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专题19 电磁感应中的单导体棒模型
[模型导航]
【模型一】无外力单导体棒 1
【模型二】有外力单导体棒 7
【模型三】含电容器无外力充电式单导体棒 15
【模型四】含电容器无外力放电式单导体棒 18
【模型五】含电容器有外力充电式单导体棒 21
【模型六】含电源驱动式单导体棒 28
[模型分析]
【模型一】无外力单导体棒
【模型如图】
1．电路特点：导体棒相当于电源。当速度为时，电动势
2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小：
3．加速度特点：加速度随速度减小而减小,
4．运动特点：速度如图所示。a减小的减速运动
5．最终状态:静止
6．四个规律
(1)全过程能量关系： ,
速度为时的能量关系
电阻产生的焦耳热
(2)瞬时加速度：，
(3)电荷量
(4)动量关系：
(安培力的冲量)
安培力的冲量公式是①
闭合电路欧姆定律 ②
平均感应电动势：③
位移：④
①②③④得
如图所示，足够长的平行光滑金属导轨ab、cd水平放置，间距为L，一端连接阻值为R的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻为r的导体棒MN放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好。导轨的电阻可忽略不计。t＝0时金属棒以初速度v水平向右运动，经过一段时间停在导轨上。下列说法不正确的是（　　）
A．全过程中，金属棒克服安培力做功为
B．全过程中，电阻R上产生的焦耳热为
C．t＝0时刻，金属棒受到的安培力大小为
D．t＝0时刻，金属棒两端的电压UMN＝BLv
【解答】解：A、根据动能定理可知：W安＝0，解得安培力做的功为W安，所以全过程中，金属棒克服安培力做功为，故A正确；
B、根据功能关系可知全过程中回路中产生的焦耳热为：Q，根据焦耳定律可知电阻R上产生的焦耳热为：QR，故B正确；
C、t＝0时刻，金属棒受到的安培力大小为：FA＝BIL，故C正确；
D、t＝0时刻金属棒产生的感应电动势为：E＝BLv，金属棒两端的电压UMN，故D错误。
本题选错误的，故选：D。
（多选）如图所示，水平放置的足够长光滑平行金属导轨处在竖直向下的匀强磁场中，左端通过导线接有电阻R，导轨电阻不计。导体棒AB质量为m，电阻为r，且R＝r，长度与导轨宽度相同。若给导体棒一瞬时冲量，使导体棒以初速度v0 向右运动，经过时间t停止运动（t未知）。接着作用一水平向左的恒力F，使导体棒由静止开始向左运动，经相同的时间t回到最初静止的位置时，瞬时速度大小为v。对导体棒AB经历的两个过程，描述正确的是（　　）
A．导体棒AB向右运动的过程中电阻R上产生的焦耳热等于
B．v0 大于v
C．拉力F的冲量小于2mv0
D．拉力F做的功等于
【解答】解：A、导体棒AB向右运动的过程中，根据能量守恒可知回路产生的总的焦耳热为Q总，因R＝r，所以电阻R上产生的焦耳热QRQ总，故A正确；
B、向右运动时，根据左手定则可知安培力与速度方向相反，在安培力作用下减速运动，又安培力F安＝BLI，可知加速度减小，导体棒做加速度减小的减速运动；
在F作用下向左运动时，开始时速度小，则安培力小，随着速度增加，安培力增加，由F﹣F安＝ma可知，导体棒做加速度减小的加速运动；
规定向右为正方向，画出两种情况下的v—t图像如下图所示：
由于时间相等，位移大小相等，则两种情况下图像与时间轴围成的面积相等，可以判断v0 大于v，故B正确；
C、导体棒AB向右运动的过程中，取向右为正方向，由动量定理得：﹣BL t＝0﹣mv0，其中 t＝q1
导体棒AB向左运动的过程中，取向左为正方向，由动量定理得：Ft﹣BL t＝mv﹣0，其中 t＝q2
据题分析可知，运动距离x相同，则ΔΦ1＝ΔΦ2，则q1＝q2，所以Ft＝mv+mv0，由于v0 大于v，Ft＝mv+mv0＜mv0+mv0＝2mv0，故C正确；
D、向左运动时拉力做正功，即W＞0，安培力做负功，即W安＜0，根据动能定理：W+W安0，W，故D错误。
故选：ABC。
（多选）如图所示，水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒AB质量为m，电阻不计，向右运动的初速度为v0，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直轨道平面向下，导轨足够长且电阻不计，导体棒从开始运动至停下来，下列说法正确的是（　　）
A．导体棒AB内有电流通过，方向是B→A
B．磁场对导体棒AB的作用力水平向右
C．通过导体棒的电荷量为
D．导体棒在导轨上运动的最大距离为
【解答】解：A、根据法拉第电磁感应定律可得感应电动势为E＝BLv，导体棒切割磁感应线且与R构成闭合回路，则电路中有电流；根据右手定则可知导体棒AB内的电流方向是B→A，故A正确；
B、根据左手定则可知磁场对导体棒AB的作用力水平向左，故B错误；
C、取向右为正方向，对导体棒根据动量定理可得：﹣BLt＝0﹣mv0，其中：t＝q，解得通过导体棒的电荷量为q，故C正确；
D、根据电荷量的计算公式可得：qt，解得导体棒在导轨上运动的最大距离为：x，故D正确。
故选：ACD。
如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，水平U形导体框左端接一阻值为R的电阻，导体棒ab质量为m、电阻为r，垂直导轨置于导体框上，导体框宽度为L导体棒与导轨接触良好。不计导体框的电阻和导体棒与导体框间的摩擦。ab棒以水平向右的初速度v0开始运动，最终停在导体框上。此过程中说法正确的是（　　）
A．导体棒做匀减速直线运动
B．导体棒中感应电流的方向为b→a，所以b点电势高于a点电势
C．刚开始运动时，ab两端电压为BLv0
D．电阻R消耗的总电能为
【解答】解：A、导体棒向右做切割磁感线运动，受到向左的安培力而做减速运动，设速度大小为v时加速度大小为a，根据牛顿第二定律可得ma，解得：a，可知当速度减小时加速度减小，则导体棒做加速度减小的变减速运动，故A错误；
B、根据右手定则可知，导体棒中感应电流的方向为b→a，a点电势高于b点电势，故B错误；
C、刚开始运动时，导体棒产生的感应电动势为E＝BLv0，ab两端电压为UEBLv0，故C错误；
D、整个过程中电路中消耗的总电能为E，根据焦耳定律可得电阻R消耗的总电能为ERE，故D正确。
故选：D。
随着电磁技术的日趋成熟，新一代航母已准备采用全新的电磁阻拦技术。为方便研究问题，我们将其简化为如图所示的模型。在磁感应强度大小为B、方向如图所示的匀强磁场中，两根光滑的平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计。轨道端点M、P间接有阻值为R的电阻。一个长度为L、阻值为R的轻质导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。质量为M的飞机着舰时迅速钩住导体棒ab，两者瞬间共速，速度大小为v0，钩住之后飞机立即关闭动力系统。不计飞机和导体棒ab受到的空气阻力。求：
（1）飞机减速过程中导体棒ab中产生的焦耳热；
（2）飞机速度为时的加速度大小；
（3）飞机减速过程中的位移大小。
【解答】解：（1）飞机减速至0过程，由能量守恒定律可得回路中产生的总的焦耳热为：Q
飞机减速过程中导体棒ab中产生的焦耳热：Q′Q；
（2）飞机速度为时的感应电动势：E＝BL BLv0
感应电流为：I
根据牛顿第二定律有：BIL＝Ma
解得：a；
（3）取初速度方向为正方向，根据动量定理可得：﹣BLt＝0﹣Mv0
其中：
则有：Mv0
所以飞机减速过程中的位移大小：xt。
答：（1）飞机减速过程中导体棒ab中产生的焦耳热为；
（2）飞机速度为时的加速度大小为；
（3）飞机减速过程中的位移大小为。
【模型二】有外力单导体棒
【模型如图】
电路特点：导体棒相当于电源，当速度为时，电动势
2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大.
3．加速度特点：加速度随速度增大而减小.
4．运动特点：速度如图所示。做加速度减小的加速运动
5．最终特征：匀速运动
6．两个极值(1)时,有最大加速度：
(2) 时,有最大速度：
7．稳定后的能量转化规律
8．起动过程中的三个规律
(1)动量关系：
(2)能量关系：
(3)电荷量
9．几种变化
(1) 电路变化
(2)磁场方向变化
(3) 导轨面变化（竖直或倾斜）
10.若的作用下使导体棒做匀加速直线运动则随时间线性变化。
证明：根据法拉第电磁感应定律
..................................................................（1）
闭合电路欧姆定律
..................................................................(2)
安培力F＝BIL...............................................................（3）
由（1）（2）（3）得......................................（4）
由牛顿第二定律.................................（5）得
由运动学公式 ............................................(6)
(5)(6)联立得....................................(7)
由（7）式可以看出要让导体棒做匀加速直线运动所加外力必然随时间均匀变化即
如图甲所示，两根固定的平行金属导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，导轨间距0.4m，每根导轨单位长度的电阻为0.01Ω/m。均匀变化的磁场垂直于导轨平面，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。t＝0时刻有一电阻不计的金属杆从P、Q端以1.0m/s的速度匀速运动，滑动过程中保持与导轨垂直，则（　　）
A．0.5s末回路中电动势为4×10﹣3V
B．0.5s末回路电功率为1.6×10﹣3W
C．1s末穿过回路的磁通量为8×10﹣3Wb
D．1s末金属杆所受安培力大小为6.4×10﹣3N
【解答】解：A、根据图（乙）可知t1＝0.5s时的磁感应强度大小为：B1＝0.01T，此时回路中金属杆切割磁感应线产生的感应电动势为：E1＝B1Lv＝0.01×0.4×1.0V＝0.004V；此时导体棒的位移：x1＝vt1＝1.0×0.5m＝0.5m，回路中的感生电动势为：E2V＝4×10﹣3V，两种情况下产生的感应电流方向相同，故0.5s末回路中电动势为E＝E1+E2，解得：E＝8×10﹣3V，故A错误；
B、0.5s末回路中的电阻为：R1＝0.01×2×0.5Ω＝1×10﹣2Ω，电功率为：P，代入数据解得：P＝6.4×10﹣3W，故B错误；
C、根据图（乙）可知t2＝1.0s时的磁感应强度大小为：B2＝0.02T，此时导体棒的位移：x2＝vt2＝1.0×1m＝1m，1s末穿过回路的磁通量为：Φ＝B2Lx2＝0.02×0.4×1Wb＝8×10﹣3Wb，故C正确；
D、1s时回路中金属杆切割磁感应线产生的感应电动势为：E3＝B2Lv＝0.02×0.4×1.0V＝0.008V；回路中的感生电动势为：E4V＝8×10﹣2V，两种情况下产生的感应电流方向相同，故0.5s末回路中电动势为E′＝E3+E4，解得：E′＝0.088V；1s末回路中的电阻为：R2＝0.01×2×1Ω＝2×10﹣2Ω；根据安培力的计算公式可得：FA＝B2IL＝B2 L，代入数据解得：FA＝3.52×10﹣2N，故D错误。
故选：C。
如图所示，水平间距为L，半径为r的二分之一光滑圆弧导轨，bb'为导轨最低位置，aa'与cc'为最高位置且等高，右侧连接阻值为R的电阻，圆弧导轨所在区域有磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场。现有一根金属棒在外力的作用下以速度v0从aa'沿导轨做匀速圆周运动至cc'处，金属棒与导轨始终接触良好，金属棒与导轨的电阻均不计，则该过程中（　　）
A．经过最低位置bb'处时，通过电阻R的电流最小
B．经过最低位置bb'处时，通过金属棒的电流方向为b'→b
C．通过电阻R的电荷量为
D．电阻R上产生的热量为
【解答】解：A、金属棒从位置aa′运动到轨道最低bb′处的过程中，水平分速度即有效切割速度逐渐增大，由E＝BLv可知金属棒产生的感应电动势增大，则通过R的电流大小逐渐增大；金属棒从轨道最低位置bb′运动到cc′处的过程中，水平分速度即有效切割速度逐渐减小，由E＝BLv可知金属棒产生的感应电动势减小，则通过R的电流大小逐渐减小，故经过最低位置bb′处时，通过电阻R的电流最大，故A错误；
B\由右手定则可知，经过最低位置bb′处时，通过金属棒的电流方向为b→b′，故B错误；
C．通过电阻R的电荷量为：qΔt，故C正确；
D．金属棒做匀速圆周运动，切割磁感线的有效速度为：v＝v0cosθ＝v0cosωt
θ是金属棒的速度与水平方向的夹角，则金属棒产生的感应电动势为：E＝BLv0cosωt
则回路中产生正弦式交变电流，可得感应电动势的最大值为：Em＝BLv0
有效值为：E
由焦耳定律可知，R上产生的热量：Q，故D错误。
故选：C。
如图所示，平行光滑金属导轨水平放置，导轨间距为l，左端连接一阻值为R的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。导体棒ab置于导轨上，其电阻为r，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好。不计导轨的电阻、导体棒与导轨间的摩擦。在大小为F的水平拉力作用下，导体棒沿导轨向右匀速运动，速度大小为v。在导体棒向右匀速移动x的过程中（　　）
A．导体棒中感应电流的方向为a→b
B．导体棒两端的电势差大小为Blv
C．电阻R消耗的电能为
D．拉力对导体棒做功的功率为
【解答】解：A、根据右手定则，导体棒中感应电流的方向为b→a，故A错误；
B、导体棒切割磁感线产生感应电动势E＝Blv
回路中的电流I
导体棒两端的电势差为U＝IR，故B错误；
C、导体R消耗的电能为ΔE＝I2Rt
而物体运动的时间为
又因为导体棒受力平衡，故F＝BIl
解得ΔE，故C正确；
D.拉力对导体棒做的功率为P＝Fv，故D错误。
故选：C。
（多选）如图所示，竖直放置的“”形光滑导轨宽为L，矩形边界内匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感应强度为B，方向垂直于导轨平面向里，质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等，金属杆在导轨之间的电阻为r，与导轨接触良好，导轨上边框接有一阻值R＝2r的电阻，其余电阻不计，重力加速度为g。则金属杆（　　）
A．刚进入磁场Ⅰ时金属杆左端电势高于右端电势
B．穿过磁场Ⅰ的时间一定大于在两磁场之间的运动时间
C．金属棒穿过两磁场的过程中，电路中产生的热量为4mgd
D．释放时距磁场Ⅰ上边界的高度h一定不小于
【解答】解：B、由题意知，金属杆在进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等，说明金属杆在磁场中有减速运动（或先减速后匀速）。当金属杆在磁场Ⅰ中时，根据牛顿第二定律有：，可知金属杆做加速度减小的减速运动，画出进出磁场的v﹣t图像如图所示，
因为0～t1和t1～t2图线与t轴包围的面积相等（上下宽度都为d），所以t1＞（t2﹣t1），故B正确；
C、金属杆从进入I磁场到进入II磁场之前过程中，根据能量守恒定律，金属棒减小的机械能全部转化为焦耳热，所以有：Q1＝mg 2d
所以穿过两个磁场过程中产生的热量：Q＝2Q1＝4mgd，故C正确；
D、当高度h为最小hmin时，金属杆出磁场I时速度达到最小值vmin，由
联立代入解得：
根据前面分析可知金属杆进入磁场Ⅱ的速度v2满足：
金属杆进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等：v1＝v2
金属杆从最高点到刚进入磁场I时：
解得此时高度为：
那么释放时的高度，故D正确；
A、金属杆刚进入磁场Ⅰ时，根据右手定则，可知金属杆右端电势高于左端电势，故A错误。
故选：BCD。
（多选）如图，MP、NQ为两个竖直面内平行放置的四分之一光滑圆形导体轨道，半径为r，相距为L。两轨道在最高点P、Q处，分别与两根足够长的光滑平行导轨平滑相连，构成水平轨道PC、QD，C、D端接有阻值为R的定值电阻，所有轨道的电阻均不计，整个装置置于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。一质量为m、长为L、阻值为R0的导体棒紧贴轨道，在外力F作用下从MN处开始，做角速度为ω的匀速圆周运动，到达圆形轨道与水平轨道的连接处PQ时撤去外力，整个过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好。重力加速度为g，对于导体棒的整个运动过程，下列判断正确的是（　　）
A．整个过程中外力F做的功为
B．导体棒从MN运动到PQ的过程中，流过定值电阻R的电荷量为
C．导体棒从MN运动到PQ的过程中，定值电阻R上产生的焦耳热为
D．导体棒最终静止的位置离PQ的距离为
【解答】解：A、导体棒从MN运动到PQ的过程中，对瞬时速度正交分解如图所示：
t时刻导体棒沿弧形轨道转动的偏转角度为ωt，垂直磁场方向的分速度为ωr sinωt
则t时刻感应电动势的瞬时值为：e＝BLωr sinωt
可得此过程产生的感应电流为周期（周期T）的正弦式交变电流。
其感应电流的有效值为：
对此过程由功能关系可得外力做的功为：
故A正确；
B、根据：，，，推导可得此过程流过定值电阻R的电荷量为：
故B错误；
C、此过程定值电阻R上产生的焦耳热为：
故C错误；
D、导体棒在水平轨道上从PQ处以初速度v＝ωr，在安培力作用下做减速运动直至停下。以向右为正方向，此过程中对导体棒由动量定理可得：
同理可得：
联立可得导体棒在水平轨道上的位移为：
故D正确。
故选：AD。
【模型三】含电容器无外力充电式单导体棒
基本 模型 规律 (电阻阻值为R，电容器电容为C)
电路特点 导体棒相当于电源，电容器被充电.
电流特点 安培力为阻力，棒减速，E减小，有I＝，电容器被充电UC变大，当BLv＝UC时，I＝0，F安＝0，棒匀速运动.
运动特点和最终特征 a减小的加速运动，棒最终做匀速运动，此时I＝0，但电容器带电荷量不为零.
最终速度 电容器充电荷量：q＝CU 最终电容器两端电压U＝BLv 对棒应用动量定理：mv0－mv＝BL·Δt＝BLq v＝.
v－t图象
如图所示，左端有微小夹缝的“∠”形光滑导轨abc水平放置在竖直向上的匀强磁场中，一电容器C与导轨左端相连，导轨上的金属棒MN与ab垂直，在外力F作用下从b点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻．下列关于回路中的电流i、极板上的电荷量q、外力F及其功率P随时间t变化的图像中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、设微小夹缝的“∠”形夹角为θ，以金属棒开始运动时为计时零时刻，设金属棒在0﹣t时间内运动位移为x，
在t时刻金属棒在导轨间的长度为：L＝xtanθ
此时金属棒在导轨间的电动势为：E＝BLv
电容器的电压U＝E
电容器的电量Q＝CU＝BCvxtanθ
在t﹣（t+Δt）（Δt趋近于零）时间内，金属棒的位移由x增加到（x+Δx），则
电容器的电量增加量ΔQ＝BCv Δx tanθ
通过金属棒的电流I，其中v，
可得电流为：I＝BCv2tanθ，所以电流是恒定不变的，故A错误；
B、由A选项的分析可得I＝BCv2tanθ，I为恒定电流，根据公式q＝It，可知I为t的正比例函数，故B正确；
C、根据安培力公式，结合平衡条件，可得：F＝F安＝BIL＝BIxtanθ＝BIvtanθ t，可得外力F为t的正比例函数，故C错误；
D、由A选项的分析可知流过金属棒的电流恒定，由F安＝BIL，由受力平衡可知，外力F的大小等于安培力，由公式P＝Fv，可知外力F的功率为：P＝BIv2tanθ t，即外力功率是t的正比例函数，故D错误。
故选：B。
（多选）如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L，直导线MN垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处于垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B。电容器的电容为C，除电阻R外，导轨和导线的电阻均不计。现给导线MN一初速度，使导线MN向右运动，当电路稳定后，MN以速度v向右做匀速运动时（　　）
A．电容器两端的电压为BLv
B．电阻两端的电压为BLv
C．电容器所带电荷量为CBLv
D．为保持MN匀速运动，需对其施加的拉力大小为
【解答】解：AB、当直导线MN以速度v向右做匀速运动时，导线产生的感应电动势恒定，电容器充电完毕，电路中无电流，故电阻R两端为零。根据闭合电路欧姆定律可知，电容器两板间的电压为U＝E＝BLv，故A正确，B错误；
C、电容器两板间的电压为U＝BLv，则电容器所带电荷量Q＝CU＝CBLv，故C正确；
D、因匀速运动后MN所受的合力为0，而此时无电流，MN不受安培力，则无需拉力便可做匀速运动，故D错误。
故选：AC。
在如图所示的甲、乙、丙三个装置中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，甲图中的电容器C原来不带电，设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长。今给导体棒ab一个方向向右的初速度v0，在甲、乙、丙三种情形下导体棒ab的最终运动状态是（　　）
A．三种情形下导体棒ab最终均匀速运动
B．丙中，ab棒最终将做匀速运动；甲、乙中，ab棒最终静止
C．甲、丙中，ab棒最终将做匀速运动；乙中，ab棒最终静止
D．三种情况下ab棒最终均静止
【解答】解：图甲中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流而使电容器充电，当电容器C极板间电压与导体棒产生的感应电动势相等时，电路中没有电流，ab棒不受安培力，向右做匀速运动；
图乙中，导体棒向右运动切割磁感线产生感应电流，通过电阻R转化为内能，ab棒速度减小，当ab棒的动能全部转化为内能时，ab棒静止；
图丙中，导体棒先受到向左的安培力作用向右做减速运动，速度减为零后再在安培力作用下向左做加速运动，当导体棒产生的感应电动势与电源的电动势相等时，电路中没有电流，ab棒向左做匀速运动，故ABD错误，C正确；
故选：C。
【模型四】含电容器无外力放电式单导体棒
　　　　　基本 模型 规律　　 (电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C)
电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动.
电流的特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC＝BLv.
运动特点及最终 特征 a减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0.
最大速度vm 电容器充电荷量：Q0＝CE 放电结束时电荷量：Q＝CU＝CBLvm 电容器放电荷量：ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm 对棒应用动量定理：mvm＝BL·Δt＝BLΔQ vm＝
v－t图象
（多选）电磁轨道炮是利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，原理如图，图中直流电源电动势为E1，电容器的电容为C，两根固定于水平面内的光滑平面金属导轨间距为L，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触，首先开关S接1，使电容器完全充电，然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面，磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），MN开始向右加速运动，当MN上的感应电动势为E2时，此时与电容器两极板间的电压相等，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨，下列说法正确的是（　　）
A．匀强磁场的方向垂直导轨平面向下
B．MN刚开始运动时的加速度
C．MN离开导轨后的最大速度为
D．MN离开导轨后的最大速度为
【解答】解：A、电容器充电时上端带正电，放电时通过MN的电流方向向下，由于MN向右运动，根据左手定则知，磁场方向垂直于导轨平面向下，故A正确；
B、电容器完全充电后，两极板间电压为E1，当开关S接2时，电容器放电，设刚放电时流经MN的电流为I，有：I
设MN受到的安培力为F，有：F＝BIL
由牛顿第二定律有：F＝ma
联立解得：a，故B错误；
CD、电容器放电前所带的电荷量Q1＝CE1
开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值vm时，MN上的感应电动势：E2＝BLvm，最终电容器所带电荷量Q2＝CE2
则通过MN的电量q＝CE1﹣CE2
由动量定理，有：∑FΔt＝∑mΔv
得∑BILΔt＝∑mΔv
BLq＝mvm
解得：
，故C正确，故D错误。
故选：AC。
电磁炮是利用磁场对通电导体的作用使炮弹加速的，其原理示意图如图所示，假设图中直流电源电动势为E＝35V，电容器的电容为C＝2F。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l＝1m，电阻不计。炮弹可视为一质量为m＝2kg、电阻为R＝5Ω的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电；然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面向上、磁感应强度大小为B＝2T的匀强磁场，MN开始向右加速运动，经过一段时间后回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。问：
（1）直流电源的a端为正极还是负极；
（2）MN离开导轨时的最大速度的大小；
（3）已知电容器储藏的电场能为，导体棒从开始运动到离开轨道的过程中，导体棒上产生的焦耳热的大小。（电磁辐射可以忽略）
【解答】解：（1）由于电磁炮受到的安培力方向水平向右，所以电流由N流向M，所以直流电源的a端为负极；
（2）电容器放电前所带的电荷量为：Q1＝CE
开关S接2后，MN开始向右加速运动，速度达到最大值vm时，MN上的感应电动势：E'＝Blvm
最终电容器板间电压：U'＝E'
电容器所带电荷量：Q2＝CU'＝CE'
设在此过程中MN的平均电流为，MN上受到的平均安培力：
由动量定理有： Δt＝mvm﹣0，而又因为：Q1﹣Q2
联立解得：vm＝14m/s
（3）导体棒从开始运动到离开轨道的过程中，导体棒上产生的焦耳热的大小为：Q
代入数据得到：Q＝245J
答：（1）直流电源的a端为负极；
（2）MN离开导轨时的最大速度的大小为14m/s；
（3）导体棒上产生的焦耳热的大小为245J。
【模型五】含电容器有外力充电式单导体棒
【模型结构】
【情景】：轨道水平光滑，单杆质量为，电阻，两导轨间距为，拉力恒定
设金属棒运动的速度大小为，则感应电动势为 (1)
经过速度为，此时感应电动势 (2)
时间内流入电容器的电荷量.......(3)
电流,(4)
安培力.(5)
由牛顿第二第定律 (6)
(7)
所以杆以恒定的加速度匀加速运动
对于导体棒 ，克服安培力做多少功，就应有多少能量 转化为电能，则有: (8)
(9) 由 (7) (8) (9) 式得:
所以在 t 秒内转化为电能的多少是:
【反思】由模型可知: 只要导体棒受恒定外力，导体棒必做匀变速运动，且加速度为; 如果外力不恒定，则导体棒做非匀变速运动; 如果不受外力，则导体棒匀速运动或静止．反之，只要导体棒速度均匀变化( a 恒定) ，感应电动势就均匀变化，电容器的带电量就均匀变化，回路中的 电流就恒定不变() ，导体棒所受安培力就恒定不变 ( ，外力就恒定不变．
（多选）如图所示，水平面内有两根间距为d的光滑平行导轨，右端接有电容为C的电容器。一质量为m的导体棒固定于导轨上某处，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮下挂一质量为M的物块。由静止释放导体棒，物块下落从而牵引着导体棒向左运动。空间中存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁场磁感应强度大小为B，不计导体棒和导轨的电阻，忽略绳与定滑轮间的摩擦。若导体棒运动过程中电容器未被击穿，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，重力加速度为g，则在物块由静止下落高度为h的过程中（　　）
A．物块做加速度逐渐减小的加速运动
B．物块与导体棒组成的系统减少的机械能等于导体棒克服安培力做的功
C．轻绳的拉力大小为
D．电容器增加的电荷量为
【解答】解：A、在很短时间Δt内，对物块和导体棒根据动量定理可得：MgΔt﹣Bd（M+m）Δv
其中：q＝CΔU＝CBdΔv
整理可得：MgΔt＝（B2d2C+m） Δv
根据加速度定义式可得：a，所以加速度为定值，物块和金属棒一起做匀加速直线运动，故A错误；
B、根据功能关系可知，物块与导体棒组成的系统减少的机械能等于导体棒克服安培力做的功，故B正确；
C、对物块根据牛顿第二定律可得：Mg﹣F＝Ma，代入a解得：F，故C正确；
D、下落h时导体棒的速度大小为：v，此时电容器两端电压等于导体棒两端电压，即U＝Bdv，所以电容器所带电荷量为：Q＝CU＝CBdv，故D正确。
故选：BCD。
（多选）如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计。在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨接触良好。整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。现给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动，则（　　）
A．当杆ab刚开始运动时，杆ab两端的电压UBlv0，且a点电势高于b点电势
B．通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐增大
C．杆ab运动的全过程中，电阻R上产生的焦耳热为mv02
D．若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图乙所示，给杆ab施加一个恒力F，杆一定向右做匀加速运动，加速度大小为
【解答】解：A、当ab杆刚好具有初速度v0时，感应电动势E＝Blv0，根据闭合电路欧姆定律得，ab杆两端的电压：U，根据右手定则知，感应电流的方向为b到a，a相当于电源的正极，则a点电势高于b点，故A正确；
B、通过电阻R的电流：I，由于速度减小，则电流减小，安培力减小，做加速度减小的减速运动，速度随时间的变化率的绝对值逐渐减小，则通过电阻R的电流i随时间t 的变化率的绝对值逐渐减小，故B错误；
C、最终导体棒停止，由能量守恒定律有：Q
故电阻R上产生的热量：QR，故C正确；
D、将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，给杆ab施加一个恒力F，导体杆运动过程电路电流：
iCBLa
对导体杆，由牛顿第二定律得：
F﹣Bil＝ma
解得：a
由于m、g、C、B、L都是常数，则a是定值，导体杆做匀加速直线运动，故D正确。
故选：ACD。
如图甲所示，足够长的粗糙导轨a、b互相平行固定放置，导轨及导轨面与水平面的夹角为37°；足够长的光滑导轨c、d平行固定放置，导轨及导轨面与水平面的夹角为53°，a与d、b与c分别连接，平行导轨间距均为L且导轨电阻均为0。空间存在方向斜向右上方且与c、d所在的导轨平面垂直的匀强磁场；质量为m、电阻为0的导体棒1垂直放置于c、d导轨上，质量也为m、有效接入电路的电阻为R的导体棒2垂直放置于a、b导轨上。给导体棒1一个沿斜面向下的速度v0，导体棒1正好做匀速运动，导体棒2在斜面上刚好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力；把导体棒2除掉，换上电容为C的电容器，如图乙所示，让导体棒1从静止开始沿着斜面向下运动，重力加速度为g，sin37°＝0.6、cos37°＝0.8，求：
（1）磁感应强度的大小；
（2）导体棒2与导轨a、b之间的动摩擦因数；
（3）图乙中，导体棒1经过一段时间t0时的速度大小。
【解答】解：（1）设磁感应强度的大小为B，对题图甲，导体棒1沿斜面匀速下滑的速度为v0，由法拉第电磁感应定律可得E甲＝BLv0
由欧姆定律可得：
安培力：F甲＝BI甲L
方向沿着斜面向上，因为导轨c、d光滑，导体棒1沿斜面匀速下滑，把重力分别沿着斜面和垂直斜面分解，由力的平衡条件可得：
联立几式解得：
（2）对导体棒2受力分析，所受的安培力：，垂直斜面向下
把重力分别沿着斜面和垂直斜面分解，由力的平衡条件可得：FN＝F甲+mgcos37°
fm＝mgsin37°，而fm＝μFN
联立解得：
（3）对题图乙，假设导体棒1向下做匀加速直线运动，设其加速度为a，t时刻其速度为v乙＝at
由法拉第电磁感应定律回路的电动势为：E乙＝BLv乙
设t时刻电容器的带电量为q，则：q＝CE乙
回路中的电流即电容器的充电电流为：
导体棒1受到的安培力：F乙＝BiL，沿着斜面向上
对导体棒1受力分析，把重力mg沿着斜面和垂直斜面分解，由牛顿第二定律可得：mgsin53°﹣F乙＝ma
其中：
经过一段时间t0，速度为v＝at0
结合：
联立解得：
答：（1）磁感应强度的大小为；
（2）导体棒2与导轨a、b之间的动摩擦因数为；
（3）图乙中，导体棒1经过一段时间t0时的速度大小为。
如图所示，间距L＝1m的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨右侧电路能够通过单刀双掷开关分别跟1、2相连，1连接阴极射线管电路，2连接电容器电路。MM′、NN′（MM′、NN′为两条垂直于导轨方向的平行线）之间分布着方向竖直向上、磁感应强度大小为B＝1T的匀强磁场，MM′、NN′间的距离为d＝1.5m，边界处有磁场。质量为m，长度跟导轨间距相等的导体棒垂直于导轨方向放置，跨过定滑轮的轻绳一端系在导体棒中点，另一端悬挂质量也为m的小物块，导体棒与定滑轮之间的轻绳平行于导轨。已知阴极射线管工作时，每秒钟有n＝6.25×1019个电子从阴极射到阳极，电容器电容为C＝0.1F，电子的电荷量为e＝1.6×10﹣19C，导体棒与导轨电阻均不计，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）若开关S接1时，导体棒恰好静止在磁场的右边界MM′处，且导体棒与导轨间的摩擦力为零，求物块的质量m；
（2）将开关S迅速由1接到2，同时导体棒从磁场右边界MM′处由静止开始运动，若导体棒运动到磁场左边界NN′处时的速度为v＝3m/s，求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ。
【解答】解：（1）开关S接1时，根据电流强度的定义可求回路中的电流为：I＝ne
利用左手定则可判断导体棒受到安培力F的方向水平向右，轻绳拉力等于物块的重力mg，摩擦力为零，根据平衡条件有：BIL＝mg
联立解得：mkg＝1kg
（2）设开关S接2时回路中的瞬时电流为i，小物块和导体棒的加速度为a，对小物块和导体棒组成的系统，根据牛顿第二定律有：mg﹣μmg﹣BiL＝2ma
对电容器，在极短时间Δt内，电荷量变化为Δq，有，Δq＝C ΔU＝CBLΔv
根据加速度的定义式有
联立解得：
可知加速度为恒量，即小物块和导体棒都做匀加速运动，根据运动学公式v2＝2ad
解得：am/s2＝3m/s2
所以动摩擦因数为：μ＝1
代入数据得到：μ＝0.37
答：（1）开关S接1时，导体棒恰好静止在磁场的右边界MM′处，且导体棒与导轨间的摩擦力为零，物块的质量m为1kg；
（2）导体棒运动到磁场左边界NN′处时的速度为v＝3m/s，求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ为0.37。
如图所示，在正交坐标系O﹣xyz空间中，Oz竖直向下，O'为y轴上的一点。相距0.5m的两平行抛物线状光滑轨道OP、O'P'通过长度不计的光滑绝缘材料在P、P'处与平行倾斜粗糙直轨道PQ、P'Q'平滑相接，其中抛物线状轨道OP的方程为，OO'间用导线连接R＝1Ω的定值电阻，倾斜轨道足够长，QQ'间用导线连接C＝1F的电容器。电容器最初不带电。抛物线状轨道区域存在方向竖直向下、磁感应强度B1＝4T的匀强磁场，倾斜直轨道区域存在与导轨垂直向上、磁感应强度B2＝2T的匀强磁场。一质量为0.5kg，长为0.5m的金属导体棒在恒定外力F作用下从y轴开始以初速度v0沿抛物线状轨道做加速度方向竖直向下、大小为10m/s2的加速运动，导体棒到达连接处PP'后立即撤去该外力F。已知金属导体棒与轨道始终接触良好，金属棒与倾斜直轨道间的动摩擦因数μ＝0.75，P点纵坐标，金属棒电阻为1Ω，其他电阻忽略不计，金属棒在运动过程中始终与y轴平行，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）金属棒初速度v0的大小；
（2）外力F的大小和金属棒在抛物线状光滑轨道运动过程中产生的焦耳热Q；
（3）电容器最终的电荷量q。
【解答】解：（1）由题意可知，金属棒在抛物线状轨道区域内做类平抛运动，加速度为a＝10m/s2，则有水平方向有x＝v0t
竖直方向有
解得：
对照轨迹方程，解得：v0＝2m/s
（2）由金属棒运动性质可知，金属棒在抛物线状轨道区域内有效切割速度不变，由法拉第电磁感应定律可得E＝B1lv0
由闭合电路欧姆定律可得
又F＝F安＝B1Il
联立解得：F＝4N
由解得金属棒在抛体状轨道上运动的时间为
由焦耳定律可得Q＝I2rt1
解得：Q＝0.6J
（3）金属棒运动到连接处时，金属棒的竖直分速度为vy＝at1＝10m/s＝1.5m/s
金属棒运动到连接处时的速度为vm/s＝2.5m/s
斜面倾角满足tanθ0.75
可得θ＝37°
金属棒滑上斜面后，取沿斜面向下为正方向，由动量定理可得
又
由电路特点和电容定义可得q＝CB2lv'
联立解得：
答：（1）金属棒初速度v0的大小为2m/s；
（2）外力F的大小为4N，金属棒在抛物线状光滑轨道运动过程中产生的焦耳热Q为0.6J；
（3）电容器最终的电荷量q为。
【模型六】含电源驱动式单导体棒
1.开关S刚闭合时，ab杆所受安培力F＝，此时a＝.速度v↑ E感＝BLv↑ I↓ F＝BIL↓ 加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vm＝
2.动力学观点：分析最大加速度、最大速度
3.能量观点：消耗的电能转化为动能与回路中的焦耳热
4.动量观点：分析导体棒的位移、通过的电荷量
如图所示，导体棒MN接入电路部分的电阻为R长度为L，质量为m，初始时静止于光滑的水平轨道上，电源电动势为E，内阻大小也为R，匀强磁场的磁感应强度为B，其方向与轨道平面成θ＝45°角斜向上方，电键闭合后导体棒开始运动，则下列说法正确的是（　　）
A．导体棒向左运动
B．电键闭合瞬间导体棒MN的加速度为
C．电键闭合瞬间导体棒MN所受安培力大小为
D．电键闭合瞬间导体棒MN所受安培力大小为
【解答】解：A、由图得，通过导体棒MN的电流由N到M，根据左手定则可知，导体棒受到的安培力斜向下偏右，则导体棒向右运动，故A错误；
CD、电键闭合瞬间，电路电流为I
导体棒MN所受安培力大小为F＝BIL
故C错误，D正确；
B、电键闭合瞬间，根据牛顿第二定律得：Fsinθ＝ma
联立解得：a
故B错误。
故选：D。
如图所示，一宽为L的平行金属导轨固定在倾角为θ的斜面上，在导轨上端接入电源和滑动变阻器R，电源电动势为E、内阻为r，一质量为m的金属棒ab静止在导轨上，与两导轨垂直并接触良好，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向垂直于斜面向上的匀强磁场中，金属棒的电阻为R0，导轨电阻不计。金属导轨与金属棒之间的最大静摩擦力为f，重力加速度为g。闭合开关后，下列判断正确的是（　　）
A．金属棒受到的安培力方向沿斜面向上
B．金属棒受到的摩擦力方向可能沿斜面向下
C．若金属棒恰好不运动，则滑动变阻器的阻值为
D．要保持金属棒在导轨上静止，滑动变阻器R接入电路中的最小阻值为
【解答】解：AB、根据左手定则可知，金属棒受到的安培力方向沿斜面向下，由于金属棒的重力分力也沿斜面向下，则金属棒受到的摩擦力方向一定沿斜面向上，故AB错误；
CD、若金属棒恰好不运动，金属棒受力平衡，合力为零，此时金属棒受到的静摩擦力达到最大，此时是保持金属棒在导轨上静止受到的最大安培力，根据受力平衡可得：mgsinθ+F安＝f
又
联立可得
可知要保持金属棒在导轨上静止，根据闭合电路欧姆定律可得，滑动变阻器R接入电路中的最小阻值为R，故C正确，D错误；
故选：C。
如图所示，两条平行的光滑金属导轨倾斜的放在水平面上，倾角θ＝30°，两棒间的距离d＝0.5m，斜面所在区域有垂直斜面向上的磁场．以M点等高处O为坐标原点，平行斜面向下建立x轴，磁感应强度满足B＝kx（k的数值为0.8）．金属棒质量m＝0.1kg，电阻R＝0.2Ω．导轨上端外接恒流电源，可为电路提供恒定电流I＝1A，电流方向如图所示。t＝0时刻，自MN处由静止释放金属棒，金属棒下滑时始终垂直导轨且接触良好。不计导轨电阻，重力加速度为g＝10m/s2。求：
（1）判断安培力的方向，写出安培力与x的关系式；
（2）金属棒沿导轨下滑的最大距离xm。
【解答】解：（1）金属棒受到的安培力方向沿导轨向上
安培力关系式 FA＝BIL＝kxId＝0.8×x×1×0.5＝0.4x
（2）安培力随x均匀变化，从最开始运动到最大距离过程中平均力F0.2xm
安培力做功为WA＝﹣Fxm＝﹣0.2
根据动能定理得：mgxmsinθ+WA＝0
解得 s＝2.5m
答：（1）安培力关系式 FA＝0.4x
（2）金属棒沿导轨下滑的最大距离为2.5m
电动汽车具有零排放、噪声低、低速阶段提速快等优点。随着储电技术的不断提高，电池成本的不断下降，电动汽车逐渐普及。
（1）电动机是电动汽车的核心动力部件，其原理可以简化为如图所示的装置：无限长平行光滑金属导轨相距L，导轨平面水平，电源电动势为E，内阻不计。垂直于导轨放置一根质量为m的导体棒MN，导体棒在两导轨之间的电阻为R，导轨电阻可忽略不计。导轨平面与匀强磁场垂直，磁场的磁感应强度大小为B，导体棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。闭合开关S，导体棒由静止开始运动，运动过程中切割磁感线产生动生电动势，该电动势总要削弱电源电动势的作用，我们把这个电动势称为反电动势E反，此时闭合回路的电流大小可用来计算。求：
①导体棒运动的速度大小为v时，导体棒的加速度a的大小；
②导体棒从开始运动到稳定的过程中电源消耗的总电能E电的大小。
（2）电动汽车行驶过程中会受到阻力作用，已知阻力f与车速v的关系可认为f＝kv2（k为未知常数）。某品牌电动汽车的电动机最大输出功率为Pm，最高车速为vm，车载电池最大输出电能为A，质量为M。
①若电动汽车始终以最大输出功率启动，经过时间t0后电动汽车的速度大小为v0，求该过程中阻力对电动汽车所做的功Wf；
②若该车以速度v1（v1小于vm）在平直公路上匀速行驶时，电能转化为机械能的总转化率为η，求该电动汽车在此条件下的最大行驶里程s。
【解答】解：（1）①导体棒运动速度为v时，根据反电动势的公式及闭合电路欧姆定律有导体棒中的电流i
由牛顿第二定律有 BiL＝ma
联立解得导体棒运动的加速度为：a
②设从开始到导体棒速度恰稳定时所需时间为Δt，则对导体棒根据动量定理有：
BL Δt＝mvm
而当速度最大时，此时加速度为零，由上一问结论有：E＝BLvm，那么电源消耗的总电能为E电＝Eq＝E Δt
联立以上三式可得：E电
（2）①由动能定理得：W牵+Wf0
又有：W牵＝Pmt0
解得：WfPmt0
②速度最大时，有P＝Fvm＝fvm
该车以速度v1（v1小于vm）在平直公路上匀速行驶时，阻力f，此时F牵＝f
根据能量守恒得：ηA＝F牵s
可得s
答：①导体棒运动的速度大小为v时，导体棒的加速度a的大小为；
②导体棒从开始运动到稳定的过程中电源消耗的总电能E电的大小为。
（2）①该过程中阻力对电动汽车所做的功Wf为Pmt0；
②该电动汽车在此条件下的最大行驶里程s为。
如图所示，平行金属导轨MN、M'N'和平行金属导轨POR、P'Q'R'固定在高度差未知的两水平台面上。导轨MN、M'N'左端接有电源，MN与M'N'的间距为L＝0.1m，线框空间存在磁感应强度B1＝0.2T，竖直方向的匀强磁场；平行导轨PQR与P'Q'R'的间距也为L＝0.1m，其中PQ与P'Q'是圆心角为θ＝60°，半径为r＝0.5m的圆弧形导轨，OR与Q'R'是足够长水平直导轨，QQ'右侧有磁感应强度B2＝0.4T，方向竖直向上的匀强磁场。导体棒a、b、c长度均为L＝0.1m，质量均为m＝0.02kg。导体棒a接入电路中的电阻R1＝2Ω，放置在导轨MN、M'N'右侧N'N边缘处；导体棒b、c接入电路中的电阻均为R2＝4Ω，用绝缘轻杆de将b、c导体棒连接成“工”字型框架（以下简称“工”型架），“工”型架静止放置在水平导轨某处。闭合开关K后，导体棒a从NN′水平向右抛出，恰能无碰撞地从PP'处以速度v0＝2m/s切入平行圆弧型导轨，且始终没有与“工”型架相碰。重力加速度g，不计棒与轨道间的摩擦阻力及空气阻力。求：
（1）导轨MN，M'N'区域的磁场方向；
（2）自闭合开关K至导体棒a离开导轨MN、M'N'过程中，通过导体棒a的电荷量q；
（3）导体棒b在QQ'右侧磁场区域中产生的焦耳热。
【解答】解：（1）开关闭合后，通过导体棒a的电流方向向外，导体棒a向右运动，受到的安培力方向向右，根据左手定则可知导轨MN，M'N'区域的磁场方向向下；
（2）设闭合开关后，a棒以速度v水平抛出，则有：v＝v0cos60°＝2m/s＝1m/s
对a棒冲出过程，取向右为正方向，由动量定理得：B1LΔt＝mv﹣0
即B1Lq＝mv
代入数据解得：q＝1C；
（3）对导体棒a从PP′到QQ′运动过程中，根据动能定理可得：mg（r﹣rcos 60°）mvm2mv02，
解得导体棒a到达QQ′时的速度大小为：vm＝3m/s
“工”型架与导体棒a在水平方向合外力为零，动量守恒，设向右为正方向，设“工”型架与金属棒a一起运动的共同速度为v共，则：
mvm＝3mv共
根据能量关系可得：mvm23mv共2+Q
则导体棒b在QQ′右侧磁场中产生的焦耳热为：Qb Q
根据并联电路的特点可得：R并R22Ω
联立解得：Qb＝0.015J。
答：（1）导轨MN，M'N'区域的磁场方向向下；
（2）自闭合开关K至导体棒a离开导轨MN、M'N'过程中，通过导体棒a的电荷量为1C；
（3）导体棒b在QQ'右侧磁场区域中产生的焦耳热为0.015J。
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专题19 电磁感应中的单导体棒模型
[模型导航]
【模型一】无外力单导体棒 1
【模型二】有外力单导体棒 4
【模型三】含电容器无外力充电式单导体棒 9
【模型四】含电容器无外力放电式单导体棒 11
【模型五】含电容器有外力充电式单导体棒 12
【模型六】含电源驱动式单导体棒 16
[模型分析]
【模型一】无外力单导体棒
【模型如图】
1．电路特点：导体棒相当于电源。当速度为时，电动势
2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度减小而减小：
3．加速度特点：加速度随速度减小而减小,
4．运动特点：速度如图所示。a减小的减速运动
5．最终状态:静止
6．四个规律
(1)全过程能量关系： ,
速度为时的能量关系
电阻产生的焦耳热
(2)瞬时加速度：，
(3)电荷量
(4)动量关系：
(安培力的冲量)
安培力的冲量公式是①
闭合电路欧姆定律 ②
平均感应电动势：③
位移：④
①②③④得
如图所示，足够长的平行光滑金属导轨ab、cd水平放置，间距为L，一端连接阻值为R的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的、磁感应强度大小为B的匀强磁场。质量为m、电阻为r的导体棒MN放在导轨上，其长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好。导轨的电阻可忽略不计。t＝0时金属棒以初速度v水平向右运动，经过一段时间停在导轨上。下列说法不正确的是（　　）
A．全过程中，金属棒克服安培力做功为
B．全过程中，电阻R上产生的焦耳热为
C．t＝0时刻，金属棒受到的安培力大小为
D．t＝0时刻，金属棒两端的电压UMN＝BLv
（多选）如图所示，水平放置的足够长光滑平行金属导轨处在竖直向下的匀强磁场中，左端通过导线接有电阻R，导轨电阻不计。导体棒AB质量为m，电阻为r，且R＝r，长度与导轨宽度相同。若给导体棒一瞬时冲量，使导体棒以初速度v0 向右运动，经过时间t停止运动（t未知）。接着作用一水平向左的恒力F，使导体棒由静止开始向左运动，经相同的时间t回到最初静止的位置时，瞬时速度大小为v。对导体棒AB经历的两个过程，描述正确的是（　　）
A．导体棒AB向右运动的过程中电阻R上产生的焦耳热等于
B．v0 大于v
C．拉力F的冲量小于2mv0
D．拉力F做的功等于
（多选）如图所示，水平放置的平行光滑导轨，间距为L，左侧接有电阻R，导体棒AB质量为m，电阻不计，向右运动的初速度为v0，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直轨道平面向下，导轨足够长且电阻不计，导体棒从开始运动至停下来，下列说法正确的是（　　）
A．导体棒AB内有电流通过，方向是B→A
B．磁场对导体棒AB的作用力水平向右
C．通过导体棒的电荷量为
D．导体棒在导轨上运动的最大距离为
如图所示，在竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B，水平U形导体框左端接一阻值为R的电阻，导体棒ab质量为m、电阻为r，垂直导轨置于导体框上，导体框宽度为L导体棒与导轨接触良好。不计导体框的电阻和导体棒与导体框间的摩擦。ab棒以水平向右的初速度v0开始运动，最终停在导体框上。此过程中说法正确的是（　　）
A．导体棒做匀减速直线运动
B．导体棒中感应电流的方向为b→a，所以b点电势高于a点电势
C．刚开始运动时，ab两端电压为BLv0
D．电阻R消耗的总电能为
随着电磁技术的日趋成熟，新一代航母已准备采用全新的电磁阻拦技术。为方便研究问题，我们将其简化为如图所示的模型。在磁感应强度大小为B、方向如图所示的匀强磁场中，两根光滑的平行金属轨道MN、PQ固定在水平面内，相距为L，电阻不计。轨道端点M、P间接有阻值为R的电阻。一个长度为L、阻值为R的轻质导体棒ab垂直于MN、PQ放在轨道上，与轨道接触良好。质量为M的飞机着舰时迅速钩住导体棒ab，两者瞬间共速，速度大小为v0，钩住之后飞机立即关闭动力系统。不计飞机和导体棒ab受到的空气阻力。求：
（1）飞机减速过程中导体棒ab中产生的焦耳热；
（2）飞机速度为时的加速度大小；
（3）飞机减速过程中的位移大小。
【模型二】有外力单导体棒
【模型如图】
电路特点：导体棒相当于电源，当速度为时，电动势
2．安培力的特点：安培力为阻力，并随速度增大而增大.
3．加速度特点：加速度随速度增大而减小.
4．运动特点：速度如图所示。做加速度减小的加速运动
5．最终特征：匀速运动
6．两个极值(1)时,有最大加速度：
(2) 时,有最大速度：
7．稳定后的能量转化规律
8．起动过程中的三个规律
(1)动量关系：
(2)能量关系：
(3)电荷量
9．几种变化
(1) 电路变化
(2)磁场方向变化
(3) 导轨面变化（竖直或倾斜）
10.若的作用下使导体棒做匀加速直线运动则随时间线性变化。
证明：根据法拉第电磁感应定律
..................................................................（1）
闭合电路欧姆定律
..................................................................(2)
安培力F＝BIL...............................................................（3）
由（1）（2）（3）得......................................（4）
由牛顿第二定律.................................（5）得
由运动学公式 ............................................(6)
(5)(6)联立得....................................(7)
由（7）式可以看出要让导体棒做匀加速直线运动所加外力必然随时间均匀变化即
如图甲所示，两根固定的平行金属导轨的端点P、Q用电阻可忽略的导线相连，导轨间距0.4m，每根导轨单位长度的电阻为0.01Ω/m。均匀变化的磁场垂直于导轨平面，磁感应强度B随时间t变化的规律如图乙所示。t＝0时刻有一电阻不计的金属杆从P、Q端以1.0m/s的速度匀速运动，滑动过程中保持与导轨垂直，则（　　）
A．0.5s末回路中电动势为4×10﹣3V
B．0.5s末回路电功率为1.6×10﹣3W
C．1s末穿过回路的磁通量为8×10﹣3Wb
D．1s末金属杆所受安培力大小为6.4×10﹣3N
如图所示，水平间距为L，半径为r的二分之一光滑圆弧导轨，bb'为导轨最低位置，aa'与cc'为最高位置且等高，右侧连接阻值为R的电阻，圆弧导轨所在区域有磁感应强度为B、方向竖直向上的匀强磁场。现有一根金属棒在外力的作用下以速度v0从aa'沿导轨做匀速圆周运动至cc'处，金属棒与导轨始终接触良好，金属棒与导轨的电阻均不计，则该过程中（　　）
A．经过最低位置bb'处时，通过电阻R的电流最小
B．经过最低位置bb'处时，通过金属棒的电流方向为b'→b
C．通过电阻R的电荷量为
D．电阻R上产生的热量为
如图所示，平行光滑金属导轨水平放置，导轨间距为l，左端连接一阻值为R的电阻。导轨所在空间存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度为B。导体棒ab置于导轨上，其电阻为r，长度恰好等于导轨间距，与导轨接触良好。不计导轨的电阻、导体棒与导轨间的摩擦。在大小为F的水平拉力作用下，导体棒沿导轨向右匀速运动，速度大小为v。在导体棒向右匀速移动x的过程中（　　）
A．导体棒中感应电流的方向为a→b
B．导体棒两端的电势差大小为Blv
C．电阻R消耗的电能为
D．拉力对导体棒做功的功率为
（多选）如图所示，竖直放置的“”形光滑导轨宽为L，矩形边界内匀强磁场Ⅰ、Ⅱ的高和间距均为d，磁感应强度为B，方向垂直于导轨平面向里，质量为m的水平金属杆由静止释放，进入磁场Ⅰ和Ⅱ时的速度相等，金属杆在导轨之间的电阻为r，与导轨接触良好，导轨上边框接有一阻值R＝2r的电阻，其余电阻不计，重力加速度为g。则金属杆（　　）
A．刚进入磁场Ⅰ时金属杆左端电势高于右端电势
B．穿过磁场Ⅰ的时间一定大于在两磁场之间的运动时间
C．金属棒穿过两磁场的过程中，电路中产生的热量为4mgd
D．释放时距磁场Ⅰ上边界的高度h一定不小于
（多选）如图，MP、NQ为两个竖直面内平行放置的四分之一光滑圆形导体轨道，半径为r，相距为L。两轨道在最高点P、Q处，分别与两根足够长的光滑平行导轨平滑相连，构成水平轨道PC、QD，C、D端接有阻值为R的定值电阻，所有轨道的电阻均不计，整个装置置于方向竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。一质量为m、长为L、阻值为R0的导体棒紧贴轨道，在外力F作用下从MN处开始，做角速度为ω的匀速圆周运动，到达圆形轨道与水平轨道的连接处PQ时撤去外力，整个过程中导体棒始终与导轨垂直且接触良好。重力加速度为g，对于导体棒的整个运动过程，下列判断正确的是（　　）
A．整个过程中外力F做的功为
B．导体棒从MN运动到PQ的过程中，流过定值电阻R的电荷量为
C．导体棒从MN运动到PQ的过程中，定值电阻R上产生的焦耳热为
D．导体棒最终静止的位置离PQ的距离为
【模型三】含电容器无外力充电式单导体棒
基本 模型 规律 (电阻阻值为R，电容器电容为C)
电路特点 导体棒相当于电源，电容器被充电.
电流特点 安培力为阻力，棒减速，E减小，有I＝，电容器被充电UC变大，当BLv＝UC时，I＝0，F安＝0，棒匀速运动.
运动特点和最终特征 a减小的加速运动，棒最终做匀速运动，此时I＝0，但电容器带电荷量不为零.
最终速度 电容器充电荷量：q＝CU 最终电容器两端电压U＝BLv 对棒应用动量定理：mv0－mv＝BL·Δt＝BLq v＝.
v－t图象
如图所示，左端有微小夹缝的“∠”形光滑导轨abc水平放置在竖直向上的匀强磁场中，一电容器C与导轨左端相连，导轨上的金属棒MN与ab垂直，在外力F作用下从b点开始以速度v向右匀速运动，忽略所有电阻．下列关于回路中的电流i、极板上的电荷量q、外力F及其功率P随时间t变化的图像中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）如图所示，两光滑平行金属导轨间距为L，直导线MN垂直跨在导轨上，且与导轨接触良好，整个装置处于垂直于纸面向里的匀强磁场中，磁感应强度为B。电容器的电容为C，除电阻R外，导轨和导线的电阻均不计。现给导线MN一初速度，使导线MN向右运动，当电路稳定后，MN以速度v向右做匀速运动时（　　）
A．电容器两端的电压为BLv
B．电阻两端的电压为BLv
C．电容器所带电荷量为CBLv
D．为保持MN匀速运动，需对其施加的拉力大小为
在如图所示的甲、乙、丙三个装置中，除导体棒ab可动外，其余部分均固定不动，甲图中的电容器C原来不带电，设导体棒、导轨和直流电源的电阻均可忽略，导体棒和导轨间的摩擦也不计。图中装置均在水平面内，且都处于方向垂直水平面（即纸面）向下的匀强磁场中，导轨足够长。今给导体棒ab一个方向向右的初速度v0，在甲、乙、丙三种情形下导体棒ab的最终运动状态是（　　）
A．三种情形下导体棒ab最终均匀速运动
B．丙中，ab棒最终将做匀速运动；甲、乙中，ab棒最终静止
C．甲、丙中，ab棒最终将做匀速运动；乙中，ab棒最终静止
D．三种情况下ab棒最终均静止
【模型四】含电容器无外力放电式单导体棒
　　　　　基本 模型 规律　　 (电源电动势为E，内阻不计，电容器电容为C)
电路特点 电容器放电，相当于电源；导体棒受安培力而运动.
电流的特点 电容器放电时，导体棒在安培力作用下开始运动，同时阻碍放电，导致电流减小，直至电流为零，此时UC＝BLv.
运动特点及最终 特征 a减小的加速运动，最终匀速运动，I＝0.
最大速度vm 电容器充电荷量：Q0＝CE 放电结束时电荷量：Q＝CU＝CBLvm 电容器放电荷量：ΔQ＝Q0－Q＝CE－CBLvm 对棒应用动量定理：mvm＝BL·Δt＝BLΔQ vm＝
v－t图象
（多选）电磁轨道炮是利用电流和磁场的作用使炮弹获得超高速度，原理如图，图中直流电源电动势为E1，电容器的电容为C，两根固定于水平面内的光滑平面金属导轨间距为L，电阻不计。炮弹可视为一质量为m、电阻为R的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触，首先开关S接1，使电容器完全充电，然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面，磁感应强度大小为B的匀强磁场（图中未画出），MN开始向右加速运动，当MN上的感应电动势为E2时，此时与电容器两极板间的电压相等，回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨，下列说法正确的是（　　）
A．匀强磁场的方向垂直导轨平面向下
B．MN刚开始运动时的加速度
C．MN离开导轨后的最大速度为
D．MN离开导轨后的最大速度为
电磁炮是利用磁场对通电导体的作用使炮弹加速的，其原理示意图如图所示，假设图中直流电源电动势为E＝35V，电容器的电容为C＝2F。两根固定于水平面内的光滑平行金属导轨间距为l＝1m，电阻不计。炮弹可视为一质量为m＝2kg、电阻为R＝5Ω的金属棒MN，垂直放在两导轨间处于静止状态，并与导轨良好接触。首先开关S接1，使电容器完全充电；然后将S接至2，导轨间存在垂直于导轨平面向上、磁感应强度大小为B＝2T的匀强磁场，MN开始向右加速运动，经过一段时间后回路中电流为零，MN达到最大速度，之后离开导轨。问：
（1）直流电源的a端为正极还是负极；
（2）MN离开导轨时的最大速度的大小；
（3）已知电容器储藏的电场能为，导体棒从开始运动到离开轨道的过程中，导体棒上产生的焦耳热的大小。（电磁辐射可以忽略）
【模型五】含电容器有外力充电式单导体棒
【模型结构】
【情景】：轨道水平光滑，单杆质量为，电阻，两导轨间距为，拉力恒定
设金属棒运动的速度大小为，则感应电动势为 (1)
经过速度为，此时感应电动势 (2)
时间内流入电容器的电荷量.......(3)
电流,(4)
安培力.(5)
由牛顿第二第定律 (6)
(7)
所以杆以恒定的加速度匀加速运动
对于导体棒 ，克服安培力做多少功，就应有多少能量 转化为电能，则有: (8)
(9) 由 (7) (8) (9) 式得:
所以在 t 秒内转化为电能的多少是:
【反思】由模型可知: 只要导体棒受恒定外力，导体棒必做匀变速运动，且加速度为; 如果外力不恒定，则导体棒做非匀变速运动; 如果不受外力，则导体棒匀速运动或静止．反之，只要导体棒速度均匀变化( a 恒定) ，感应电动势就均匀变化，电容器的带电量就均匀变化，回路中的 电流就恒定不变() ，导体棒所受安培力就恒定不变 ( ，外力就恒定不变．
（多选）如图所示，水平面内有两根间距为d的光滑平行导轨，右端接有电容为C的电容器。一质量为m的导体棒固定于导轨上某处，轻绳一端连接导体棒，另一端绕过定滑轮下挂一质量为M的物块。由静止释放导体棒，物块下落从而牵引着导体棒向左运动。空间中存在垂直导轨平面的匀强磁场，磁场磁感应强度大小为B，不计导体棒和导轨的电阻，忽略绳与定滑轮间的摩擦。若导体棒运动过程中电容器未被击穿，导体棒始终与导轨接触良好并保持垂直，重力加速度为g，则在物块由静止下落高度为h的过程中（　　）
A．物块做加速度逐渐减小的加速运动
B．物块与导体棒组成的系统减少的机械能等于导体棒克服安培力做的功
C．轻绳的拉力大小为
D．电容器增加的电荷量为
（多选）如图甲所示，水平面上有两根足够长的光滑平行金属导轨MN和PQ，两导轨间距为l，电阻均可忽略不计。在M和P之间接有阻值为R的定值电阻，导体杆ab质量为m、电阻也为R，并与导轨接触良好。整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场中。现给杆ab一个初速度v0，使杆向右运动，则（　　）
A．当杆ab刚开始运动时，杆ab两端的电压UBlv0，且a点电势高于b点电势
B．通过电阻R的电流I随时间t的变化率的绝对值逐渐增大
C．杆ab运动的全过程中，电阻R上产生的焦耳热为mv02
D．若将M和P之间的电阻R改为接一电容为C的电容器，如图乙所示，给杆ab施加一个恒力F，杆一定向右做匀加速运动，加速度大小为
如图甲所示，足够长的粗糙导轨a、b互相平行固定放置，导轨及导轨面与水平面的夹角为37°；足够长的光滑导轨c、d平行固定放置，导轨及导轨面与水平面的夹角为53°，a与d、b与c分别连接，平行导轨间距均为L且导轨电阻均为0。空间存在方向斜向右上方且与c、d所在的导轨平面垂直的匀强磁场；质量为m、电阻为0的导体棒1垂直放置于c、d导轨上，质量也为m、有效接入电路的电阻为R的导体棒2垂直放置于a、b导轨上。给导体棒1一个沿斜面向下的速度v0，导体棒1正好做匀速运动，导体棒2在斜面上刚好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力；把导体棒2除掉，换上电容为C的电容器，如图乙所示，让导体棒1从静止开始沿着斜面向下运动，重力加速度为g，sin37°＝0.6、cos37°＝0.8，求：
（1）磁感应强度的大小；
（2）导体棒2与导轨a、b之间的动摩擦因数；
（3）图乙中，导体棒1经过一段时间t0时的速度大小。
如图所示，间距L＝1m的平行金属导轨固定在同一水平面内，导轨右侧电路能够通过单刀双掷开关分别跟1、2相连，1连接阴极射线管电路，2连接电容器电路。MM′、NN′（MM′、NN′为两条垂直于导轨方向的平行线）之间分布着方向竖直向上、磁感应强度大小为B＝1T的匀强磁场，MM′、NN′间的距离为d＝1.5m，边界处有磁场。质量为m，长度跟导轨间距相等的导体棒垂直于导轨方向放置，跨过定滑轮的轻绳一端系在导体棒中点，另一端悬挂质量也为m的小物块，导体棒与定滑轮之间的轻绳平行于导轨。已知阴极射线管工作时，每秒钟有n＝6.25×1019个电子从阴极射到阳极，电容器电容为C＝0.1F，电子的电荷量为e＝1.6×10﹣19C，导体棒与导轨电阻均不计，导体棒与导轨始终垂直且接触良好，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）若开关S接1时，导体棒恰好静止在磁场的右边界MM′处，且导体棒与导轨间的摩擦力为零，求物块的质量m；
（2）将开关S迅速由1接到2，同时导体棒从磁场右边界MM′处由静止开始运动，若导体棒运动到磁场左边界NN′处时的速度为v＝3m/s，求导体棒与导轨间的动摩擦因数μ。
如图所示，在正交坐标系O﹣xyz空间中，Oz竖直向下，O'为y轴上的一点。相距0.5m的两平行抛物线状光滑轨道OP、O'P'通过长度不计的光滑绝缘材料在P、P'处与平行倾斜粗糙直轨道PQ、P'Q'平滑相接，其中抛物线状轨道OP的方程为，OO'间用导线连接R＝1Ω的定值电阻，倾斜轨道足够长，QQ'间用导线连接C＝1F的电容器。电容器最初不带电。抛物线状轨道区域存在方向竖直向下、磁感应强度B1＝4T的匀强磁场，倾斜直轨道区域存在与导轨垂直向上、磁感应强度B2＝2T的匀强磁场。一质量为0.5kg，长为0.5m的金属导体棒在恒定外力F作用下从y轴开始以初速度v0沿抛物线状轨道做加速度方向竖直向下、大小为10m/s2的加速运动，导体棒到达连接处PP'后立即撤去该外力F。已知金属导体棒与轨道始终接触良好，金属棒与倾斜直轨道间的动摩擦因数μ＝0.75，P点纵坐标，金属棒电阻为1Ω，其他电阻忽略不计，金属棒在运动过程中始终与y轴平行，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）金属棒初速度v0的大小；
（2）外力F的大小和金属棒在抛物线状光滑轨道运动过程中产生的焦耳热Q；
（3）电容器最终的电荷量q。
【模型六】含电源驱动式单导体棒
1.开关S刚闭合时，ab杆所受安培力F＝，此时a＝.速度v↑ E感＝BLv↑ I↓ F＝BIL↓ 加速度a↓，当E感＝E时，v最大，且vm＝
2.动力学观点：分析最大加速度、最大速度
3.能量观点：消耗的电能转化为动能与回路中的焦耳热
4.动量观点：分析导体棒的位移、通过的电荷量
如图所示，导体棒MN接入电路部分的电阻为R长度为L，质量为m，初始时静止于光滑的水平轨道上，电源电动势为E，内阻大小也为R，匀强磁场的磁感应强度为B，其方向与轨道平面成θ＝45°角斜向上方，电键闭合后导体棒开始运动，则下列说法正确的是（　　）
A．导体棒向左运动
B．电键闭合瞬间导体棒MN的加速度为
C．电键闭合瞬间导体棒MN所受安培力大小为
D．电键闭合瞬间导体棒MN所受安培力大小为
如图所示，一宽为L的平行金属导轨固定在倾角为θ的斜面上，在导轨上端接入电源和滑动变阻器R，电源电动势为E、内阻为r，一质量为m的金属棒ab静止在导轨上，与两导轨垂直并接触良好，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向垂直于斜面向上的匀强磁场中，金属棒的电阻为R0，导轨电阻不计。金属导轨与金属棒之间的最大静摩擦力为f，重力加速度为g。闭合开关后，下列判断正确的是（　　）
A．金属棒受到的安培力方向沿斜面向上
B．金属棒受到的摩擦力方向可能沿斜面向下
C．若金属棒恰好不运动，则滑动变阻器的阻值为
D．要保持金属棒在导轨上静止，滑动变阻器R接入电路中的最小阻值为
如图所示，两条平行的光滑金属导轨倾斜的放在水平面上，倾角θ＝30°，两棒间的距离d＝0.5m，斜面所在区域有垂直斜面向上的磁场．以M点等高处O为坐标原点，平行斜面向下建立x轴，磁感应强度满足B＝kx（k的数值为0.8）．金属棒质量m＝0.1kg，电阻R＝0.2Ω．导轨上端外接恒流电源，可为电路提供恒定电流I＝1A，电流方向如图所示。t＝0时刻，自MN处由静止释放金属棒，金属棒下滑时始终垂直导轨且接触良好。不计导轨电阻，重力加速度为g＝10m/s2。求：
（1）判断安培力的方向，写出安培力与x的关系式；
（2）金属棒沿导轨下滑的最大距离xm。
电动汽车具有零排放、噪声低、低速阶段提速快等优点。随着储电技术的不断提高，电池成本的不断下降，电动汽车逐渐普及。
（1）电动机是电动汽车的核心动力部件，其原理可以简化为如图所示的装置：无限长平行光滑金属导轨相距L，导轨平面水平，电源电动势为E，内阻不计。垂直于导轨放置一根质量为m的导体棒MN，导体棒在两导轨之间的电阻为R，导轨电阻可忽略不计。导轨平面与匀强磁场垂直，磁场的磁感应强度大小为B，导体棒运动过程中，始终与导轨垂直且接触良好。闭合开关S，导体棒由静止开始运动，运动过程中切割磁感线产生动生电动势，该电动势总要削弱电源电动势的作用，我们把这个电动势称为反电动势E反，此时闭合回路的电流大小可用来计算。求：
①导体棒运动的速度大小为v时，导体棒的加速度a的大小；
②导体棒从开始运动到稳定的过程中电源消耗的总电能E电的大小。
（2）电动汽车行驶过程中会受到阻力作用，已知阻力f与车速v的关系可认为f＝kv2（k为未知常数）。某品牌电动汽车的电动机最大输出功率为Pm，最高车速为vm，车载电池最大输出电能为A，质量为M。
①若电动汽车始终以最大输出功率启动，经过时间t0后电动汽车的速度大小为v0，求该过程中阻力对电动汽车所做的功Wf；
②若该车以速度v1（v1小于vm）在平直公路上匀速行驶时，电能转化为机械能的总转化率为η，求该电动汽车在此条件下的最大行驶里程s。
如图所示，平行金属导轨MN、M'N'和平行金属导轨POR、P'Q'R'固定在高度差未知的两水平台面上。导轨MN、M'N'左端接有电源，MN与M'N'的间距为L＝0.1m，线框空间存在磁感应强度B1＝0.2T，竖直方向的匀强磁场；平行导轨PQR与P'Q'R'的间距也为L＝0.1m，其中PQ与P'Q'是圆心角为θ＝60°，半径为r＝0.5m的圆弧形导轨，OR与Q'R'是足够长水平直导轨，QQ'右侧有磁感应强度B2＝0.4T，方向竖直向上的匀强磁场。导体棒a、b、c长度均为L＝0.1m，质量均为m＝0.02kg。导体棒a接入电路中的电阻R1＝2Ω，放置在导轨MN、M'N'右侧N'N边缘处；导体棒b、c接入电路中的电阻均为R2＝4Ω，用绝缘轻杆de将b、c导体棒连接成“工”字型框架（以下简称“工”型架），“工”型架静止放置在水平导轨某处。闭合开关K后，导体棒a从NN′水平向右抛出，恰能无碰撞地从PP'处以速度v0＝2m/s切入平行圆弧型导轨，且始终没有与“工”型架相碰。重力加速度g，不计棒与轨道间的摩擦阻力及空气阻力。求：
（1）导轨MN，M'N'区域的磁场方向；
（2）自闭合开关K至导体棒a离开导轨MN、M'N'过程中，通过导体棒a的电荷量q；
（3）导体棒b在QQ'右侧磁场区域中产生的焦耳热。
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