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第14讲　机械能守恒定律
目录
[基础过关] 1
一、重力势能和弹性势能 1
二、机械能守恒定律 2
[命题点研究] 2
命题点一　机械能守恒的理解和判断 2
命题点二　机械能守恒的应用 6
[课时训练] 14
[考试标准]
知识内容 考试要求 说明
重力势能 c 1.不要求掌握物体做曲线运动时重力做功表达式的推导方法． 2.不要求掌握弹簧弹性势能的表达式． 3.运用机械能守恒定律进行计算时，不涉及弹性势能的表达式． 4.不要求用机械能守恒定律求解两个及两个以上物体(包括需要确定重心的链条、绳子、流体等)的问题.
弹性势能 b
机械能守恒定律 d
[基础过关]
一、重力势能和弹性势能
1．重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关．
2．重力做功与重力势能变化的关系：
重力对物体做正功，重力势能减少；重力对物体做负功，重力势能增加；物体从位置A到位置B时，重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝－ΔEp.
3．弹力做功与弹性势能的关系：
弹力对物体做正功，弹性势能减少，弹力对物体做负功，弹性势能增加，弹力对物体做的功等于弹性势能的减少量．
二、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22.
3．条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
[命题点研究]
命题点一　机械能守恒的理解和判断
1．利用机械能的定义判断：
若物体在水平面上匀速运动，则其动能、势能均不变，机械能不变．若一个物体沿斜面匀速下滑，则其动能不变，重力势能减少，机械能减少．
2．做功判断法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒．
3．能量转化判断法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒．
（2022秋 浙江月考）蹦床运动深受人们喜爱，如图为小明同学在杭州某蹦床馆，利用传感器测得蹦床弹力随时间的变化图。假设小明仅在竖直方向运动，忽略空气阻力，依据图像给出的物理信息，可得（　　）
A．7.5s至8.3s内，运动员先处于失重状态再处于超重状态
B．小明的最大加速度为50m/s2
C．小明上升的最大高度为20m
D．小明在整个蹦床过程中机械能守恒
【解答】解：A、7.5s至8.3s内，蹦床弹力由0增加到2400N再减小到0，运动员先处于失重状态后处于超重状态再处于失重状态，故A错误；
B、由图可知，运动员的重力为400N，质量为mkg＝40kg，运动员的加速度最大为amm/s2＝50m/s2，故B正确；
C、由图可知，运动员在空中时间为T＝7.5s﹣5.5s＝2s，由运动的对称性可知，下落时间为t＝1s，运动员上升的最高高度为h10×12m＝5m，故C错误；
D、小明在整个蹦床过程中，蹦床对小明做功，机械能不守恒，故D错误。
故选：B。
（2023 浙江模拟）如图所示，“蹦极”运动中，运动员身系弹性绳下落，不计空气阻力．下列有关运动员从弹性绳刚绷紧到最低点的下落过程中的说法正确的是（　　）
A．运动员的加速度一直减小
B．弹性绳的弹性势能为零时，运动员的动能最大
C．弹性绳的弹性势能最大时，运动员的动能为零
D．运动员重力势能的减少量等于弹性绳弹性势能的增加量
【解答】解：A、运动员从弹性绳刚绷紧到最低点的下落过程中，受到向下的重力和向上的弹力，弹力不断增大，开始阶段，重力大于弹力，合力减小，加速度减小，速度增大。当弹力等于重力时加速度为零。之后，弹力大于重力，合力向上且不断增大，运动员做减速运动，加速度增大，所以运动员的加速度先减小后增大，速度先增大后减小，弹力等于重力时速度最大，故A错误。
B、弹性绳的弹性势能为零时，弹力为零，运动员的合力向下，速度增大，此时速度不是最大，弹力等于重力时速度最大，故B错误。
C、弹性绳的弹性势能最大时，运动员到达最低点，动能为零，故C正确。
D、对于运动员、地球和蹦极绳组成的系统，只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒。则运动员重力势能的减少量等于弹性绳弹性势能的增加量与动能增加量之和，故D错误。
故选：C。
（2022春 镇海区校级期中）2022年2月8日中国奥运选手谷爱凌在北京冬季奥运会跳台滑雪比赛中完美夺冠。跳台滑雪比赛中的得分主要包括距离得分和姿势得分，并且得分还需要参考每一跳的风向和风速。下列说法正确的是（　　）
A．在给选手动作姿势打分时，可以把选手看成质点
B．在给选手跳跃距离打分时，可以把选手看成质点
C．选手在空中运动时，处于完全失重状态
D．选手在空中运动时，机械能守恒
【解答】解：A、在给选手动作姿势打分时，选手的形状和大小不能忽略，所以不能把选手看成质点，故A错误；
B、在给选手跳跃距离打分时，选手的形状和大小可以忽略，可以把选手看成质点，故B正确；
C、选手在空中运动时，除重力外，还受到空气阻力，加速度不等于g，所以选手并不处于完全失重状态，故C错误；
D、由于空气阻力对运动员做功，所以其机械能不守恒，故D错误。
故选：B。
（2022秋 杭州期中）质量为0.5kg的石块从h＝10m高处以30°角斜向上方抛出（如图），初速度v0的大小为5m/s。不计空气阻力，g取10m/s2，则下列选项正确的是（　　）
A．石块落地时的速度大小是15m/s
B．石块抛出到落地的运动过程中机械能不断减小
C．石块落地时速度的大小与石块初速度的仰角有关
D．石块落地时速度的大小与石块的抛出时的高度无关
【解答】解：AB、石块被抛出到落地的过程只有重力做功，机械能守恒，则有mgh，代入数据解得：v＝15m/s，故A正确，B错误；
CD、由上分析可知石块落地时速度的大小与石块初速度的仰角无关，与抛出时的高度有关，故CD错误；
故选：A。
（2021春 拱墅区校级期中）如图所示，一小孩从公园中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其机械能的变化情况是（　　）
A．重力势能减小，动能不变，机械能减小
B．重力势能减小，动能增加，机械能增加
C．重力势能减小，动能增加，机械能减小
D．重力势能减小，动能增加，机械能守恒
【解答】解：小孩加速滑下，高度不断减小，重力做正功，重力势能减小，速度增大，动能增大。
小孩在下滑过程中与滑梯摩擦生热，一部分机械能转化成内能，导致机械能总量减小。
故B正确、ACD错误。
故选：C。
（2023 浙江模拟）2022年2月15日，苏翊鸣在北京冬奥会单板滑雪男子大跳台比赛中夺得冠军，成为首位赢得冬奥会单板滑雪金牌的中国运动员。大跳台主要由助滑道，起跳台和着陆坡组成，如图所示，运动员在助滑道下滑后在起跳台起跳，在空中做抛体运动后落在着陆坡上。某次比赛苏翊鸣在距离起跳点34m高处从静止下滑，在空中最高点时距起跳点12.8m，在空中飞跃的总时间为4s，已知起跳台斜面倾角为37°，苏翊鸣的质量为70kg，不考虑空气阻力，g取10m/s2，以下说法正确的是（　　）
A．起跳速度为16m/s
B．在最高点速度为0
C．下滑过程机械能守恒
D．从下滑到着陆重力做功35000J
【解答】解：AB、运动员从起跳台跳出后做斜上抛运动，有，，解得vy＝16m/s，，所以运动员在最高点的速度为m/s；
运动员的起跳速度为，代入数据解得v，故AB错误；
C、下滑过程中需要克服阻力做功，所以机械能不守恒，故C错误；
D、运动员从起跳台起跳到着陆竖直方向的位移为，代入数据解得h2＝16m
所以从下滑到着陆重力做功为W＝mg（h0+h2）＝70×10×（34+16）J＝35000J，故D正确。
故选：D。
命题点二　机械能守恒的应用
1．机械能守恒定律的表达式
2．选用技巧：在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面．
（2023春 杭州期中）如图甲所示，有一固定光滑斜面体ABC，一物块在平行于斜面的力F作用下从底端A点沿斜面AB由静止开始向上运动，该过程中物块的机械能E随位移x的变化图线如图乙所示，图线在x1～x2段为平行于x轴的直线。则（　　）
A．力F先减小后增大
B．从E﹣x图线中不能确定零势能面位置
C．在x＝x1位置物块所受力F＝0
D．在0～x1过程中物块做加速度不断减小的加速运动
【解答】解：AC．根据功能关系，机械能E的变化是由外力F做功引起；故机械能E随位移x的变化图线的斜率反应了外力F的变化，故力F一直减小，在x＝x1位置物块所受力F＝0，故A错误，C正确；
B．初始位置的机械能为0，故初始位置为零势能面位置，故B错误；
D．力F一直减小，根据牛顿第二定律，物块的加速度先减小，当F＝mgsinθ，加速度为0，后反向增大，故D错误；
故选：C。
（2022秋 衢州期末）质量为2kg的物体以初速度v0从固定斜面底端冲上斜面，物体在斜面上运动过程中的t图像如图所示，g取10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．此斜面与水平面夹角为30°
B．2s内该物体重力势能变化的最大值为36J
C．该物体在斜面上运动过程中机械能一定不守恒
D．该物体在斜面上运动过程中合外力冲量为零
【解答】解：A、由匀变速直线运动的位移—时间公式x＝v0tat2变形得：v0at，则t图像的纵轴截距等于初速度，则初速度为v0＝6m/s。图像的斜率ka＝﹣3m/s2，则物体的加速度为a＝﹣6m/s2。物体上滑到最高点用时t1s＝1s。由图可知2s内物体的平均速度为0，知t＝2s末物体回到了出发点，说明斜面是光滑的。设此斜面与水平面夹角为θ，由a＝﹣gsinθ得：sinθ＝0.6，θ＝37°，故A错误；
B、初速度大小为v0＝6m/s，初动能为Ek0J＝36J，由机械能守恒知重力势能变化的最大值为初动能36J，故B正确；
C、由于物体上滑和下滑过程加速度不变，说明斜面光滑，物体运动过程中只有重力做功，其机械能一定守恒，故C错误；
D、取沿斜面向下为正方向，由动量定理得物体在斜面上运动过程中合外力冲量I合＝mv0﹣（﹣mv0）＝2mv0，故D错误。
故选：B。
（2023 海淀区一模）图1中过山车可抽象为图2所示模型：弧形轨道下端与半径为R的竖直圆轨道平滑相接，B点和C点分别为圆轨道的最低点和最高点。质量为m的小球（可视为质点）从弧形轨道上距B点高4R的A点静止释放，先后经过B点和C点，而后沿圆轨道滑下。忽略一切摩擦，已知重力加速度g。
（1）求小球通过B点时的速度大小vB。
（2）求小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小F和方向。
（3）请分析比较小球通过B点和C点时加速度的大小关系。
【解答】解：（1）小球从A到B由机械能守恒定律可得：
4mgR
解得：
（2）小球从A到C由机械能守恒定律可得：
解得小球通过C点时的速度大小
在C点由牛顿第二定律可得：
解得小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小F＝3mg
方向竖直向下。
（3）小球在B点的加速度大小为
小球在C点的加速度大小为
所以aB＞aC
答：（1）小球通过B点时的速度大小为。
（2）小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小为3mg，方向竖直向下。
（3）小球通过B点和C点时加速度的大小关系为aB＞aC。
（2022秋 松江区期末）如图，在地面上方的竖直平面内放置一杆状轨道，AB为粗糙的长直轨道，长为L＝10m，与水平方向的夹角为θ＝37°，BCD、DEF均为半径为R＝1m的光滑圆弧形轨道，AB与BCD相切于B点，B点离地高度为h＝3m，O1、O2两圆心等高，C为圆弧形轨道的最低点，E为最高点。一质量为m＝0.2kg的小环套在AB上，自P点由静止释放，经t＝2s运动到B点的速度大小为v＝6m/s。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，以地面为零势能面。求：
（1）小环在AB轨道上受到的摩擦力的大小；
（2）小环过E点时，小环对弧形轨道的作用力；
（3）若改变小环在直杆上释放点的位置，求小环落地时机械能的可能值；
（4）小环在AB杆上某一区域由静止释放时，若小环不会落到地面上，请用能量观点分析小环的运动过程，并求出最终稳定后小环的机械能。
【解答】解：（1）小环由P→B，根据速度—时间公式得：v＝at
由牛顿第二定律有：mgsinθ﹣f＝ma
联立解得：f＝0.6N
（2）小环滑入光滑圆弧形轨道，到最高点E，设E点的速度为vE，
小环由B→E，根据机械能守恒定律：﹣mgR（1+cosθ）
代入数据解得：vE＝0m/s
在E点根据牛顿第二定律有：mg＝FN
代入数据得到：FN＝2N
根据牛顿第三定律，小环对E点的压力为：FN′＝FN＝2N，方向竖直向下；
（3）若小环从离B点高H处滑入光滑圆弧形轨道，恰能通过最高点E，落地的机械能最小，则
Emin＝mg（R+Rcosθ）+mgh
代入数据解得：Emin＝9.6J
小环从最高点滑下时，小环落地时机械能最大
Emax＝mgLsinθ+mgh﹣fL
代入数据解得：Emax＝12J
则小环落地时机械能的可能值为 9.6J＜E≤12J；
（4）根据以上分析，可知，小环自P、B之间由静止释放，则小环不能到达E点，不会落到地面上。小环滑过B点后，在弧形轨道上运动，只有重力故功，机械能守恒，再滑回B，滑上斜轨AB，因克服摩擦力做功，小环的机械能逐渐减小，在鈄轨上到达的最高点比释放点低，小环在斜轨和弧形轨道上来回往复运动，到达的最高点逐斩降低，最终必将在 BCB′（ B′点在弧形轨道上，与B等高）之间做来回往复运动，机械能守恒，故最终稳定后小环的机械能为
E＝mgh
代入数据解得：E＝6J
答：（1）小环在AB轨道上受到的摩擦力的大小为0.6N；
（2）小环过E点时，小环对弧形轨道的作用力为2N，方向竖直向下；
（3）若改变小环在直杆上释放点的位置，小环落地时机械能的可能为9.6J＜E≤12J；
（4）小环的运动过程见解析，最终稳定后小环的机械能为6J。
拓展点　含弹簧类机械能守恒问题
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
2．在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．
3．如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)．
（2022春 丽水期末）如图所示为某弹射游戏装置，处于竖直平面内的三段光滑管道AB、BC、CDE，其中AB是水平放置直管道，BC是半径R＝0.8m的四分之一圆弧管道，CDE是半径r＝0.4m的四分之三圆弧管道，D为管道最高点，出口E点切线水平，长L（可调）摩擦因数为μ＝0.5的粗糙水平轨道EK，与圆弧轨道相连于E点（EK与BC错开）。已知弹簧的劲度系数k＝400N/m，在弹性限度内弹性势能EP（x为弹簧的形变量）。游戏过程弹簧均未超出弹性限度，弹射装置发射的小球可视为质点，质量m＝0.1kg，管道粗细可以忽略，忽略空气阻力。（计算结果可以用根号表示）
（1）若某次小球发射后刚好能过D点，求小球通过圆弧管道最低点B时对轨道的压力；
（2）若某次游戏时L＝1.36m，要使小球能从K点射出，则弹簧的形变量至少要多少；
（3）现使弹簧储存EP＝1.4J的弹性势能，应调节EK长度L为何值时，小球第一次落地点与E点水平距离最大，并求出最大距离。
【解答】解：（1）小球刚好到达D点时速度为零，小球从B到D过程，由动能定理得：﹣mg（R+r）＝0
在B点，对小球，由牛顿第二定律得：F﹣mg＝m
代入数据解得：F＝4N
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小F′＝F＝4N，方向竖直向下
（2）小球恰好运动到D点时速度为零，从释放小球到恰好到达D点过程，
由能量守恒定律得：EPDmg（R+r）
代入数据解得：EPD＝1.2J，xD＝0.02m＝2cm
从释放小球到小球恰好运动到K点，由能量守恒定律得：mg（R﹣r）+μmgL
代入数据解得：x0＝0.03m＝3cm＜xD，
要使小球能从K点射出，则弹簧的形变量至少为2cm
（3）由于EP＝1.4J＞EPD＝1.2J，小球能通过D点到达EF上
从释放小球到小球运动到K点过程，由能量守恒定律得：EP＝mg（R﹣r）+μmgL
解得：v
小球离开K后做平抛运动，水平方向：x＝vt，竖直方向：R﹣r
小球落地点与E点的水平距离d＝x+L
解得：d＝L，由数学知识可知：L＝2m时d最大，最大值为2m
答：（1）小球通过圆弧管道最低点B时对轨道的压力大小是4N，方向竖直向下；
（2）若某次游戏时L＝1.36m，要使小球能从K点射出，则弹簧的形变量至少为2cm；
（3）现使弹簧储存EP＝1.4J的弹性势能，应调节EK长度L为2m时，小球第一次落地点与E点水平距离最大，最大距离是2m。
（2022春 乐清市校级期末）如图所示，固定在竖直平面内的轨道由高为H＝0.8m的平台，斜面BC，半径R＝0.8m的竖直圆轨道DFE（轨道在DE处稍微错开）及倾角为θ＝30°的斜面PM组成，一劲度系数为k＝8N/m的弹簧一端固定在斜面PM的最高点M，其下端距离地面h2＝0.5m。一质量为m＝0.2kg的滑块（可视为质点）从平台末端A以速度v0＝2m/s水平飞出，恰好无碰撞的从B点沿斜面向下滑行，B离地高度为h1＝0.35m，已知滑块与PM斜面间的动摩擦因数为，其余摩擦不计，不计滑块经轨道转折点能量损失及空气阻力，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力，当弹簧压缩量为x时，弹簧具有的弹性势能为EP（或可以用F﹣x图像下的面积求变力做功）。
（1）求B与A间的水平距离；
（2）滑块经圆轨道最高点F时轨道对滑块的压力；
（3）滑块沿右侧PM斜面第一次到达最高点时弹簧的弹性势能；
（4）滑块最终静止的位置距P端的距离。
【解答】解：（1）滑块做平抛运动，竖直方向：H﹣h1
水平方向：xAB＝v0t
代入数据解得：xAB＝0.6m≈1.47m
（2）滑块从抛出到斜面底端C过程，由动能定理得：
代入数据解得：
由C到F过程中，由动能动理有：
在F时，由牛顿第二定律得：
代入数据解得：FN＝0；
（3）设滑块第一次上滑到最高点时，弹簧的最大压缩量为x，
由能量守恒定律得：，
弹簧的弹性势能Ep
代入数据解得：x＝0.5m，Ep＝1J
（4）滑块第一次在最高点时，因为：mgsinθ+kx＞μmgcosθ，
故滑块会继续下滑，设滑块滑到水平面的速度为v1，
由动能定理得：，
整理得：，故滑块不能到达圆周轨道圆心等高线；
又：，故再次滑上斜面后不会接触弹簧，设滑块再次滑上斜面的最大位移为l，
由动能定理得：，
代入数据解得：l＝0.5m，之后由于mgsinθ＝μmgcosθ，所以滑块静止在该位置，即滑块最终静止的位置距P的距离为0.5m。
答：（1）B与A间的水平距离是1.47m；
（2）滑块经圆轨道最高点F时轨道对滑块的压力为零；
（3）滑块沿右侧PM斜面第一次到达最高点时弹簧的弹性势能是1J；
（4）滑块最终静止的位置距P端的距离是0.5m。
[课时训练]
一．选择题（共10小题）
1．（2023春 余姚市校级期中）如图所示，质量为m的小球从距桌面h1，高处的A点由静止释放，自由下落到地面上的B点，桌面离地高为h2。选择桌面为参考平面，则小球（　　）
A．在A点时的重力势能为﹣mgh1
B．在A点时的机械能为mg（h1+h2）
C．在B点时的重力势能为mgh2
D．在B点时的机械能为mgh1
【解答】解：AB．若选择桌面为参考平面，A点在参考平面的上方h1处，所以小球在A点时的重力势能为Ep1＝mgh1
由于小球在A点时动能为零，故机械能为EA＝Ep1＝mgh1
故AB错误；
CD．由于B点在参考平面的下方h2处，所以小球在B点的重力势能为Ep2＝﹣mgh2
小球机械能守恒，在B点的机械能为EB＝EA＝mgh1
故C错误，D正确。
故选：D。
2．（2023 温州三模）中国跳水队被誉为跳水“梦之队”。如图是一位运动员跳水过程的频闪照片，A为运动员起跳位置，B为运动员重心到达最高位置，C为运动员指尖到达水面位置，空气阻力不可忽略，下列说法正确的是（　　）
A．在B位置，运动员处于平衡状态
B．在C位置，运动员的机械能最大
C．运动员入水后，立即做减速运动
D．在A位置，运动员受到跳板的弹力是由于跳板发生形变产生的
【解答】解：A、在B位置，运动员只受重力，合力不为零，处于非平衡状态，故A错误；
B、在运动过程中，空气阻力对运动员做负功，其机械能不断减少，所以在C位置，运动员的机械能最小，在A位置，机械能最大，故B错误；
C、运动员入水后，受到水的作用力，该作用力先小于重力，后大于重力，则运动员先做加速运动，后做减速运动，故C错误；
D、在A位置，由于跳板发生形变，要恢复原状，所以跳板对运动员产生了弹力，故D正确。
故选：D。
3．（2023春 北仑区校级期中）如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖直立在水平面上，上端放一只小球，用力F将小
球缓慢地压到D点静止，弹簧始终处于弹性限度内．突然撤去力F，小球从静止开始
向上运动，B点是弹簧原长时上端的位置，在C位置时小球所受弹力大小等于重力，
在A位置时小球的速度为零．小球运动过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．在B位置小球动能最大
B．D→B位置小球加速度一直减少
C．C→A位置小球重力势能的增加等于小球动能的减少
D．D→A位置小球重力势能的增加等于弹簧弹性势能的减少
【解答】解：A、小球从B至C过程，重力大于弹力，合力向下，小球加速，C到D，重力小于弹力，合力向上，小球减速，故在C点动能最大，故A错误
B、D→B位置小球受弹力和重力的作用，由于开始时弹力大于重力，故在上升过程中，合外力先减小后增大，故加速度先减小后增大，故B错误；
C、C→A位置小球重力势能的增加等于小球动能的减少量和弹性势能的减小量，故C错误；
D、AD两点处的速度均为零，因此D→A位置小球重力势能的增加等于弹簧弹性势能的减少量，故D正确。
故选：D。
4．（2023春 余姚市校级期中）某同学在操场上踢足球，足球质量为m，该同学将足球以速度v0从地面上的A点踢起，最高可以到达离地面高度为h的B点位置，从A到B足球克服空气阻力做的功为W，选地面为零势能的参考平面，则下列说法中正确的是（　　）
A．足球从A到B机械能守恒
B．该同学对足球做的功等于
C．足球在A点处的机械能为
D．足球在B点处的动能为
【解答】解：A．由题意可知，运动过程中，空气阻力对足球做负功，则足球从A到B机械能不守恒，故A错误；
B．根据题意，设该同学对足球做的功等于W1，由动能定理有
0，故B错误；
C．选地面为零势能面，足球在A点处的机械能为
故C错误；
D．由题意，由动能定理有
﹣mgh﹣W＝EkBm
解得
故D正确。
故选：D。
5．（2022秋 诸暨市期末）如图所示为某同学将篮球投出后空中的抛物线。已知篮球出手的位置为M，最高点的位置为N，刚要入篮筐的位置为P，M位置低于P位置，设M、N、P三个位置的速度大小分别为vM、vN和vP，三个位置对应的水平速度分别为vM1、vN1和vP1，不计篮球所受的空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．三个位置速度大小关系为vM＞vN＞vP
B．三个位置水平速度大小关系为vM1＝vN1＝vP1
C．篮球从M运动到N的时间等于N到P的时间
D．篮球在N的速度方向与所受合外力的方向在同一直线上
【解答】解：ABC．篮球在空中做抛体运动，水平方向做匀速运动，即
vM1＝vN1＝vP1
篮球竖直方向做加速度为g的匀变速运动，竖直方向上有
解得运动时间为
由图可知，篮球从M运动到N的竖直位移大于N到P的竖直位移，则篮球从M运动到N的时间大于N到P的时间，由于运动过程中，只有重力做功，由机械能守恒定律可知，篮球在M点的动能最大，在N点的动能最小，则三个位置速度大小关系为vM＞vP＞vN，故AC错误，B正确；
D．篮球所受合外力的方向竖直向下，在N点的速度方向水平，故D错误。
故选：B。
6．（2023 浙江）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中（　　）
A．弹性势能减小
B．重力势能减小
C．机械能保持不变
D．绳一绷紧动能就开始减小
【解答】解：A、绳绷紧前，弹性势能不变。绳绷紧后，随着伸长量的增大，弹性势能增大，故A错误；
B、游客从跳台下落直到最低点过程中，重力一直做正功，重力势能一直减小，故B正确；
C、绳绷紧前，只有重力做功，游客的机械能保持不变。绳绷紧后，绳对游客做负功，游客的机械能减小，故C错误；
D、绳绷紧后，游客受到重力和绳的拉力两个力作用，绳的拉力先小于重力，后大于重力，游客的合力先向下后向上，先加速运动后做减速运动，动能先增大后减小，当绳的拉力与重力大小相等时动能最大，故D错误。
故选：B。
7．（2021秋 浙江期中）2021年7月30日下午，东京奥运会蹦床女子个人网上决赛，中国选手朱雪莹以56.635分夺冠，为中国体育代表团夺得本届奥运会第17金，蹦床运动可简化为球压缩弹簧的模型，如图所示。小球从A点静止下落，到达C点的速度为零，图中B点为轻弹簧处于原长时的最高点，若空气阻力可以忽略，下列说法正确的是（　　）
A．小球到达B点后，开始减速
B．小球到达C点时，动能与重力势能总量最小
C．小球从B点到C点，先做匀加速运动，再做匀减速运动
D．小球在C点时所受重力与弹簧弹力相平衡
【解答】解：A、小球到达B点时，刚与弹簧接触，所以弹力为零，合力仍向下，小球做加速运动，故A错误；
B、到达C点后，速度为零，弹簧压缩最大，即弹簧弹性势能最大，动能与重力势能减少量最大，所以动能与重力势能总量最小，故B正确；
C、到达B点后，弹力逐渐增大，在F＝mg之前，弹力与重力合力向下，做加速运动，F＝mg之后，弹力与重力合力向上，做减速运动，到C点速度为零，加速度向上最大，故C错误；
D、重力与弹力平衡点应在BC之间，故D错误。
故选：B。
8．（2022春 拱墅区校级期中）如图，撑杆跳全过程可分为四个阶段：A→B阶段，助跑加速；B→C阶段，杆弯曲程度增大、人上升；C→D阶段，杆弯曲程度减小、人上升；D→E阶段，人越过横杆后下落，整个过程空气阻力忽略不计。这四个阶段的能量变化为（　　）
A．A→B地面对人和杆系统做正功
B．B→C人和杆系统的动能减小量小于重力势能和弹性势能增加量
C．C→D人和杆系统的动能减少量小于重力势能的增加量
D．D→E重力对人所做的功等于人机械能的增加量
【解答】解：A、A→B地面对人和杆系统不做功，人加速过程增加的机械能是通过人体肌肉做功，消耗人体内的化学能，转化为人的机械能，故A错误；
B、B→C人和杆系统的动能减小量等于重力势能和弹性势能增加量，故B错误；
C、C→D人和杆系统的动能减小和弹性势能的减少量等于重力势能的增加量，则人和杆系统的动能减少量小于重力势能的增加量，故C正确；
D、D→E重力对人所做的功等于人的重力势能减少量，人的机械能不变，故D错误。
故选：C。
9．（2022 杭州一模）姚明是NBA中我国优秀的篮球运动员。在某次比赛罚球中，第一次出手，篮球的初速度方向与竖直方向的夹角α＝60°；第二次出手，篮球的初速度方向与竖直方向的夹角β＝30°；两次出手的位置在同一竖直线上，结果两次篮球正好垂直撞击到篮板同一位置C点。不计空气阻力，则从篮球出手到运动到点C的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．两球的初动能相等
B．前后两次上升的最大高度的比值为1：9
C．在C点时，两球的机械能相等
D．前后两次运动时间的比值为：1
【解答】解：B、篮球运动的逆运动是平抛运动，如图所示。
设投篮处与篮板的水平距离为x，根据做平抛运动的物体任意时刻速度的反向延长线交水平位移的中点，所以有：tan60°，tan30°，从而得到前后两次上升的最大高度的比值为，故B错误；
D、在竖直方向上可以认为是自由落体运动，由y得t，所以前后两次运动时间的比值为，故D错误；
C、水平速度v01，v02，由于上述结论t1t2，那么v01v02，所以撞击篮板的速度不相等，在C点时，两球的机械不相等，故C错误；
A、出手速度v1 v2，结合上一问结论有：v1＝v2，两球出手时的动能相等，故A正确。
故选：A。
10．（2022春 拱墅区校级期中）如图（a），倾角为37°的传送带以v＝5m/s的速度逆时针匀速转动，传送带AB之间的距离为20m，质量为m＝1kg的物块（可视为质点）自A点无初速度放上传送带。物块在传送带上运动时，其动能Ek与位移x关系图像（Ek﹣x）如图（b）所示，物块与传送带之间的动摩擦因数为μ，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则下列说法中正确的是（　　）
A．物块与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.25
B．物块到达传送带底端B点时的动能为E0＝25J
C．整个过程中因摩擦而产生的内能为30J
D．若物块能在传送带上留下痕迹，则痕迹的长度为7.5m
【解答】解：AB、由图（b）所示图像可知，物体在传送带上先做初速度为零的匀加速直线运动，速度与传送带速度相等后继续做匀加速直线运动
物体速度与传送带速度相等，即物块速度v＝5m/s时物体的动能Ek
解得：E0＝50J
物体从放上传送带到速度与传送带速度相等过程，由动能定理得：mgsinθ×x0+μmgcosθ×x00，
物体从与传送带速度相等运动到B端过程，由动能定理得：mgsinθ×15x0﹣μmgcosθ×15x0＝E0，
代入数据解得：x0＝1.25m，μ＝0.5，故AB错误；
CD、物块到达B时的动能E0，解得物块到达B点时的速度大小v'＝10m/s，物块刚放在传送带上时，由牛顿第二定律得：mgsinθ+μmgcosθ＝ma
物块与传送带速度相等后的运动过程，由牛顿第二定律得：mgsinθ﹣μmgcosθ＝ma'
代入数据解得：a＝10m/s2，a'＝2m/s2
物块加速到与传送带速度相等需要的时间t1s＝0.5s
物块从速度与传送带速度相等运动到B端需要的时间t2s＝2.5s
物块加速到与传送带速度相等过程物块的位移x物块m＝1.25m
传送带的位移x传送带1＝vt1＝5×0.5m＝2.5m
物块从与传送带速度相等运动到B端过程，物块的位移x物块2m＝18.75m
该过程传送带的位移x传送带2＝vt2＝5×2.5m＝12.5m
物块加速到与传送带速度相等过程在传送带上留下划痕的长度Δx1＝x传送带1﹣x物块1＝2.5m﹣1.25m＝1.25m
从物块与传送带速度相等到物块运动到B端过程，物块与传送带间痕迹的长度Δx2＝x物块2﹣x传送带2＝18.75m﹣12.5m＝6.25m＞Δx1，
则物块在传送带上留下痕迹的长度Δx＝Δx2＝6.25m
整个过程物块相对于传送带滑行的路程s＝Δx1+Δx2＝1.25m+6.25m＝7.5m
整个过程因摩擦产生的内能E＝μmgscosθ＝0.5×1×10×7.5×0.8J＝30J，故C正确，D错误。
故选：C。
二．解答题（共2小题）
11．（2023春 浙江期中）如图所示，ABCD为固定在竖直平面内的光滑轨道，AB段为水平轨道，BC段为圆心角θ＝37°、半径为6l的圆弧轨道，CD段是足够长的平直倾斜轨道，各段轨道均平滑连接。AB段的右侧有一缓冲装置，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连（提示：轻杆和轻质弹簧均为不计质量的理想模型，受力始终处于平衡状态），轻杆右端刚好位于槽口，假设轻杆插入槽内所受的阻力与插入深度无关，且大小恒为Ff＝4mg。若将一质量为m的滑块从C点由静止释放，滑块撞击弹簧后将导致轻杆向右移动。
（1）若滑块从C点由静止释放，经过圆弧轨道B点时，求滑块对轨道的压力的大小；
（2）滑块撞击弹簧导致轻杆向右移动时弹簧储存的弹性势能；
（3）若轻杆槽内所受的阻力不恒定，其大小Ff随插入深度x变化满足关系式，为使轻杆向右移动不超过l，求允许滑块释放点离C点的最大距离。
【解答】解：（1）从C到B的过程中，机械能守恒：mg×6l（1﹣cosθ）
根据牛顿第二定律：
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力：FN′＝FN
联立以上解得：FN′mg
（2）小球从C点由静止释放到把缓冲杆压缩，根据动能定理有：mg×6l（1﹣cosθ）﹣Ep﹣4mg 0﹣0
整理得到：
（3）设滑块释放点离C点的最大距离为s，阻力变力做功，其做功大小可根据平均阻力计算：Wf l＝2mgl
根据能量守恒定律：mg s sin37°+mg×6l（1﹣cos37°）﹣EP﹣Wf＝0﹣0
变形整理得到：s
答：（1）滑块对轨道的压力的大小为；
（2）滑块撞击弹簧导致轻杆向右移动时弹簧储存的弹性势能为；
（3）允许滑块释放点离C点的最大距离为。
12．（2023春 滨江区期中）如图所示，足够长的光滑水平桌面左端固定一立柱，质量为m＝0.1kg的小球置于桌面上，它与立柱之间有一压缩的轻弹簧，轻弹簧与立柱之间栓接与小球不栓接。某时刻释放小球，它被弹出从桌面右端A点飞出，恰好能没有碰撞地落到粗糙倾斜轨道的顶端B点，并沿轨道滑下。图中右端为固定在竖直面内半径R＝2m的圆弧轨道，水平轨道CD将倾斜轨道与圆弧轨道连接在一起。已知B点与桌面间的竖直高度差h＝0.45m，倾斜轨道BC长为L＝2.75m，倾角α＝37°，小球与倾斜轨道间的动摩擦因数μ＝0.5；不计水平轨道与圆弧轨道的摩擦与小球经过C点时的能量损失，取g＝10m/s2，求：
（1）被释放前弹簧的弹性势能；
（2）小球第一次经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力的大小；
（3）为了让小球不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道BC，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？
【解答】解：（1）竖直方向小球做自由落体运动：，代入数据解得：vy＝3m/s
B点：得：vA＝4m/s
被释放前弹簧的弹性势能：Ep，解得Ep＝0.8J
（2）小球在B点的速度：vB解得 vB＝5m/s
B到D由动能定理可得：
代入数据解得：vD＝6m/s
D点：设轨道对小球的支持力为F，则，解得：F＝2.8N
根据牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力为2.8N；
（3）为了让小物体不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道BC，小球在圆轨道上上滑的最大高度为圆弧轨道右侧与其圆心等高的位置。
小球进入圆轨道后，由动能定理可得：，解得：H1＝1.8m
即小球上升高度为1.8m时速度为零，即竖直圆轨道的半径应该满足：r 1.8m即可使让小球不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道BC。
答：（1）被释放前弹簧的弹性势能为0.8J，
（2）小球第一次经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力的大小为2.8N，
（3）为了让小球不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道BC，则竖直圆轨道的半径r≥1.8m
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第14讲　机械能守恒定律
目录
[基础过关] 1
一、重力势能和弹性势能 1
二、机械能守恒定律 2
[命题点研究] 2
命题点一　机械能守恒的理解和判断 2
命题点二　机械能守恒的应用 5
[课时训练] 8
[考试标准]
知识内容 考试要求 说明
重力势能 c 1.不要求掌握物体做曲线运动时重力做功表达式的推导方法． 2.不要求掌握弹簧弹性势能的表达式． 3.运用机械能守恒定律进行计算时，不涉及弹性势能的表达式． 4.不要求用机械能守恒定律求解两个及两个以上物体(包括需要确定重心的链条、绳子、流体等)的问题.
弹性势能 b
机械能守恒定律 d
[基础过关]
一、重力势能和弹性势能
1．重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关．
2．重力做功与重力势能变化的关系：
重力对物体做正功，重力势能减少；重力对物体做负功，重力势能增加；物体从位置A到位置B时，重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，即WG＝－ΔEp.
3．弹力做功与弹性势能的关系：
弹力对物体做正功，弹性势能减少，弹力对物体做负功，弹性势能增加，弹力对物体做的功等于弹性势能的减少量．
二、机械能守恒定律
1．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变．
2．表达式：mgh1＋mv12＝mgh2＋mv22.
3．条件
(1)系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力．
(2)系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功．
(3)系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零．
(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内外也没有机械能与其他形式的能发生转化．
[命题点研究]
命题点一　机械能守恒的理解和判断
1．利用机械能的定义判断：
若物体在水平面上匀速运动，则其动能、势能均不变，机械能不变．若一个物体沿斜面匀速下滑，则其动能不变，重力势能减少，机械能减少．
2．做功判断法：若物体系统内只有重力和弹簧弹力做功，其他力均不做功或其他力做功的代数和为零，则系统的机械能守恒．
3．能量转化判断法：若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变成其他形式的能(如没有内能增加)，则系统的机械能守恒．
（2022秋 浙江月考）蹦床运动深受人们喜爱，如图为小明同学在杭州某蹦床馆，利用传感器测得蹦床弹力随时间的变化图。假设小明仅在竖直方向运动，忽略空气阻力，依据图像给出的物理信息，可得（　　）
A．7.5s至8.3s内，运动员先处于失重状态再处于超重状态
B．小明的最大加速度为50m/s2
C．小明上升的最大高度为20m
D．小明在整个蹦床过程中机械能守恒
（2023 浙江模拟）如图所示，“蹦极”运动中，运动员身系弹性绳下落，不计空气阻力．下列有关运动员从弹性绳刚绷紧到最低点的下落过程中的说法正确的是（　　）
A．运动员的加速度一直减小
B．弹性绳的弹性势能为零时，运动员的动能最大
C．弹性绳的弹性势能最大时，运动员的动能为零
D．运动员重力势能的减少量等于弹性绳弹性势能的增加量
（2022春 镇海区校级期中）2022年2月8日中国奥运选手谷爱凌在北京冬季奥运会跳台滑雪比赛中完美夺冠。跳台滑雪比赛中的得分主要包括距离得分和姿势得分，并且得分还需要参考每一跳的风向和风速。下列说法正确的是（　　）
A．在给选手动作姿势打分时，可以把选手看成质点
B．在给选手跳跃距离打分时，可以把选手看成质点
C．选手在空中运动时，处于完全失重状态
D．选手在空中运动时，机械能守恒
（2022秋 杭州期中）质量为0.5kg的石块从h＝10m高处以30°角斜向上方抛出（如图），初速度v0的大小为5m/s。不计空气阻力，g取10m/s2，则下列选项正确的是（　　）
A．石块落地时的速度大小是15m/s
B．石块抛出到落地的运动过程中机械能不断减小
C．石块落地时速度的大小与石块初速度的仰角有关
D．石块落地时速度的大小与石块的抛出时的高度无关
（2021春 拱墅区校级期中）如图所示，一小孩从公园中粗糙的滑梯上自由加速滑下，其机械能的变化情况是（　　）
A．重力势能减小，动能不变，机械能减小
B．重力势能减小，动能增加，机械能增加
C．重力势能减小，动能增加，机械能减小
D．重力势能减小，动能增加，机械能守恒
（2023 浙江模拟）2022年2月15日，苏翊鸣在北京冬奥会单板滑雪男子大跳台比赛中夺得冠军，成为首位赢得冬奥会单板滑雪金牌的中国运动员。大跳台主要由助滑道，起跳台和着陆坡组成，如图所示，运动员在助滑道下滑后在起跳台起跳，在空中做抛体运动后落在着陆坡上。某次比赛苏翊鸣在距离起跳点34m高处从静止下滑，在空中最高点时距起跳点12.8m，在空中飞跃的总时间为4s，已知起跳台斜面倾角为37°，苏翊鸣的质量为70kg，不考虑空气阻力，g取10m/s2，以下说法正确的是（　　）
A．起跳速度为16m/s
B．在最高点速度为0
C．下滑过程机械能守恒
D．从下滑到着陆重力做功35000J
命题点二　机械能守恒的应用
1．机械能守恒定律的表达式
2．选用技巧：在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面．
（2023春 杭州期中）如图甲所示，有一固定光滑斜面体ABC，一物块在平行于斜面的力F作用下从底端A点沿斜面AB由静止开始向上运动，该过程中物块的机械能E随位移x的变化图线如图乙所示，图线在x1～x2段为平行于x轴的直线。则（　　）
A．力F先减小后增大
B．从E﹣x图线中不能确定零势能面位置
C．在x＝x1位置物块所受力F＝0
D．在0～x1过程中物块做加速度不断减小的加速运动
（2022秋 衢州期末）质量为2kg的物体以初速度v0从固定斜面底端冲上斜面，物体在斜面上运动过程中的t图像如图所示，g取10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．此斜面与水平面夹角为30°
B．2s内该物体重力势能变化的最大值为36J
C．该物体在斜面上运动过程中机械能一定不守恒
D．该物体在斜面上运动过程中合外力冲量为零
（2023 海淀区一模）图1中过山车可抽象为图2所示模型：弧形轨道下端与半径为R的竖直圆轨道平滑相接，B点和C点分别为圆轨道的最低点和最高点。质量为m的小球（可视为质点）从弧形轨道上距B点高4R的A点静止释放，先后经过B点和C点，而后沿圆轨道滑下。忽略一切摩擦，已知重力加速度g。
（1）求小球通过B点时的速度大小vB。
（2）求小球通过C点时，轨道对小球作用力的大小F和方向。
（3）请分析比较小球通过B点和C点时加速度的大小关系。
（2022秋 松江区期末）如图，在地面上方的竖直平面内放置一杆状轨道，AB为粗糙的长直轨道，长为L＝10m，与水平方向的夹角为θ＝37°，BCD、DEF均为半径为R＝1m的光滑圆弧形轨道，AB与BCD相切于B点，B点离地高度为h＝3m，O1、O2两圆心等高，C为圆弧形轨道的最低点，E为最高点。一质量为m＝0.2kg的小环套在AB上，自P点由静止释放，经t＝2s运动到B点的速度大小为v＝6m/s。sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2，以地面为零势能面。求：
（1）小环在AB轨道上受到的摩擦力的大小；
（2）小环过E点时，小环对弧形轨道的作用力；
（3）若改变小环在直杆上释放点的位置，求小环落地时机械能的可能值；
（4）小环在AB杆上某一区域由静止释放时，若小环不会落到地面上，请用能量观点分析小环的运动过程，并求出最终稳定后小环的机械能。
拓展点　含弹簧类机械能守恒问题
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒．
2．在相互作用过程特征方面，弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大．
3．如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)．
（2022春 丽水期末）如图所示为某弹射游戏装置，处于竖直平面内的三段光滑管道AB、BC、CDE，其中AB是水平放置直管道，BC是半径R＝0.8m的四分之一圆弧管道，CDE是半径r＝0.4m的四分之三圆弧管道，D为管道最高点，出口E点切线水平，长L（可调）摩擦因数为μ＝0.5的粗糙水平轨道EK，与圆弧轨道相连于E点（EK与BC错开）。已知弹簧的劲度系数k＝400N/m，在弹性限度内弹性势能EP（x为弹簧的形变量）。游戏过程弹簧均未超出弹性限度，弹射装置发射的小球可视为质点，质量m＝0.1kg，管道粗细可以忽略，忽略空气阻力。（计算结果可以用根号表示）
（1）若某次小球发射后刚好能过D点，求小球通过圆弧管道最低点B时对轨道的压力；
（2）若某次游戏时L＝1.36m，要使小球能从K点射出，则弹簧的形变量至少要多少；
（3）现使弹簧储存EP＝1.4J的弹性势能，应调节EK长度L为何值时，小球第一次落地点与E点水平距离最大，并求出最大距离。
（2022春 乐清市校级期末）如图所示，固定在竖直平面内的轨道由高为H＝0.8m的平台，斜面BC，半径R＝0.8m的竖直圆轨道DFE（轨道在DE处稍微错开）及倾角为θ＝30°的斜面PM组成，一劲度系数为k＝8N/m的弹簧一端固定在斜面PM的最高点M，其下端距离地面h2＝0.5m。一质量为m＝0.2kg的滑块（可视为质点）从平台末端A以速度v0＝2m/s水平飞出，恰好无碰撞的从B点沿斜面向下滑行，B离地高度为h1＝0.35m，已知滑块与PM斜面间的动摩擦因数为，其余摩擦不计，不计滑块经轨道转折点能量损失及空气阻力，最大静摩擦力认为等于滑动摩擦力，当弹簧压缩量为x时，弹簧具有的弹性势能为EP（或可以用F﹣x图像下的面积求变力做功）。
（1）求B与A间的水平距离；
（2）滑块经圆轨道最高点F时轨道对滑块的压力；
（3）滑块沿右侧PM斜面第一次到达最高点时弹簧的弹性势能；
（4）滑块最终静止的位置距P端的距离。
[课时训练]
一．选择题（共10小题）
1．（2023春 余姚市校级期中）如图所示，质量为m的小球从距桌面h1，高处的A点由静止释放，自由下落到地面上的B点，桌面离地高为h2。选择桌面为参考平面，则小球（　　）
A．在A点时的重力势能为﹣mgh1
B．在A点时的机械能为mg（h1+h2）
C．在B点时的重力势能为mgh2
D．在B点时的机械能为mgh1
2．（2023 温州三模）中国跳水队被誉为跳水“梦之队”。如图是一位运动员跳水过程的频闪照片，A为运动员起跳位置，B为运动员重心到达最高位置，C为运动员指尖到达水面位置，空气阻力不可忽略，下列说法正确的是（　　）
A．在B位置，运动员处于平衡状态
B．在C位置，运动员的机械能最大
C．运动员入水后，立即做减速运动
D．在A位置，运动员受到跳板的弹力是由于跳板发生形变产生的
3．（2023春 北仑区校级期中）如图所示，一根轻弹簧下端固定，竖直立在水平面上，上端放一只小球，用力F将小
球缓慢地压到D点静止，弹簧始终处于弹性限度内．突然撤去力F，小球从静止开始
向上运动，B点是弹簧原长时上端的位置，在C位置时小球所受弹力大小等于重力，
在A位置时小球的速度为零．小球运动过程中，下列说法中正确的是（　　）
A．在B位置小球动能最大
B．D→B位置小球加速度一直减少
C．C→A位置小球重力势能的增加等于小球动能的减少
D．D→A位置小球重力势能的增加等于弹簧弹性势能的减少
4．（2023春 余姚市校级期中）某同学在操场上踢足球，足球质量为m，该同学将足球以速度v0从地面上的A点踢起，最高可以到达离地面高度为h的B点位置，从A到B足球克服空气阻力做的功为W，选地面为零势能的参考平面，则下列说法中正确的是（　　）
A．足球从A到B机械能守恒
B．该同学对足球做的功等于
C．足球在A点处的机械能为
D．足球在B点处的动能为
5．（2022秋 诸暨市期末）如图所示为某同学将篮球投出后空中的抛物线。已知篮球出手的位置为M，最高点的位置为N，刚要入篮筐的位置为P，M位置低于P位置，设M、N、P三个位置的速度大小分别为vM、vN和vP，三个位置对应的水平速度分别为vM1、vN1和vP1，不计篮球所受的空气阻力。下列说法正确的是（　　）
A．三个位置速度大小关系为vM＞vN＞vP
B．三个位置水平速度大小关系为vM1＝vN1＝vP1
C．篮球从M运动到N的时间等于N到P的时间
D．篮球在N的速度方向与所受合外力的方向在同一直线上
6．（2023 浙江）一位游客正在体验蹦极，绑上蹦极专用的橡皮绳后从跳台纵身而下。游客从跳台下落直到最低点过程中（　　）
A．弹性势能减小
B．重力势能减小
C．机械能保持不变
D．绳一绷紧动能就开始减小
7．（2021秋 浙江期中）2021年7月30日下午，东京奥运会蹦床女子个人网上决赛，中国选手朱雪莹以56.635分夺冠，为中国体育代表团夺得本届奥运会第17金，蹦床运动可简化为球压缩弹簧的模型，如图所示。小球从A点静止下落，到达C点的速度为零，图中B点为轻弹簧处于原长时的最高点，若空气阻力可以忽略，下列说法正确的是（　　）
A．小球到达B点后，开始减速
B．小球到达C点时，动能与重力势能总量最小
C．小球从B点到C点，先做匀加速运动，再做匀减速运动
D．小球在C点时所受重力与弹簧弹力相平衡
8．（2022春 拱墅区校级期中）如图，撑杆跳全过程可分为四个阶段：A→B阶段，助跑加速；B→C阶段，杆弯曲程度增大、人上升；C→D阶段，杆弯曲程度减小、人上升；D→E阶段，人越过横杆后下落，整个过程空气阻力忽略不计。这四个阶段的能量变化为（　　）
A．A→B地面对人和杆系统做正功
B．B→C人和杆系统的动能减小量小于重力势能和弹性势能增加量
C．C→D人和杆系统的动能减少量小于重力势能的增加量
D．D→E重力对人所做的功等于人机械能的增加量
9．（2022 杭州一模）姚明是NBA中我国优秀的篮球运动员。在某次比赛罚球中，第一次出手，篮球的初速度方向与竖直方向的夹角α＝60°；第二次出手，篮球的初速度方向与竖直方向的夹角β＝30°；两次出手的位置在同一竖直线上，结果两次篮球正好垂直撞击到篮板同一位置C点。不计空气阻力，则从篮球出手到运动到点C的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．两球的初动能相等
B．前后两次上升的最大高度的比值为1：9
C．在C点时，两球的机械能相等
D．前后两次运动时间的比值为：1
10．（2022春 拱墅区校级期中）如图（a），倾角为37°的传送带以v＝5m/s的速度逆时针匀速转动，传送带AB之间的距离为20m，质量为m＝1kg的物块（可视为质点）自A点无初速度放上传送带。物块在传送带上运动时，其动能Ek与位移x关系图像（Ek﹣x）如图（b）所示，物块与传送带之间的动摩擦因数为μ，重力加速度g取10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。则下列说法中正确的是（　　）
A．物块与传送带之间的动摩擦因数μ＝0.25
B．物块到达传送带底端B点时的动能为E0＝25J
C．整个过程中因摩擦而产生的内能为30J
D．若物块能在传送带上留下痕迹，则痕迹的长度为7.5m
二．解答题（共2小题）
11．（2023春 浙江期中）如图所示，ABCD为固定在竖直平面内的光滑轨道，AB段为水平轨道，BC段为圆心角θ＝37°、半径为6l的圆弧轨道，CD段是足够长的平直倾斜轨道，各段轨道均平滑连接。AB段的右侧有一缓冲装置，劲度系数足够大的轻质弹簧与轻杆相连（提示：轻杆和轻质弹簧均为不计质量的理想模型，受力始终处于平衡状态），轻杆右端刚好位于槽口，假设轻杆插入槽内所受的阻力与插入深度无关，且大小恒为Ff＝4mg。若将一质量为m的滑块从C点由静止释放，滑块撞击弹簧后将导致轻杆向右移动。
（1）若滑块从C点由静止释放，经过圆弧轨道B点时，求滑块对轨道的压力的大小；
（2）滑块撞击弹簧导致轻杆向右移动时弹簧储存的弹性势能；
（3）若轻杆槽内所受的阻力不恒定，其大小Ff随插入深度x变化满足关系式，为使轻杆向右移动不超过l，求允许滑块释放点离C点的最大距离。
12．（2023春 滨江区期中）如图所示，足够长的光滑水平桌面左端固定一立柱，质量为m＝0.1kg的小球置于桌面上，它与立柱之间有一压缩的轻弹簧，轻弹簧与立柱之间栓接与小球不栓接。某时刻释放小球，它被弹出从桌面右端A点飞出，恰好能没有碰撞地落到粗糙倾斜轨道的顶端B点，并沿轨道滑下。图中右端为固定在竖直面内半径R＝2m的圆弧轨道，水平轨道CD将倾斜轨道与圆弧轨道连接在一起。已知B点与桌面间的竖直高度差h＝0.45m，倾斜轨道BC长为L＝2.75m，倾角α＝37°，小球与倾斜轨道间的动摩擦因数μ＝0.5；不计水平轨道与圆弧轨道的摩擦与小球经过C点时的能量损失，取g＝10m/s2，求：
（1）被释放前弹簧的弹性势能；
（2）小球第一次经过圆弧轨道最低点时对轨道的压力的大小；
（3）为了让小球不离开轨道，并且能够滑回倾斜轨道BC，则竖直圆轨道的半径应该满足什么条件？
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