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§6.4.3-3 余弦定理、正弦定理的应用举例
6.4 平面向量的应用
复习
余弦定理:
余弦定理推论:
正弦定理:
正弦定理的变形:
在 中，以下的三角关系式，在解答有关三角形问题时，经常用到，要记熟并灵活地加以运用：
（1）已知两边及其夹角（SAS）；
（2）已知三条边（SSS）；
（3）已知两边及一边对角（SSA）；
（4）已知两角和一边（ASA，AAS）；
注：已知两边或三边的用余弦定理求解；
已知两角的用正弦定理求解.
— 用余弦定理求解
— 用余弦定理求解
—用正、余弦定理都可解
— 用正弦定理求解
已知三角形中的三个元素解三角形：
复习
请你设计一个方案，测量比萨斜塔的高度.
实际
问题
数学
模型
准确作图
实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量.
具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案.下面我们通过几道例题来说明这种情况.
预备知识
基线
【定义】在测量过程中，根据测量的需要而确定的线段叫做基线。
仰角
【定义】在同一铅垂平面内，视线在水
平线上方时与水平线的夹角。
仰角
【定义】在同一铅垂平面内，视线在水
平线下方时与水平线的夹角。
【图示】
【图示】
预备知识
方向角
【定义】从正北或正南方向到目标
方向所形成的小于九十度
的角。
【图示】
方位角
【定义】从某点的指北方向线起依
顺时针方向到目标方向线
之间的水平夹角。
【图示】
【应用1】测量距离问题
问题1 如图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据以下哪组数据？（ ）
A．α，a，b　　B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b
解：由余弦定理，可得
C
∴选择a，b，γ可直接求出AB的长度.
小结：A，B两点间不可通或不可视
先测角C，AC＝b，BC＝a，再用余弦定理求AB
类型一：不相通的两点间距离AB
【应用1】测量距离问题
问题2 如图，A，B两点分别在河的两边，测量A，B两点间的距离.
解：如图，在A的一侧选取点C，测得
由正弦定理，得
a
?
小结：A，B两点间可视，但有一点不可达
以点B不可达为例，先测角A，C，AC＝a，再用正弦定理求AB
类型二：可视的两点间距离AB
【应用1】测量距离问题
问题3(例9) 如图示，A, B两点都在河的对岸(不可到达)，设计一种测量A, B两点间距离的方法，并求出A, B的距离.
解：如图, 在A, B两点的对岸选定两点C, D，测得
a
类型三：不可到达两点间距离AB
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}可视的两点间距离AB
不相通的两点间距离AB
不可到达的两点间距离AB
【应用1】测量距离问题
二中
蓬中
隧道
距离问题
(1)测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，
一般可转化为已知两个角和一条边解三角形的问题，从而运用正弦定理去解决.
(2)测量两个不可到达的点之间的距离问题，
一般先把求距离问题转化为运用余弦定理,求三角形的边长的问题，然后把球未知的边长问题转化为只有一点不能到达的两点之间距离的测量问题，最后运用正弦定理解决.
策略
(1)选定或构造的三角形，要确定及确定在哪一个三角形中求解.
(2)当角边对应，且角的条件较多时，一般用正弦定理；
当角的条件较少，且角边不对应时，一般用余弦定理.
注意点
我国拥有世界上已知最深的海洋蓝洞，在海南省三沙市，名为“三沙永乐龙洞”．海洋蓝洞被誉为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”．若要测量如图所示的海洋蓝洞的口径（即A,B两点间的距离），现取两点CD，测得CD=1002，∠ADB=120°，∠BDC=∠DCA=15°，∠ACB=135°，则图中海洋蓝洞的口径AB为多少．
?
【应用1】测量距离问题
A
B
C
D
1002
?
【应用2】测量高度问题
准确作图！
问题4 如图，设计一种测量方法，测量旗杆的高度.
解：如图，在△ABC中，测得
类型一：可到达高度BC
南充市某中学数学兴趣小组为了测量校园旗杆的高度，如图所示，在操场上选择了C、D两点，在C、D处测得旗杆的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD=120°，且C，D的距离为12米，则旗杆AB的高度为_____m.
【应用2】测量高度问题
B
A
C
D
12
C
D
准确作图！
类型二：空间高度
【应用2】测量高度问题
为测量一颗底部不可到达的树的高度，在地面上选取A,B两点，从A,B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且AB=60m，则测得的树的高度为________.
P
Q
A
B
30°
45°
滕王阁
准确作图！
类型三：不可到达高度PQ
【应用3】测量角度问题
甲船在A点监测到乙船在北偏东60°方向的B处，并正以????n mile/h的速度向北行驶，已知甲船的速度是3n mile/h，则甲船应沿着 __________方向前进，才能最快与乙船相遇。
?
北偏东30°
问题6(例11) 位于某海域A处的甲船获悉，在其正东方向相距20 n mile的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救. 甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30°，且与甲船相距7 n mile的C处的乙船. 那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线(由观测点看目标的视线)的方向是北偏东多少度(精确到1°)? 需要航行的距离是多少海里(精确到1 n mile)?
北
A
30°
C
20 n mile
B
解: 根据题意, 画出示意图如图示, 由余弦定理, 得
由正弦定理, 得
因此，乙船前往营救遇险渔船时的方向约是北偏东46°+ 30°=76°，大约需要航行24 n mile.
如图甲，首钢滑雪大跳台是冬奥历史上第一座与工业遗产再利用直接结合的竞赛场馆，大跳台的设计中融入了世界文化遗产敦煌壁画中“飞天”的元素.
如图乙，某研究性学习小组为了估算赛道造型最高点A距离地面的高度AB(AB与地面垂直)，在赛道一侧找到一座建筑物CD，测得CD的高度为h，并从C点测得A点的仰角为30°；在赛道与建筑物之间的地面上的点E处测得A点，C点的仰角分别为75°和30°（其中B，E，D三点共线）.该学习小组利用这些数据估算得AB约为60米，则CD的高h约为( )米
（参考数据：2≈1.41，3≈1.73，6=2.45）
?
75°
30°
30°
60°
60
75°
15°
45°
30°
正弦、余弦定理在实际测量中（解三角形）的应用的一般步骤:
(4) 检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．
(1) 分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．
(2) 建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．
(3) 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．
实际问题
数学问题（画出图形）
解三角形问题
数学结论
分析转化
角平分线和中线问题
解三角形中的角平分线问题
切入点：构造关于a,c的定值式
考查：基本不等式
(与b无关)
解三角形中的角平分线问题
切入点：构造关于a,c的定值式
考查：基本不等式
周练3第8题：D为三等分点
解三角形中的中线问题
(向量求模法)
4
解三角形中的中线问题
(中位线法)
(同上)
解三角形中的中线问题
(平行四边形法)
(互补法)
x
x
角平分线问题
构造a,c的定值式&基本不等式
解三角形中的中线问题
(向量求模法)
4
解三角形中的中线问题
(中位线法)
(同上)
解三角形中的中线问题
(平行四边形法)
(互补法)
x
x

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