距离。
如果用M点和M′点表示水平弹簧振子在平衡位置O点右端及左端最远位置，则∣OM∣＝∣OM′∣＝A。
M′
M
O
x
（1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，常用字母A表示，国际单位：m。
如图振幅是A=5cm
（2）物理含义：振幅是表示振动幅度大小的物理量，振动物体运动范围是振幅的两倍；
振幅的大小反映了振动的强弱和振动系统能量的大小。
（3）振幅、位移的关系
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
振幅
位移
定义
量性
二者关系
振动物体离开平衡位置的最大距离
从平衡位置指向振子所在位置的有向线段
标量
矢量
振幅等于位移的最大值
2．周期和频率
（1）全振动
M′
M
O
x
如果从振动物体向右通过O的时刻开始计时，它将运动到M，然后向左回到O，又继续向左运动到达M′，之后又向右回到O。这样一个完整的振动过程称为一次全振动。
若从图中P0点向右运动开始计时，经历的一次全振动应为P0→M→P0→O→M′→O→P0。
M′
M
O
x
P0
注意：不管以哪里作为开始研究的起点。做简谐运动的物体完成一次全振动的时间总是相同的。
（2）周期：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫作振动的周期。
（3）频率：单位时间内完成全振动的次数，用f表示，单位： Hz。
（4）周期T与频率f的关系：T＝1?f。
（5）物理意义：周期和频率都是表示物体振动快慢的物理量，周期越小，频率越大，表示物体振动越快。
（6）在国际单位制中，周期的单位是秒。频率的单位是赫兹，简称赫，符号是Hz。1 Hz＝1s -1 。
?
数学推导：依据正弦函数规律x＝Asin(ωt＋φ)，其中(ωt＋φ)每增加2π，位移值x循环变化一次，这一过程正好为一个周期T。于是有[ω(t＋T)＋φ]—(ωt＋φ)＝2π ，可得ω＝2πT或ω＝2πf.
?
（1）ω是一个与周期成反比、与频率成正比的量，叫作简谐运动的“圆频率”；描述振动快慢的物理量。
（2）ω越大，周期越短，频率越大，物体振动越快。
3.圆频率
做一做:测量小球振动的周期
通过这个实验你能得出什么结论？
测量小球振动的周期视频
通过这个实验发现，弹簧振子的振动周期与其振幅无关。
注意：不仅弹簧振子的简谐运动，所有简谐运动的周期均与其振幅无关。
例1.光滑水平面内的弹簧振子做简谐运动，经过半个周期，振子（　　）
A．动量一定不变
B．速度一定不变
C．加速度一定不变
D．动能一定不变
D
变式训练：一个做简谐运动的质点，它的振幅是4 cm，频率是2.5 Hz，该质点从平衡位置开始经过2.5 s后，位移的大小和经过的路程为(　　)
A．4 cm　10 cm　　　
B．4 cm　100 cm
C．0　24 cm
D．0　100 cm
B
技法点拨：
根据质点在一个周期内通过路程为4A，求路程．
解析：质点的振动周期T＝1????＝0.4 s，故时间t＝2.5?0.4?T＝61?4?T，所以2.5 s末质点在最大位移处，位移大小为4 cm，质点通过的路程为4×4×6 cm＝100 cm，选项B正确．
?
二、简谐运动的一般表达式
1.简谐运动的一般表达式
x＝A sin（ωt＋φ）
2.相位:理学中把（ωt＋φ）叫作相位；相位代表了做简谐运动的物体此时正处于一个运动周期中的哪个状态。
3. 初相：φ是t＝0时的相位，称作初相位，或初相。
x1 = A2sin（ωt + φ1 ）
x2 = A2sin（ωt + φ2 ）
?
3.相位差：Δφ ＝ φ1 － φ2
如果两个简谐运动的频率相同，其初相分别是φ1和φ2，当φ1>φ2时，它们的相位差是Δφ ＝ φ1 － φ2
①若??????=?????2?????1>0，振动2的相位比1超前?????；
?
②若??????=?????2?????1???
观察两个小球的振动情况
观察两小球的振动
并列悬挂两个相同的弹簧振子。
（1）把小球向下拉同样的距离后同时放开。观察两球的振幅、周期、振动的步调。
（2）再次把两个小球拉到相同的位置，先把第一个小球放开，再放开第二个，观察两球的振幅、周期、振动的步调。
实验现象
（1）两个小球同时释放时，除了振幅和周期都相同外，还总是向同一方向运动，同时经过平衡位置，并同时到达同一侧的最大位移处。
（2）在一个周期内，
如果不同时释放小球，它们的步调就不一致。
x
?
x
?
t
?
t
?
x
?
x
?
t
?
t
?
4.同相和反相
（1）同相：相位差为零，一般地为??=2n? (n=0,1,2,……)。振动步调完全相同。
A与B同相
（2）反相：相位差为? ，一般地为??=(2n+1) ? (n=0,1,2,……)。振动步调完全相反。
x
?
x
?
x
?
t
?
t
?
t
?
A
B
C
A与C反相
思考：你能说出简谐运动的其它表达是吗？
x＝A sin（2π?T?t＋φ）=A sin（2πft＋φ）
?
所以
因为
x＝A sin（ωt＋φ）
根据一个简谐运动的振幅A、周期T、初相位φ0 ，可以知道做简谐运动的物体在任意时刻t的位移x是
x＝A sin（2π?T?t＋ φ0 ）
?
例1. 如图，弹簧振子的平衡位置为0点，在B、C两点之间做简谐运动。B、C相距20 cm。小球经过B点时开始计时，经过0.5s首次到达C点。
(1)画出小球在第一个周期内的x-t图像。
(2)求5s内小球通过的路程及5s末小球的位移。
O
x
C
B
解：(1)以O点作为坐标原点，沿OB建立坐标轴，如图所示。 以小球从B点开始运动的时刻作为计时起点，用正弦函数来表示小球的位移-时间关系，则函数的初相位为π/2.
由于小球从最右端的B点运动到最左端的C点所用时间为0.5 s,所以振动的周期T= 1.0s;由于B点和C点之间的距离为0.2m,所以，振动的振幅A=0.1 m。
根据 ,可得小球的位移-时间关系为
O
x
C
B
据此，可以画出小球在第一个周期内的位移一时间图像，如图所示。
(2)由于振动的周期T= 1 s,所以在时间t=5s内，小球一共做了n=5次全振动。小球在一次全振动中通过的路程为4A= 0.4 m,所以小球运动的路程为
s= 5×0.4m=2m；经过5次全振动后，小球正好回到B点，所以小球的位移为0.1 m。
变式训练：
一物体沿x轴做简谐运动，振幅为8 cm，频率为0.5 Hz，在t＝0时，位移是4 cm，且向x轴负方向运动，试写出用正弦函数表示的振动方程，并画出相应的振动图像。
技法点拨：
简谐运动振动方程的一般表达式x＝Asin(ωt＋φ)，读出振幅A，由ω＝2πf求出ω，将在t＝0时，位移是4 cm代入即可求解振动方程，便能画出振动图像．
解析：简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，根据题目所给条件得A＝8 cm，ω＝2πf＝π，所以x＝8sin(πt＋φ) cm，将t＝0，x0＝4 cm代入得4＝8sin φ，解得初相φ＝π6或φ＝56π，因为t＝0时，速度方向沿x轴负方向，即位移在减小，所以取φ＝56π，所求的振动方程为x＝8sin(πt＋56π) cm，画对应的振动图像如图所示:
?
简谐运动的描述
描述简谐运动的物理量
周期T:表示振动快慢
振幅A:表示振动强弱
简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)
频率f
相位φ:表示振动状态

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