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专题14 “等效重力场”模型
[模型导航]
【知识分析】“等效重力场”模型解法 1
【模型一】“等效重力场”中的直线运动模型 1
【模型二】“等效重力场”中的抛体类运动模型 2
【模型三】“等效重力场”中的单摆类模型 4
【模型四】“等效重力场”中的圆周运动类模型 8
[模型分析]
【知识分析】“等效重力场”模型解法
将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）
“等效重力场”建立方法——概念的全面类比
为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系．具体对应如下：
等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力重力、电场力的合力
等效重力加速度等效重力与物体质量的比值
等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置
等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置
等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
【模型一】“等效重力场”中的直线运动模型
【运动模型】 如图所示，在离坡底为L的山坡上的C点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A到坡底B之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30 ．若物体从A点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间．（g=10m/s2，sin37 =0.6，cos37 =0.8）
因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图所示
“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角，大小：带电小球沿绳做初速度为零，加速度为的匀加速运动
①
②
由①②两式解得
“等效重力场”的直线运动的几种常见情况
匀速直线运动 匀加速直线运动 匀减速直线运动
（多选）如图所示，地面上固定一倾角为θ＝53°，高为h的光滑绝缘斜面，现将一个带正电的物块（可视为质点）从斜面顶端由静止释放，已知物块质量为m，电荷量为q，斜面置于水平向左的匀强电场中，电场强度大小为，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为mgh
B．物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为
C．物块落地的动能大小为2mgh
D．物块落地的动能大小为
如图所示，空间有一水平方向的匀强电场，初速度为v0的带电小球从A点射入电场，在竖直平面内沿直线从A运动到B，下列说法正确的是（　　）
A．小球带负电
B．小球的机械能减少
C．小球做匀速直线运动
D．重力势能和电势能之和减少
如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板长为L（不考虑边界效应）。t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为v0；平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则（　　）
A．M板电势高于N板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度为a
D．粒子从N板下端射出的时间t
【模型二】“等效重力场”中的抛体类运动模型
【运动模型】如图所示，在电场强度为E的水平匀强电场中，以初速度为竖直向上发射一个质量为m、带电量为+q的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度．
建立等效重力场如图所示，等效重力加速度
设与竖直方向的夹角为θ，则
其中
则小球在“等效重力场”中做斜抛运动
当小球在y轴方向的速度减小到零，即时，两者的
合速度即为运动过程中的最小速度
（多选）（2023 湖北）一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（　　）
A．L：d＝2：1
B．U1：U2＝1：1
C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
（多选）如图所示，在电场强度方向水平向右的匀强电场中，一质量为m、带电荷量为q的粒子从A点以速度v0竖直向上抛出，粒子运动到B点时速度方向水平、大小也为v0，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．粒子在该过程中克服电场力做功为mv02
B．匀强电场的电场强度大小为
C．粒子在A点的电势能比在B点的电势能大mv02
D．粒子从A点运动到B点所用的时间为
（多选）如图所示，空间有范围足够大的匀强电场，电场强度大小为E，方向与水平方向夹角为45°，一质量为m、电荷量的带正电小球（可视为质点），从A点以初速度v0竖直向上抛出，经过一段时间后运动到B点，A、B两点在同一电场线上，重力加速度为g，不计空气阻力，带电小球从A点到B点过程中（　　）
A．用时为 B．动能增加
C．电势能减少 D．机械能增加
如图所示，一个可以看成点电荷的带电小球质量为m，电荷量为+q，从水平面上的M点以初速度v0抛出，初速度方向与竖直方向的夹角为θ，小球恰好垂直撞击在竖直墙壁的N点，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．小球从M点运动到N点的竖直位移y与水平位移x之比满足tanθ
B．若在空间施加一个垂直纸面向里的匀强电场，小球从M点以速度v0沿原方向抛出后可能会垂直击中墙面
C．若在空间施加一个大小为E、方向与v0同向的匀强电场，从水平地面上的P点将小球以速度v0抛出，速度方向与竖直方向的夹角为θ＝37°，sin37°＝0.6，小球垂直撞击在竖直墙壁上的Q点，则PQ两点间的水平间距l
D．若空间中充满了垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B，从水平地面上的S点将小球以速度v0竖直向上抛出后，小球垂直撞击在竖直墙壁上的T点，则ST两点间竖直高度差h
在电场方向水平向右的匀强电场中，一电荷量为q的带正电小球从O点以初速度v0竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，小球运动过程中经过A、B、C三点，A点的纵坐标为3L，B点为运动轨迹的最高点，B点纵坐标为4L，C点与O点在同一水平线上，OB间的电势差大小为U，小球在A点的速度方向与竖直方向间的夹角为60°，重力加速度为g，求：
（1）从O点运动到A点的时间与从A点运动到B点的时间之比tOA：tAB，B点的速度大小vB；
（2）O到B的水平位移大小xOB，小球的质量大小m；
（3）从O点到C点的运动过程中最小速度的大小vmin。
【模型三】“等效重力场”中的单摆类模型
【模型构建】如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度L=0.4m的绝缘细绳把质量为m=0.10kg、带有正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细绳与竖直方向的夹角为θ=37 ．现将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放：
建立“等效重力场”如图所示，“等效重力加速度”，
方向：与竖直方向的夹角，大小：
由A、C点分别做绳OB的垂线，交点分别为A'、C'，由动能
定理得带电小球从A点运动到C点等效重力做功
代入数值得m/s
当带电小球摆到B点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为，绳上的拉力为，则
①
②
联立①②两式子得N
如图一根不可伸长的绝缘细线一端固定于O点，另一端系一带电小球，置于水平向右的匀强电场中，现把细线水平拉直，小球从A点静止释放，经最低点B后，小球摆到C点时速度为0，则（　　）
A．小球在B点时的速度最大
B．小球在B点时的绳子拉力最大
C．小球从A到C的过程中，机械能先减少后增大
D．从A到C的过程中小球的电势能一直增大
（多选）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为l的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度为，下列说法正确的是（　　）
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为
B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动
D．若去掉细线，将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点
（多选）质量为m的带正电小球悬挂在绝缘细线上，小球视为质点，绝缘细线长为L，整个空间有水平方向场强为E的匀强电场，当小球静止时，细线与竖直方向成θ角（θ＜5°），重力加速度为g。若保持场强大小不变方向迅速改为竖直向下，小球从图示位置到第一次经过最低点需要时间为t，则（　　）
A．小球所带电荷量为
B．小球所带电荷量为
C．
D．
（2023 全国）如图，两块大导体板水平相对放置，相距为d，电势分别为U0和﹣U0（U0＞0 ），长为L的绝缘细绳上端固定于上板，下端与质量为m的带正电小球连接，小球带电量为Q。重力加速度大小为g。小球在平衡位置附近摆动的周期是（　　）
A．2π B．2π
C．2π D．2π
【模型四】“等效重力场”中的圆周运动类模型
【模型构建】如图所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一质量为m的带正电，电量为小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应为多大？
运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道．
对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过山车．
等效分析：如图所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力，大小，，得，于是重效重力方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型．
规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道．如果将斜面顺时针转过300，就成了如图3-3所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B，则B点应满足“重力”当好提供向心力即：
假设以最小初速度v0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根据动能定理：解得：
如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．匀强电场的电场强度
B．小球做圆周运动过程中动能的最小值为
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
如图所示，环形塑料管半径为R，竖直放置，且管的内径远小于环的半径，ab为该环的水平直径，环的ab及其以下部分处于水平向左的匀强电场中，管的内壁光滑。现将一质量为m，电荷量为q的小球从管中a点由静止开始释放，已知qE＝mg，小球可以运动过b点。则下列说法正确的是（　　）
A．小球带负电荷
B．小球释放后，到达b点时速度为零，并在bda间往复运动
C．小球释放后，第一次和第二次经过最高点c时对管壁的压力之比为1：6
D．小球释放后，第一次经过最低点d和最高点c时对管壁的压力之比为5：1
半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有质量为m带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图，珠子所受静电力是其重力的倍，将珠子从环上最低位置A点由静止释放（sin53°＝0.8；cos53°＝0.6）则珠子所获得的最大动能是（　　）
A．sinr B．mgr C．mgr D．mgr
如图所示，竖直固定的光滑绝缘轨道处在水平向右的匀强电场中，轨道的倾斜部分MN倾角θ＝53°，水平部分NP与倾斜轨道MN平滑连接，圆心为O、半径为R的圆弧轨道PQJK与NP相切于P点。现有一质量为m、电荷量为+q的带电小球（可视为质点）从M点由静止释放，小球可沿轨道运动。已知电场强度大小E，轨道水平段NP长度sNP＝4R，重力加速度为g，空气阻力不计，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。
（1）当小球释放高度h＝9.6R时，求小球到达P点时的速度大小；
（2）当小球释放高度h＝9.6R时，求小球运动到与O点等高的Q点时受到轨道弹力的大小；
（3）如果其他条件不变，仅将小球带电量变为﹣q，要使小球在运动过程中不脱离圆弧轨道，求小球释放高度h的取值范围。
如图所示，光滑绝缘小平台距水平地面高H＝0.96m，地面与竖直绝缘光滑圆形轨道在A点连接，整个装置位于水平向右的匀强电场中。现将质量m＝0.1kg、带电荷量q＝1×10﹣3C的小球（带正电，可视为质点）从平台上端点N由静止释放，离开平台N后，沿直线NA运动，恰好由A点沿切线进入右侧绝缘光滑圆形轨道（轨道半径R未知），并沿轨道恰好能运动到C点。图中O点是圆轨道的圆心，B、C分别是圆形轨道的最低和最高点，AO、BO间的夹角为53°，取g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：
（1）匀强电场的大小；
（2）小球运动到C点时的速度大小；
（3）小球在圆形轨道上运动时对轨道的最大压力大小。
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专题14 “等效重力场”模型
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【知识分析】“等效重力场”模型解法 1
【模型一】“等效重力场”中的直线运动模型 1
【模型二】“等效重力场”中的抛体类运动模型 2
【模型三】“等效重力场”中的单摆类模型 6
【模型四】“等效重力场”中的圆周运动类模型 12
[模型分析]
【知识分析】“等效重力场”模型解法
将一个过程或事物变换成另一个规律相同的过程和或事物进行分析和研究就是等效法．中学物理中常见的等效变换有组合等效法（如几个串、并联电阻器的总电阻）；叠加等效法（如矢量的合成与分解）；整体等效法（如将平抛运动等效为一个匀速直线运动和一个自由落体运动）；过程等效法（如将热传递改变物体的内能等效为做功改变物体的内能）
“等效重力场”建立方法——概念的全面类比
为了方便后续处理方法的迁移，必须首先搞清“等效重力场”中的部分概念与复合之前的相关概念之间关系．具体对应如下：
等效重力场重力场、电场叠加而成的复合场
等效重力重力、电场力的合力
等效重力加速度等效重力与物体质量的比值
等效“最低点”物体自由时能处于稳定平衡状态的位置
等效“最高点”物体圆周运动时与等效“最低点”关于圆心对称的位置
等效重力势能等效重力大小与物体沿等效重力场方向“高度”的乘积
【模型一】“等效重力场”中的直线运动模型
【运动模型】 如图所示，在离坡底为L的山坡上的C点树直固定一根直杆，杆高也是L．杆上端A到坡底B之间有一光滑细绳，一个带电量为q、质量为m的物体穿心于绳上，整个系统处在水平向右的匀强电场中，已知细线与竖直方向的夹角θ=30 ．若物体从A点由静止开始沿绳无摩擦的滑下，设细绳始终没有发生形变，求物体在细绳上滑行的时间．（g=10m/s2，sin37 =0.6，cos37 =0.8）
因细绳始终没有发生形变，故知在垂直绳的方向上没有压力存在，即带电小球受到的重力和电场力的合力方向沿绳的方向．建立“等效重力场”如图所示
“等效重力场”的“等效重力加速度”，方向：与竖直方向的夹角，大小：带电小球沿绳做初速度为零，加速度为的匀加速运动
①
②
由①②两式解得
“等效重力场”的直线运动的几种常见情况
匀速直线运动 匀加速直线运动 匀减速直线运动
（多选）如图所示，地面上固定一倾角为θ＝53°，高为h的光滑绝缘斜面，现将一个带正电的物块（可视为质点）从斜面顶端由静止释放，已知物块质量为m，电荷量为q，斜面置于水平向左的匀强电场中，电场强度大小为，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为mgh
B．物块从静止释放到落地的过程中电场力做功为
C．物块落地的动能大小为2mgh
D．物块落地的动能大小为
【解答】解：AB、物块受力如图所示
tanα，则α＝37°
物块从静止释放到落地过程的位移x
物块从静止释放到落地过程电场力做的功W＝qExcosα＝qh×cos37°，故A错误，B正确；
CD、物块受到的合力大小Fmg，物块从释放到落地过程，由动能定理得：Fx＝Ek﹣0，解得，落地时的动能Ek，故C错误，D正确。
故选：BD。
如图所示，空间有一水平方向的匀强电场，初速度为v0的带电小球从A点射入电场，在竖直平面内沿直线从A运动到B，下列说法正确的是（　　）
A．小球带负电
B．小球的机械能减少
C．小球做匀速直线运动
D．重力势能和电势能之和减少
【解答】解：A、带电小球做直线运动，所以所受合力方向与运动方向在同一直线上，小球受到重力和电场力，可知小球所受的电场力方向水平向左，与场强方向相同，所以小球带正电。故A错误。
BCD、因为电场力和重力方向与位移方向夹角为钝角，所以重力和电场力都做负功，故重力势能增加，电势能增加，所以重力势能与电势能之和增加，根据能量守恒可知，小球的机械能减小，即动能与重力势能之和减小。又因为小球机械能减小，小球重力势能增加，所以小球的动能减小，故B正确，CD错误。
故选：B。
如图所示，带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在匀强电场，板长为L（不考虑边界效应）。t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射两个速度大小为v0的相同粒子，垂直M板向右的粒子，到达N板时速度大小为v0；平行M板向下的粒子，刚好从N板下端射出。不计重力和粒子间的相互作用，则（　　）
A．M板电势高于N板电势
B．两个粒子的电势能都增加
C．粒子在两板间的加速度为a
D．粒子从N板下端射出的时间t
【解答】解：A、因为不知道两粒子的电性，故无法确定M板和N板的电势高低，故A错误；
B、根据题意可知垂直M板向右的粒子，到达N板时速度增加，动能增加，则电场力做正功，电势能减小；则平行M板向下的粒子达到N板时电场力也做正功，电势能也减小，故B错误；
CD。设两板间距离为d，对于平行M板向下的粒子刚好从N板下端射出，在两板间做类平抛运动，有
对于垂直M板向右的粒子，在板间做匀加速直线运动，因两粒子相同，在电场中的加速度也相同，有
联立解得：；，故C正确，D错误；
故选：C。
【模型二】“等效重力场”中的抛体类运动模型
【运动模型】如图所示，在电场强度为E的水平匀强电场中，以初速度为竖直向上发射一个质量为m、带电量为+q的带电小球，求小球在运动过程中具有的最小速度．
建立等效重力场如图所示，等效重力加速度
设与竖直方向的夹角为θ，则
其中
则小球在“等效重力场”中做斜抛运动
当小球在y轴方向的速度减小到零，即时，两者的
合速度即为运动过程中的最小速度
（多选）（2023 湖北）一带正电微粒从静止开始经电压U1加速后，射入水平放置的平行板电容器，极板间电压为U2。微粒射入时紧靠下极板边缘，速度方向与极板夹角为45°，微粒运动轨迹的最高点到极板左右两端的水平距离分别为2L和L，到两极板距离均为d，如图所示。忽略边缘效应，不计重力。下列说法正确的是（　　）
A．L：d＝2：1
B．U1：U2＝1：1
C．微粒穿过电容器区域的偏转角度的正切值为2
D．仅改变微粒的质量或者电荷数量，微粒在电容器中的运动轨迹不变
【解答】解：B、粒子在电容器中水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做匀变速直线运动，根据电场强度和电势差的关系以及电场强度与电场力的关系可得
E①
F＝qE＝ma②
粒子射入电容器后的速度为v0，水平方向上和竖直方向上的分速度为
vx＝v0cos45°v0③
vy＝v0sin45°v0④
粒子从射入到运动到最高点，由运动学关系速度与位移公式可得
v2ad⑤
粒子在电场加速的过程中由动能定理可得
qU1mv⑥
联立①②④⑤⑥解得
U1：U2＝1：1
故B正确；
A、粒子从射入到运动到最高点过程中，设水平方向速度为vx，竖直方向上速度为vy，且水平方向上的位移为
x＝2L＝vxt⑦
竖直方向上的位移为y＝d⑧
联立⑦⑧解得
L：d＝1：1
故A错误；
C、粒子射入电容器到最高点过程中有
vy＝at⑨
粒子穿过电容器时从最高点到穿出过程中，设水平方向速度为vx，竖直方向上速度为vy1，在水平方向上由位移公式可得
L＝vxt1⑩
竖直方向上由速度公式可得
vy1＝at1
联立整理⑨⑩ 解得
vy1
设粒子穿过电容器时，速度方向与水平方向的夹角为α，则
tanα
粒子射入电场和水平方向的夹角为β＝45°，则
tanβ＝tan45°＝1
根据数学三角函数公式可得
tan（α+β）＝3
故C错误；
D、粒子射入最高点的过程水平方向的位移为x，竖直方向的位移为
yat2
联立①②③④⑦⑧整理解得
y
即粒子在运动到最高点的过程中水平方向和竖直方向的位移均与电荷量和质量无关，射出电场过程中同理
x1＝L＝vxt1′
y1L
即轨迹不会变化，故D正确。
故选：BD。
（多选）如图所示，在电场强度方向水平向右的匀强电场中，一质量为m、带电荷量为q的粒子从A点以速度v0竖直向上抛出，粒子运动到B点时速度方向水平、大小也为v0，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．粒子在该过程中克服电场力做功为mv02
B．匀强电场的电场强度大小为
C．粒子在A点的电势能比在B点的电势能大mv02
D．粒子从A点运动到B点所用的时间为
【解答】解：BD、粒子在竖直方向上在重力作用下做加速度为g的匀减速运动，在B点竖直方向的速度为零，设粒子从A运动到B所需时间为t，则v0＝gt
则
水平方向在电场力作用下做初速度为零的匀加速运动，则
则：a＝g
所以匀强电场的电场强度大小为
故B错误，D正确；
AC、从A到B水平方向上的位移为
则从A到B电场力做正功
则电势能减小
即粒子在A点的电势能比在B点的电势能大，故A错误，C正确。
故选：CD。
（多选）如图所示，空间有范围足够大的匀强电场，电场强度大小为E，方向与水平方向夹角为45°，一质量为m、电荷量的带正电小球（可视为质点），从A点以初速度v0竖直向上抛出，经过一段时间后运动到B点，A、B两点在同一电场线上，重力加速度为g，不计空气阻力，带电小球从A点到B点过程中（　　）
A．用时为 B．动能增加
C．电势能减少 D．机械能增加
【解答】解：A．带电小球所受电场力
F
对带电小球进行受力分析易得：竖直方向合力为0，水平方向合力为
qEsin45°＝mg
知带电小球做加速度a＝g的类平抛运动，由A点到B点过程中水平和竖直位移相等有
得A点到B点用时为
故A正确；
B．带电小球运动到B点时的速
动能增量
故B错误；
C．由A点到B点带电小球所受合外力做功
W合＝qEsin45° lABsin45°qElAB
且
W合＝ΔEk＝2m
电场力做功
W电＝qElAB＝2W合＝4m
即电势能减少，故C错误；
D．机械能增量等于电场力所做的功，故D正确。
故选：AD。
如图所示，一个可以看成点电荷的带电小球质量为m，电荷量为+q，从水平面上的M点以初速度v0抛出，初速度方向与竖直方向的夹角为θ，小球恰好垂直撞击在竖直墙壁的N点，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．小球从M点运动到N点的竖直位移y与水平位移x之比满足tanθ
B．若在空间施加一个垂直纸面向里的匀强电场，小球从M点以速度v0沿原方向抛出后可能会垂直击中墙面
C．若在空间施加一个大小为E、方向与v0同向的匀强电场，从水平地面上的P点将小球以速度v0抛出，速度方向与竖直方向的夹角为θ＝37°，sin37°＝0.6，小球垂直撞击在竖直墙壁上的Q点，则PQ两点间的水平间距l
D．若空间中充满了垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B，从水平地面上的S点将小球以速度v0竖直向上抛出后，小球垂直撞击在竖直墙壁上的T点，则ST两点间竖直高度差h
【解答】解：A、可采用逆向思维法，将小球的斜上抛运动看作一个反向的平抛运动来处理，设小球水平抛出的初速度为v，从M点运动到N点的时间为t，借助速度的分解，可得：tanθ．由位移的分解可得：2，则：2tanθ，故A错误；
B、由运动的独立性可知，当小球运动到N点时在竖直面的速度水平向左，但仍有垂直纸面向里的分速度，所以不可能垂直击中墙面，故B错误；
C、电场力与重力的合力大小为mg，方向与v0垂直向左下方，将该合力与初速度v0沿水平方向与竖直方向分解，竖直方向上 t，在水平方向上，l＝v0sin37° t，故C错误；
D、由于mg＝qv0B，可将小球的运动分解为水平向右的速度为v0的匀速运动和速率为的逆时针方向的匀速圆周运动两个分运动，在T处的速度是两种运动速度的矢量之和，即v＝（1）v0，由动能定理得：﹣mgh，解得 h。
也可以采用动能定理和动量定理来处理，设到T处速度为v，从S到T的过程中，由动能定理得：﹣mgh
在水平方向上，由动量定理得：qBt＝mv﹣0，即h，联立解得 h，故D正确。
故选：D。
在电场方向水平向右的匀强电场中，一电荷量为q的带正电小球从O点以初速度v0竖直向上抛出，其运动的轨迹如图所示，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系如图所示，小球运动过程中经过A、B、C三点，A点的纵坐标为3L，B点为运动轨迹的最高点，B点纵坐标为4L，C点与O点在同一水平线上，OB间的电势差大小为U，小球在A点的速度方向与竖直方向间的夹角为60°，重力加速度为g，求：
（1）从O点运动到A点的时间与从A点运动到B点的时间之比tOA：tAB，B点的速度大小vB；
（2）O到B的水平位移大小xOB，小球的质量大小m；
（3）从O点到C点的运动过程中最小速度的大小vmin。
【解答】解：（1）小球在竖直方向上做竖直上抛运动，则：vyB＝0
从O到B：
从A到B：
可得：tOB＝2tAB
所以从O点运动到A点的时间与从A点运动到B点的时间之比为：
小球到达A点，竖直方向的分速度为：
由小球在A点的速度方向与竖直方向间的夹角为60°，可得：
代入解得：
小球在水平方向上做初速为零的匀加速直线运动，则小球在B点的速度大小：
（2）小球从O到B过程，竖直方向有v0＝gtOB
水平方向有：
联立解得：
则有：
又根据牛顿第二定律有：
解得：
（3）小球受到的电场力方向水平向右，大小为：
设小球受到的重力和电场力的合力方向与水平方向的夹角为θ，则有：
解得：θ＝30°
将小球在O点的速度分解到平行重力和电场力的合力方向和垂直重力和电场力的合力方向，如图所示
当平行重力和电场力的合力方向的分速度为零时，小球的速度最小，则有
答：（1）从O点运动到A点的时间与从A点运动到B点的时间之比tOA：tAB为，B点的速度大小vB为；
（2）O到B的水平位移大小xOB为，小球质量的大小为；
（3）从O点到C点的运动过程中最小速度的大小vmin为。
【模型三】“等效重力场”中的单摆类模型
【模型构建】如图所示，在沿水平方向的匀强电场中有一固定点O，用一根长度L=0.4m的绝缘细绳把质量为m=0.10kg、带有正电荷的金属小球悬挂在O点，小球静止在B点时细绳与竖直方向的夹角为θ=37 ．现将小球拉至位置A使细线水平后由静止释放：
建立“等效重力场”如图所示，“等效重力加速度”，
方向：与竖直方向的夹角，大小：
由A、C点分别做绳OB的垂线，交点分别为A'、C'，由动能
定理得带电小球从A点运动到C点等效重力做功
代入数值得m/s
当带电小球摆到B点时，绳上的拉力最大，设该时小球的速度为，绳上的拉力为，则
①
②
联立①②两式子得N
如图一根不可伸长的绝缘细线一端固定于O点，另一端系一带电小球，置于水平向右的匀强电场中，现把细线水平拉直，小球从A点静止释放，经最低点B后，小球摆到C点时速度为0，则（　　）
A．小球在B点时的速度最大
B．小球在B点时的绳子拉力最大
C．小球从A到C的过程中，机械能先减少后增大
D．从A到C的过程中小球的电势能一直增大
【解答】解：AB、小球受到电场力与重力、绳子的拉力的作用，在复合场中做类单摆运动，当重力与电场力的合力与绳子的拉力在同一条直线上时，小球处于等效最低点，此时小球的速度最大，对绳子的拉力最大，而等效最低点不在B点，在AB之间。故A、B错误；
C、从A到B的过程中，小球所受的电场力水平向右，则电场力对小球一直做负功，小球的机械能一直减少。故C错误；
D、从A到C的过程中小球克服电场力做功，小球的电势能一直增大，故D正确；
故选：D。
（多选）如图所示，在地面上方的水平匀强电场中，一个质量为m、电荷量为+q的小球，系在一根长为l的绝缘细线一端，可以在竖直平面内绕O点做圆周运动。AB为圆周的水平直径，CD为竖直直径。已知重力加速度为g，电场强度为，下列说法正确的是（　　）
A．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为
B．若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时的机械能最大
C．若将小球在A点由静止开始释放，它将在ACBD圆弧上往复运动
D．若去掉细线，将小球在A点以大小为的速度竖直向上抛出，它将能够到达B点
【解答】解：A、由于电场强度E，故mg＝Eq，重力与电场力的合力大小为mg，若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则它运动的最小速度为v，则有：
mg＝m，解得，v，故A错误；
B、除重力和弹力外其它力做功等于机械能的增加值，若小球在竖直平面内绕O点做圆周运动，则小球运动到B点时，电场力做功最多，故到B点时的机械能最大，故B正确；
C、因电场力qE和重力mg合力F合的方向与竖直方向夹角为45°指向右向下方，故将小球在A点由静止开始释放，它将沿合力方向做匀加速直线运动到C处，此时细线被拉直，小球以水平方向的分速度由C点开始做圆周运动，若小球不脱离圆周轨道，再次返回到C点其速度必不为零，则小球不可能在ACBD圆弧上往复运动，故C错误；
D、若将小球在A点以大小为 的速度竖直向上抛出，小球将不会沿圆周运动，因此小球在竖直方向做竖直上抛，水平方向做匀加速运动，因Eq＝mg，故水平加速度与竖直速度加速大小均为g，当竖直方向上的位移为零时，时间t＝2，则水平位移xgt2＝2L，则说明小球刚好运动到B点，故D正确。
故选：BD。
（多选）质量为m的带正电小球悬挂在绝缘细线上，小球视为质点，绝缘细线长为L，整个空间有水平方向场强为E的匀强电场，当小球静止时，细线与竖直方向成θ角（θ＜5°），重力加速度为g。若保持场强大小不变方向迅速改为竖直向下，小球从图示位置到第一次经过最低点需要时间为t，则（　　）
A．小球所带电荷量为
B．小球所带电荷量为
C．
D．
【解答】解：AB、对小球受力分析知：Eq＝mgtanθ，解得q，故A正确，B错误；
B、当电场竖直向下，等效重力G′＝mg+Eq＝mg（1+tanθ），等效重力加速度g′＝g（1+tanθ），小球将做单摆运动，单摆的周期T＝2π2π4t，解得：；故C正确，D错误；
故选：AC。
（2023 全国）如图，两块大导体板水平相对放置，相距为d，电势分别为U0和﹣U0（U0＞0 ），长为L的绝缘细绳上端固定于上板，下端与质量为m的带正电小球连接，小球带电量为Q。重力加速度大小为g。小球在平衡位置附近摆动的周期是（　　）
A．2π B．2π
C．2π D．2π
【解答】解：若上下导体板电势均为零时，由单摆周期公式可得，小球在平衡位置附近摆动的周期为
T0＝2π
由于上下导体板间有电势差，带电小球处于重力场和电场的双重作用中，故上述周期公式中的重力加速度g实际应为重力场和电场作用下的等效重力加速度g′
上下导体板间有电势差为U＝U0﹣（﹣U0）＝2U0
上下导体板间的电场强度为E
按照力的独立性原则，小球在重力场和电场共同作用下，产生的等效重力加速度g′应满足
g′＝g
联立各式解得
g′
代入单摆周期公式，可得小球在平衡位置附近摆动的周期为
T＝2π
故A正确，BCD错误。
故选：A。
【模型四】“等效重力场”中的圆周运动类模型
【模型构建】如图所示，绝缘光滑轨道AB部分为倾角为30°的斜面，AC部分为竖直平面上半径为R 的圆轨道，斜面与圆轨道相切．整个装置处于场强为E、方向水平向右的匀强电场中．现有一质量为m的带正电，电量为小球，要使小球能安全通过圆轨道，在O点的初速度应为多大？
运动特点：小球先在斜面上运动，受重力、电场力、支持力，然后在圆轨道上运动，受到重力、电场力，轨道作用力，且要求能安全通过圆轨道．
对应联想：在重力场中，小球先在水平面上运动，重力不作功，后在圆轨道上运动的模型：过山车．
等效分析：如图所示，对小球受电场力和重力，将电场力与重力合成视为等效重力，大小，，得，于是重效重力方向为垂直斜面向下，得到小球在斜面上运动，等效重力不做功，小球运动可类比为重力场中过山车模型．
规律应用：分析重力中过山车运动，要过圆轨道存在一个最高点，在最高点满足重力当好提供向心力，只要过最高点点就能安全通过圆轨道．如果将斜面顺时针转过300，就成了如图3-3所示的过山车模型，最高点应为等效重力方向上直径对应的点B，则B点应满足“重力”当好提供向心力即：
假设以最小初速度v0运动，小球在斜面上作匀速直线运动，进入圆轨道后只有重力作功，则根据动能定理：解得：
如图所示，在竖直平面内有水平向左的匀强电场，在匀强电场中有一根长为L的绝缘细线，细线一端固定在O点，另一端系一质量为m的带电小球。小球静止时细线与竖直方向成θ角，此时让小球获得初速度且恰能绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动，重力加速度为g，不考虑空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．匀强电场的电场强度
B．小球做圆周运动过程中动能的最小值为
C．小球运动至圆周轨迹的最高点时机械能最小
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内运动一周的过程中，其电势能先减小后增大
【解答】解：A．小球静止时细线与竖直方向成θ角，对小球进行受力分析，如图所示
由平衡关系可知
tanθ
解得
E
故A正确；
B．小球静止时细线与竖直方向成θ角，则A点为小球绕O点在竖直平面内沿逆时针方向做圆周运动的等效最高点，如图所示
A点时小球的速度最小，动能最小，由牛顿第二定律可知
F
动能
Ekmin
联立解得
Ekmin
故B错误；
C．由功能关系可知，小球机械能的变化量等于除重力之外的电场力做的功。由题意可知，当小球运动到最左边与O点等高时，电场力做负功最多，机械能最小，故C错误；
D．小球从初始位置开始，在竖直平面内沿逆时针方向运动一周的过程中，电场力先做正功，再做负功，再做正功，所以电势能先减小，再增大，再减小，故D错误。
故选：A。
如图所示，环形塑料管半径为R，竖直放置，且管的内径远小于环的半径，ab为该环的水平直径，环的ab及其以下部分处于水平向左的匀强电场中，管的内壁光滑。现将一质量为m，电荷量为q的小球从管中a点由静止开始释放，已知qE＝mg，小球可以运动过b点。则下列说法正确的是（　　）
A．小球带负电荷
B．小球释放后，到达b点时速度为零，并在bda间往复运动
C．小球释放后，第一次和第二次经过最高点c时对管壁的压力之比为1：6
D．小球释放后，第一次经过最低点d和最高点c时对管壁的压力之比为5：1
【解答】解：A、小球从a点由静止释放能运动过b点，重力做功为零，所以电场力做正功，小球带正电，故A错误；
B、小球释放后到达b点时，由于电场力做正功，由动能定理知小球动能增加，则小球到达b点时速度不为零，故B错误；
C、从a点释放第一次过c点时，根据向心力公式，有N1C+mg＝m；从a点释放第一次到c点的过程，根据动能定理可知：
Eq 2R﹣mgR，联立解得：N1c＝mg；
从开始到第二次到c点的过程，根据动能定理得：
﹣mgR+2qE 2R
第二次在c点，根据向心力公式，有：N2C+mg＝m，解得：N2c＝5mg
结合牛顿第三定律知第一次和第二次经过最高点c时对管壁的压力之比为1：5，故C错误；
D、从开始到第一次过d点的过程，根据动能定理，有：mgR+qER
第一次在d点，对小球，根据向心力公式，有：N1d﹣mg＝m，
解得：N1d＝5mg；
结合牛顿第三定律知第一次经过最低点d和最高点c时对管壁的压力之比为5：1，故D正确。
故选：D。
半径为r的绝缘光滑圆环固定在竖直平面内，环上套有质量为m带正电的珠子，空间存在水平向右的匀强电场，如图，珠子所受静电力是其重力的倍，将珠子从环上最低位置A点由静止释放（sin53°＝0.8；cos53°＝0.6）则珠子所获得的最大动能是（　　）
A．sinr B．mgr C．mgr D．mgr
【解答】解：设珠子运动到与竖直方向夹角为θ时，切向合力为零，珠子在此位置速度最大：
得θ＝53°
珠子从运动至动能最大位置，上升高度为H，此过程重力做负功，电场力做正功，支持力始终垂直于v，所以不做功
由动能定理得：
W﹣G＝Ek
qEr sin53°﹣mgH＝Ek
Ekmgr sin53°﹣mgr（1﹣cos53°），故C正确，ABD错误。
故选：C。
如图所示，竖直固定的光滑绝缘轨道处在水平向右的匀强电场中，轨道的倾斜部分MN倾角θ＝53°，水平部分NP与倾斜轨道MN平滑连接，圆心为O、半径为R的圆弧轨道PQJK与NP相切于P点。现有一质量为m、电荷量为+q的带电小球（可视为质点）从M点由静止释放，小球可沿轨道运动。已知电场强度大小E，轨道水平段NP长度sNP＝4R，重力加速度为g，空气阻力不计，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。
（1）当小球释放高度h＝9.6R时，求小球到达P点时的速度大小；
（2）当小球释放高度h＝9.6R时，求小球运动到与O点等高的Q点时受到轨道弹力的大小；
（3）如果其他条件不变，仅将小球带电量变为﹣q，要使小球在运动过程中不脱离圆弧轨道，求小球释放高度h的取值范围。
【解答】解：（1）当小球释放高度h＝9.6R时，从释放到运动到P点的过程，由动能定理可得：
mgh+qE（sNP）0
代入数据解得：vP。
（2）小球从P到Q的过程，由动能定理可得：
﹣mgR+qER
在Q点，根据牛顿第二定律可得：
N﹣qE＝m
联立解得小球运动到Q点时受到轨道弹力的大小：N＝36.25mg。
（3）小球受到的重力和电场力的合力F的大小为：
F
解得：Fmg
将小球带电量变为﹣q，电场力的方向为水平向左，设合力F与竖直方向夹角为β，则有：
tanβ，解得：β＝37°
如下图所示：
①小球不脱离圆弧轨道，且做完整的圆周运动，则小球在圆轨道的等效最高点G需要的最小向心力恰好由合力F提供，设小球在圆轨道的等效最高点G的最小速度为vG，则有：
Fmg＝m
从释放到运动到G点的过程，由动能定理可得：
mg（h1﹣R﹣Rcosβ）﹣qE（sNP+Rsinβ）0
联立可得：h1
②小球的运动不越过圆心O点的等效等高处D点，小球亦可不脱离圆弧轨道，设小球释放高度为h2时恰好能运动到D点，根据动能定理得：
mg[h2﹣（R﹣Rsinβ）]﹣qE（sNP+Rcosβ）＝0﹣0
联立可得：h2
为使小球能够进入圆弧轨道，需满足：
mgh3﹣qE（sNP）＞0
解得：h3
则为使小球不脱离圆弧轨道，h应满足：h，或h。
答：（1）小球到达P点时的速度大小为；
（2）小球运动到与O点等高的Q点时受到轨道弹力的大小为36.25mg；
（3）小球释放高度h的取值范围为h，或h。
如图所示，光滑绝缘小平台距水平地面高H＝0.96m，地面与竖直绝缘光滑圆形轨道在A点连接，整个装置位于水平向右的匀强电场中。现将质量m＝0.1kg、带电荷量q＝1×10﹣3C的小球（带正电，可视为质点）从平台上端点N由静止释放，离开平台N后，沿直线NA运动，恰好由A点沿切线进入右侧绝缘光滑圆形轨道（轨道半径R未知），并沿轨道恰好能运动到C点。图中O点是圆轨道的圆心，B、C分别是圆形轨道的最低和最高点，AO、BO间的夹角为53°，取g＝10m/s2，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6。求：
（1）匀强电场的大小；
（2）小球运动到C点时的速度大小；
（3）小球在圆形轨道上运动时对轨道的最大压力大小。
【解答】解：（1）由题意，可知小球从N运动到A做匀加速直线运动，则小球所受合力沿NA方向，如图所示：
由几何关系可知NA与竖直方向的夹角为37°，故小球受到的电场力：qE＝mgtan37°
代入数据解得：E＝750N/C；
（2）小球恰好运动到C点，在C点根据牛顿第二定律可得：mg＝m
小球从N点到C点的过程中，根据功能关系有：mg（H﹣R﹣Rcos53°）+Eq（Htan37°+Rsin53°）mvC2
联立两式，代入数据解得：R＝1m，vCm/s；
（3）由于小球在整个运动过程中，受到的电场力与重力的合力保持不变，可等效看成小球受到的等效重力，大小为：
G′＝F合，解得：G′＝1.25N
由几何关系，可得G'方向与竖直方向成37°，由于小球在圆轨道上运动到等效最低点时，小球的速度最大，对轨道的压力也最大，由几何关系可判断出小球的等效最低点位于小球与O点连线与OB夹角为37°的位置，如上图所示。
根据功能关系及牛顿第二定律有：
G′（R）
FN﹣G′＝m
联立求得：FN＝6.75N
根据牛顿第三定律，可得小球在圆形轨道上运动时对轨道的最大压力大小为6.75N。
答：（1）匀强电场的大小为750N/C；
（2）小球运动到C点时的速度大小为m/s；
（3）小球在圆形轨道上运动时对轨道的最大压力大小为6.75N。
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