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第12讲　功　功率
目录
[考试标准] 1
[基础过关] 1
一、追寻守恒量 1
二、功 2
三、功率 2
[命题点研究] 2
命题点一　正、负功的判断 2
命题点二　功的分析与计算 4
命题点三　功率的理解和计算 7
[课时训练] 10
[考试标准]
知识内容 考试要求 说明
追寻守恒量——能量 b 1.不要求用功的定义式计算变力的功． 2.不要求用功率、力和速度的关系式解决力与速度不在一条直线上的问题． 3.不要求结合力和运动关系定量求解机车以恒定功率启动和匀加速启动的问题.
功 c
功率 c
[基础过关]
一、追寻守恒量
1．物体由于运动而具有的能量叫做动能；相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫做势能．
2．无论经历怎样的运动变化，能量总和保持不变，称之为守恒．
二、功
1．做功的必要因素
力和物体在力的方向上发生的位移．
2．计算公式
(1)当恒力F的方向与位移l的方向一致时：W＝Fl.
(2)当恒力F的方向与位移l的方向成某一夹角α时：W＝Flcos α.
3．功的正负
(1)当0≤α<时，W>0，力对物体做正功．
(2)当<α≤π时，W<0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．
(3)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
三、功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．
2．物理意义：描述做功的快慢．
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率．
(2)P＝Fv(力与速度在一条直线上)．
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．
[命题点研究]
命题点一　正、负功的判断
判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据 适用情况
根据力和位移的方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断
（2022春 兴宁市校级月考）如图所示，人站在自动扶梯上不动，随扶梯匀减速上升的过程中（　　）
A．重力对人做正功 B．支持力对人不做功
C．摩擦力对人做正功 D．合力对人做负功
（2022春 虹口区校级期中）如图所示，一人的重力为G，他随自动扶梯加速上行，扶梯对人的作用力为F，则以下判断正确的是（　　）
A．F＝G，F 对人做正功 B．F＝G，F 对人做负功
C．F＞G，F 对人做正功 D．F＜G，F 对人做负功
（2022春 华阴市期末）我国短跑名将苏炳添某次比赛的场景如图所示，若苏炳添在跑步过程中脚和地面不打滑，且两脚不同时离地，则下列说法正确的是（　　）
A．在跑步过程中，摩擦力对苏炳添不做功
B．在跑步过程中，摩擦力对苏炳添做正功
C．苏炳添100m赛跑从起跑到撞线，苏炳添所受合力对他做功为0
D．若苏炳添绕400m跑道跑一圈，空气阻力对他做功为0
（2022春 莲湖区期末）如图所示，光滑的斜劈放在水平面上，斜面上用固定的竖直板挡住一个光滑球，整个装置沿水平面向左以速度v匀速运动，以下说法中正确的是（　　）
A．挡板对球的弹力不做功 B．挡板对球的弹力做负功
C．斜面对球的弹力不做功 D．斜面对球的弹力做负功
（多选）（2022春 汉阳区校级期中）物理无处不在，不止存在于我们身边，还在诗和远方，李白《行路难》中有这样两句诗，欲渡黄河冰塞川，将登太行雪满山．闲来垂钓坐溪上，忽复乘舟梦日边．我们从做功的角度来看，以下说法正确的是（　　）
A．假如黄河水面结冰，李白走过去，脚受到的静摩擦力不做功
B．如果李白登太行山，则在登山过程中地面支持力对人脚做正功
C．假如李白垂钓，钓竿静止不动，人手对杆的支持力不做功
D．如果李白乘船，此过程中假设船直线行驶，水对船的阻力做负功
命题点二　功的分析与计算
1．在求力做功时，首先要区分是求某个力的功还是合力的功，是求恒力的功还是变力的功．
2．恒力做功与物体的实际路径无关，等于力与物体在力方向上的位移的乘积，或等于位移与在位移方向上的力的乘积．
3．若为变力做功，则要考虑应用动能定理或将变力做功转化为恒力做功进行求解．
4．总功的计算：
(1)先求物体所受的合外力，再求合外力的功；
(2)先求每个力做的功，再求各功的代数和．
类型1　恒力功的分析与计算
（多选）（2023 湖北一模）如图所示，质量m＝1kg物体以初速度v0＝6m/s滑上足够长的斜面。已知物体与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.75。调节斜面与水平方向的夹角θ从零开始增大到90°，发现物体沿斜面向上的最大位移x先减小后增大，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．当θ＝0°时，物体的最大位移为2.4m
B．当θ＝30°时，物体达到最大位移后，将保持静止
C．当θ＝53°时，物体的最大位移具有最小值
D．当θ＝90°时，物体克服摩擦力做功18J
（2023 邵阳二模）一个人用与水平方向成θ＝37°的斜向右下方的推力F推一个质量为30kg的箱子匀速前进如图（a）所示，箱子与水平地面之间的动摩擦因数为μ＝0.5，（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
（1）求推力F的大小；
（2）若该箱子原来静止，不改变F的大小，只把力的方向变为与水平方向成θ＝37°斜向右上方拉这个箱子，如图（b）所示，箱子在拉力F作用下运动1s后，撤去拉力F，求箱子运动的总位移的大小；
（3）求第2问中摩擦力所做的功。
（2022 宝鸡模拟）汽车运输规格相同的两块楼板时，为了保证安全，底层楼板固定在车厢上，上层楼板按如图所示方式放置于底层楼板上，汽车先以a1＝2m/s2的加速度启动，然后以v＝10m/s的速度匀速运动，最后以a2＝10m/s2的加速度刹车至静止。已知每块楼板的质量为200kg，楼板间的动摩擦因数为0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个过程楼板不会掉落，也不会撞上驾驶室，g＝10m/s2，则（　　）
A．启动时楼板之间的摩擦力大小为1600N
B．刹车时楼板之间的摩擦力大小为400N
C．启动时楼板间因摩擦产生的热量为2000J
D．刹车时楼板间因摩擦产生的热量为2000J
类型2　变力功的分析与计算
（2023春 湖北期中）近年来，随着国家乡村振兴战略深入实施，绝大部分农村在农业生产中基本实现了机械化，极大的提高了农业生产效率。如图所示为一农业展览馆中展示的上个世纪七八十年代农村农业生产中驴拉磨（将食物磨成粉浆）的情景。假设在驴拉磨的过程中，驴对磨杆的拉力大小为300N，半径r为0.5m，转动一周为5s，则下列说法正确的是（　　）
A．驴拉磨一周过程中拉力做功为0
B．驴拉磨一周过程中拉力做功为350πJ
C．驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为60πW
D．驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为65πW
（2023春 西城区校级期中）一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为（　　）
A．力F在0～3m的过程中对物体做了3J的功
B．力F在3～4m的过程中对物体做了﹣2J的功
C．物体在4～5m的过程中克服力F做了1J的功
D．力F在0～5m的过程中对物体做了8J的功
（2023春 思明区校级期中）如图所示，将一质量为m的小球用长为l的轻绳悬挂于O点，水平拉力F将小球从平衡位置P缓慢地拉至轻绳与竖直方向夹角为θ处。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球的重力势能增加了mglcosθ
B．拉力F所做的功为Flsinθ
C．拉力F所做的功为mgl（1﹣cosθ）
D．轻绳的拉力所做的功为mgl
（2023 湖南模拟）如图所示，在倾角为30°底端具有挡板的固定斜面上，滑块b的一端通过一劲度系数为k＝200N/m的轻质弹簧与另一滑块a连接后置于斜面上，滑块b的另一端通过一不可伸长的轻绳跨过光滑的定滑轮与带孔的小球c连接，小球c穿在光滑的固定轻杆上，轻杆与水平方向的夹角为37°，初始用手托住小球c置于M点，此时MO水平，弹簧被拉伸且弹力大小为8N，释放小球c，小球恰好能滑至N点，滑块a始终未离开挡板，已知MO＝NO＝20cm，ma＝mb＝1.6kg，mc＝1.0kg，若整个运动过程中，绳子一直绷紧，则下列说法正确的是（　　）
A．滑块b与斜面间的动摩擦因数为0.75
B．小球c滑至MN的中点处的速度
C．小球c从M点滑至N点的过程中，经过MN中点处时重力的功率最大
D．小球c从M点滑至N点的过程中，弹簧的弹性势能经历了先减小再增大的过程
命题点三　功率的理解和计算
（2023 湖北）两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（　　）
A．
B．
C．
D．
（2023 未央区校级模拟）我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一、如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数的关系图像。若汽车质量为2×103kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则（　　）
A．汽车匀加速所需时间为5s
B．汽车以恒定功率启动
C．汽车所受阻力为1×103N
D．汽车在车速为5m/s时，功率为6×104W
（2023 江苏三模）如图所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O与拖车相连，另一端与河中的小船连接，定滑轮与拖车之间的连绳保持水平，小船与拖车的运动在同一竖直平面内，拖车沿平直路面水平向右运动带动小船，使小船以速度v沿水面向右匀速运动，若船在水面上运动受到的阻力保持不变。则在上述运动过程中（　　）
A．当拉船的轻绳与水平面的夹角为θ时，拖车运动的速度为vsinθ
B．小船受到绳的拉力不断减小
C．小船受到绳的拉力的功率不断增大
D．拖车的动能不断减小
（2023 朝阳区一模）质量为m的同学原地跳绳时，上下运动，其速度大小v随时间t的变化图像如图所示。重力加速度为g。则（　　）
A．0～t0内，该同学的最大速度约为
B．0～t0内，该同学上升的最大高度约为
C．该同学克服重力做功的平均功率约为
D．每跳一次，地面对该同学所做的功约为
（2023 温州模拟）2021年10月25日，如图甲所示的全球最大“上回转塔机”成功首发下线，又树立了一面“中国高端制造”的新旗帜。若该起重机某次从t＝0时刻由静止开始向上提升质量为m的物体，其a﹣t图像如图乙所示，t1时达到额定功率，t1～t2时间内起重机保持额定功率运动，重力加速度为g，不计其它阻力，下列说法正确的是（　　）
A．0～t1时间内物体处于失重状态
B．t1～t2时间内物体做减速运动
C．0～t1时间内重力对物体做功为
D．t1～t2时间内起重机额定功率为（mg+ma0）a0t1
（2023 浙江模拟）如图所示是某款八缸四冲程汽油车的“五挡手动变速箱”的结构示意图，其工作原理是通过挡位控制来改变连接发动机动力轴的主动齿轮和连接动力输出轴的从动齿轮的半径比。当挡位挂到低速挡——“1、2挡”时，最大车速为20～30km/h，当挡位挂到高速挡——“5挡”，汽车才能获得比较大的车速，则（　　）
A．挡位从“1挡”逐步增加到“5”挡过程中，主动齿轮和从动齿轮的半径比变大
B．若保持发动机输出功率不变，从“2挡”突然挂到“3挡”瞬间，汽车获得的牵引力瞬间减小
C．发动机工作时经历“吸气—压缩—做功—放气”四个环节，“压缩”气体时，气体体积变小，气体对外界做功
D．随着发动机技术的不断发展，将来有可能实现把发动机的热能全部转化为汽车的机械能，即热机的效率达到100%
[课时训练]
一．选择题（共7小题）
1．（2023 杭州一模）利用一台竖直升降机，尽可能快地把30箱总质量为150kg的箱子搬到12m高的楼上。已知升降机的平均输出功率与所装物体质量之间的关系如图所示。不计升降机返回地面的时间和搬起、放下货物的时间。那么下列正确的是（　　）
A．为减少搬运时间，每次搬运的箱子最好多一些
B．在所需时间最短的情况下，他每次搬运的箱子为5箱
C．把所有箱子都搬到楼上所需要的最短时间约为750s
D．搬运过程中电机消耗的电能为1.8kJ
2．（2022 浙江模拟）图甲是我国自主设计的全球第一款可载客的无人驾驶飞机“亿航184”，其质量为260kg，最大载重为100kg，图乙是该无人机某次在最大载重情况下，从地面开始竖直升空过程中的v﹣t图像，前2s图像为直线，2s末到5s末图像为曲线，曲线两端皆与两侧直线相切，5s后无人机匀速上升，发动机的输出功率等于额定输出功率，g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．前5s上升的高度为19m
B．1s末发动机的输出功率为7200W
C．2s末到5s末，发动机的输出功率不变
D．2s末到5s末，无人机上升的高度不会超过17m
3．（2022 宁波模拟）某城市边缘的一小山岗，在干燥的季节发生了山顶局部火灾，消防员及时赶到，启动多个喷水口进行围堵式灭火，喷水口所处高度和口径都相同。其中两支喷水枪喷出的水在空中运动的轨迹甲和乙几乎在同一竖直面内，且最高点高度、落到失火处的高度均相同，如图所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．水甲落到失火处的速度一定较大
B．水乙在最高点的速度一定较大
C．喷出水甲的喷水枪的功率一定较大
D．水乙在空中运动的时间一定较长
4．（2021 台州二模）如图所示，某景区的彩虹滑梯由两段倾角不同的直轨道组成，游客与两段滑梯间的动摩擦因数相同。一游客由静止开始从顶端下滑到底端，若用x、a、E、P分别表示物体下降的位移、加速度、机械能和重力的功率，t表示所用的时间，则下列的图像中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021 台州二模）北京已成功申办2022年冬奥会，花样滑冰运动是其中的一个项目。有两个穿着冰鞋的甲、乙运动员站在水平冰面上，当甲猛推乙时，两人会向相反的方向滑行。不计冰面对运动员的水平作用推乙的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．甲和乙的加速度大小总是相等
B．甲获得的速度与乙获得的速度大小总是相等
C．甲对乙的作用力与乙对甲的作用力总是大小相等
D．甲对乙做的功与乙对甲做的功一定相等
6．（2021 台州二模）如图所示，OB是竖直线，OA是水平线，小球可以在OB上任一点以合适的速度水平抛出，每次都能击中水平面上的A点。则上升到越高的地方抛出（　　）
A．小球水平抛出的速度越大
B．击中A点的速度方向与竖直夹角越大
C．击中A点的动能一定越大
D．击中A点前瞬时重力功率一定越大
7．（2021 浙江模拟）如图甲所示是一简易打桩机。质量m＝1kg的重物在拉力的作用下从与钉子接触处由静止开始运动，上升一段高度后撤去拉力，重物上升到最高点后自由下落，撞击钉子，将钉子打入一定深度。若以重物与钉子接触处为重力势能零点，重物上升过程中，其机械能E与上升高度h的关系图象如图乙所示，不计所有摩擦。则（　　）
A．重物在1.0～1.2m过程中做匀速直线运动
B．重物加速上升过程中的加速度为1m/s2
C．重物上升到1m高度处的速度为1m/s
D．重物上升过程拉力的最大功率为24W
二．多选题（共2小题）
（多选）8．（2023 西湖区校级模拟）如图所示，ab、ac为竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b两点恰为外接圆的最高点和最低点，两个带孔小球甲、乙分别从a处由静止沿两细杆滑到下端b、c时，动能恰好相等，下列说法正确的是（　　）
A．两小球的质量相等
B．两小球下滑的时间相等
C．此过程中两小球所受重力的平均功率相等
D．两小球在细杆下端bc时重力的瞬时功率相等
（多选）9．（2021 瓯海区校级模拟）如图甲所示，质量m＝0.5kg，初速度v0＝10m/s的物体，受到一个与初速度方向相反的外力F的作用，沿粗糙的水平面滑动，经3s撤去外力，直到物体停止，整个过程物体的v﹣t图象如图乙所示，g取10m/s2，则（　　）
A．物体与地面间的动摩擦因数为0.2
B．0～2s内F做的功为﹣8J
C．0～7s内摩擦力做功为﹣25J
D．0～7s内物体滑行的总位移为29m
三．计算题（共2小题）
10．（2021 浙江模拟）如图所示，某机器人研究小组自制的机器车能够自动识别障碍物上、下坡。该机器车质量m＝20kg，在水平路面AB段以速度v1＝6m/s匀速行驶，BC段是一段陡坡。机器车在BC段仅用t＝5s就运动到了坡顶，且到达坡顶前机器车已经以速度v2＝3m/s做匀速运动。已知整个过程中该机器车的输出功率保持不变，机器车在AB段受到的阻力Ff1＝200N，在BC段所受阻力恒定，机器车经过B点时无机械能损失，求：
（1）该机器车经过B点后刚开始上坡时的加速度大小；
（2）BC段的长度。
11．（2021 浙江模拟）燃放烟花是人们庆祝节日的一种方式，如图所示为某一型号的礼花弹．某次技术指标测试时，将一质量m＝0.5kg的礼花弹放入专用炮筒中，礼花弹竖直向上射出并以初速度v0离开炮口，经过t1＝4s上升了h＝128m后到达最高点，最终落到地面，整个过程中礼花弹并未爆炸．假设礼花弹整个过程均沿竖直方向运动，且运动过程中所受空气阻力大小恒定，忽略炮口与地面的高度差，重力加速度g＝10m/s2，求礼花弹：
（1）被炮筒射出时的初速度v0的大小；
（2）运动过程中所受空气阻力f的大小；
（3）从最高点返回到地面的过程中重力的平均功率P．
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第12讲　功　功率
目录
[考试标准] 1
[基础过关] 1
一、追寻守恒量 1
二、功 1
三、功率 2
[命题点研究] 2
命题点一　正、负功的判断 2
命题点二　功的分析与计算 5
命题点三　功率的理解和计算 12
[课时训练] 17
[考试标准]
知识内容 考试要求 说明
追寻守恒量——能量 b 1.不要求用功的定义式计算变力的功． 2.不要求用功率、力和速度的关系式解决力与速度不在一条直线上的问题． 3.不要求结合力和运动关系定量求解机车以恒定功率启动和匀加速启动的问题.
功 c
功率 c
[基础过关]
一、追寻守恒量
1．物体由于运动而具有的能量叫做动能；相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫做势能．
2．无论经历怎样的运动变化，能量总和保持不变，称之为守恒．
二、功
1．做功的必要因素
力和物体在力的方向上发生的位移．
2．计算公式
(1)当恒力F的方向与位移l的方向一致时：W＝Fl.
(2)当恒力F的方向与位移l的方向成某一夹角α时：W＝Flcos α.
3．功的正负
(1)当0≤α<时，W>0，力对物体做正功．
(2)当<α≤π时，W<0，力对物体做负功，或者说物体克服这个力做了功．
(3)当α＝时，W＝0，力对物体不做功．
三、功率
1．定义：功与完成这些功所用时间的比值．
2．物理意义：描述做功的快慢．
3．公式
(1)P＝，P为时间t内的平均功率．
(2)P＝Fv(力与速度在一条直线上)．
①v为平均速度，则P为平均功率．
②v为瞬时速度，则P为瞬时功率．
4．额定功率与实际功率
(1)额定功率：动力机械正常工作时输出的最大功率．
(2)实际功率：动力机械实际工作时输出的功率，要求小于或等于额定功率．
[命题点研究]
命题点一　正、负功的判断
判断力是否做功及做正、负功的方法
判断根据 适用情况
根据力和位移的方向的夹角判断 常用于恒力做功的判断
根据力和瞬时速度方向的夹角判断 常用于质点做曲线运动
根据功能关系或能量守恒定律判断 常用于变力做功的判断
（2022春 兴宁市校级月考）如图所示，人站在自动扶梯上不动，随扶梯匀减速上升的过程中（　　）
A．重力对人做正功 B．支持力对人不做功
C．摩擦力对人做正功 D．合力对人做负功
【解答】解：A、人斜向上运动，位移右斜向上，重力方向向下，两者夹角大于90o，根据功的定义，重力做负功，故A错误；
B、支持力向上，人的位移右斜向上，两者夹角小于90o，按功的定义，支持力做正功，故B错误；
C、依题意，由于人的加速度左斜向下，则有水平向左的加速度，根据牛顿第二定律可知，人与电梯间的静摩擦力水平向左，而人的位移右斜向上，两者夹角大于90o，根据功的定义，摩擦力对人做负功，故C错误；
D、因为减速运动，动能变化量小于零，根据动能定理，则合力的功小于零，即合力对人做负功，故D正确。
故选：D。
（2022春 虹口区校级期中）如图所示，一人的重力为G，他随自动扶梯加速上行，扶梯对人的作用力为F，则以下判断正确的是（　　）
A．F＝G，F 对人做正功 B．F＝G，F 对人做负功
C．F＞G，F 对人做正功 D．F＜G，F 对人做负功
【解答】解：人随自动扶梯加速上行，加速度方向沿扶梯向上，如图所示；
根据图象可知扶梯对人的作用力大小F大于人的重力mg，F与速度方向夹角小于90°，对人做正功，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2022春 华阴市期末）我国短跑名将苏炳添某次比赛的场景如图所示，若苏炳添在跑步过程中脚和地面不打滑，且两脚不同时离地，则下列说法正确的是（　　）
A．在跑步过程中，摩擦力对苏炳添不做功
B．在跑步过程中，摩擦力对苏炳添做正功
C．苏炳添100m赛跑从起跑到撞线，苏炳添所受合力对他做功为0
D．若苏炳添绕400m跑道跑一圈，空气阻力对他做功为0
【解答】解：AB、根据功的定义可知，力与在力的方向上的位移的乘积，摩擦力作用期间脚对地面没有位移，即f不做功，故A正确，B错误；
C、根据动能定理可知，合外力的功等于动能的变化量，起跑到撞线，动能发生变化，合外力做功不为零，故C错误；
D、在跑步的过程中，空气阻力与速度时刻相反，做负功，故D错误；
故选：A。
（2022春 莲湖区期末）如图所示，光滑的斜劈放在水平面上，斜面上用固定的竖直板挡住一个光滑球，整个装置沿水平面向左以速度v匀速运动，以下说法中正确的是（　　）
A．挡板对球的弹力不做功 B．挡板对球的弹力做负功
C．斜面对球的弹力不做功 D．斜面对球的弹力做负功
【解答】解：AB.球的位移水平向左，挡板对球的弹力水平向右，则挡板对球的弹力做负功，故A错误，B正确；
CD.斜面对球的弹力垂直斜面向上，与位移夹角为锐角，则斜面对球的弹力做正功，故CD错误。
故选：B。
（多选）（2022春 汉阳区校级期中）物理无处不在，不止存在于我们身边，还在诗和远方，李白《行路难》中有这样两句诗，欲渡黄河冰塞川，将登太行雪满山．闲来垂钓坐溪上，忽复乘舟梦日边．我们从做功的角度来看，以下说法正确的是（　　）
A．假如黄河水面结冰，李白走过去，脚受到的静摩擦力不做功
B．如果李白登太行山，则在登山过程中地面支持力对人脚做正功
C．假如李白垂钓，钓竿静止不动，人手对杆的支持力不做功
D．如果李白乘船，此过程中假设船直线行驶，水对船的阻力做负功
【解答】解：A、假如黄河水面结冰，李白走过去，脚受到的静摩擦力的作用点位移为零，所以不做功，故A正确；
B、如果李白登太行山，在登山过程中地面支持力的作用点位移为零，所以不做功，故B错误；
C、假如李白垂钓，钓竿静止不动，人手对杆的支持力的作用点位移为零，所以不做功，故C正确；
D、如果李白乘船，此过程中假设船直线行驶，水对船的阻力与船速度方向相反，做负功，故D正确。
故选：ACD。
命题点二　功的分析与计算
1．在求力做功时，首先要区分是求某个力的功还是合力的功，是求恒力的功还是变力的功．
2．恒力做功与物体的实际路径无关，等于力与物体在力方向上的位移的乘积，或等于位移与在位移方向上的力的乘积．
3．若为变力做功，则要考虑应用动能定理或将变力做功转化为恒力做功进行求解．
4．总功的计算：
(1)先求物体所受的合外力，再求合外力的功；
(2)先求每个力做的功，再求各功的代数和．
类型1　恒力功的分析与计算
（多选）（2023 湖北一模）如图所示，质量m＝1kg物体以初速度v0＝6m/s滑上足够长的斜面。已知物体与斜面之间的动摩擦因数μ＝0.75。调节斜面与水平方向的夹角θ从零开始增大到90°，发现物体沿斜面向上的最大位移x先减小后增大，重力加速度g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．当θ＝0°时，物体的最大位移为2.4m
B．当θ＝30°时，物体达到最大位移后，将保持静止
C．当θ＝53°时，物体的最大位移具有最小值
D．当θ＝90°时，物体克服摩擦力做功18J
【解答】解：A．当θ＝0°时，物体沿水平方向故匀减速直线运动。由动能定理，代入数据解得x1＝2.4m，故A正确；
B．当θ＝30°时，有mgsinθ＜μmgcosθ，即重力沿斜面向下的分力小于滑动摩擦力，所以物体物体速度减小到零后，在斜面上保持静止，不会向下滑动，故B正确；
C．物体在斜面上滑行的过程中，由动能定理可得，解得，其中tanα＝μ，由数学知识可知，当θ＝53°时，物体的最大位移具有最小值，故C正确；
D．当θ＝90°时，物体与竖直平面之间的支持力为零，摩擦力为零，所以摩擦力一定不做功，故D错误。
故选：ABC。
（2023 邵阳二模）一个人用与水平方向成θ＝37°的斜向右下方的推力F推一个质量为30kg的箱子匀速前进如图（a）所示，箱子与水平地面之间的动摩擦因数为μ＝0.5，（g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
（1）求推力F的大小；
（2）若该箱子原来静止，不改变F的大小，只把力的方向变为与水平方向成θ＝37°斜向右上方拉这个箱子，如图（b）所示，箱子在拉力F作用下运动1s后，撤去拉力F，求箱子运动的总位移的大小；
（3）求第2问中摩擦力所做的功。
【解答】解：（1）箱子做匀速直线运动，受力情况如图所示，由平衡条件可得：
水平方向：Fcosθ＝f
竖直方向：Fsinθ+mg＝FN
又：f＝μFN
解得：F＝300N；
（2）箱子所受拉力斜向右上方时，由牛顿第二定律可得：Fcosθ﹣f′＝ma1
竖直方向由平衡条件可得Fsinθ+FN′＝mg
又f′＝μFN′
求得：
箱子在拉力作用下运动1s后，撤去外力F，
加速阶段中箱子位移大小为m＝3m
加速阶段的末速度为v＝a1t1＝6×1m/s＝6m/s
撤去外力后箱子做匀减速直线运动，由牛顿第二定律可得μmg＝ma2，
解得加速度大小为：
减速阶段中箱子位移大小为m＝3.6m
箱子总位移大小为s＝s1+s2＝3m+3.6m＝6.6m，方向向右。
（3）第（2）问中，箱子在全过程中由动能定理有W总＝0
即Fcosθs1+Wf＝0；
解得：Wf＝﹣720J
答：（1）推力F的大小为300N；
（2）箱子运动的总位移的大小为6.6m，方向向右；
（3）第2问中摩擦力所做的功为﹣720J。
（2022 宝鸡模拟）汽车运输规格相同的两块楼板时，为了保证安全，底层楼板固定在车厢上，上层楼板按如图所示方式放置于底层楼板上，汽车先以a1＝2m/s2的加速度启动，然后以v＝10m/s的速度匀速运动，最后以a2＝10m/s2的加速度刹车至静止。已知每块楼板的质量为200kg，楼板间的动摩擦因数为0.8，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个过程楼板不会掉落，也不会撞上驾驶室，g＝10m/s2，则（　　）
A．启动时楼板之间的摩擦力大小为1600N
B．刹车时楼板之间的摩擦力大小为400N
C．启动时楼板间因摩擦产生的热量为2000J
D．刹车时楼板间因摩擦产生的热量为2000J
【解答】解：A、摩擦力提供给水泥板最大的加速度为：a'＝μg＝0.8×10m/s2＝8m/s2，启动时，汽车加速度小于水泥板最大加速度，上层水泥板所受摩擦力为静摩擦力，大小为：f＝ma1＝200×2N＝400N，故A错误；
B、刹车时，汽车加速度大于水泥板最大加速度，上层水泥板所受摩擦力为滑动摩擦力，其大小为：f＝μmg＝0.8×200×10m/s＝1600N，故B错误；
C、启动时，楼板间没有相对运动，受到静摩擦力作用，不会产生热量，故C错误；
D、汽车在刹车过程中行驶的距离为：sm＝5m，汽车停止时间为：ts＝1s，上层水泥板停止运动时滑动的距离为：s′mm，汽车停止时上层水泥板相对底层水泥板滑动的距离为Δs＝s′﹣sm﹣5mm，根据摩擦生热可知，Q＝μmg Δs＝1600J＝2000J，故D正确。
故选：D。
类型2　变力功的分析与计算
（2023春 湖北期中）近年来，随着国家乡村振兴战略深入实施，绝大部分农村在农业生产中基本实现了机械化，极大的提高了农业生产效率。如图所示为一农业展览馆中展示的上个世纪七八十年代农村农业生产中驴拉磨（将食物磨成粉浆）的情景。假设在驴拉磨的过程中，驴对磨杆的拉力大小为300N，半径r为0.5m，转动一周为5s，则下列说法正确的是（　　）
A．驴拉磨一周过程中拉力做功为0
B．驴拉磨一周过程中拉力做功为350πJ
C．驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为60πW
D．驴拉磨一周过程中拉力做功平均功率为65πW
【解答】解：AB、驴对磨杆的拉力大小为300N，方向与速度方向一致，所以拉力做正功，又因为驴拉磨一周运动的路程为x＝2π×0.5m＝πm
所以驴拉磨一周做功为W＝Fx＝300×πJ＝300πJ，故AB错误；
CD、驴拉磨转动一周时间为5s，转动过程中拉力做功的平均功率为，故C正确，D错误。
故选：C。
（2023春 西城区校级期中）一物体所受的力F随位移x变化的图像如图所示，求在这一过程中，力F对物体做的功为（　　）
A．力F在0～3m的过程中对物体做了3J的功
B．力F在3～4m的过程中对物体做了﹣2J的功
C．物体在4～5m的过程中克服力F做了1J的功
D．力F在0～5m的过程中对物体做了8J的功
【解答】解：A、在0～3m的过程中属于恒力做功，可直接根据功的定义求解，物体在0～3m对物体做的功为W1＝F1x1＝2N×3m＝6J
故A错误；
B、在3～4m的过程中属于变力做功，根据F﹣x图像与横轴围成的面积表示力做功的大小，则力F在3～4m的过程中对物体做的功为
故B错误；
C、物体在4～5m的过程中克服力F做的功为
故C正确；
D、力F在0～5m的过程中对物体做的功为W＝W1+W2﹣W3＝6J+1J﹣1J＝6J
故D错误。
故选：C。
（2023春 思明区校级期中）如图所示，将一质量为m的小球用长为l的轻绳悬挂于O点，水平拉力F将小球从平衡位置P缓慢地拉至轻绳与竖直方向夹角为θ处。已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球的重力势能增加了mglcosθ
B．拉力F所做的功为Flsinθ
C．拉力F所做的功为mgl（1﹣cosθ）
D．轻绳的拉力所做的功为mgl
【解答】解：A、小球上升的高度为h＝l（1﹣cosθ），重力对小球做的功WG＝﹣mgl（1﹣cosθ），所以小球的重力势能增加mgl（1﹣cosθ），故A错误；
BCD、小球从平衡位置P点缓慢地移动到Q点的过程中，轻绳的拉力所做的功为0，根据动能定理可得：WF﹣WG＝0，解得拉力F所做的功：WF＝mgl（1﹣cosθ），故C正确，BD错误。
故选：C。
（2023 湖南模拟）如图所示，在倾角为30°底端具有挡板的固定斜面上，滑块b的一端通过一劲度系数为k＝200N/m的轻质弹簧与另一滑块a连接后置于斜面上，滑块b的另一端通过一不可伸长的轻绳跨过光滑的定滑轮与带孔的小球c连接，小球c穿在光滑的固定轻杆上，轻杆与水平方向的夹角为37°，初始用手托住小球c置于M点，此时MO水平，弹簧被拉伸且弹力大小为8N，释放小球c，小球恰好能滑至N点，滑块a始终未离开挡板，已知MO＝NO＝20cm，ma＝mb＝1.6kg，mc＝1.0kg，若整个运动过程中，绳子一直绷紧，则下列说法正确的是（　　）
A．滑块b与斜面间的动摩擦因数为0.75
B．小球c滑至MN的中点处的速度
C．小球c从M点滑至N点的过程中，经过MN中点处时重力的功率最大
D．小球c从M点滑至N点的过程中，弹簧的弹性势能经历了先减小再增大的过程
【解答】解：A、小球c从M到N，滑块b先下滑再回到原来的位置，则由能量关系：
代入解得滑块b与斜面间的动摩擦因数为：，故A错误；
C、小球c从M点滑至N点的过程中，经过MN中点处时，小球c沿轻杆方向的合力为mcgsin37°，则加速度不为零，速度不是最大，即此时重力的功率不是最大，故C错误；
B、小球在M点时弹簧被拉伸，弹力为8N，此时弹簧被拉长：
小球c滑至MN的中点处时，b下滑的距离为：Δx′20×（1﹣0.6）cm＝8cm
则此时弹簧被压缩4cm，此时的弹性势能等于初始时弹性势能，设此时c的速度为v，则b的速度为0，则由能量关系：
代入数据解得：，故B正确；
D、小球c从M点滑至MN中点的过程中，弹簧由伸长4cm到被压缩4cm，即弹簧的弹性势能先减小再增大；同样小球c从MN中点滑至N点的过程中，弹簧由压缩4cm到被拉长4cm，即弹簧的弹性势能仍先减小再增大，故D错误。
故选：B。
命题点三　功率的理解和计算
（2023 湖北）两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：由题意可知两节动车功率分别为
P1＝f1v1
P2＝f2v2
当把它们编组后
P1+P2＝（f1+f2）v
联立解得
v
故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023 未央区校级模拟）我国新能源汽车发展迅速，2022年仅比亚迪新能源汽车全年销量为186.35万辆，位列全球第一、如图所示为比亚迪某型号汽车某次测试行驶时的加速度和车速倒数的关系图像。若汽车质量为2×103kg，它由静止开始沿平直公路行驶，且行驶中阻力恒定，最大车速为30m/s，则（　　）
A．汽车匀加速所需时间为5s
B．汽车以恒定功率启动
C．汽车所受阻力为1×103N
D．汽车在车速为5m/s时，功率为6×104W
【解答】解：B．由图知，当越大时，汽车速度v越小，故当汽车从启动到速度为10m/s前，汽车以恒定加速度启动，汽车匀加速运动的加速度为2m/s2，故B错误；
A．汽车匀加速运动的末速度
解得
v＝10m/s
匀加速运动的时间
故A正确；
C．由图可知汽车的最大速度为
vmax＝30m/s
此时汽车的加速度为零，汽车做匀速直线运动，有
F牵min＝f
又P＝F牵minvmax
当时，v＝10m/s，a＝2m/s2，此时对汽车由牛顿第二定律有
f＝ma
联立各式，代入数据解得
f＝2×103N，P＝6×104W
故C错误；
D．汽车在车速为5m/s时，处于恒定加速度启动阶段，a＝2m/s2，此时对汽车由牛顿第二定律有
F牵﹣f＝ma
代入数据得
F牵＝6×103N
车速为5m/s时，功率为
P′＝F牵v5＝6×103×5W＝3×104W
故D错误。
故选：A。
（2023 江苏三模）如图所示，一轻绳通过无摩擦的小定滑轮O与拖车相连，另一端与河中的小船连接，定滑轮与拖车之间的连绳保持水平，小船与拖车的运动在同一竖直平面内，拖车沿平直路面水平向右运动带动小船，使小船以速度v沿水面向右匀速运动，若船在水面上运动受到的阻力保持不变。则在上述运动过程中（　　）
A．当拉船的轻绳与水平面的夹角为θ时，拖车运动的速度为vsinθ
B．小船受到绳的拉力不断减小
C．小船受到绳的拉力的功率不断增大
D．拖车的动能不断减小
【解答】解：AD、将船的速度分解到沿绳方向和垂直于绳方向，如图：
船沿绳方向的分速度与拖车速度相等，由几何关系得。拖车运动的速度为v'＝vcosθ
船向右运动，θ增大，cosθ减小，则拖车速度减小，动能减小，故A错误，D正确；
B、小船做匀速直线运动，由平衡条件得：F阻＝Tcosθ
船在水面上运动受到的阻力保持不变，θ增大，cosθ减小，则绳的拉力T增大，故B错误；
C、小船做匀速运动，受到绳的拉力做功的功率等于克服阻力做功的功率，由P＝F阻v得，拉力的功率保持不变，故C错误。
故选：D。
（2023 朝阳区一模）质量为m的同学原地跳绳时，上下运动，其速度大小v随时间t的变化图像如图所示。重力加速度为g。则（　　）
A．0～t0内，该同学的最大速度约为
B．0～t0内，该同学上升的最大高度约为
C．该同学克服重力做功的平均功率约为
D．每跳一次，地面对该同学所做的功约为
【解答】解：A、由图可知同学上升的时间为t，根据速度—时间公式有：v＝gtgt0，故A错误；
B、根据位移—时间公式有：h，解得：h，故B错误；
C、该同学在0～t0内，克服重力做功为W＝mgh，重力的平均功率为P，解得：P，故C正确；
D、地面对同学的支持力不做功，故D错误；
故选：C。
（2023 温州模拟）2021年10月25日，如图甲所示的全球最大“上回转塔机”成功首发下线，又树立了一面“中国高端制造”的新旗帜。若该起重机某次从t＝0时刻由静止开始向上提升质量为m的物体，其a﹣t图像如图乙所示，t1时达到额定功率，t1～t2时间内起重机保持额定功率运动，重力加速度为g，不计其它阻力，下列说法正确的是（　　）
A．0～t1时间内物体处于失重状态
B．t1～t2时间内物体做减速运动
C．0～t1时间内重力对物体做功为
D．t1～t2时间内起重机额定功率为（mg+ma0）a0t1
【解答】解：A、0～t1时间内物体向上做匀加速直线运动，加速度竖直向上，物体处于超重状态，故A错误；
B、由图像可知t1～t2时间内物体的加速度为正，物体仍做加速运动，只是做加速度减小的加速运动，故B错误；
C、0～t1时间内物体向上做匀加速直线运动，t1时刻物体的位移为
重力对物体做功
故C错误；
D、t1时刻物体所受到的牵引力为F，由牛顿第二定律有：F﹣mg＝ma0
解得：F＝mg+ma0
t1时刻物体的速度为v＝a0t1
起重机额定功率为P＝Fv＝（mg+ma0）a0t1
故D正确。
故选：D。
（2023 浙江模拟）如图所示是某款八缸四冲程汽油车的“五挡手动变速箱”的结构示意图，其工作原理是通过挡位控制来改变连接发动机动力轴的主动齿轮和连接动力输出轴的从动齿轮的半径比。当挡位挂到低速挡——“1、2挡”时，最大车速为20～30km/h，当挡位挂到高速挡——“5挡”，汽车才能获得比较大的车速，则（　　）
A．挡位从“1挡”逐步增加到“5”挡过程中，主动齿轮和从动齿轮的半径比变大
B．若保持发动机输出功率不变，从“2挡”突然挂到“3挡”瞬间，汽车获得的牵引力瞬间减小
C．发动机工作时经历“吸气—压缩—做功—放气”四个环节，“压缩”气体时，气体体积变小，气体对外界做功
D．随着发动机技术的不断发展，将来有可能实现把发动机的热能全部转化为汽车的机械能，即热机的效率达到100%
【解答】解：A．挡位从“1挡”逐步增加到“5”挡过程中，由题图可知，主动齿轮的半径变大，从动齿轮的半径变小，主动齿轮和从动齿轮的半径比变大，故A正确；
B．若保持发动机输出功率不变，从“2挡”突然挂到“3挡”瞬间，车速瞬间不变，根据P＝Fv，可知汽车获得的牵引力瞬间不变，此后速度逐渐增大，牵引力会减小，故B错误；
C．发动机工作时经历“吸气—压缩—做功—放气”四个环节，“压缩”气体时，气体体积变小，外界对气体做功，故C错误；
D．根据热力学第二定律可知，即使随着发动机技术的不断发展，将来也不可能实现把发动机的热能全部转化为汽车的机械能，即热机的效率不可能达到100%，故D错误。
故选：A。
[课时训练]
一．选择题（共7小题）
1．（2023 杭州一模）利用一台竖直升降机，尽可能快地把30箱总质量为150kg的箱子搬到12m高的楼上。已知升降机的平均输出功率与所装物体质量之间的关系如图所示。不计升降机返回地面的时间和搬起、放下货物的时间。那么下列正确的是（　　）
A．为减少搬运时间，每次搬运的箱子最好多一些
B．在所需时间最短的情况下，他每次搬运的箱子为5箱
C．把所有箱子都搬到楼上所需要的最短时间约为750s
D．搬运过程中电机消耗的电能为1.8kJ
【解答】解：AB、把30个箱子全部搬到12m高的楼上去，升降机所做的功是一定的，由t可知，要使搬运时间最短，升降机的功率必须最大，由图可知升降机搬运15kg物体上楼时的功率最大，此时最大功率为P≈24W，而每个箱子的质量为mm＝5kg，所以每次搬运箱子的数量为n3，故AB错误；
D、把所有箱子都搬到楼上所需要克服重力做功为W＝Mgh＝150×10×12J＝18000J，故搬运过程中电机消耗的电能等于克服重力所做的功为18000J，故D错误；
C、把所有箱子都搬到楼上所需要的最短时间约为ts＝750s，故C正确；
故选：C。
2．（2022 浙江模拟）图甲是我国自主设计的全球第一款可载客的无人驾驶飞机“亿航184”，其质量为260kg，最大载重为100kg，图乙是该无人机某次在最大载重情况下，从地面开始竖直升空过程中的v﹣t图像，前2s图像为直线，2s末到5s末图像为曲线，曲线两端皆与两侧直线相切，5s后无人机匀速上升，发动机的输出功率等于额定输出功率，g＝10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．前5s上升的高度为19m
B．1s末发动机的输出功率为7200W
C．2s末到5s末，发动机的输出功率不变
D．2s末到5s末，无人机上升的高度不会超过17m
【解答】解：A、由图像面积可知，前2 s上升4 m，2 s末到5 s末上升的高度大于15 m，前5 s上升的高度大于19 m，故A错误；
B、1 s时做加速度为a2 m/s2的加速运动，速度v＝at＝2m/s，由牛顿第二定律F﹣mg＝ma，解得F＝m（g+a）＝360×（10+2）N＝4320N，计算出此时发动机功率为p＝Fv＝4320×2W＝8640 W，故B错误；
C、根据功率的定义，可以计算得出2 s末发动机的输出功率为p1＝Fv2＝Fat2＝4320×2×2W＝17280 W，5 s末发动机的输出功率为P5＝F′v5＝mgv5＝360×10×6W＝21600 W，即题目所说的额定功率，这段时间发动机的输出功率是变化的，故C错误；
D、假设2 s末到5 s末，飞机按最大输出功率即额定功率21600 W工作，由动能定理p，计算可得上升的高度h＝17 m，故2 s末到5 s末，飞机上升的高度不会超过17 m，故D正确。
故选：D。
3．（2022 宁波模拟）某城市边缘的一小山岗，在干燥的季节发生了山顶局部火灾，消防员及时赶到，启动多个喷水口进行围堵式灭火，喷水口所处高度和口径都相同。其中两支喷水枪喷出的水在空中运动的轨迹甲和乙几乎在同一竖直面内，且最高点高度、落到失火处的高度均相同，如图所示，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A．水甲落到失火处的速度一定较大
B．水乙在最高点的速度一定较大
C．喷出水甲的喷水枪的功率一定较大
D．水乙在空中运动的时间一定较长
【解答】解：ABD、由抛体运动的特点可知，轨迹甲和乙的最高点高度，落到失火处的高度均相同，则由，可知甲乙的运动时间相同，运动到失火处的时间相同，在最高点乙的水平距离较大，则有x＝v0t可知乙的水平速度较大，即在最高处乙的速度较大，由可知，水乙落到失火处的速度一定较大，故B正确，AD错误；
C、由以上分析可知，乙喷水枪喷出水的速度较大，喷水口径相同，所以乙喷水枪喷水的功率较大，故C错误；
故选：B。
4．（2021 台州二模）如图所示，某景区的彩虹滑梯由两段倾角不同的直轨道组成，游客与两段滑梯间的动摩擦因数相同。一游客由静止开始从顶端下滑到底端，若用x、a、E、P分别表示物体下降的位移、加速度、机械能和重力的功率，t表示所用的时间，则下列的图像中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、游客沿两段轨道都做匀加速运动，第一段：x1，第二段：x2＝vt2，两段位移和时间都是二次函数关系，图像应是抛物线，故A错误；
B、第一段倾角为θ：由牛顿第二定律：mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma1，解得：a1＝g（sinθ﹣μcosθ），第二段倾角为α：由牛顿第二定律：mgsinα﹣μmgcosα＝ma2，解得：a2＝g（sinα﹣μcosα），两段加速度都是定值，不随时间变化，故B错误；
C、设初始机械能为E0，由能量守恒：E＝E0﹣μmgx1cosθ﹣μmgx2cosα，而x1、x2和时间t都是二次函数关系，图像应是抛物线，故C错误；
D、重力的功率，第一段：p1＝mgv1cos（90°﹣θ）＝mgv1sinθ＝mga1 t1sinθ，p1与时间成正比，第二段：p2＝mgv2cos（90°﹣α）＝mg（v1+a2t2）sinα，p2与时间成一次函数关系；故D正确。
故选：D。
5．（2021 台州二模）北京已成功申办2022年冬奥会，花样滑冰运动是其中的一个项目。有两个穿着冰鞋的甲、乙运动员站在水平冰面上，当甲猛推乙时，两人会向相反的方向滑行。不计冰面对运动员的水平作用推乙的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．甲和乙的加速度大小总是相等
B．甲获得的速度与乙获得的速度大小总是相等
C．甲对乙的作用力与乙对甲的作用力总是大小相等
D．甲对乙做的功与乙对甲做的功一定相等
【解答】解：ABC、一个人从背后轻轻推另一个人时，两人之间有相互作用力，为作用力与反作用力，作用力与反作用力大小相等，方向相反，根据牛顿第二定律可知F＝ma，由于甲乙运动员的质量不同，故产生的加速度大小不同，由于作用时间相同，故最终获得速度不同，故AB错误，C正确；
D、根据动量定理可得Ft＝mv，根据动能定理可得：W，故甲对乙做的功与乙对甲做的功一定不相等，故D错误
故选：C。
6．（2021 台州二模）如图所示，OB是竖直线，OA是水平线，小球可以在OB上任一点以合适的速度水平抛出，每次都能击中水平面上的A点。则上升到越高的地方抛出（　　）
A．小球水平抛出的速度越大
B．击中A点的速度方向与竖直夹角越大
C．击中A点的动能一定越大
D．击中A点前瞬时重力功率一定越大
【解答】解：A、设高度为h，OA＝L，初速度为v，由平抛规律：h，得：t，又L＝vt，得：v＝L，由题意：L、g不变，所以h越大，v越小，故A错误；
B、竖直分速度v′＝gt＝g，A点速度与竖直夹角为θ，则tanθ，所以h越大，θ越小，故B错误；
C、A点动能：EKA，当2gh，即h时，A点动能最大，故C错误；
D、重力的瞬时功率：p＝mgvA cosθ＝mgv′＝mg，所以h越大，p越大，故D正确。
故选：D。
7．（2021 浙江模拟）如图甲所示是一简易打桩机。质量m＝1kg的重物在拉力的作用下从与钉子接触处由静止开始运动，上升一段高度后撤去拉力，重物上升到最高点后自由下落，撞击钉子，将钉子打入一定深度。若以重物与钉子接触处为重力势能零点，重物上升过程中，其机械能E与上升高度h的关系图象如图乙所示，不计所有摩擦。则（　　）
A．重物在1.0～1.2m过程中做匀速直线运动
B．重物加速上升过程中的加速度为1m/s2
C．重物上升到1m高度处的速度为1m/s
D．重物上升过程拉力的最大功率为24W
【解答】解：A、由图乙知，重物在10～1.2m过程，机械能不变，即机械能守恒，由机械能守恒条件结合题设，物体在此过程中只受重力作用，即物体做竖直上抛运动，故A错误；
B、重物加速上升过程，受到重力和拉力作用，由功能关系知，拉力对重物所做的功等于重物机械能的增加，即Fh＝E﹣0，则 E＝Fh，可见E﹣h图像的斜率表示拉力，由图乙知，拉力恒为FN＝12N，由牛顿第二定律：F﹣mg＝ma，解得重物加速时的加速度恒为a＝2m/s2，故B错误；
C、由图乙知，重物上升h＝1m时，机械能为12J，又E＝mgh，解得此时重物的速度v＝2m/s，故C错误；
D、当重物匀加速结束，即重物上升h＝1m时，拉力的功率最大，为P＝Fv＝12×2W＝24W，故 D正确。
故选：D。
二．多选题（共2小题）
（多选）8．（2023 西湖区校级模拟）如图所示，ab、ac为竖直平面内两根固定的光滑细杆，a、b两点恰为外接圆的最高点和最低点，两个带孔小球甲、乙分别从a处由静止沿两细杆滑到下端b、c时，动能恰好相等，下列说法正确的是（　　）
A．两小球的质量相等
B．两小球下滑的时间相等
C．此过程中两小球所受重力的平均功率相等
D．两小球在细杆下端bc时重力的瞬时功率相等
【解答】解：设ab杆长度为L，∠cab为θ，根据几何关系可得ac＝Lcosθ
A．由题意，两个带孔小球甲、乙分别从a处由静止沿两细杆滑到下端b、c时，动能恰好相等，可知两小球重力做功相等，可得m甲gL＝m乙gLcosθ cosθ
可得m甲＜m乙
故A错误；
B．对于甲小球，由位移—时间公式有：
对于乙小球有
可得t甲＝t乙
故B正确；
C．根据
结合AB选项分析可知，此过程中两小球所受重力的平均功率相等，故C正确；
D．设下落时间为t，则甲球的速度为v甲＝gt
乙球的速度为v乙＝gcosθt
甲乙两球重力的瞬时功率为P甲＝m甲gv甲＝m甲g2t
P乙＝m乙gv乙cosθ＝m乙g2tcos2θ
由A选项可得m甲＝m乙cos2θ
可知P乙＝P甲
故D正确。
故选：BCD。
（多选）9．（2021 瓯海区校级模拟）如图甲所示，质量m＝0.5kg，初速度v0＝10m/s的物体，受到一个与初速度方向相反的外力F的作用，沿粗糙的水平面滑动，经3s撤去外力，直到物体停止，整个过程物体的v﹣t图象如图乙所示，g取10m/s2，则（　　）
A．物体与地面间的动摩擦因数为0.2
B．0～2s内F做的功为﹣8J
C．0～7s内摩擦力做功为﹣25J
D．0～7s内物体滑行的总位移为29m
【解答】解：A、根据图象，撤去拉力后，加速度大小a2m/s2＝﹣1m/s2.根据牛顿第二定律得，μmg＝ma2，解得μ＝0.1，A错误；
B、有拉力时，有F+μmg＝ma1，根据图线知a1m/s2＝2m/s2.解得F＝0.5N，0～2s内的位移x＝v0t，代入数据解得：x＝16m，则F做的功WF＝﹣Fx＝﹣0.5×16J＝﹣8J.故B正确。
C、根据v﹣t图像与坐标轴围成的面积代表位移可知0～7s内物体位移为xmm＝29m，则克服摩擦力做功Wf＝μmgx，代入数据解得：Wf＝14.5J，C错误，D正确。
故选：BD。
三．计算题（共2小题）
10．（2021 浙江模拟）如图所示，某机器人研究小组自制的机器车能够自动识别障碍物上、下坡。该机器车质量m＝20kg，在水平路面AB段以速度v1＝6m/s匀速行驶，BC段是一段陡坡。机器车在BC段仅用t＝5s就运动到了坡顶，且到达坡顶前机器车已经以速度v2＝3m/s做匀速运动。已知整个过程中该机器车的输出功率保持不变，机器车在AB段受到的阻力Ff1＝200N，在BC段所受阻力恒定，机器车经过B点时无机械能损失，求：
（1）该机器车经过B点后刚开始上坡时的加速度大小；
（2）BC段的长度。
【解答】解：（1）该机器车在AB段匀速运动，则F＝Ff1，则额定功率
P＝Ff1v1＝200×6 W＝1200W
机器车到达坡顶之前匀速运动，满足P＝（Ff2+mgsinθ）v2
刚经过B点时由牛顿第二定律得：F﹣（Ff2+mgsinθ）＝ma
解得a＝﹣10m/s2
即机器车经过B点后刚开始上坡的加速度大小为10m/s2。
（2）设BC段长度为s，从B到C的过程中，根据动能定理：
Pt﹣（Ff2+mgsinθ）smv22mv12
解得：s＝15.675m
答：（1）该机器车经过B点后刚开始上坡时的加速度大小为10m/s2；
（2）BC段的长度为15.675m。
11．（2021 浙江模拟）燃放烟花是人们庆祝节日的一种方式，如图所示为某一型号的礼花弹．某次技术指标测试时，将一质量m＝0.5kg的礼花弹放入专用炮筒中，礼花弹竖直向上射出并以初速度v0离开炮口，经过t1＝4s上升了h＝128m后到达最高点，最终落到地面，整个过程中礼花弹并未爆炸．假设礼花弹整个过程均沿竖直方向运动，且运动过程中所受空气阻力大小恒定，忽略炮口与地面的高度差，重力加速度g＝10m/s2，求礼花弹：
（1）被炮筒射出时的初速度v0的大小；
（2）运动过程中所受空气阻力f的大小；
（3）从最高点返回到地面的过程中重力的平均功率P．
【解答】解：（1）上升过程做匀减速运动：hv0t1，解得：v0m/s＝64m/s
（2）上升过程：v0＝a1t1，礼花弹加速度大小：a1m/s2＝16m/s2
礼花弹上升过程，由牛顿第二定律：mg+f＝ma1，解得：f＝ma1﹣mg＝0.5×16N﹣0.5×10N＝3N
（3）设礼花弹下降过程加速度为a2，由牛顿第二定律：mg﹣f＝ma2，解得：a2＝4m/s2
设从最高点到落地时间为t2，ha2t，解得：t2s＝8s
重力的平均功率为：W＝80W
或：设礼花弹落地速度为v：v2＝2a2h，解得：vm/s＝32m/s，平均速度：16m/s
重力的平均功率为：mgcos0°＝0.5×10×16×1W＝80W
答：（1）被炮筒射出时的初速度v0的大小为64m/s；
（2）运动过程中所受空气阻力f的大小为3N；
（3）从最高点返回到地面的过程中重力的平均功率P为80W．
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