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2023年湖南省长沙市雅礼实验中学中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列四个选项中，绝对值最大的数是（ ）
A． B． C． D．
2．党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展，截至2021年底，我国高技能人才超过64800000人，将数据64800000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示的钢块零件的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
5．劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班名学生，收集到如下数据：，则这组数据的众数和中位数是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
6．如图，在中，，，，等于（ ）

A． B． C． D．
7．如图，分别与相切于A、B两点，连接，若，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
8．如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的的两边上，分别截取，使．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，则射线就是的平分线．其作图原理是：，这样就有，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A． B． C． D．
9．下列函数图象中,当时，函数值随增大而增大的是（ ）
A． B． C． D．
10．为了做好我市新冠肺炎疫情防控“外防输入，内防反弹”的工作，长沙市疾控中心对三位有可能与新冠肺炎患者密接的市民甲、乙、丙进行调查，三位市民有如下对话：
甲说：我密接了，需要隔离；
乙说：我肯定没有密接，请让我回去工作；
丙说：甲没有密接，不要被他骗了；
若这三人中只有一人说的是真话且只有一名密接者，请你判断谁是真正密接的人( )
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法判断
二、填空题
11．因式分解：______．
12．圆锥的侧面积是，底面半径为，则圆锥的母线长是_______．
13．方程有两个相等的实数根，则m的值为__________.
14．抛物线的项点坐标为________ ．
15．如图所示，在矩形中，，，则________度 ．

16．已知如图：，，，则________ ．

三、解答题
17．计算： ．
18．先化简，再求值：，其中 ．
19．如图，某校校门口安装了体温监测仪器，体温检测有识别区域即的长，当身高为米的学生进入识别区域时，在点D处测得摄像头M的仰角为，在点C处测得摄像头M的仰角为，学校大门的高是米，则体温识别区域的长为多少米？（结果精确到0.1米，参考数据，）

20．近几年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，为了提高意识，共克时艰，共渡难关，某校开展了“全民行动·共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：，，，），下面给出了部分信息：
七年级名学生的竞赛成绩是；
八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据是：
八年级抽取的学生竞赛成绩 扇形统计图

七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数
中位数
方差
根据以上信息，解答下列问题；
(1)________，________；
(2)该校七、八年级共人参加了此次网上答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀（）的学生人数是多少？
(3)如果从七年级分（含分）以上的四名学生中抽取两名学生参加市里的知识竞赛，请用列表法或树状图法求恰好抽中分的学生参赛的概率是多少？（用表示分，表示分）
21．如图，已知等腰，点D、E分别在上，且．
(1)求证：；
(2)如果，求的长 ．
22．2023年5月11日，长沙市橘子洲头举办了燃放烟花的活动，橘子洲头当天实行全天闭园，长沙市地铁二号线实行全天跳站 ．对此非常有兴趣的数学爱好者小李去市场上调查了解A、B两种不同型号烟花的价格，已知B型号烟花的价格比A种烟花价格每箱贵60元，用3000元购买A型号的烟花和用4800元购买B种型号的烟花的箱数相同 ．
(1)请问A，B两种烟花每箱的价格分别是多少元？
(2)小李的爸爸所在的公司即将要举办周年庆活动，计划购买A，B两种型号的烟花共100箱，要求购买A型号烟花的数量2倍不高于B型号烟花数量的3倍，爸爸问小李：怎样设计购买方案能使总费用最低？总费用最低为多少元？
23．如图，已知四边形是平行四边形，对角线与相交于点F，且平分，延长，过点D作，交的延长线于点C ．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求四边形的面积 ．
24．若抛物线（a，b，c是常数，）与直线满足，则称此直线l与该抛物线L具有“雅礼”关系，此时，直线l叫做抛物线L的“雅线”，抛物线L叫做直线l的“礼线”．
(1)若直线与抛物线具有“雅礼”关系，求“礼线”的解析式；
(2)若抛物线的“雅线”与的图像只有一个交点，求m，n的值；
(3)已知“礼线”（a，b，c是常数，）与它的“雅线”交于点P，与它的“雅线”的平行交于点A，B，记的面积为S，的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由 ．
25．如图1，在中，是斜边上一动点，以点A为圆心，长为半径作圆A交于点F，设圆A半径为r，若满足，连接并延长交圆A于点E，连接．
(1)如图1，若，求半径；
(2)如图2，点D在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)当点D在斜边上运动时，求的取值范围 ．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【分析】计算出各数的绝对值后，进行比较即可得到答案．
【详解】解：，，
∴绝对值最大的是，
故选：B．
【点睛】本题考查了实数绝对值的计算，有理数大小的比较，二次根式的估算，掌握实数绝对值的计算是关键．
2．B
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据64800000用科学记数法表示为；
故选：B．
【点睛】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键．
3．D
【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方逐项判断即可得．
【详解】解：A、与不是同类项，不可合并，则此项错误，不符合题意；
B、，则此项错误，不符合题意；
C、，则此项错误，不符合题意；
D、，则此项正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除法、积的乘方与幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键．
4．A
【分析】主视图是从物体的正面看所得到的图形，几何体看得见部分的轮廓线画成实线，被遮挡看不见的部分的轮廓线画成虚线．
【详解】解：钢块零件的主视图为
故选：A．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，画三视图时要注意“长对正，宽相等，高平齐”，被遮挡看不见的部分的轮廓线画成虚线．
5．C
【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数即可解答．
【详解】解：∵随机调查了本班名学生，收集到如下数据：，
∴这组数据从小到大排序为，
∴这组数的众数为，中位数为，
【点睛】本题考查了众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数，掌握众数和中位数的定义是解题的关键．
6．D
【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可．
【详解】解：在中，，，，
∴,
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．
7．B
【分析】由切线的性质及四边形内角和即可求解．
【详解】解：∵分别与相切于A、B两点，
∴；
∵，，
∴；
故选：B．
【点睛】本题考查了切线的性质、四边形内角和，掌握这两个知识是关键．
8．D
【分析】根据SSS证明三角形全等即可；
【详解】解：由作图可知，，
在和中，
，
∴，
∴，
即射线就是的平分线，
故选：D．
【点睛】本题考查作图 复杂作图，全等三角形的判定，角平分线的判定等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题．
9．B
【分析】需根据函数的图象得出函数的增减性，即可求出当时，随的增大而减小的函数．
【详解】解：、当时，随的增大而减小，故不合题意；
、当时，随的增大而增大，符合题意；
、当时，随的增大而减小，故不合题意；
、当时，随的增大先减小而后增大，故不合题意；
故选：B．
【点睛】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数的图象．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得直观化了，降低了题的难度．
10．B
【分析】分别假设甲、乙、丙说的是真话，结合题意推论，得出结论．
【详解】解：假设甲说的是真话，则甲是密接者，所以乙说的是真话，不合题意，
假设乙说的是真话，甲说的是假话，则丙乙说的是真话，不合题意，
假设丙说的是真话，则甲、乙说的是假话，符合题意，
所以真正密接的人是乙，
故选：B
【点睛】本题考查的是推理与论证，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
11．
【分析】直接利用平方差公式分解即可．
【详解】解：；
故答案为：．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟知平方差公式是解题的关键．
12．
【分析】根据圆锥侧面积公式即可求解．
【详解】解：∵圆锥的侧面积，，
∴圆锥的母线长，
故答案为：．
【点睛】本题考查了求圆锥的母线长，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题的关键．
13．1
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ=4-4m=0，解之即可得出结论．
【详解】解：∵关于x的方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根，
∴Δ=（-2）2-4m=4-4m=0，
解得：m=1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当Δ=0时，方程有两个相等的实数根”是解题的关键．
14．
【分析】根据顶点式的顶点坐标为求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数顶点式的顶点坐标为，掌握顶点式求顶点坐标是解题的关键．
15．
【分析】由矩形的性质及正切函数的定义即可求得结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴；
在中，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，正切函数，正确运用这些知识是解题的关键．
16．
【分析】根据，可以得出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可解答．
【详解】，
，
，
，
，
，
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定的综合运用，解决问题时要注意相似三角形的面积比等于相似比的平方，能够灵活的运用相似三角形的性质来求解是关键．
17．1
【分析】计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、代入特殊角的三角函数值，再进行实数的混合运算即可．
【详解】解：
【点睛】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握相关运算法则和熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．
18．，2023
【分析】先根据分式的减法法则进行计算，再将除法转化成乘法，最后根据分式的乘法法则进行计算，再将代入化简的结果求值即可．
【详解】解：原式
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简与求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
19．米
【分析】由题意可得的长，在中，由正切函数可求得的长度，由已知可得，从而可得的长．
【详解】解：由题意得米，米，
∴米，
在中，，
∴，解得，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴（米）．
答：体温识别区域的长为米．

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握正切三角函数的定义是解题的关键．
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据扇形统计图的数据及调查总人数即可解答；
（2）根据七八年级优秀总人数及七八年级抽样总人数即可解答；
（3）根据概率统计的方法画树状图及概率的定义即可解答．
【详解】（1）解：∵参与调查的学生为人，组为人，组百分数为，组百分数为，
∴组的人数为（人），
∴组的百分数为，
∴，
∵八年级的中位数应该在第个数字上，即组就是八年级的中位数，
∴八年级名学生的竞赛成绩在组中的数据排序是：
∴中位数为，
∴，
故答案为，；
（2）解：∵七年级优秀人数为人，八年级优秀总人数为人，
∴该校七、八年级共人优秀总人数为（人），
（3）解：画树状图如图：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽中100分的学生参赛的结果占6种，
∴概率 ．
【点睛】本题考查了扇形统计图，中位数和众数的定义，样本估算总体，概率的统计方法，概率的定义，读懂扇形统计图及学会概率的统计方法是解题的关键．
21．(1)证明见解析
(2)12
【分析】（1）由等腰三角形的性质及已知即可完成证明；
（2）由相似三角形的性质即可完成解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵．
∴；
（2）由（1）得，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，掌握这两方面的知识是关键．
22．(1)A，B两种烟花每箱的价格分别是100元，160元．
(2)A种烟花购买60箱，B种烟花购买40箱时，费用最小，最小费用为12400元
【分析】（1）设A种烟花每箱的价格是x元，则B种烟花每箱的价格是元，根据题意列出分式方程即可，最后检验；
（2）设购买A种烟花m箱，则B种烟花购买箱，总费用为W．由题意列出不等式求解可求得m的取值范围，然后列出W关于m的一次函数式即可求解．
【详解】（1）解：设A种烟花每箱的价格是x元，则B种烟花每箱的价格是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
∴（元）；
答：A，B两种烟花每箱的价格分别是100元，160元．
（2）解：设购买A种烟花m箱，则B种烟花购买箱，总费用为W．
依题意得：，
解得：，
∴
．
∵，
∴W随m的增大而减小，当m取最大值60时，（元）．
答：A种烟花购买60箱，B种烟花购买40箱时，费用最小，最小费用为12400元 ．
【点睛】本题是函数、方程与不等式的综合，考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用及一元一次不等式的实际应用，理解题意并找到数量关系列出方程、不等式及函数关系式是关键．
23．(1)证明见解析
(2)24
【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，再由角平分线的定义推出，则，由此可证明平行四边形是菱形；
（2）先证明四边形是平行四边形，得到，再由菱形的性质得到，，由勾股定理得，则四边形的面积．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，，
在中，，，
∴由勾股定理得，
∴四边形的面积．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的判定，角平分线的定义等等，熟知菱形的性质与判定条件，平行四边形的性质与判定条件是解题的关键．
24．(1)
(2)，或，
(3)是定值，这个定值是
【分析】（1）根据“雅礼”关系的定义求出的值，由此即可得；
（2）先根据“雅礼”关系可得“雅线”的解析式、一个关于的等式，再根据“雅线”与的图像只有一个交点可得一个关于的等式，联立两个等式求解即可得；
（3）不妨设，设的“雅线”与轴交于点，直线与轴交于点，，，先利用二次函数与一元二次方程的联系可得，再根据直线的解析式可得，然后根据即可得．
【详解】（1）解：∵直线与抛物线具有“雅礼”关系，
，
解得，
则“礼线”的解析式为．
（2）解：抛物线的“雅线”的解析式为，且，即，
联立得：，
“雅线”的解析式为与的图像只有一个交点，
方程的根的判别式为，即，
联立，
解得，或，．
（3）解：的值是定值，求解过程如下：
如图，不妨设，设的“雅线”与轴交于点，直线与轴交于点，，，
由得：，
∴，，
，
把代入得：，
直线的解析式为，直线的解析式为，
，，
，
又∵，
∴，
∴，是定值．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合、二次函数与一元二次方程的联系、一次函数与反比例函数的综合，掌握理解“雅礼”关系是解题关键．
25．(1)4
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）由平行的性质及，推得，由勾股定理求得的长，进而求得的长；
（2）延长FA交于点N，连接EN，则，由圆内接四边形的性质即可求得两角的关系；
（3）延长FA交于点N，连接EN，过点D作于H，易证明，可得；由，得，则可求得、，由可得关于的表达式，根据已知确定的取值范围，最后由二次函数的性质可确定的范围．
【详解】（1）解：如图：
∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
（2），理由如下：
如图，延长FA交于点N，连接EN，
∴，
∵四边形DENF是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图，延长FA交于点N，连接EN，过点D作于H，
由（2）得：，，
∴，
∴，即，
∵圆的半径为r，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∵，所以在上函数值随r的增大而减小，
∴．
【点睛】本题是圆的综合问题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，添加适当辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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