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第19讲　电荷守恒定律　电场力的性质
目录
[考试标准] 1
[基础过关] 2
一、电荷及其守恒定律 2
二、库仑定律 2
三、电场强度 2
四、电场线 3
[命题点研究] 3
命题点一　库仑定律的理解和应用 3
命题点二　电场强度的理解 6
命题点四　力电综合问题 10
[课时训练] 11
[考试标准]
知识内容 考试要求 说明
电荷及其守恒定律 c 1.不要求识记电子的比荷． 2.利用库仑定律公式求解静力学问题，只限于所受各力在同一直线上或可运用直角三角形知识求解的情形． 3.利用库仑定律公式与其他动力学规律求解力学与电学综合的问题，只限于所受各力在同一直线上的情形． 4.两个电场叠加的定量运算，仅限于在同一直线或可用直角三角形知识解决的情形.
库仑定律 c
电场强度 c
[基础过关]
一、电荷及其守恒定律
1．元电荷
最小的电荷量，其值为e＝1.60×10－19_C.
其他带电体的电荷量皆为元电荷的整数倍．
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移的过程中，电荷的总量保持不变．
(2)起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电．
(3)带电实质：物体带电的实质是得失电子．
二、库仑定律
1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上．
2．表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量．
3．适用条件：真空中的点电荷．
三、电场强度
1．场强公式的比较
三个公式
2．电场的叠加
(1)电场的叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和．
(2)运算法则：平行四边形定则．
四、电场线
1．特点
(1)电场线从正电荷或无限远处出发，终止于无限远处或负电荷；
(2)电场线在电场中不相交；
(3)在同一电场里，电场线越密的地方场强越大；
(4)电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向；
(5)沿电场线方向电势逐渐降低；
(6)电场线和等势面在相交处相互垂直．
2．几种典型电场的电场线(如图1)
图1
[命题点研究]
命题点一　库仑定律的理解和应用
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图3所示．
图3
(1)同种电荷：F＜k；(2)异种电荷：F＞k.
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看做点电荷了．
如图，两根等长的细线一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个带电小球，两球的质量分别为m1和m2，已知两细线与竖直方向的夹角分别为45°和30°。则m1与m2的比值为（　　）
A． B． C． D．
如图所示，在两个对接的绝缘光滑斜面上放置了电荷量大小均为q的两个小球A和B（均看成质点），两个斜面的倾角分别是30°和45°，小球A和B的质量分别是m1和m2。若平衡时，两小球均静止在离斜面底端高度为h的同一水平线上，斜面对两个小球的弹力分别是N1和N2，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　）
A．qh
B．
C．
D．若同时移动两球在斜面上的位置，只要保证两球在同一水平线上，则两球仍能平衡
（多选）用细绳拴一个质量为m带正电的小球B，另一个也带正电的小球A固定在光滑绝缘的竖直墙上，A、B两球离地面的高度均为h.小球B在重力、拉力和库仑力的作用下静止不动，如图所示，现将细绳剪断并同时释放A球后（　　）
A．小球B在细绳剪断开始做平抛运动
B．小球B在细绳剪断瞬间加速度大于g
C．小球B落地的时间小于
D．小球B落地的速度大于
如图所示，竖直平面内固定一个半径为R的刚性光滑绝缘圆环。在圆环的最顶端固定一个电荷量为q的小球，另一个质量为m带负电的小圆环套在大圆环上，当小圆环平衡时，测得两电荷之间的连线与竖直线的夹角为30°，则（设静电力常量为k）（　　）
A．大圆环对小圆环的弹力大小为（1）mg
B．小圆环带电量的大小为
C．大圆环对小圆环的弹力指向圆心
D．小圆环带电量增加，小环受到的弹力先增加后减小
如图所示在两个对接的绝缘光滑斜面上，两个斜面的倾角分别是37°和53°。斜面上放置了电荷量相等的两个小球A和B（均看成质点），两小球静止在离斜面底端高度为h的同一水平线上，已知小球A的质量为m，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　）
A．小球B的电荷量为
B．小球B的质量为
C．小球B的受到斜面弹力的大小为
D．增大小球的电荷量，小球B不可能与A静止在同一水平线上
命题点二　电场强度的理解
类型1　点电荷电场强度的叠加及计算
等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线的分布图
连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，方向指向负电荷 为零
连线上的场强大小(从左到右)　 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小　　 O点最大，向外逐渐变小 O点为零，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强　　 等大同向 等大反向
如图所示，边长为l的正三角形ABC的三个顶点上各有一点电荷，B、C两点处的电荷所带电荷量均为+q，A点处的点电荷所带电荷量为+3q，则BC边中点D处的电场强度大小为（　　）
A． B． C． D．
直角坐标系xOy中，MN两点位于x轴上，GH两点坐标如图，MN两点各固定一正点电荷，一电量为Q的负点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该负点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为（　　）
A．，沿y轴正向 B．，沿y轴正向
C．，沿y轴负向 D．，沿y轴负向
类型2　非点电荷电场强度的叠加及计算
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
经过探究，某同学发现：点电荷和无限大的接地金属平板间的电场（如图甲所示）与等量异种点电荷之间的电场分布（如图乙所示）完全相同。图丙中点电荷+q到MN的距离OA为L，AB是以电荷+q为圆心、L为半径的圆上的一条直径，则B点电场强度的大小是（　　）
A． B． C． D．
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为﹣2Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q（q＞0）的固定点电荷．已知b点处的场强为则d点处场强的大小为（k为静电力常量）（　　）
A． B． C． D．
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝4R．已知M点的场强大小为E，静电力常量为k，则N点的场强大小为（　　）
A．E B．E C． D．E
命题点三　电场中的平衡问题
涉及电场力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了电场力，具体步骤如下：
注意库仑力的方向：同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向．
（多选）如图所示，长l＝1m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，已知小球的质量m＝1×10﹣4kg，且位于电场强度E＝3.0×103N/C，方向水平向右的匀强电场中。小球静止时，绳与竖直方向的夹角θ＝37°，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2），则（　　）
A．此带电小球带正电
B．小球受轻绳拉力F为1.66×10﹣3N
C．小球电荷量q＝2.5×10﹣7C
D．将小球拉至最低点由静止释放，小球回到绳与竖直方向的夹角θ＝37°时速度v的大小为2m/s
（多选）如图所示，水平向右的匀强电场中有a、b两带电小球，小球所带电量的大小相同、电性未知。现将两小球用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，线与竖直方向的夹角分别为α、β，且α＜β。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．若a、b电性相反，球a的质量一定大于球b的质量
B．若a、b电性相同，球a的质量可能等于球b的质量
C．若同时剪断两根细绳，a球可能先落地
D．若同时剪断两根细绳，a、b两球一定同时落地
如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面，金属环均匀带电，带电量为Q，一长为L＝2R的绝缘细线一段固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电量为q（未知）的金属小球（可视为质点）。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P'（图中未画出）是点P关于圆心O对称的点。已知静电常量为k，重力加速度为g，若取无穷远为零势面，下列说法正确的是（　　）
A．O点的场强一定为零
B．P'点场强大小为
C．金属带电小球的电量为
D．固定P处的小球，均匀带电圆环可视为n个带有相同电荷的小球（均可视为质点），现取下一个小球（其余n﹣1个小球位置不变）置于P'处，则圆心O的场强大小为
命题点四　力电综合问题
电场力虽然从本质上区别于力学中的重力、弹力、摩擦力，但产生的效果遵循牛顿力学中的所有规律，因此带电体在电场力作用下的运动问题(尤其是力电综合问题)依然需要根据力学解题思路求解．
如图所示，一带电荷量为+q、质量为m的小物块处于一倾角为θ的光滑斜面上，整个装置置于一水平向右的匀强电场中，小物块处于静止状态。已知重力加速度为g，求：
（1）匀强电场的场强；
（2）若将匀强电场的场强减小为原来的，物块将沿斜面加速下滑，则物块下滑的加速度为多大？
如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电，电荷量为Q．在杆上B点处固定一个电荷量为2Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求：
（1）A球刚释放时的加速度大小。
（2）当A球的动能最大时，A球与B点的距离。
（3）设最大动能为Ek，求从释放到动能最大的过程中电场力做的功。
[课时训练]
一．选择题（共10小题）
1．硒鼓是激光打印机的核心部件，主要由感光鼓、充电辊、显影装置、粉仓和清洁装置构成，工作中充电辊表面的导电橡胶给感光鼓表面均匀的布上一层负电荷。我们可以用下面的模型模拟上述过程：电荷量均为﹣q的点电荷，对称均匀地分布在半径为R的圆周上，若某时刻圆周上P点的一个点电荷的电量突变成+q，则圆心O点处的电场强度为（　　）
A．，方向沿半径指向P点
B．，方向沿半径背离P点
C．，方向沿半径指向P点
D．，方向沿半径背离P点
2．两个分别带有电荷量﹣Q和+3Q的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F．两小球相互接触后将其固定距离变为，则两球间库仑力的大小为（　　）
A．F B．F C．F D．12F
3．（2023 浙江）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑接成的虚线（等势线）运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足（　　）
A． B．
C． D．
4．把头发屑悬浮在蓖麻油里，加上电场，可以模拟出电场线的分布情况。如图甲是模拟孤立点电荷和金属板之间的电场照片，图乙为简化后的电场线分布情况，则（　　）
A．由图甲可知，电场线是真实存在的
B．图甲中，没有头发屑的地方电场强度为零
C．图乙中A点的电场强度大于B点的电场强度，A点电势大于B点电势
D．在图乙电场中A点静止释放的质子能沿着电场线运动到B点
5．如图所示，悬挂在O点的一根不可伸长的绝缘细线下端有一个带电荷量不变的小球A．在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球B．当B到达悬点O的正下方并与A在同一水平线上，A处于受力平衡时，悬线偏离竖直方向的角度为θ．若两次实验中B的电荷量分别为q1和q2，θ分别为30°和45°．则q1与q2的比值为（　　）
A．2 B．3 C． D．3
6．如图所示，正六边形的两个顶点F、D上固定等量同种点电荷，则下列说法正确的是（　　）
A．A点的电势低于E点的电势
B．B点的电场强度等于E点的电场强度
C．若一个负点电荷仅在电场力作用下从E点静止释放，电荷最终会停在O点
D．试探电荷在B点的库仑力大小是放在O点的库仑力大小的倍
7．如图所示，质量为m的带电小球A固定在绝缘轻杆C的一端，轻杆的另一端与墙壁上的O点通过较链连接在一起，带电量为Q的小球B固定在杆AC的正下方的绝缘柱上，A与B的距离为h，此时绝缘轻杆与竖直面夹角为α，带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度为g，则下列说法不正确的是（　　）
A．轻杆对小球A的作用力为零
B．小球A的带电量为
C．当小球A的电荷量略微减少，重新达到平衡后，两球之间的库仑力减小
D．当小球A的电荷量略微增加，重新达到平衡后，轻杆对小球A的作用力将增大
8．如图所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面电为σ其线上任意一点P（坐为x）的电场强度以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσ[1]，方向沿x轴，若存在面积带电量为σ0无限大均匀带电平板，从其中挖去一半径为r的圆板如图所示，则圆孔轴线任一点Q（坐标为x）的电场强度为（　　）
A．2πkσ0 B．2πkσ0
C．2πkσ0 D．2πkσ0
9．如图所示，真空中有两个点电荷Q1＝+4.0×10﹣8C和Q2＝﹣1.0×10﹣8C，分别固定在x坐标轴的x＝0和x＝6cm的位置上。以下说法正确的是（　　）
A．x坐标轴上，电场强度为零的位置有两处
B．x坐标轴上x＝﹣12cm处电场强度为零
C．x坐标轴上，电场强度方向沿x轴正方向的区域只有0＜x＜6cm
D．x坐标轴上，6cm＜x＜12cm区域内电场强度方向沿x轴负方向
10．如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0＞0，qB＝﹣q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（　　）
A．qCq0
B．弹簧伸长量为
C．A球受到的库仑力大小为2Mg
D．相邻两小球间距为q0
二．计算题（共2小题）
11．如图所示，用一条绝缘轻绳悬挂一个带正电的小球，小球质量为1.0×10﹣3kg，所带电荷量为2.0×10﹣8C。现加一匀强电场，场强方向与水平方向的夹角为30°斜向下，小球平衡时，拉小球的绳子与竖直方向的夹角也为30°，试求：
（1）该电场的电场强度大小及绳子的拉力大小；
（2）改变匀强电场方向，在保证小球空间位置不变且平衡的条件下，该电场强度的最小值与方向？
12．（2023 乙卷）如图，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求
（1）B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
（2）C点处点电荷的电荷量。
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第19讲　电荷守恒定律　电场力的性质
目录
[考试标准] 1
[基础过关] 1
一、电荷及其守恒定律 1
二、库仑定律 2
三、电场强度 2
四、电场线 2
[命题点研究] 3
命题点一　库仑定律的理解和应用 3
命题点二　电场强度的理解 9
命题点四　力电综合问题 16
[课时训练] 18
[考试标准]
知识内容 考试要求 说明
电荷及其守恒定律 c 1.不要求识记电子的比荷． 2.利用库仑定律公式求解静力学问题，只限于所受各力在同一直线上或可运用直角三角形知识求解的情形． 3.利用库仑定律公式与其他动力学规律求解力学与电学综合的问题，只限于所受各力在同一直线上的情形． 4.两个电场叠加的定量运算，仅限于在同一直线或可用直角三角形知识解决的情形.
库仑定律 c
电场强度 c
[基础过关]
一、电荷及其守恒定律
1．元电荷
最小的电荷量，其值为e＝1.60×10－19_C.
其他带电体的电荷量皆为元电荷的整数倍．
2．电荷守恒定律
(1)内容：电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体转移到另一个物体，或者从物体的一部分转移到另一部分；在转移的过程中，电荷的总量保持不变．
(2)起电方式：摩擦起电、接触起电、感应起电．
(3)带电实质：物体带电的实质是得失电子．
二、库仑定律
1．内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上．
2．表达式：F＝k，式中k＝9.0×109 N·m2/C2，叫做静电力常量．
3．适用条件：真空中的点电荷．
三、电场强度
1．场强公式的比较
三个公式
2．电场的叠加
(1)电场的叠加：多个电荷在空间某处产生的电场强度为各电荷单独在该处所产生的电场强度的矢量和．
(2)运算法则：平行四边形定则．
四、电场线
1．特点
(1)电场线从正电荷或无限远处出发，终止于无限远处或负电荷；
(2)电场线在电场中不相交；
(3)在同一电场里，电场线越密的地方场强越大；
(4)电场线上某点的切线方向表示该点的场强方向；
(5)沿电场线方向电势逐渐降低；
(6)电场线和等势面在相交处相互垂直．
2．几种典型电场的电场线(如图1)
图1
[命题点研究]
命题点一　库仑定律的理解和应用
1．库仑定律适用于真空中静止点电荷间的相互作用．
2．对于两个均匀带电绝缘球体，可将其视为电荷集中在球心的点电荷，r为球心间的距离．
3．对于两个带电金属球，要考虑表面电荷的重新分布，如图3所示．
图3
(1)同种电荷：F＜k；(2)异种电荷：F＞k.
4．不能根据公式错误地认为r→0时，库仑力F→∞，因为当r →0时，两个带电体已不能看做点电荷了．
如图，两根等长的细线一端拴在同一悬点O上，另一端各系一个带电小球，两球的质量分别为m1和m2，已知两细线与竖直方向的夹角分别为45°和30°。则m1与m2的比值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：对两个球分别受力分析，如图所示
根据平衡条件，对m1，有
m1gcos7.5°﹣T1cos37.5°＝0
F﹣m1gsin7.5°﹣T1sin37.5°＝0
对m2，有
m2gcos7.5°﹣T2cos37.5°＝0
F+m2gsin7.5°﹣T2sin37.5°＝0
联立解得
故BCD错误，A正确。
故选：A。
如图所示，在两个对接的绝缘光滑斜面上放置了电荷量大小均为q的两个小球A和B（均看成质点），两个斜面的倾角分别是30°和45°，小球A和B的质量分别是m1和m2。若平衡时，两小球均静止在离斜面底端高度为h的同一水平线上，斜面对两个小球的弹力分别是N1和N2，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　）
A．qh
B．
C．
D．若同时移动两球在斜面上的位置，只要保证两球在同一水平线上，则两球仍能平衡
【解答】解：A、对小球B受力分析，其受重力、支持力和库仑力作用，如图所示，由力的平衡条件可知
F＝m2gtan45° ①
根据库仑定律得F＝k②
由几何关系可知，rAB③
联立解得qh，故A正确；
B、对小球A受力分析，其受重力、支持力和库仑力作用，如图所示，由力的平衡条件有：F＝m1gtan30° ④
由①④解得，故B错误；
C、对A球，由平衡条件可得N1，对B球，由平衡条件得N2，解得，故C错误；
D、若同时移动两球在斜面上的位置，只要保证两球在同一水平线上，两球间库仑力减小，两球将不能平衡，故D错误。
故选：A。
（多选）用细绳拴一个质量为m带正电的小球B，另一个也带正电的小球A固定在光滑绝缘的竖直墙上，A、B两球离地面的高度均为h.小球B在重力、拉力和库仑力的作用下静止不动，如图所示，现将细绳剪断并同时释放A球后（　　）
A．小球B在细绳剪断开始做平抛运动
B．小球B在细绳剪断瞬间加速度大于g
C．小球B落地的时间小于
D．小球B落地的速度大于
【解答】解：
AB、将细绳剪断瞬间，小球受到球的重力和库仑力的共同的作用，合力斜向右下方，并不是只有重力的作用，而且小球初速度为零，因此剪断瞬间起开始，不可能做平抛运动，且加速度大于g，故A错误；B正确；
CD、小球在落地过程中，除受到重力外，还受到库仑斥力，那么竖直方向的加速度等于g，因此球落地的时间等于
落地的速度大于
故C错误，D正确；
故选：BD。
如图所示，竖直平面内固定一个半径为R的刚性光滑绝缘圆环。在圆环的最顶端固定一个电荷量为q的小球，另一个质量为m带负电的小圆环套在大圆环上，当小圆环平衡时，测得两电荷之间的连线与竖直线的夹角为30°，则（设静电力常量为k）（　　）
A．大圆环对小圆环的弹力大小为（1）mg
B．小圆环带电量的大小为
C．大圆环对小圆环的弹力指向圆心
D．小圆环带电量增加，小环受到的弹力先增加后减小
【解答】解：小圆环处于静止状态，设小圆环的电荷量为Q，对小圆环受力分析如图所示：
由力的矢量三角形与几何三角形△OAB相似可得：
因OA＝OB＝R，则N＝mg
因ABOAR，则F
根据库仑定律，F；r；
联立解得：Q，故B正确，AC错误；
D、由相似关系可知，小圆环受到的弹力N始终等于重力，小圆环带电量增加，小圆环受到的弹力不变，故D错误；
故选：B。
如图所示在两个对接的绝缘光滑斜面上，两个斜面的倾角分别是37°和53°。斜面上放置了电荷量相等的两个小球A和B（均看成质点），两小球静止在离斜面底端高度为h的同一水平线上，已知小球A的质量为m，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　）
A．小球B的电荷量为
B．小球B的质量为
C．小球B的受到斜面弹力的大小为
D．增大小球的电荷量，小球B不可能与A静止在同一水平线上
【解答】解：A、对小球A受力分析，如图所示，由力的平衡条件可知：F＝mgtan37°，根据库仑定律得F＝k
由几何关系可知，rAB
联立解得q，故A错误；
B、对小球B受力分析，如图所示，由力的平衡条件有：F＝m1gtan53°，又F＝mgtan37°，解得m1m，故B正确；
C、对B球，由平衡条件得N2，又F＝mgtan37°，解得N2mg，故C错误；
D、由A选项可知mgtan37°＝k，当小球的电荷量增大，AB两球水平间距也增大时，两小球可以静止在同一水平线上，故D错误。
故选：B。
命题点二　电场强度的理解
类型1　点电荷电场强度的叠加及计算
等量同种和异种点电荷的电场强度的比较
比较项目 等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线的分布图
连线中点O处的场强 连线上O点场强最小，方向指向负电荷 为零
连线上的场强大小(从左到右)　 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大
沿中垂线由O点向外场强大小　　 O点最大，向外逐渐变小 O点为零，向外先变大后变小
关于O点对称的A与A′，B与B′的场强　　 等大同向 等大反向
如图所示，边长为l的正三角形ABC的三个顶点上各有一点电荷，B、C两点处的电荷所带电荷量均为+q，A点处的点电荷所带电荷量为+3q，则BC边中点D处的电场强度大小为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：B、C两点的点电荷在D点的场强大小相等、方向相反，A点的点电荷在D点的场强方向竖直向下，所以D点的合场强等于A点的点电荷在D点的合场强，由几何关系有：rl
ED
故A正确，BCD错误；
故选：A。
直角坐标系xOy中，MN两点位于x轴上，GH两点坐标如图，MN两点各固定一正点电荷，一电量为Q的负点电荷置于O点时，G点处的电场强度恰好为零．静电力常量用k表示．若将该负点电荷移到G点，则H点处场强的大小和方向分别为（　　）
A．，沿y轴正向 B．，沿y轴正向
C．，沿y轴负向 D．，沿y轴负向
【解答】解：G点处的电场强度恰好为零，说明正电荷在G点产生的合场强与负电荷在G点产生的场强大小相等方向相反，
根据点电荷的场强公式可得，负电荷在G点的场强为，正电荷在G点的合场强也为，
当负点电荷移到G点时，负电荷与H点的距离为2a，负电荷在H点产生的场强为，方向沿y轴负向，
由于GH对称，所以正电荷在G点和H点产生的场强大小相等方向相反，大小为，方向沿y轴正向，
所以H点处场合强的大小为，方向沿y轴正向，所以A正确，BCD错误；
故选：A．
类型2　非点电荷电场强度的叠加及计算
1．等效法
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情景变换为简单的或熟悉的电场情景．
经过探究，某同学发现：点电荷和无限大的接地金属平板间的电场（如图甲所示）与等量异种点电荷之间的电场分布（如图乙所示）完全相同。图丙中点电荷+q到MN的距离OA为L，AB是以电荷+q为圆心、L为半径的圆上的一条直径，则B点电场强度的大小是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据B点的电场线方向可以得B点的电场强度方向是垂直于金属板向右，两个异号点电荷电荷量的大小均为q，它们之间的距离为2L，乙图上+q右侧L处的场强大小为：
E＝kkk
根据题意可知，B点的电场强度大小与乙图上+q右侧L处的场强大小相等，即为k，故ABD错误，C正确。
故选：C。
2．对称法
利用空间上对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化．
如图所示，一半径为R的圆盘上均匀分布着电荷量为﹣2Q的电荷，在垂直于圆盘且过圆心c的轴线上有a、b、d三个点，a和b、b和c、c和d间的距离均为R，在a点处有一电荷量为q（q＞0）的固定点电荷．已知b点处的场强为则d点处场强的大小为（k为静电力常量）（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：a处的点电荷q在b产生的场强大小为Eb＝k
已知b点处的场强为，
根据电场的叠加原理得知圆盘在b点处产生的场强 Eb′kk，方向水平向右
根据对称性可知圆盘在d产生的场强 Ed＝Eb′＝k，方向水平向左
q在d处产生的场强大小为 Ed′，方向向右
则根据电场的叠加原理得知b点处场强的大小E＝Ed﹣Ed′，故A正确，BCD错误。
故选：A。
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布正电荷，总电荷量为q，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，OM＝ON＝4R．已知M点的场强大小为E，静电力常量为k，则N点的场强大小为（　　）
A．E B．E C． D．E
【解答】解：若将带电量为2q的球面放在O处，
均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。
则在M、N点所产生的电场为：，
由题知当半球面在M点产生的场强为E，则N点的场强为
，
故选：A。
命题点三　电场中的平衡问题
涉及电场力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了电场力，具体步骤如下：
注意库仑力的方向：同性相斥，异性相吸，沿两电荷连线方向．
（多选）如图所示，长l＝1m的轻质细绳上端固定，下端连接一个可视为质点的带电小球，已知小球的质量m＝1×10﹣4kg，且位于电场强度E＝3.0×103N/C，方向水平向右的匀强电场中。小球静止时，绳与竖直方向的夹角θ＝37°，（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g＝10m/s2），则（　　）
A．此带电小球带正电
B．小球受轻绳拉力F为1.66×10﹣3N
C．小球电荷量q＝2.5×10﹣7C
D．将小球拉至最低点由静止释放，小球回到绳与竖直方向的夹角θ＝37°时速度v的大小为2m/s
【解答】解：A、由图可知，小球受电场力的方向一定是水平向右的，即与电场线方向相同，故此小球带正电，故A正确；
B、小球受力情况如图所示：
根据几何关系可得：TN＝1.25×10﹣3N，故B错误；
C、由B中分析可知，Eq＝mgtanθ，解得qC＝2.5×10﹣7C，故C正确；
D、小球由最低点回到原位置时，由动能定理得
Eqlsinθ﹣mgl（1﹣cosθ）mv2
可得 vm/s，故D错误。
故选：AC。
（多选）如图所示，水平向右的匀强电场中有a、b两带电小球，小球所带电量的大小相同、电性未知。现将两小球用绝缘细线悬挂于同一点，两球静止时，它们距水平面的高度相等，线与竖直方向的夹角分别为α、β，且α＜β。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．若a、b电性相反，球a的质量一定大于球b的质量
B．若a、b电性相同，球a的质量可能等于球b的质量
C．若同时剪断两根细绳，a球可能先落地
D．若同时剪断两根细绳，a、b两球一定同时落地
【解答】解：A.下图为ab的水平方向受力情况，
将电场力与库仑力的合力记作F，则a的重力为，b的重力为，由于α＜β，所以a的重力大于b的重力，故A正确；
B.若ab均为正电，下图为ab的水平方向受力情况，
由图可知，a电场力与库仑力的合力小于b的，分别记为Fa和Fb，a的重力为，b的重力为，二者有可能相等，故B正确；
C、D，由于剪断绳子之后，二者在竖直方向只受重力，所以细绳剪断之后在竖直方向上均为自由落体运动，同时落地，故C错误，D 正确。
故选：ABD。
如图所示，半径为R的金属圆环固定在竖直平面，金属环均匀带电，带电量为Q，一长为L＝2R的绝缘细线一段固定在圆环最高点，另一端连接一质量为m、带电量为q（未知）的金属小球（可视为质点）。稳定时带电金属小球在过圆心且垂直圆环平面的轴上的P点处于平衡状态，点P'（图中未画出）是点P关于圆心O对称的点。已知静电常量为k，重力加速度为g，若取无穷远为零势面，下列说法正确的是（　　）
A．O点的场强一定为零
B．P'点场强大小为
C．金属带电小球的电量为
D．固定P处的小球，均匀带电圆环可视为n个带有相同电荷的小球（均可视为质点），现取下一个小球（其余n﹣1个小球位置不变）置于P'处，则圆心O的场强大小为
【解答】解：A、根据对称性可知，带电量Q的圆环，在圆心O点场强为0，带电金属小球在O点的场强不0，所以O 点的场强不为零，故A错误；
B、设细线与半径的夹角为θ，由几何关系：cosθ，sinθ，tanθ
由微元法，无限划分，设每一极小段圆环带电量为Δq，则：∑k sinθ＝E，其中：∑Δq＝Q解得：EP，
根据对称性可知，带电量为Q的圆环，在P、P′两点的场强大小相等，方向相反，即带电量为Q的圆环在P′点的场强大小为，而P′点的场强大小是圆环与带电金属小球在P′的电场强度的叠加，所以EP′，故B错误；
C、对小球受力分析，重力、细线的拉力、带电圆环对金属小球的库仑力，
由平衡条件可得：qEp＝FC＝mgtanθ，解得：q，故C正确；
D、每个小球带电量为，在圆环上取下一个小球后，则圆环上的（ n﹣1）个小球在圆心 O的场强大小为：E1＝k，方向位于圆环所在平面内；
固定 P 处的小球在O处场强EO＝k，在圆环上取下一个小球（其余 n﹣1个小球位置不变）置于 P'处，在O处场强EO′＝k，则在水平方向上，圆心 O的场强大小E2＝EO﹣EO′
所以固定 P 处的小球，然后在圆环上取下一个小球（其余 n﹣1个小球位置不变）置于 P'处后，圆心 O的合场强大小：E，故D错误。
故选：C。
命题点四　力电综合问题
电场力虽然从本质上区别于力学中的重力、弹力、摩擦力，但产生的效果遵循牛顿力学中的所有规律，因此带电体在电场力作用下的运动问题(尤其是力电综合问题)依然需要根据力学解题思路求解．
如图所示，一带电荷量为+q、质量为m的小物块处于一倾角为θ的光滑斜面上，整个装置置于一水平向右的匀强电场中，小物块处于静止状态。已知重力加速度为g，求：
（1）匀强电场的场强；
（2）若将匀强电场的场强减小为原来的，物块将沿斜面加速下滑，则物块下滑的加速度为多大？
【解答】解：（1）小物块静止在斜面上，受重力、电场力和斜面支持力。
对小物块沿斜面由平衡条件得mgsinθ﹣Eqcosθ＝0解得
（2）当电场减为原来的时，对小物块沿斜面由牛顿第二定律得：
解得：
答：（1）匀强电场的场强是；
（2）若将匀强电场的场强减小为原来的12，则物块下滑的加速度是。
如图所示，质量为m的小球A穿在绝缘细杆上，杆的倾角为α，小球A带正电，电荷量为Q．在杆上B点处固定一个电荷量为2Q的正电荷。将A由距B竖直高度为H处无初速度释放，小球A下滑过程中电荷量不变。不计A与细杆间的摩擦，整个装置处在真空中，已知静电力常量k和重力加速度g。求：
（1）A球刚释放时的加速度大小。
（2）当A球的动能最大时，A球与B点的距离。
（3）设最大动能为Ek，求从释放到动能最大的过程中电场力做的功。
【解答】解：（1）A球刚释放时，受到重力、沿细杆向上的库仑力和细杆的支持力，根据牛顿第二定律得：
mgsinαma；
得：a＝gsinα；
（2）到达平衡位置时，速度最大，根据平衡条件，有：
mgsinα0
得：x；
（3）设最大动能为Ek，求从释放到动能最大的过程中由动能定理得：
mg（H﹣xsinα）+W＝EK﹣0
解得：
答：（1）A球刚释放时的加速度大小为。
（2）当A球的动能最大时，A球与B点的距离为。
（3）设最大动能为Ek，从释放到动能最大的过程中电场力做的功为。
[课时训练]
一．选择题（共10小题）
1．硒鼓是激光打印机的核心部件，主要由感光鼓、充电辊、显影装置、粉仓和清洁装置构成，工作中充电辊表面的导电橡胶给感光鼓表面均匀的布上一层负电荷。我们可以用下面的模型模拟上述过程：电荷量均为﹣q的点电荷，对称均匀地分布在半径为R的圆周上，若某时刻圆周上P点的一个点电荷的电量突变成+q，则圆心O点处的电场强度为（　　）
A．，方向沿半径指向P点
B．，方向沿半径背离P点
C．，方向沿半径指向P点
D．，方向沿半径背离P点
【解答】解：当P点的电荷量为﹣q时，根据电场的对称性，可得在O点的电场强度为0，当P点的电荷为+q时，可由﹣q和+2q两个电荷等效替代，故O点电场可以看作均匀带电圆环和+2q产生的两个电场的叠加，故O点的电场强度为：
E＝0
电场方向为+2q在O点的电场方向，即方向沿半径背离P点，故B正确，ACD错误。
故选：B。
2．两个分别带有电荷量﹣Q和+3Q的相同金属小球（均可视为点电荷），固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F．两小球相互接触后将其固定距离变为，则两球间库仑力的大小为（　　）
A．F B．F C．F D．12F
【解答】解：相距为r时，根据库仑定律得：
F＝K；
接触后，各自带电量变为Q′Q，则此时
F′＝K 两式联立得F′ F，故A正确，BCD错误，
故选：A。
3．（2023 浙江）某带电粒子转向器的横截面如图所示，转向器中有辐向电场。粒子从M点射入，沿着由半径分别为R1和R2的圆弧平滑接成的虚线（等势线）运动，并从虚线上的N点射出，虚线处电场强度大小分别为E1和E2，则R1、R2和E1、E2应满足（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：因为粒子在等势线上运动，则粒子的速度大小保持不变，粒子受到的电场力提供向心力，根据牛顿第二定律可得：
联立解得：，故A正确，BCD错误；
故选：A。
4．把头发屑悬浮在蓖麻油里，加上电场，可以模拟出电场线的分布情况。如图甲是模拟孤立点电荷和金属板之间的电场照片，图乙为简化后的电场线分布情况，则（　　）
A．由图甲可知，电场线是真实存在的
B．图甲中，没有头发屑的地方电场强度为零
C．图乙中A点的电场强度大于B点的电场强度，A点电势大于B点电势
D．在图乙电场中A点静止释放的质子能沿着电场线运动到B点
【解答】解：AB.电场线是为了形象地研究电场而假想的曲线；电场中没有电场线（用头发屑代替）的地方，并不代表场强为零，故AB错误；
C.电场线的稀疏表示场强的大小，电场线越密的地方场强越大，因此图乙中A点的电场强度大于B点的电场强度；沿着电场线电势逐渐降低，所以图乙中A点的电势大于B点的电势，故C错误；
D.电场线上某点的切线方向就是该点的场强方向，也就是质子的受力方向，由于质子的受力方向与运动方向不可始终一致，因此质子不可能沿着电场线运动，故D错误。
故选：C。
5．如图所示，悬挂在O点的一根不可伸长的绝缘细线下端有一个带电荷量不变的小球A．在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球B．当B到达悬点O的正下方并与A在同一水平线上，A处于受力平衡时，悬线偏离竖直方向的角度为θ．若两次实验中B的电荷量分别为q1和q2，θ分别为30°和45°．则q1与q2的比值为（　　）
A．2 B．3 C． D．3
【解答】解：小球A受力平衡，A球所受的库仑力F＝mgtanθ．知：
联立解得：
故ABD错误，C正确；
故选：C。
6．如图所示，正六边形的两个顶点F、D上固定等量同种点电荷，则下列说法正确的是（　　）
A．A点的电势低于E点的电势
B．B点的电场强度等于E点的电场强度
C．若一个负点电荷仅在电场力作用下从E点静止释放，电荷最终会停在O点
D．试探电荷在B点的库仑力大小是放在O点的库仑力大小的倍
【解答】解：A.因F点的电荷在AE两点的电势相同，而D点的电荷在A点的电势小于在E点的电势，可知A点的电势低于E点的电势，故A正确；
B.由等量同种电荷周围的场强分布可知，EO两点的场强等大反向，而O点的场强大于B点的场强，况且BE两点的场强方向相反，即BE两点的电场强度不相等，故B错误；
C.因E点在两个等量正电荷连线的垂直平分线上，则若一个负点电荷仅在电场力作用下从E点静止释放，电荷将在EO两点之间来回运动，故C错误；
D.设六边形边长为L，则O点的场强EO＝2kcos60°＝k
B点的场强EB＝2kcos30°
则由F＝Eq可知，试探电荷在B点的库仑力大小是放在O点的库仑力大小的倍，故D错误。
故选：A。
7．如图所示，质量为m的带电小球A固定在绝缘轻杆C的一端，轻杆的另一端与墙壁上的O点通过较链连接在一起，带电量为Q的小球B固定在杆AC的正下方的绝缘柱上，A与B的距离为h，此时绝缘轻杆与竖直面夹角为α，带电小球A、B均可视为点电荷，静电力常量为k，重力加速度为g，则下列说法不正确的是（　　）
A．轻杆对小球A的作用力为零
B．小球A的带电量为
C．当小球A的电荷量略微减少，重新达到平衡后，两球之间的库仑力减小
D．当小球A的电荷量略微增加，重新达到平衡后，轻杆对小球A的作用力将增大
【解答】解：A、小球A受力平衡，所以所受的B对它竖直向上的库仑力等于重力，轻杆对A没有作用力，故A正确；
B、由
可得
故B正确；
CD、当小球A的电量略微减少时，小球A下降，由于轻杆及铰链的作用，再次平衡时，绝缘轻杆与竖直面夹角为α减小，小球A的受力如图所示
轻杆对小球A的支持力从无到有，即支持力增大；库仑力大于重力，故两球之间的库仑力增大，故C错误，D正确。
本题选错误的，
故选：C。
8．如图所示，半径为R的均匀带电圆形平板，单位面电为σ其线上任意一点P（坐为x）的电场强度以由库仑定律和电场强度的叠加原理求出：E＝2πkσ[1]，方向沿x轴，若存在面积带电量为σ0无限大均匀带电平板，从其中挖去一半径为r的圆板如图所示，则圆孔轴线任一点Q（坐标为x）的电场强度为（　　）
A．2πkσ0 B．2πkσ0
C．2πkσ0 D．2πkσ0
【解答】解：作出场强示意图如下：
无限大均匀带电平板R取无限大，在Q点产生的场强：E1＝2πkσ[1]≈2πkσ
半径为r的圆板在Q点产生的场强：
E2＝2πkσ0[1]
无限大均匀带电平板，从其中间挖去一半径为r的圆板后的场强是两个场强的差，所以：
E＝E1﹣E2＝2πkσ0
故ABD错误，C正确.
故选：C。
9．如图所示，真空中有两个点电荷Q1＝+4.0×10﹣8C和Q2＝﹣1.0×10﹣8C，分别固定在x坐标轴的x＝0和x＝6cm的位置上。以下说法正确的是（　　）
A．x坐标轴上，电场强度为零的位置有两处
B．x坐标轴上x＝﹣12cm处电场强度为零
C．x坐标轴上，电场强度方向沿x轴正方向的区域只有0＜x＜6cm
D．x坐标轴上，6cm＜x＜12cm区域内电场强度方向沿x轴负方向
【解答】解：AB、某点的电场强度是正电荷Q1和负电荷Q2在该处产生的电场的叠加，是合场强。
根据点电荷的场强公式E，要使电场强度为零，那么正电荷Q1和负电荷Q2在该处产生的场强大小相等方向相反。
不会在Q1的左边，也不会在Q1 Q2之间，因为它们电荷电性相反，在中间的电场方向都是一样的；所以，只能在Q2右边。
设该位置据Q1的距离是L，
所以
解得L＝0.12m＝12cm；
所以x坐标轴上x＝12cm处的电场强度为零，故AB错误；
CD、在Q1 Q2之间，正电荷Q1和负电荷Q2在该处产生的场强方向沿x轴正方向，所以实际场强也是沿x轴正方向，根据点电荷的场强公式得6cm＜x＜12cm区域内电场强度方向沿x轴负方向，x坐标轴大于12cm区域电场强度方向沿x轴正方向区域。
所以x坐标轴上电场强度方向沿x轴正方向区域是（0，6cm）和（12cm，∞），故C错误，D正确。
故选：D。
10．如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0＞0，qB＝﹣q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则（　　）
A．qCq0
B．弹簧伸长量为
C．A球受到的库仑力大小为2Mg
D．相邻两小球间距为q0
【解答】解：B、以A、B、C整体为研究对象，对其受力分析，受重力、支持力和弹簧拉力如图所示：
由力的平衡条件可知：F＝3Mgsinα
根据胡克定律可知：F＝k0x
解得：x，故B正确；
C、以A为研究对象，小球受力如图所示：
根据图像几何可知：小球A受到的库仑力大小F库＝F﹣Mgsinα，解得：F库＝2Mgsinα，方向沿斜面向下，故C错误；
AD、为了使B、C均能静止在光滑的绝缘斜面上，则小球C应带正电，设相邻两球之间的距离为x，则对小球B由力的平衡条件可得：
Mgsinαk
对小球C受力平衡可得：Mgsinα+kk
联立解得：qcq0，x＝q0，故AD错误；
故选：B。
二．计算题（共2小题）
11．如图所示，用一条绝缘轻绳悬挂一个带正电的小球，小球质量为1.0×10﹣3kg，所带电荷量为2.0×10﹣8C。现加一匀强电场，场强方向与水平方向的夹角为30°斜向下，小球平衡时，拉小球的绳子与竖直方向的夹角也为30°，试求：
（1）该电场的电场强度大小及绳子的拉力大小；
（2）改变匀强电场方向，在保证小球空间位置不变且平衡的条件下，该电场强度的最小值与方向？
【解答】解：（1）由三力平衡及平行四边形定则判断平行四边形是菱形，可得qE＝mg，整理得
E，N
（2）要使电场强度最小，即当小球受到的电场力垂直于细绳斜向上时，场强达到最小值，可得qE＝mgsinθ，得，
又由于正电荷受力方向与场强方向相同，所以场强方向垂直于细绳斜向上。
答：（1）该电场的电场强度大小为5×105N/C；绳子的拉力大小为N；
（2）改变匀强电场方向，在保证小球空间位置不变且平衡的条件下，该电场强度的最小值为.5×105N/C，方向垂直于细绳斜向上
12．（2023 乙卷）如图，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求
（1）B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负；
（2）C点处点电荷的电荷量。
【解答】解：（1）C点的电荷在M点的场强沿CM所在直线，A点处点电荷和B点处点电荷在M点的场强沿AB所在直线，已知M点合电场强度方向竖直向下，则A、B两点处的点电荷在M点的合场强为零，即A和B点处的点电荷为等量同种电荷，则B点处点电荷的电荷量的绝对值为q；
C点处的点电荷在M点的场强方向沿CM向下，则C点处点电荷为正电荷；
C点电荷在N点的场强方向沿CB斜向右下，N点的合场强方向竖直向上，则A点处的点电荷和B点处的点电荷在N点的合场强斜向左上，A点处的点电荷在N点的场强沿AN斜向右上，B点处的点电荷在N点的场强沿BN斜向左上，则A、B两点处的点电荷均为正电荷；
（2）设三角形的边长为l，由几何关系得：ANl
BN＝CNl
A点电荷在N点的场强大小为EA＝k
方向沿AN斜向右上，B点电荷在N点的场强大小为EB＝k
方向沿BN斜向左上，设C点电荷的电荷量为Q，C点电荷在N点的场强大小为EC＝k
方向沿CB斜向右下，则B点电荷和C点电荷在N点的合场强大小斜向左上，大小为EBC
N点的合场强竖直向上，如图
由几何关系得：EBCtan30°＝EA
联立解得：Qq
答：（1）B点处点电荷的电荷量的绝对值为q，3个点电荷均为正电荷；
（2）C点处点电荷的电荷量为q。
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