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第11讲　万有引力与航天
目录
[考试标准] 1
[基础过关] 2
一、开普勒行星运动三定律 2
二、万有引力定律 2
三、万有引力理论的成就 2
四、宇宙航行 2
[命题点研究] 3
命题点一　开普勒三定律的理解和应用 3
命题点二　万有引力定律的理解和应用 5
命题点三　宇宙航行和卫星问题 7
[课时训练] 12
[考试标准]
知识内容 考试要求 说明
行星的运动 a 1.不要求掌握人类对行星运动规律认识的细节． 2.不要求用开普勒三个定律求解实际问题． 3.不要求掌握太阳与行星间引力表达式的推导方法． 4.不要求计算空心球体与质点间的万有引力． 5.不要求分析重力随纬度变化的原因． 6.不要求计算与引力势能有关的问题.
太阳与行星间的引力 a
万有引力定律 c
万有引力理论的成就 c
宇宙航行 c
经典力学的局限性 a
[基础过关]
一、开普勒行星运动三定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．
2．表达式：F＝G.
3．适用条件：万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用．
4．引力常量是由英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验测得的，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
三、万有引力理论的成就
1．预言未知天体
2．计算天体质量
四、宇宙航行
1．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，大小为7.9 km/s，第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，也是发射卫星的最小发射速度．
2．第二宇宙速度是指将卫星发射出去，挣脱地球的束缚所需要的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度是指使发射出去的卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外所需要的最小发射速度，其大小为16.7 km/s.
[命题点研究]
命题点一　开普勒三定律的理解和应用
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．该定律只能用在绕同一中心天体运行的星体之间．
（2023 浙江）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1：2：4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则（　　）
A．木卫一轨道半径为
B．木卫二轨道半径为r
C．周期T与T0之比为
D．木星质量与地球质量之比为
（2022春 越城区校级期中）我国古代人根据天地运行规律来确定四季循环的起点与终点，并划分为二十四节气。二十四节气，代表着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置。如图所示，从天体物理学可知地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处四个位置，分别对应我国的四个节气。以下说法正确的是（　　）
A．地球绕太阳做匀速率椭圆轨道运动
B．地球从冬至至春分的时间小于地球公转周期的四分之一
C．地球绕太阳运行方向（正对纸面）是顺时针
D．秋分时地球公转速度最大
（2022春 温州期中）“中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜（FAST）。通过FAST测量水星与太阳的视角θ（水星B、太阳S分别与地球A的连线所夹的角），如图所示。若视角的正弦值最大为a，地球和水星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，则水星与地球的公转周期的比值为（　　）
A． B． C． D．
（2021秋 浙江月考）开普勒第三定律指出：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即，其中a表示椭圆轨道半长轴，T表示公转周期，比值k是一个对所有行星都相同的常量。同时，开普勒第三定律对于轨迹为圆形和直线的运动依然适用：圆形轨迹可以认为中心天体在圆心处，半长轴为轨迹半径；直线轨迹可以看成无限扁的椭圆轨迹，长轴为物体与星球之间的距离。已知：星球质量为M，在距离星球的距离为r处有一物体，该物体仅在星球引力的作用下运动。星球可视为质点且认为保持静止，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．该星球和物体的引力系统中常量
B．要使物体绕星球做匀速圆周运动，则物体的速度为
C．若物体绕星球沿椭圆轨道运动，在靠近星球的过程中动能在减少
D．若物体由静止开始释放，则该物体到达星球所经历的时间为
（2022春 绍兴期末）（1）开普勒行星运动第三定律指出，行星绕太阳运动的椭圆轨道的正半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即k，k是一个所有行星都相同的常量，将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为Ms．
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立．经测定月地距离为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106s．试计算地球的质量MB（G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，结果保留一位有效数字）。
（3）开普勒第二定律指出，行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等．设火星公转半径为r1，地球公转半径为r2，定义“面积速度”为单位时间内扫过的面积．火星、地球公转的“面积速度”之比为多大？
命题点二　万有引力定律的理解和应用
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的估算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体的平均密度ρ＝＝＝.
(2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度：
ρ＝＝＝.
（2023 浙江模拟）新华社酒泉2022年11月30日电，中国第十艘载人飞船在极端严寒的西北戈壁星夜奔赴太空，神舟十五号航天员乘组于11月30日清晨入驻“天宫”，与神舟十四号航天员乘组相聚中国人的“太空家园”。已知空间站离地面的高度为h，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转。若空间站可视为绕地心做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）
A．空间站中的航天员在睡眠区睡眠时，他们相对于地心处于平衡状态
B．空间站的线速度大小为
C．地球的质量为
D．空间站的周期为
（2023 辽宁）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　）
A．k3（）2 B．k3（）2
C．（）2 D．（）2
（2023 全国）一月球探测器绕月球做周期为T的圆周运动，轨道距月球表面的高度为H。已知月球半径为R，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　）
A．（1）3 B．（1）3
C．（1）3 D．（1）3
（2023 浙江模拟）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　）
A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M
（2020 浙江模拟）某星球的自转周期为T，一个物体在赤道处的重力是F1，在极地处的重力是F2，已知万有引力常量G，则星球的平均密度可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
命题点三　宇宙航行和卫星问题
1．第一宇宙速度
(1)推导方法：①由G＝m得v1＝ ＝7.9×103 m/s.
②由mg＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
(2)第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
2．卫星运行参量的分析
卫星运行参量 相关方程 结论
线速度v G＝m v＝ r越大，v、ω、a越小，T越大
角速度ω G＝mω2r ω＝
周期T G＝m2r T＝2π
向心加速度a G＝ma a＝
3.利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧
(1)一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
(2)两组公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
mg＝(g为天体表面处的重力加速度)
（2022 镇海区校级开学）在2022年3月23日的“空中课堂”上，宇航员叶光富在距地高约440km的中国空间站进行了水油分离实验，在太空微重力环境下水油混合物很难自动分离，但叶老师通过使装有水油混合物的小瓶做圆周运动，实现了水和油的分离。已知地球同步卫星离地高度约为36000km，则下列说法不正确的是（　　）
A．宇航员在空间站受重力近似为零
B．空间站绕地球运动的速度小于7.9km/s
C．空间站绕地球运动的周期小于24h
D．空间站中分离水油混合物的原理和洗衣机脱水的原理类似
（2022春 温州期中）关于三个宇宙速度，下列说法正确的是（　　）
A．第一宇宙速度大小为7.9km/s
B．绕地球运行的同步卫星的环绕速度必定大于第一宇宙速度
C．第二宇宙速度为11.2km/s，是绕地飞行器最大的环绕速度
D．在地面附近发射的飞行器速度等于或大于第三宇宙速度时，飞行器就能逃出太阳系了
（2021春 上虞区期末）2021年2月10日19时52分，“天问一号”探测器在距火星表面400km的位置瞬间变速，成功被火星捕获，围绕火星做运动。已知火星的第一宇宙速度和第二宇宙速度分别为v1和v2，下列说法正确的是（　　）
A．若变速后的“天问一号”探测器做匀速圆周运动，其速度必小于v1
B．若变速后的“天问一号”探测器做匀速圆周运动，其速度可能大于v1
C．若变速后的“天问一号”探测器做椭圆运动，其变速后瞬间速度可能大于v2
D．若变速后的“天问一号”探测器做椭圆运动，其变速后瞬间速度不可能大于v1
（2020春 浙江期中）物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2v已知某星球半径是地球半径R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（　　）
A． B． C． D．
（2021春 海曙区校级期中）假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，自身球体半径分别为RA和RB。两颗行星各自周围的卫星的轨道半径的三次方（r3）与运行公转周期的平方（T2）的关系如图所示，T0为卫星环绕各自行星表面运行的周期。则（　　）
A．行星A的质量小于行星B的质量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度大于行星B的第一宇宙速度
D．当两行星周围的卫星的运动轨道半径相同时，行星A的卫星的向心加速度小于行星B的卫星的向心加速度
拓展点　地球同步卫星
同步卫星的六个“一定”
（2023春 杭州期中）如图所示，三颗人造卫星正在围绕地球做匀速固周运动，则下列有关说法中正确的是（　　）
A．卫星可能的轨道为a、b、c
B．卫星可能的轨道为a、c
C．同步卫星可能的轨道为a、c
D．同步卫星可能的轨道为a、b
（2022秋 浙江月考）已知万有引力常量用G表示，地球质量为M，半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T，地球同步卫星的轨道半径为r，下列表达式中不能计算地球同步卫星的向心加速度a的是（　　）
A． B．
C． D．
（2022 浙江模拟）如图所示，实线是地球赤道上空的同步卫星轨道，同步卫星寿命终结时，它会被二次变速通过椭圆转移轨道推到虚线所示同步轨道上空约300公里处的“坟场轨道”。已知地球自转周期为T，引力常数为G，地球质量为M，根据上面提供信息，下列得到的结论中正确的是（　　）
A．地球的密度为
B．地球同步卫星离开地面高度为
C．卫星从同步轨道转移到“坟场轨道”需要给卫星二次加速
D．宁波的纬度约为30°，定点在经度与宁波经度相同的同步卫星，晚上从宁波观察同步卫星与水平面的视角约为30°
（2022春 浙江期中）均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星能够实现除地球南北极的少数地区外的“全球通讯”。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，则三颗卫星中任意两颗的距离为（　　）
A．3 B．
C．3 D．3
（2021春 北仑区校级期中）已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G，有关同步卫星，下列表述中正确的是（　　）
A．卫星的运行速度可能等于第一宇宙速度
B．卫星距离地面的高度为
C．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
D．卫星运行的向心加速度等于地球赤道表面物体的向心加速度
[课时训练]
一．选择题（共14小题）
1．（2021 浙江）空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02﹣2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站（　　）
A．绕地运行速度约为2.0km/s
B．绕地运行速度约为8.0km/s
C．在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
D．在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
2．（2021 浙江）嫦娥五号探测器是我国首个实施月面采样返回的航天器，由轨道器、返回器、着陆器和上升器等多个部分组成。为等待月面采集的样品，轨道器与返回器的组合体环月做圆周运动。已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2地球质量m1＝6.0×1024kg，月球质量m2＝7.3×1022kg，月地距离r1＝3.8×105km，月球半径r2＝1.7×103km。当轨道器与返回器的组合体在月球表面上方约200km处做环月匀速圆周运动时，其环绕速度约为（　　）
A．16m/s B．1.1×102m/s C．1.6×103m/s D．1.4×104m/s
3．（2020 浙江）火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3：2，则火星与地球绕太阳运动的（　　）
A．轨道周长之比为2：3
B．线速度大小之比为：
C．角速度大小之比为2：3
D．向心加速度大小之比为9：4
4．（2023 镇海区模拟）2022年11月30日5时42分，神舟十五号载人飞船入轨后，成功对接于空间站天和核心舱，整个对接过程历时约6.5小时。假设神舟十五号飞船在对接前在1轨道做匀速圆周运动，空间站组合体在2轨道做匀速圆周运动，神舟十五号在B点采用喷气的方法改变速度，从而达到变轨的目的，通过调整，对接稳定后飞船与组合体仍沿2轨道一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）
A．飞船从A点到B点线速度不变
B．飞船从B点到C点机械能守恒
C．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在2轨道周期小于在1轨道周期
D．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在C点的速度大小小于喷气前在B点的速度大小
5．（2023 温州模拟）2022年7月25日，问天实验舱成功与轨道高度约为430km的天和核心舱完成对接如图所示，对接后组合体绕地球的运动可视为匀速圆周运动。已知地球半径R，引力常量G，地球表面重力加速度g，根据题中所给条件，下列说法正确的是（　　）
A．组合体的周期大于24小时
B．可以计算出地球的平均密度
C．组合体的向心加速度小于赤道上物体随地球自转的向心加速度
D．若实验舱内有一单摆装置，将摆球拉开一个小角度静止释放会做简谐运动
6．（2023 西湖区校级模拟）如图，地球与月球可以看作双星系统，它们均绕连线上的C点转动，在该系统的转动平面内有两个拉格朗日点L2、L4，位于这两个点的卫星能在地球引力和月球引力的共同作用下绕C点做匀速圆周运动，并保持与地球月球相对位置不变，L2点在地月连线的延长线上，L4点与地球球心、月球球心的连线构成一个等边三角形。我国已发射的“鹊桥”中继卫星位于L2点附近，它为“嫦娥四号”成功登陆月球背面提供了稳定的通信支持。假设L4点有一颗监测卫星，“鹊桥”中继卫星视为在L2点。已知地球的质量为月球的81倍，则（　　）
A．地球球心和月球球心到C点的距离之比为81：1
B．地球和月球对监测卫星的引力之比为9：1
C．监测卫星绕C点运行的加速度比月球的大
D．监测卫星绕C点运行的周期比“鹊桥”中继卫星的大
7．（2023 杭州一模）有两颗地球人造卫星，其中“墨子”号卫星在距离地面500km高度的圆形轨道上运行，另一颗卫星北斗导航卫星G7，G7属于地球静止轨道卫星（高度约为36000km）。关于卫星以下说法中正确的是（　　）
A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9km/s
B．通过地面控制可以将北斗G7定点于杭州正上方
C．卫星“墨子”的周期比北斗G7的周期小
D．卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小
8．（2022 浙江模拟）2020年9月15日，长征十一号运载火箭在黄海海域将用于科普传播的视频遥感卫星——“哔哩哔哩视频卫星”送入预定轨道，该卫星随后进入距地表约535km的近地轨道后做匀速圆周运动。已知万有引力常量、地球半径，则下列说法正确的是（　　）
A．该卫星的轨道属于地球同步卫星轨道
B．根据题目已知条件，可以估算该卫星的线速度大小
C．根据已知条件可以判断该卫星所受万有引力大小
D．该卫星在轨道上的角速度比月亮绕地球的角速度小
9．（2022 浙江模拟）“嫦娥四号”是我国探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星（称为“四号星”），主要任务是更加全面、深层次地科学探测月球地貌、资源等方面的信息。如图所示，若“四号星”在半径为r的圆周轨道上绕月运行，t时间内通过的弧长为s，已知引力常量为G，月球表面的重力加速度为g月，下列说法正确的是（　　）
A．可算出月球质量为
B．月球的第一宇宙速度为
C．“四号星”的角速度为
D．“四号星”·的周期2π
10．（2022 浙江三模）卫星回收技术是航天技术中的重要组成部分，卫星A沿半径为19200km的圆轨道绕地球运行，由于服役时间较长现对其进行回收，启动点火装置在极短时间内让卫星减速，然后沿着与地球表面相切的椭圆轨道运行，运行时仅受地球引力，已知地球半径为6400km。则卫星A制动后回到地球近地点的最短时间约为（　　）（已知地球质量为6×1024kg，万有引力常量G为6.67×10﹣11N m2/kg2）
A．2.58×103s B．7.16×103s C．9.27×103s D．1.32×104s
11．（2022 温州三模）有一种新型人造卫星，叫绳系卫星。它是通过一根金属长绳将卫星固定在其它航天器上，并以此完成一些常规单体航天器无法完成的任务。现有一航天器A，通过一根金属长绳在其正下方系一颗绳系卫星B，一起在赤道平面内绕地球做自西向东的匀速圆周运动。航天器A、绳系卫星B以及地心始终在同一条直线上。不考虑稀薄的空气阻力，不考虑绳系卫星与航天器之间的万有引力，金属长绳的质量不计，下列说法正确的是（　　）
A．正常运行时，金属长绳中拉力为零
B．绳系卫星B的线速度大于航天器A的线速度
C．由于存在地磁场，金属长绳上绳系卫星B端的电势高于航天器A端的电势
D．若在绳系卫星B的轨道上存在另一颗独立卫星C，其角速度大于绳系卫星B的角速度
12．（2022 宁波二模）2021年10月16日6时56分，航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻我国天宫空间站，开启为期6个月的太空之旅。若空间站绕地球做匀速圆周运动，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为S。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则空间站的轨道半径为（　　）
A． B．
C． D．
13．（2022 浙江模拟）2013年6月11日17时38分“神舟十号”飞船从酒泉卫星发射中心发射升空，搭载三位航天员飞向太空，在轨飞行了15天，并在飞船上我国首次开展了航天员太空授课活动．“神十”巩固和优化了“神九”实现的载人交会对接技术．如图所示，假设“神舟十号”飞船发射后首先进入椭圆轨道，其远地点P距地心的距离为a，近地点Q距地心的距离为b，经过变轨后转移到半径为a的圆轨道上，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，则（　　）
A．飞船在圆形轨道上运行时，周期为2π
B．飞船在椭圆轨道上运行时，经过远地点的速度大于经过近地点的速度
C．飞船在椭圆轨道上运行时，经过远地点的速度小于在圆形轨道上运行的速度
D．飞船在椭圆轨道上运行时，经过远地点的加速度大于经过近地点的加速度
14．（2021 台州二模）2020年7月23日，中国首个火星探测器“天问一号”成功升空，要一次性完成“绕、落、巡”三大任务。进入任务使命轨道，开展对火星全球环绕探测，同时为着陆巡视器开展中继通讯，接着，着陆巡视器进入火星大气后，通过气动外形减速、降落伞减速、反推发动机动力减速、多级减速、着陆反冲后，软着陆在火星表面。若“天问一号”被火星捕获后，某阶段进入环绕火星的椭圆轨道Ⅰ上运行，在“近火点”A制动后，后来进入轨道Ⅱ绕火星做匀速圆周运动。“天问一号”在轨道Ⅰ上的运行周期为T1，经过点A时的速率为v1，在轨道Ⅱ上运行的周期为T2，轨道半径为R，运行速率为v2。已知火星质量为M，万有引力常量为G，则（　　）
A．T1＜T2，v1＝v2 B．T1＜T2，v1＞v2
C．T1＞T2，v1＞v2 D．T1＞T2，v1＜v2
二．多选题（共1小题）
（多选）15．（2022 鹿城区校级模拟）某次发射通信卫星，先用火箭将卫星送入一近地圆轨道，然后再适时开动星载火箭，变轨到椭圆轨道运行；然后再一次开动星载火箭，将其送上与地球自转同步运行的轨道。则（　　）
A．每一次变轨后瞬间与变轨前瞬间相比，卫星的机械能增大，动能增大
B．第一次变轨后瞬间与变轨前瞬间相比，卫星的机械能增大，第二次卫星的机械减小
C．卫星在同步轨道运行速度一定比在椭圆轨道上运行时的最大速度要小
D．卫星在椭圆轨道运行时通过椭圆轨道远地点时的加速度大于同步轨道运动的加速度
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第11讲　万有引力与航天
目录
[考试标准] 1
[基础过关] 1
一、开普勒行星运动三定律 1
二、万有引力定律 2
三、万有引力理论的成就 2
四、宇宙航行 2
[命题点研究] 2
命题点一　开普勒三定律的理解和应用 2
命题点二　万有引力定律的理解和应用 6
命题点三　宇宙航行和卫星问题 10
[课时训练] 18
[考试标准]
知识内容 考试要求 说明
行星的运动 a 1.不要求掌握人类对行星运动规律认识的细节． 2.不要求用开普勒三个定律求解实际问题． 3.不要求掌握太阳与行星间引力表达式的推导方法． 4.不要求计算空心球体与质点间的万有引力． 5.不要求分析重力随纬度变化的原因． 6.不要求计算与引力势能有关的问题.
太阳与行星间的引力 a
万有引力定律 c
万有引力理论的成就 c
宇宙航行 c
经典力学的局限性 a
[基础过关]
一、开普勒行星运动三定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．开普勒第三定律(又叫周期定律)：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．
二、万有引力定律
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的平方成反比．
2．表达式：F＝G.
3．适用条件：万有引力定律的公式只适用于计算质点间的相互作用．
4．引力常量是由英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验测得的，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
三、万有引力理论的成就
1．预言未知天体
2．计算天体质量
四、宇宙航行
1．第一宇宙速度是物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的速度，大小为7.9 km/s，第一宇宙速度是卫星最大的环绕速度，也是发射卫星的最小发射速度．
2．第二宇宙速度是指将卫星发射出去，挣脱地球的束缚所需要的最小发射速度，其大小为11.2 km/s.
3．第三宇宙速度是指使发射出去的卫星挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系外所需要的最小发射速度，其大小为16.7 km/s.
[命题点研究]
命题点一　开普勒三定律的理解和应用
1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
2．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．该定律只能用在绕同一中心天体运行的星体之间．
（2023 浙江）木星的卫星中，木卫一、木卫二、木卫三做圆周运动的周期之比为1：2：4。木卫三周期为T，公转轨道半径是月球绕地球轨道半径r的n倍。月球绕地球公转周期为T0，则（　　）
A．木卫一轨道半径为
B．木卫二轨道半径为r
C．周期T与T0之比为
D．木星质量与地球质量之比为
【解答】解：设木卫一、木卫二、木卫三的轨道半径分别为r1、r2、r3，木卫三周期为T，公转轨道半径r3＝nr。
A、根据开普勒第三定律可得：，解得：r1，故A错误；
B、根据开普勒第三定律可得：，解得：r2，故B错误；
C、由于开普勒第三定律适用于同一个中心天体，不能根据开普勒第三定律计算周期T与T0之比；由于木星和地球质量关系不知道，无法计算T与T0之比，故C错误；
D、对于木卫三，根据万有引力提供向心力，则有：mnr，解得：M木
对于月球绕地球做匀速圆周运动时，有：m′r，解得：M地
所以木星质量与地球质量之比为：，故D正确。
故选：D。
（2022春 越城区校级期中）我国古代人根据天地运行规律来确定四季循环的起点与终点，并划分为二十四节气。二十四节气，代表着地球在公转轨道上的二十四个不同的位置。如图所示，从天体物理学可知地球沿椭圆轨道绕太阳运动所处四个位置，分别对应我国的四个节气。以下说法正确的是（　　）
A．地球绕太阳做匀速率椭圆轨道运动
B．地球从冬至至春分的时间小于地球公转周期的四分之一
C．地球绕太阳运行方向（正对纸面）是顺时针
D．秋分时地球公转速度最大
【解答】解：A．根据开普勒第二定律可知，近日点速度最大，远日点速度最小，地球绕太阳做速率变化的椭圆轨道运动，故A错误；
B．地球从冬至至春分，即从近日点到远日点速度逐渐减小，故时间小于地球公转周期的四分之一，故B正确；
C．地球绕太阳运行方向（正对纸面）是逆时针，故C错误；
D．根据开普勒第二定律可知冬至时地球公转速度最大，故D错误。
故选：B。
（2022春 温州期中）“中国天眼”是目前世界上口径最大的单天线射电望远镜（FAST）。通过FAST测量水星与太阳的视角θ（水星B、太阳S分别与地球A的连线所夹的角），如图所示。若视角的正弦值最大为a，地球和水星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，则水星与地球的公转周期的比值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当视角最大时，地球和水星的连线恰好与水星的运动轨迹相切，设最大视角为θm，
根据几何关系有，
又根据开普勒第三定律，
解得，故D正确，ABC错误；
故选：D。
（2021秋 浙江月考）开普勒第三定律指出：所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即，其中a表示椭圆轨道半长轴，T表示公转周期，比值k是一个对所有行星都相同的常量。同时，开普勒第三定律对于轨迹为圆形和直线的运动依然适用：圆形轨迹可以认为中心天体在圆心处，半长轴为轨迹半径；直线轨迹可以看成无限扁的椭圆轨迹，长轴为物体与星球之间的距离。已知：星球质量为M，在距离星球的距离为r处有一物体，该物体仅在星球引力的作用下运动。星球可视为质点且认为保持静止，引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）
A．该星球和物体的引力系统中常量
B．要使物体绕星球做匀速圆周运动，则物体的速度为
C．若物体绕星球沿椭圆轨道运动，在靠近星球的过程中动能在减少
D．若物体由静止开始释放，则该物体到达星球所经历的时间为
【解答】解：AB、假设物体做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有：
解得：；，故AB错误；
C、若物体绕星球沿椭圆轨道运动，在靠近星球的过程中星球引力对物体做正功，物体动能在增加，故C错误；
D、假设物体做直线运动，若物体由静止开始释放，根据开普勒定律可得：
解得：，故D正确；
故选：D。
（2022春 绍兴期末）（1）开普勒行星运动第三定律指出，行星绕太阳运动的椭圆轨道的正半长轴a的三次方与它的公转周期T的二次方成正比，即k，k是一个所有行星都相同的常量，将行星绕太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式．已知引力常量为G，太阳的质量为Ms．
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立．经测定月地距离为3.84×108m，月球绕地球运动的周期为2.36×106s．试计算地球的质量MB（G＝6.67×10﹣11N m2/kg2，结果保留一位有效数字）。
（3）开普勒第二定律指出，行星与太阳连线在相同时间内扫过的面积相等．设火星公转半径为r1，地球公转半径为r2，定义“面积速度”为单位时间内扫过的面积．火星、地球公转的“面积速度”之比为多大？
【解答】解：（1）因行星绕太阳做匀速圆周运动，设轨道的半径为r。
根据万有引力定律和牛顿第二定律有：
根据开普勒第三定律有：
解得：
（2）在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为R，周期为T1，根据万有引力提供向心力有：
解得：
（3）在时间t内，行星与太阳连线扫过的面积为：
根据万有引力提供向心力有：
解得：
对于不同的公转半径r1、r2有：
命题点二　万有引力定律的理解和应用
1．解决天体(卫星)运动问题的基本思路
(1)天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即
G＝man＝m＝mω2r＝m.
(2)在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G＝mg(g表示天体表面的重力加速度)．
2．天体质量和密度的估算
(1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G＝mg，故天体质量M＝，
天体的平均密度ρ＝＝＝.
(2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r.
①由万有引力等于向心力，即G＝mr，得出中心天体质量M＝；
②若已知天体半径R，则天体的平均密度：
ρ＝＝＝.
（2023 浙江模拟）新华社酒泉2022年11月30日电，中国第十艘载人飞船在极端严寒的西北戈壁星夜奔赴太空，神舟十五号航天员乘组于11月30日清晨入驻“天宫”，与神舟十四号航天员乘组相聚中国人的“太空家园”。已知空间站离地面的高度为h，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转。若空间站可视为绕地心做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）
A．空间站中的航天员在睡眠区睡眠时，他们相对于地心处于平衡状态
B．空间站的线速度大小为
C．地球的质量为
D．空间站的周期为
【解答】解：A、空间站中的航天员在睡眠区睡眠时，绕地球近似做匀速圆周运动，处于完全失重状态，由万有引力提供向心力，所以他们相对于地心处于非平衡状态，故A错误；
B、空间站绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，有；在地球表面上，有，联立解得空间站的线速度大小为，故B错误；
C、在地球表面上，由，可得地球的质量为，故C错误；
D、由万有引力提供向心力，有，结合在地球表面有，可得空间站的周期为，故D正确。
故选：D。
（2023 辽宁）在地球上观察，月球和太阳的角直径（直径对应的张角）近似相等，如图所示。若月球绕地球运动的周期为T1，地球绕太阳运动的周期为T2，地球半径是月球半径的k倍，则地球与太阳的平均密度之比约为（　　）
A．k3（）2 B．k3（）2
C．（）2 D．（）2
【解答】解：对于质量为m的卫星绕中心天体做匀速圆周运动时，设其轨道半径为r，根据万有引力提供向心力，则有：mr，解得M
根据密度计算公式可得：ρ，其中V
联立解得：ρR3
所以有：
即：
其中：k，
解得：（）2，故D正确、ABC错误。
故选：D。
（2023 全国）一月球探测器绕月球做周期为T的圆周运动，轨道距月球表面的高度为H。已知月球半径为R，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　）
A．（1）3 B．（1）3
C．（1）3 D．（1）3
【解答】解：月球探测器绕月球做匀速圆周运动，月球对探测器的引力提供向心力，有：Gm（R+H）
解得：M
月球的体积为VπR3
则月球的平均密度ρ（1）3
故A正确，BCD错误。
故选：A。
（2023 浙江模拟）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为1000AU （太阳到地球的距离为1AU）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　）
A．4×104M B．4×106M C．4×108M D．4×1010M
【解答】解：设地球的质量为m，地球到太阳的距离为r＝1AU，地球的公转周期为T＝1年；
由万有引力提供向心力可得：mr，
解得：M；
对于S2受到黑洞的作用，椭圆轨迹半长轴R＝1000AU，
根据图中数据结合图象可以得到S2运动的半周期（2002﹣1994）年＝8年，则周期为T′＝16年，
根据开普勒第三定律结合万有引力公式可以得出：M黑，其中R为S2的轨迹半长轴，
因此有：M黑，代入数据解得：M黑≈4×106M，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2020 浙江模拟）某星球的自转周期为T，一个物体在赤道处的重力是F1，在极地处的重力是F2，已知万有引力常量G，则星球的平均密度可以表示为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设星球质量为M，半径为R，由于两极处物体的重力等于星球对物体的万有引力，即 ①
在赤道上，万有引力万有引力分解为重力和随地自转的向心力，则有 ②
联立①②解得 M
因此，星球的平均密度 ．故B正确，ACD错误；
故选：B。
命题点三　宇宙航行和卫星问题
1．第一宇宙速度
(1)推导方法：①由G＝m得v1＝ ＝7.9×103 m/s.
②由mg＝m得v1＝＝7.9×103 m/s.
(2)第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度，也是人造卫星的最大环绕速度．
2．卫星运行参量的分析
卫星运行参量 相关方程 结论
线速度v G＝m v＝ r越大，v、ω、a越小，T越大
角速度ω G＝mω2r ω＝
周期T G＝m2r T＝2π
向心加速度a G＝ma a＝
3.利用万有引力定律解决卫星运动问题的技巧
(1)一个模型
天体(包括卫星)的运动可简化为质点的匀速圆周运动模型．
(2)两组公式
G＝m＝mω2r＝mr＝ma
mg＝(g为天体表面处的重力加速度)
（2022 镇海区校级开学）在2022年3月23日的“空中课堂”上，宇航员叶光富在距地高约440km的中国空间站进行了水油分离实验，在太空微重力环境下水油混合物很难自动分离，但叶老师通过使装有水油混合物的小瓶做圆周运动，实现了水和油的分离。已知地球同步卫星离地高度约为36000km，则下列说法不正确的是（　　）
A．宇航员在空间站受重力近似为零
B．空间站绕地球运动的速度小于7.9km/s
C．空间站绕地球运动的周期小于24h
D．空间站中分离水油混合物的原理和洗衣机脱水的原理类似
【解答】解：A、宇航员随空间站绕地球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，所以宇航员在空间站所受重力不为零，故A错误；
B、7.9km/s是地球的第一宇宙速度，是卫星最大的环绕速度，所以空间站绕地球运动的速度小于7.9km/s，故B正确；
C、地球同步卫星的运行周期为24h，空间站的轨道高度小于地球同步卫星的轨道高度。由万有引力提供向心力有：Gmr，可得T＝2π，所以空间站绕地球运动的周期小于地球同步卫星的运行周期24h，故C正确；
D、水的密度大于油的密度，在做圆周运动时更容易发生离心，所以空间站中分离水油混合物的原理和洗衣机脱水的原理类似，故D正确。
本题选不正确的，
故选：A。
（2022春 温州期中）关于三个宇宙速度，下列说法正确的是（　　）
A．第一宇宙速度大小为7.9km/s
B．绕地球运行的同步卫星的环绕速度必定大于第一宇宙速度
C．第二宇宙速度为11.2km/s，是绕地飞行器最大的环绕速度
D．在地面附近发射的飞行器速度等于或大于第三宇宙速度时，飞行器就能逃出太阳系了
【解答】解：A、依据第一宇宙速度是飞行器沿地球表面附近做匀速圆周运动时的速度，因此第一宇宙速度是飞行器做圆周运动的最大运行速度，也是飞行器绕地球飞行的最小发射速度，
其值为vm/s≈7.9×103m/s＝7.9km/s，故A错误；
B、根据Gm，知轨道半径越大，速度越小，第一宇宙速度等于近地卫星的速度，轨道半径等于地球的半径，所以第一宇宙速度大于地球同步卫星的环绕速度，故B错误；
C、第二宇宙速度为11.2km/s，当飞行器的速度大于等于第二宇宙速度时飞行器脱离地球的吸引而进入绕太阳运行的轨道，则第二宇宙速度是永远离开地球的最小速度，故C错误；
D、当飞行器的速度大于等于第三宇宙速度速度16.7km/s时物体将脱离太阳的束缚，故D正确。
故选：D。
（2021春 上虞区期末）2021年2月10日19时52分，“天问一号”探测器在距火星表面400km的位置瞬间变速，成功被火星捕获，围绕火星做运动。已知火星的第一宇宙速度和第二宇宙速度分别为v1和v2，下列说法正确的是（　　）
A．若变速后的“天问一号”探测器做匀速圆周运动，其速度必小于v1
B．若变速后的“天问一号”探测器做匀速圆周运动，其速度可能大于v1
C．若变速后的“天问一号”探测器做椭圆运动，其变速后瞬间速度可能大于v2
D．若变速后的“天问一号”探测器做椭圆运动，其变速后瞬间速度不可能大于v1
【解答】解：
AB.火星的第一宇宙速度，是绕火星做圆周运动速度最大值，故若变速后的“天问一号”探测器做匀速圆周运动，其速度必小于v1，故A正确，B错误；
C.若变速后的“天问一号”探测器做椭圆运动，其变速后瞬间速度小于v2，故C错误；
D.若变速后的“天问一号”探测器做椭圆运动，其变速后瞬间速度大于v1，故D错误；
故选：A。
（2020春 浙江期中）物体脱离星球引力所需要的最小速度称为第二宇宙速度，第二宇宙速度v2与第一宇宙速度v1的关系是v2v已知某星球半径是地球半径R的，其表面的重力加速度是地球表面重力加速度g的，不计其他星球的影响，则该星球的第二宇宙速度为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设某星球的质量为M，半径为r，绕其飞行的卫星质量m，
由万有引力提供向心力得：
解得：v1①
又因它表面的重力加速度为地球表面重力加速度g的。
得：m②
又由于v2v1③
且某星球半径是地球半径R的，
由上可解得：v2，故A正确，BCD错误；
故选：A。
（2021春 海曙区校级期中）假设宇宙中有两颗相距无限远的行星A和B，自身球体半径分别为RA和RB。两颗行星各自周围的卫星的轨道半径的三次方（r3）与运行公转周期的平方（T2）的关系如图所示，T0为卫星环绕各自行星表面运行的周期。则（　　）
A．行星A的质量小于行星B的质量
B．行星A的密度小于行星B的密度
C．行星A的第一宇宙速度大于行星B的第一宇宙速度
D．当两行星周围的卫星的运动轨道半径相同时，行星A的卫星的向心加速度小于行星B的卫星的向心加速度
【解答】解：A、根据万有引力提供向心力，有：m，解得：T，对于环绕行星A表面运行的卫星，有：，对于环绕行星B表面运行的卫星，有：T0，联立解得：，由图知，RA＞RB，所以MA＞MB，故A错误；
B、A行星质量为：MA＝ρA，B行星的质量为：MB，解得：，解得：ρA＝ρB，故B错误；
C、行星的近地卫星的线速度即第一宇宙速度，根据万有引力提供向心力，有：m，解得：v∝R，因为RA＞RB，所以vA＞vB，故C正确；
D、根据ma可知，a，由于MA＞MB，行星运动的轨道半径相等，则行星A的卫星的向心加速度大于行星B的卫星的向心加速度，故D错误。
故选：C。
拓展点　地球同步卫星
同步卫星的六个“一定”
（2023春 杭州期中）如图所示，三颗人造卫星正在围绕地球做匀速固周运动，则下列有关说法中正确的是（　　）
A．卫星可能的轨道为a、b、c
B．卫星可能的轨道为a、c
C．同步卫星可能的轨道为a、c
D．同步卫星可能的轨道为a、b
【解答】解：人造地球卫星靠万有引力提供向心力，做匀速圆周运动，万有引力的方向指向地心，所以圆周运动的圆心是地心。
A、轨道b的圆心不在地心，故不可能是卫星轨道，故A错误；
B、轨道a、c的圆心在地心，故其可能是卫星的轨道，故B正确；
CD、同步卫星的轨道平面与赤道平面共面，故C不可能是同步卫星轨道，故CD错误。
故选：B。
（2022秋 浙江月考）已知万有引力常量用G表示，地球质量为M，半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转的周期为T，地球同步卫星的轨道半径为r，下列表达式中不能计算地球同步卫星的向心加速度a的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：
AB.地球同步卫星的轨道半径为r，周期为T，根据圆周运动向心加速度公式，故A错误，B正确；
C.根据地球表面万有引力等于重力有，Gmg，故GM＝gR2，故，故C正确；
D.根据万有引力提供向心力有Gma，故向心加速度，故D正确；
本题选不能计算地球同步卫星的向心加速度a的，故选：A。
（2022 浙江模拟）如图所示，实线是地球赤道上空的同步卫星轨道，同步卫星寿命终结时，它会被二次变速通过椭圆转移轨道推到虚线所示同步轨道上空约300公里处的“坟场轨道”。已知地球自转周期为T，引力常数为G，地球质量为M，根据上面提供信息，下列得到的结论中正确的是（　　）
A．地球的密度为
B．地球同步卫星离开地面高度为
C．卫星从同步轨道转移到“坟场轨道”需要给卫星二次加速
D．宁波的纬度约为30°，定点在经度与宁波经度相同的同步卫星，晚上从宁波观察同步卫星与水平面的视角约为30°
【解答】解：A、对近地卫星分析，根据万有引力提供向心力和密度公式可得
又V，GM＝gR2
解得：ρ
地球的密度计算式中周期应是围绕地球表面作圆周运动卫星的轨道周期，而不是自转周期，故A错误；
B、根据万有引力提供向心力得
解得：r
r为同步卫星轨道半径，离开地面高度还要减去地球半径，故B错误；
C、卫星从同步轨道转移到“坟场轨道”需要给卫星二次加速，故C正确；
D、同步卫星离地高度高，从几何关系知，晚上从宁波观察同步卫星与水平面的视角肯定大于30°，故D错误；
故选：C。
（2022春 浙江期中）均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星能够实现除地球南北极的少数地区外的“全球通讯”。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，则三颗卫星中任意两颗的距离为（　　）
A．3 B．
C．3 D．3
【解答】解：设同步卫星的轨道半经为r，根据：Gmg
得：GM＝gR2
万有引力提供向心力，有：Gmr
由以上两式得：r
根据题意画出俯视三颗同步通信卫星的几何位置图象：
根据几何关系得：
s＝2rsin60°
得sr。故ACD错误，B正确；
故选：B。
（2021春 北仑区校级期中）已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G，有关同步卫星，下列表述中正确的是（　　）
A．卫星的运行速度可能等于第一宇宙速度
B．卫星距离地面的高度为
C．卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
D．卫星运行的向心加速度等于地球赤道表面物体的向心加速度
【解答】解：A.第一宇宙速度为v1，而同步卫星的速度为v，因此运行速度小于第一宇宙速度，故A错误；
B.万有引力提供向心力，有：
且r＝R+h
解得：hR，故B错误；
C.卫星运行时受到的向心力大小是F向ma向，向心加速度：a向；地表重力加速度为g，卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度，故C正确；
D.同步卫星与地球赤道表面的物体具有相同的角速度，根据a＝ω2r知，卫星运行的向心加速度大于地球赤道表面物体的向心加速度，故D错误；
故选：C。
[课时训练]
一．选择题（共14小题）
1．（2021 浙江）空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02﹣2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站（　　）
A．绕地运行速度约为2.0km/s
B．绕地运行速度约为8.0km/s
C．在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
D．在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
【解答】解：AB、卫星贴近地面做匀速圆周运动的线速度大小设为v1，此速度为第一宇宙速度，即v1＝7.9km/s；
根据万有引力提供向心力可得：，解得：v17.9km/s；
设该空间站绕地运行速度大小为v2，根据万有引力提供向心力可得：
，解得：v2
根据图象可知，空间站距离地面的最小高度约为h＝418km＜R＝6400km，则
v2km/s＝5.58km/s，
所以空间站绕地运行速度5.58km/s＜v2＜7.9km/s，故AB错误；
CD、由图可知，在4月份期间空间站高度进行了轨道修正，即存在发动机做功，则任意两小时内其机械能不可视为守恒；在5月份期间无外力做功，地球外层的稀薄空气任意两小时内对空间站做功很少，可以忽略不计，机械能可视为守恒，故D正确，C错误。
故选：D。
2．（2021 浙江）嫦娥五号探测器是我国首个实施月面采样返回的航天器，由轨道器、返回器、着陆器和上升器等多个部分组成。为等待月面采集的样品，轨道器与返回器的组合体环月做圆周运动。已知引力常量G＝6.67×10﹣11N m2/kg2地球质量m1＝6.0×1024kg，月球质量m2＝7.3×1022kg，月地距离r1＝3.8×105km，月球半径r2＝1.7×103km。当轨道器与返回器的组合体在月球表面上方约200km处做环月匀速圆周运动时，其环绕速度约为（　　）
A．16m/s B．1.1×102m/s C．1.6×103m/s D．1.4×104m/s
【解答】解：组合体在离月球表面距离为r＝r2+h；设组合体质量为m，月球对组合体的万有引力充当向心力，
根据Gm
可得vm/s＝1.6×103m/s，故C正确，ABD错误。
故选：C。
3．（2020 浙江）火星探测任务“天问一号”的标识如图所示。若火星和地球绕太阳的运动均可视为匀速圆周运动，火星公转轨道半径与地球公转轨道半径之比为3：2，则火星与地球绕太阳运动的（　　）
A．轨道周长之比为2：3
B．线速度大小之比为：
C．角速度大小之比为2：3
D．向心加速度大小之比为9：4
【解答】解：A、轨道周长C＝2πr，故轨道周长之比为半径之比为3：2，故A错误；
BCD、行星绕太阳做匀速圆周运动所需的向心力由太阳对其的万有引力提供得：r，
则v，线速度大小之比为；
ω，角速度大小之比为；
an，向心加速度大小之比为22：32＝4：9；
故BD错误，C正确；
故选：C。
4．（2023 镇海区模拟）2022年11月30日5时42分，神舟十五号载人飞船入轨后，成功对接于空间站天和核心舱，整个对接过程历时约6.5小时。假设神舟十五号飞船在对接前在1轨道做匀速圆周运动，空间站组合体在2轨道做匀速圆周运动，神舟十五号在B点采用喷气的方法改变速度，从而达到变轨的目的，通过调整，对接稳定后飞船与组合体仍沿2轨道一起做匀速圆周运动，则下列说法正确的是（　　）
A．飞船从A点到B点线速度不变
B．飞船从B点到C点机械能守恒
C．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在2轨道周期小于在1轨道周期
D．飞船在B点应沿速度反方向喷气，对接稳定后在C点的速度大小小于喷气前在B点的速度大小
【解答】解：A．线速度是矢量，既有大小还有方向，飞船从A点到B点线速度方向改变，故A错误；
B．根据功能关系，飞船从B点到C点气体对飞船做正功，机械能增大，故B错误；
C．飞船在B点应沿速度反方向喷气，轨道2的轨道半径大于轨道1的轨道半径，根据万有引力提供向心力：，
对接稳定后在2轨道周期大于在1轨道周期，故C错误；
D．根据，
对接稳定后在C点的速度大小小于喷气前在B点的速度大小，故D正确。
故选：D。
5．（2023 温州模拟）2022年7月25日，问天实验舱成功与轨道高度约为430km的天和核心舱完成对接如图所示，对接后组合体绕地球的运动可视为匀速圆周运动。已知地球半径R，引力常量G，地球表面重力加速度g，根据题中所给条件，下列说法正确的是（　　）
A．组合体的周期大于24小时
B．可以计算出地球的平均密度
C．组合体的向心加速度小于赤道上物体随地球自转的向心加速度
D．若实验舱内有一单摆装置，将摆球拉开一个小角度静止释放会做简谐运动
【解答】解：A、卫星绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，有，解得卫星的运行周期为
由于组合体的轨道高度小于地球同步卫星的轨道高度，所以组合体的周期小于地球同步卫星的周期，即组合体的周期小于24h，故A错误；
B、在地球表面上，根据万有引力等于重力，得
地球的密度为，联立解得，故B正确；
C、卫星绕地球做匀速圆周运动时，根据万有引力提供向心力，有，解得卫星的向心加速度为
因为组合体的轨道高度小于地球同步卫星的轨道高度，所以组合体的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度。地球同步卫星与赤道上的物体具有相同的角速度，而地球同步卫星的半径大于赤道上物体运转半径，根据公式，知地球同步卫星的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，则组合体的向心加速度大于赤道上物体的向心加速度，故C错误；
D、小球处于完全失重状态，静止释放小球，小球处于漂浮状态，将无法做简谐运动，故D错误。
故选：B。
6．（2023 西湖区校级模拟）如图，地球与月球可以看作双星系统，它们均绕连线上的C点转动，在该系统的转动平面内有两个拉格朗日点L2、L4，位于这两个点的卫星能在地球引力和月球引力的共同作用下绕C点做匀速圆周运动，并保持与地球月球相对位置不变，L2点在地月连线的延长线上，L4点与地球球心、月球球心的连线构成一个等边三角形。我国已发射的“鹊桥”中继卫星位于L2点附近，它为“嫦娥四号”成功登陆月球背面提供了稳定的通信支持。假设L4点有一颗监测卫星，“鹊桥”中继卫星视为在L2点。已知地球的质量为月球的81倍，则（　　）
A．地球球心和月球球心到C点的距离之比为81：1
B．地球和月球对监测卫星的引力之比为9：1
C．监测卫星绕C点运行的加速度比月球的大
D．监测卫星绕C点运行的周期比“鹊桥”中继卫星的大
【解答】解：A．设地球球心到C点的距离为r1，月球球心到C点的距离为r2，对地球根据万有引力提供向心力有
对月球根据万有引力提供向心力有
联立解得
则地球球心和月球球心到C点的距离之比为1：81，故A错误；
B．设监测卫星的质量为m，由公式
可知，地球和月球对监测卫星的引力之比为等于地球的质量与月球的质量之比即为81：1，故B错误；
C．对月球有
对监测卫星，地球对监测卫星的引力，月球对监测卫星的引力，由于两引力的夹角小于90o，所以两引力的合力
设监测卫星绕C点运行的加速度为a1，由
F合＝ma1
得
设月球绕C点运行的加速度为a2，根据万有引力提供向心力有：
解得：
监测卫星绕C点运行的加速度比月球的大，故C正确；
D．在不同的拉格朗日点航天器随地月系统运动的周期均相同，所以监测卫星绕C点运行的周期与“鹊桥”中继卫星相同，故D错误。
故选：C。
7．（2023 杭州一模）有两颗地球人造卫星，其中“墨子”号卫星在距离地面500km高度的圆形轨道上运行，另一颗卫星北斗导航卫星G7，G7属于地球静止轨道卫星（高度约为36000km）。关于卫星以下说法中正确的是（　　）
A．这两颗卫星的运行速度可能大于7.9km/s
B．通过地面控制可以将北斗G7定点于杭州正上方
C．卫星“墨子”的周期比北斗G7的周期小
D．卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的小
【解答】解：A．第一宇宙速度是绕地球做匀速圆周运动最大的环绕速度，两颗卫星运行速度均小于7.9km/s，故A错误；
B．G7属于地球静止轨道卫星，北斗G7只能定点于赤道正上方，故B错误；
C．根据万有引力提供向心力：
r墨＜r北
卫星“墨子”的周期比北斗G7的周期小，故C正确；
D．根据万有引力提供向心力：
r墨＜r北
卫星“墨子”的向心加速度比北斗G7的大，故D错误。
故选：C。
8．（2022 浙江模拟）2020年9月15日，长征十一号运载火箭在黄海海域将用于科普传播的视频遥感卫星——“哔哩哔哩视频卫星”送入预定轨道，该卫星随后进入距地表约535km的近地轨道后做匀速圆周运动。已知万有引力常量、地球半径，则下列说法正确的是（　　）
A．该卫星的轨道属于地球同步卫星轨道
B．根据题目已知条件，可以估算该卫星的线速度大小
C．根据已知条件可以判断该卫星所受万有引力大小
D．该卫星在轨道上的角速度比月亮绕地球的角速度小
【解答】解：AB、卫星运行时万有引力提供向心力，有Gm，解得：v，结合地球表面上的物体满足Gmg，可得v，根据题述信息，“哔哩哔哩视频卫星”轨道半径小于地球同步轨道卫星，所以该卫星的轨道不属于地球同步卫星轨道，已知万有引力常量、地球半径，轨道高度，结合地球表面重力加速度，可以估算该卫星的线速度大小，故A错误，B正确；
C、根据万有引力定律F＝G，结合已知条件，由于该卫星的质量未知，所以无法判断该卫星所受万有引力大小，故C错误；
D、卫星运行时万有引力提供向心力，有Gmrω2，解得：ω，“哔哩哔哩视频卫星”轨道半径小于月亮绕地球运动的轨道半径，该卫星在轨道上的角速度比月亮绕地球的角速度大，故D错误。
故选：B。
9．（2022 浙江模拟）“嫦娥四号”是我国探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星（称为“四号星”），主要任务是更加全面、深层次地科学探测月球地貌、资源等方面的信息。如图所示，若“四号星”在半径为r的圆周轨道上绕月运行，t时间内通过的弧长为s，已知引力常量为G，月球表面的重力加速度为g月，下列说法正确的是（　　）
A．可算出月球质量为
B．月球的第一宇宙速度为
C．“四号星”的角速度为
D．“四号星”·的周期2π
【解答】A．t时间内通过的弧长为s，则线速度
根据万有引力提供向心力
解得，月球质量，故A正确；
B．根据
月球的第一宇宙速度为，其中R为月球半径，故B错误；
C．“四号星”的角速度为
根据黄金代换式
解得：，故C错误；
D．“四号星”的周期，故D错误。
故答案为：A。
10．（2022 浙江三模）卫星回收技术是航天技术中的重要组成部分，卫星A沿半径为19200km的圆轨道绕地球运行，由于服役时间较长现对其进行回收，启动点火装置在极短时间内让卫星减速，然后沿着与地球表面相切的椭圆轨道运行，运行时仅受地球引力，已知地球半径为6400km。则卫星A制动后回到地球近地点的最短时间约为（　　）（已知地球质量为6×1024kg，万有引力常量G为6.67×10﹣11N m2/kg2）
A．2.58×103s B．7.16×103s C．9.27×103s D．1.32×104s
【解答】解：椭圆的轨道半长轴为a，卫星在圆轨道运行时根据万有引力提供向心力有：mR，根据开普勒第三定律有：
卫星A制动后回到地球近地点的最短时间t
代入数据解得：t＝7.16×103s
故B正确，ACD错误；
故选：B。
11．（2022 温州三模）有一种新型人造卫星，叫绳系卫星。它是通过一根金属长绳将卫星固定在其它航天器上，并以此完成一些常规单体航天器无法完成的任务。现有一航天器A，通过一根金属长绳在其正下方系一颗绳系卫星B，一起在赤道平面内绕地球做自西向东的匀速圆周运动。航天器A、绳系卫星B以及地心始终在同一条直线上。不考虑稀薄的空气阻力，不考虑绳系卫星与航天器之间的万有引力，金属长绳的质量不计，下列说法正确的是（　　）
A．正常运行时，金属长绳中拉力为零
B．绳系卫星B的线速度大于航天器A的线速度
C．由于存在地磁场，金属长绳上绳系卫星B端的电势高于航天器A端的电势
D．若在绳系卫星B的轨道上存在另一颗独立卫星C，其角速度大于绳系卫星B的角速度
【解答】解：AD.根据m可知v
则若没有长绳，则A的线速度小于B的线速度，则AB两点连线不可能总经过地心；若AB用金属长绳连接，则因AB连线和地心总共线，可知AB之间的长绳拉力肯定不为零，且绳的拉力对A做正功，对B做负功，这样使得卫星B的角速度小于同轨道上独立卫星的角速度，故A错误，D正确；
B.由题意可知，AB以相同的角速度绕O点转动，根据v＝ωr可知，绳系卫星B的线速度小于航天器A的线速度，故B错误；
C.在赤道处的地磁场由南向北，金属长绳由西向东切割磁感线，根据右手定则可知，金属长绳上绳系卫星B端的电势低于航天器A端的电势，故C错误；
故选：D。
12．（2022 宁波二模）2021年10月16日6时56分，航天员翟志刚、王亚平、叶光富进驻我国天宫空间站，开启为期6个月的太空之旅。若空间站绕地球做匀速圆周运动，它与地心的连线在单位时间内扫过的面积为S。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，则空间站的轨道半径为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：空间站绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可知
根据几何关系可知，卫星与地心连线在单位时间内扫过的面积：S
在地球表面受到的万有引力等于重力，有mg
联立解得卫星绕地球的轨道半径：r，故B正确，ACD错误。
故选：B。
13．（2022 浙江模拟）2013年6月11日17时38分“神舟十号”飞船从酒泉卫星发射中心发射升空，搭载三位航天员飞向太空，在轨飞行了15天，并在飞船上我国首次开展了航天员太空授课活动．“神十”巩固和优化了“神九”实现的载人交会对接技术．如图所示，假设“神舟十号”飞船发射后首先进入椭圆轨道，其远地点P距地心的距离为a，近地点Q距地心的距离为b，经过变轨后转移到半径为a的圆轨道上，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，忽略地球自转的影响，则（　　）
A．飞船在圆形轨道上运行时，周期为2π
B．飞船在椭圆轨道上运行时，经过远地点的速度大于经过近地点的速度
C．飞船在椭圆轨道上运行时，经过远地点的速度小于在圆形轨道上运行的速度
D．飞船在椭圆轨道上运行时，经过远地点的加速度大于经过近地点的加速度
【解答】解：A：由向心力公式：，解得：T，应用黄金代换将：GM＝gR2代入得：T，故A错误。
B：飞船在椭圆轨道上由远地点运行到近地点时，万有引力做正功，动能增大，所以近地点的速度大于远地点的速度。故B错误。
C：飞船在椭圆轨道上运行时，经过远地点时要变轨到圆轨道上需要加速，故在圆轨道上的速度要大于在椭圆轨道上远地点的速度。故C正确。
D：飞船在椭圆轨道上运行时，经过远地点的向心力小于经过近地点的向心力，故经过远地点的加速度小于经过近地点的加速度，故D错误。
故选：C。
14．（2021 台州二模）2020年7月23日，中国首个火星探测器“天问一号”成功升空，要一次性完成“绕、落、巡”三大任务。进入任务使命轨道，开展对火星全球环绕探测，同时为着陆巡视器开展中继通讯，接着，着陆巡视器进入火星大气后，通过气动外形减速、降落伞减速、反推发动机动力减速、多级减速、着陆反冲后，软着陆在火星表面。若“天问一号”被火星捕获后，某阶段进入环绕火星的椭圆轨道Ⅰ上运行，在“近火点”A制动后，后来进入轨道Ⅱ绕火星做匀速圆周运动。“天问一号”在轨道Ⅰ上的运行周期为T1，经过点A时的速率为v1，在轨道Ⅱ上运行的周期为T2，轨道半径为R，运行速率为v2。已知火星质量为M，万有引力常量为G，则（　　）
A．T1＜T2，v1＝v2 B．T1＜T2，v1＞v2
C．T1＞T2，v1＞v2 D．T1＞T2，v1＜v2
【解答】解：“天问一号”在轨道Ⅰ上做椭圆运动，在轨道Ⅱ上做匀速圆周运动，根据开普勒第三定律可知，，已知轨道Ⅰ的轨道半径大，则T1＞T2，“天问一号”在轨道Ⅱ上做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可知，Gm，解得线速度：v，则有v2，根据卫星变轨原理可知，探测器R由轨道Ⅱ变轨到轨道Ⅰ需要在A点点火加速，故v1＞v2，故C正确，ABD错误。
故选：C。
二．多选题（共1小题）
（多选）15．（2022 鹿城区校级模拟）某次发射通信卫星，先用火箭将卫星送入一近地圆轨道，然后再适时开动星载火箭，变轨到椭圆轨道运行；然后再一次开动星载火箭，将其送上与地球自转同步运行的轨道。则（　　）
A．每一次变轨后瞬间与变轨前瞬间相比，卫星的机械能增大，动能增大
B．第一次变轨后瞬间与变轨前瞬间相比，卫星的机械能增大，第二次卫星的机械减小
C．卫星在同步轨道运行速度一定比在椭圆轨道上运行时的最大速度要小
D．卫星在椭圆轨道运行时通过椭圆轨道远地点时的加速度大于同步轨道运动的加速度
【解答】解：AB、根据题意可知，发射通信卫星从低轨道向高轨道变轨，需要卫星做离心运动，需要对卫星进行加速，即重力以外的力对卫星做正功，则卫星的机械能增大，动能增大，故A正确，B错误；
C、卫星从高轨道进入低轨道，需要卫星做近心运动，根据可知，轨道半径越小，线速度越大，所以卫星从高轨道进入低轨道，需要卫星进行减速，则卫星在同步轨道运行速度一定比在椭圆轨道上运行时的最大速度要小，故C正确；
D、根据可得，则卫星在椭圆轨道运行时通过椭圆轨道远地点时的加速度等于同步轨道运动的加速度，故D错误。
故选：AC。
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