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第21讲　电容器的电容、带电粒子在电场中的运动
目录
[考试标准] 1
[基础过关] 1
一、电容器 1
二、带电粒子在电场中的运动 2
[命题点研究] 2
命题点一　平行板电容器的动态分析 2
命题点二　带电粒子在电场中的直线运动 5
命题点三　带电粒子在电场中的偏转 8
[课时训练] 10
[考试标准]
知识内容 考试要求 说明
电容器的电容 c 1.不要求应用平行板电容器电容的决定式进行计算． 2.示波管问题的分析与计算不涉及两个偏转电极同时加电压的情形． 3.解决带电粒子偏转运动问题只限于垂直电场方向入射且偏转电极加恒定电压的情形.
带电粒子在电场中的运动 d
[基础过关]
一、电容器
1．电容器的充、放电
(1)充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能．
(2)放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能．
2．公式C＝和C＝的比较
(1)定义式：C＝，不能理解为电容C与Q成正比、与U成反比，一个电容器电容的大小是由电容器本身的因素决定的，与电容器是否带电及带电多少无关．
(2)决定式：C＝，εr为电介质的相对介电常数，S为极板正对面积，d为板间距离．
二、带电粒子在电场中的运动
1．加速问题
若不计粒子的重力且无其他外力作用，则电场力对带电粒子做的功等于带电粒子的动能的增量．
(1)在匀强电场中：W＝qEd＝qU＝mv2－mv02.
(2)在非匀强电场中：W＝qU＝mv2－mv02.
2．带电粒子在电场中偏转的运动规律
不计重力的带电粒子以速度v0垂直于电场线方向飞入匀强电场，如图1.
图1
(1)沿初速度方向做匀速直线运动
运动时间
(2)沿电场力方向，做匀加速直线运动
[命题点研究]
命题点一　平行板电容器的动态分析
1．两类典型问题
(1)电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变．
(2)电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变．
2．动态分析思路
(1)U不变
①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化．
②根据E＝分析场强的变化．
③根据UAB＝E·d分析某点电势变化．
(2)Q不变
①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化．
②根据E＝＝分析场强变化．
（多选）（2022春 余姚市期末）如图所示，用静电计可以测量已充电的平行板电容器两极板之间的电势差U，现使B板带电，则下列判断正确的是（　　）
A．增大两极板之间的距离，指针张角变大
B．将A板稍微上移，静电计指针张角将变大
C．若将玻璃板插入两板之间，则静电计指针张角变大
D．若将A板拿走，则静电计指针张角变为零
（2022秋 浙江期中）如图所示为一种电容传声器，b是固定不动的金属板，a是能在声波驱动下沿水平方向振动的金属膜片，a、b构成一个电容器，其工作原理是当声波作用于金属膜片时，金属膜片发生相应的振动，于是就改变了它与固定极板b间的距离，从而使电容发生变化，而电容的变化可以转化为电路中电信号的变化，闭合开关K，若声源S发出声波使a向右运动时（　　）
A．电容器的电容减小
B．a、b板之间的电场强度减小
C．电容器极板上的电荷量增加
D．流过电流表的电流方向为自右向左
（2022秋 金东区校级期中）2022年9月16日12时40分前后，台风“梅花”（热带风暴）的中心在金普新区再次登陆，登陆时中心附近最大风力有9级。小李同学用所学知识设计了一个电容式风力传感器。如图所示，将电容器与静电计组成回路，可动电极在风力作用下向右移动，引起电容的变化，风力越大，移动距离越大（两电极不接触）。在受到风力作用时，下列说法正确的是（　　）
A．电容器电容变小
B．若极板上电荷量保持不变，则极板间电场强度变大
C．若电容器始终接在恒压电源上，则极板所带电荷量增大
D．只有保持极板电荷量不变，才能通过静电计指针张角反映风力大小，且风力越大张角越大
（多选）（2022秋 柯桥区期中）图甲为某厂商生产的平行板电容式电子体重秤，其内部电路简化图如图乙所示，称重时，人站在体重秤面板上，使平行板上层膜片电极在压力作用下向下移动，则下列说法正确的是（　　）
A．上层膜片下移过程中，电流表有b到a的电流
B．电容器的电容减小，上下极板间的电压减小
C．电容器的电容增大，所带电荷量增大
D．上层膜片稳定后，平行板电容器上下极板均不带电荷
命题点二　带电粒子在电场中的直线运动
1．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动．
(2)粒子所受合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速直线运动．
2．用动力学观点分析
a＝，E＝，v2－v02＝2ad.
3．用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv02
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1
类型1　带电粒子在匀强电场中的直线运动
（2023 浙江模拟）卫星在一定高度绕地心做圆周运动时，由于极其微弱的阻力等因素的影响，在若干年的运行时间中，卫星高度会发生变化（可达15km之多），利用离子推进器可以对卫星进行轨道高度、姿态的调整。离子推进器是利用电场将处在等离子状态的“工质”加速后向后喷出而获得前进的动力，原理如图所示：进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（离子初速度忽略不计），A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中推进器获得恒定的推力。设单位时间内飘入的正离子数目为n，离子质量为m，电荷量为q，加速正离子束所消耗的功率为P，引擎获得的推力为F，下列说法正确的是（　　）
A．正离子经加速后由B处喷出形成的等效电流大小
B．离子推进器获得的平均推力大小
C．加速正离子束所消耗的功率P＝nqU
D．为提高能量的转换效率，要使尽量大，可以使用比荷更大的正离子作为推进器
（2022秋 余姚市校级期中）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的诺贝尔奖。如图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为m0、位于同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离h1。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离h2（h2≠h1），随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为f＝kv，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率。不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离h2电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
类型2　带电粒子在交变电场中的直线运动
（多选）（2022秋 衢州期末）如图甲所示，直线加速器由一个金属圆板（序号为0）和多个横截面积相同的金属圆筒组成，序号为奇数的圆筒和电源的一极相连，圆板和序号为偶数的圆筒和该电源的另一极相连，交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。若电压的绝对值为U，电子电量大小为e，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。在t＝0时刻，圆板中央的一个电子在圆板和圆筒之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1，电子在每个圆筒中运动的时间均小于T，且电子均在电压变向时恰从各圆筒中射出，不考虑相对论效应，则（　　）
A．在时奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为负值
B．由于静电屏蔽作用，圆筒内不存在电场
C．电子运动到第n个圆筒时动能为（n﹣1）eU
D．第n个和第n+1个圆筒的长度之比为
（2022春 湖州期末）如图甲所示，某装置由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在t＝0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值。此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）中央有一个电子由静止开始加速。已知电子质量为m、电荷量为e、电压绝对值为U、周期为T，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计，则（　　）
A．电子在金属圆筒中被加速
B．电子在金属圆筒中的运动时间为T
C．电子出第n个圆筒瞬间速度为
D．第n个圆筒长度为
（2018秋 金华期末）如图是某款家用空气净化器及其原理示意图，污浊空气通过过滤网后尘埃带电。图中充电极b、d接电源正极集尘极a、c、e接电源负极（接地）。以下说法正确的是（　　）
A．通过过滤网后空气中的尘埃带负电
B．c、d两个电极之间的电场方向竖直向下
C．尘埃在被吸附到集尘极e的过程中动能增大
D．尘埃被吸附到集尘极a的过程中所受电场力做负功
命题点三　带电粒子在电场中的偏转
1．两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的．
证明：由qU0＝mv02
y＝at2＝··()2
tan θ＝
得：y＝，tan θ＝
(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为.
2．功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv02，其中Uy（2022春 平阳县校级期中）长为L的平行金属板水平放置，两极板带等量的异种电荷，板间形成匀强电场，一个带电量为+q、质量为m的带电粒子，以初速度v0紧贴上极板垂直于电场线方向进入该电场，刚好从下极板边缘射出，射出时速度恰与下极板成30°角，如图所示，不计粒子重力，求：
（1）粒子末速度的大小；
（2）匀强电场的场强；
（3）两板间的距离．
（多选）（2022秋 荔湾区校级期中）如图所示，平行板电容器充电后形成一个匀强电场，大小保持不变，让质子（）流先、后两次以不同初速度垂直射入电场，分别沿a、b轨迹落到极板的中央和边缘，则质子沿b轨迹运动时（　　）
A．加速度更大
B．初速度更大
C．动能增量更大
D．电势能增量与沿a轨迹运动时相同
（2021秋 兴义市校级期中）如图所示，带正电的粒子以一定的初速度v0沿两板的中线进入水平放置的平行金属板内，恰好沿下板的边缘飞出。已知板长为L，板间距离为d，板间电压为U，带电粒子的电荷量为q，粒子通过平行金属板的时间为t（不计粒子的重力），则（　　）
A．在前时间内，电场力对粒子做的功为
B．在后时间内，电场力对粒子做的功为
C．粒子的出射速度偏转角满足tanθ
D．粒子前和后的过程中，速度变化量之比为：1
（2020秋 鄂州期中）氢原子的三个同位素（H、H、H）在同一地点同时以相同的初速度飞入偏转电场，出现了如图所示的轨迹，由此可以判断下列正确的是（　　）
A．动能的增加量c最小，a和b一样大
B．在b飞离电场的同时，a刚好打在负极板上
C．动能增加量a最小，b和c一样大
D．三个粒子（H、H、H）的轨迹分别为c、b、a
（多选）（2022秋 南岗区校级期末）电荷控制式喷墨打印机的打印头的结构简图如图所示。其中墨盒可以喷出极小的墨汁微粒（重力不计），此微粒经过带电室后以一定的初速度垂直射入偏转电场，再经偏转电场后打到纸上，显示出字符。已知偏移量越大打在纸上的字迹越大。现要缩小字迹，下列措施可行的是（　　）
A．增大墨汁微粒的比荷
B．增大墨汁微粒进入偏转电场时的初动能
C．增大偏转极板的长度
D．增大偏转极板间的间距
[课时训练]
一．选择题（共9小题）
1．（2023 西湖区校级模拟）利用如图所示电路观察电容器的充、放电现象，其中E为电源，R为定值电阻，C为电容器，A为电流表，V为电压表。下列说法正确的是（　　）
A．充电过程中，电流表的示数逐渐增大后趋于稳定
B．充电过程中，电压表的示数迅速增大后趋于稳定
C．放电过程中，电流表的示数均匀减小至零
D．放电过程中，电压表的示数均匀减小至零
2．（2022 浙江三模）下列四幅图中描述电容器充电时，其电荷量Q、电压U、电容C之间的相互关系，其中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022 浙江模拟）如图所示，平行板电容器充电后断开电源，上极板接地，在板间P点处固定一个试探电荷q，现将下极板向下平移一小段距离，用F表示试探电荷在P点所受的电场力，用E表示极板间的电场强度，用φ表示P点的电势，用Ep表示试探电荷在P点的电势能，则下列物理量随P与下极板的距离d的变化关系图线中，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2020 浙江模拟）近几年有轨电车在我国多个城市开通试运营。这种电车采用超级电容器作为电能存储设备，安全环保。给该车充电的充电桩安装在公交站点，在乘客上下车的时间里可把电容器充满。假设这种电车的质量（含乘客）为10t，以速度10m/s正常匀速行驶时，一次充满可持续正常行驶5km，电车受到的平均阻力为车重的0.02倍，充电桩电能最终转化为电车机械能的效率为75%，则（　　）
A．该电车正常匀速行驶时，电动机输出功率为2×103W
B．连接充电桩充电时，超级电容器将电能转化为化学能
C．连接充电桩充电时，加在超级电容器两端的电压应高于其额定电压
D．若某次进站从接近没电到充满电，电车从充电桩所获得的电能约为1.3×107J
5．（2023 甲卷）在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2023 全国）如图，两块大导体板水平相对放置，相距为d，电势分别为U0和﹣U0（U0＞0 ），长为L的绝缘细绳上端固定于上板，下端与质量为m的带正电小球连接，小球带电量为Q。重力加速度大小为g。小球在平衡位置附近摆动的周期是（　　）
A．2π B．2π
C．2π D．2π
7．（2021 浙江模拟）如图所示，A、B两导体板平行放置，在t＝0时将电子从A板附近由静止释放（电子的重力忽略不计）。为使电子有可能在板间做往复运动，在A、B两板间应加的电压是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2023 浙江）AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为1.0×10﹣8C、质量为3.0×10﹣4kg的小球用长为5cm的绝缘细线悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点（未标出），则（　　）
A．MC距离为5cm
B．电势能增加了J
C．电场强度大小为104N/C
D．减小R的阻值，MC的距离将变大
9．（2021 浙江模拟）如图所示，水平放置的充电平行金属板相距为d，其间形成匀强电场，一带正电的油滴从下极板左边缘射入，并沿直线从上极板右边缘射出，油滴质量为m，带电荷量为q。现仅将上极板上移少许，其他条件保持不变，重力加速度为g，则下列分析正确的是（　　）
A．上移后，油滴的运动轨迹是曲线
B．上移后，电场强度大小小于，方向竖直向上
C．上移后，下极板和上极板之间的电势差为
D．上移后，油滴穿越两板之间的电场时电势能减少了mgd
二．解答题（共1小题）
10．（2022 杭州二模）某种质谱仪由偏转电场和偏转磁场组成，其示意图如图所示，整个装置处于真空中。偏转电场的极板水平放置，极板长度和间距均为L。在偏转电场右侧适当位置有一夹角为2θ的足够大扇形区域OPQ，区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场，区域的OP边与偏转极板中心轴线MN垂直，扇形圆心O点与轴线MN的距离为d。现有大量正离子（单个离子质量为m、电荷量为q）连续不断地以速度v0沿轴线MN射入偏转电场。当偏转电压为0时，离子均能垂直扇形区域的OQ边射出磁场；若在两极板间加峰值为Um的正弦式电压，则所有离子经过磁场偏转后都能经过磁场外同一点（图中未画出）。若仅考虑极板间的电场，离子在电场中运动的时间远小于两极板间所加交变电压的周期，不计离子的重力和离子间的相互作用，求：（可能用到的数学公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ）
（1）偏转磁场的磁感应强度；
（2）离子在通过偏转电场的过程中动量变化量的最大值；
（3）离子在偏转磁场中运动的最长时间与最短时间的差值；
（4）扇形区域的OP边与极板右端的距离。
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第21讲　电容器的电容、带电粒子在电场中的运动
目录
[考试标准] 1
[基础过关] 1
一、电容器 1
二、带电粒子在电场中的运动 2
[命题点研究] 2
命题点一　平行板电容器的动态分析 2
命题点二　带电粒子在电场中的直线运动 6
命题点三　带电粒子在电场中的偏转 12
[课时训练] 16
[考试标准]
知识内容 考试要求 说明
电容器的电容 c 1.不要求应用平行板电容器电容的决定式进行计算． 2.示波管问题的分析与计算不涉及两个偏转电极同时加电压的情形． 3.解决带电粒子偏转运动问题只限于垂直电场方向入射且偏转电极加恒定电压的情形.
带电粒子在电场中的运动 d
[基础过关]
一、电容器
1．电容器的充、放电
(1)充电：使电容器带电的过程，充电后电容器两极板带上等量的异种电荷，电容器中储存电场能．
(2)放电：使充电后的电容器失去电荷的过程，放电过程中电场能转化为其他形式的能．
2．公式C＝和C＝的比较
(1)定义式：C＝，不能理解为电容C与Q成正比、与U成反比，一个电容器电容的大小是由电容器本身的因素决定的，与电容器是否带电及带电多少无关．
(2)决定式：C＝，εr为电介质的相对介电常数，S为极板正对面积，d为板间距离．
二、带电粒子在电场中的运动
1．加速问题
若不计粒子的重力且无其他外力作用，则电场力对带电粒子做的功等于带电粒子的动能的增量．
(1)在匀强电场中：W＝qEd＝qU＝mv2－mv02.
(2)在非匀强电场中：W＝qU＝mv2－mv02.
2．带电粒子在电场中偏转的运动规律
不计重力的带电粒子以速度v0垂直于电场线方向飞入匀强电场，如图1.
图1
(1)沿初速度方向做匀速直线运动
运动时间
(2)沿电场力方向，做匀加速直线运动
[命题点研究]
命题点一　平行板电容器的动态分析
1．两类典型问题
(1)电容器始终与恒压电源相连，电容器两极板间的电势差U保持不变．
(2)电容器充电后与电源断开，电容器两极板所带的电荷量Q保持不变．
2．动态分析思路
(1)U不变
①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析Q的变化．
②根据E＝分析场强的变化．
③根据UAB＝E·d分析某点电势变化．
(2)Q不变
①根据C＝＝先分析电容的变化，再分析U的变化．
②根据E＝＝分析场强变化．
（多选）（2022春 余姚市期末）如图所示，用静电计可以测量已充电的平行板电容器两极板之间的电势差U，现使B板带电，则下列判断正确的是（　　）
A．增大两极板之间的距离，指针张角变大
B．将A板稍微上移，静电计指针张角将变大
C．若将玻璃板插入两板之间，则静电计指针张角变大
D．若将A板拿走，则静电计指针张角变为零
【解答】解：
A、增大两极板之间的距离，由电容的决定式C可知，电容减小，电容器的电量不变，由C分析可知，板间电压增大，静电计指针张角变大。故A正确。
B、将A板稍微上移时，正对面积减小，由电容的决定式C可知，电容减小，电量不变，由C分析可知，板间电压增大，静电计指针张角变大。故B正确。
C、将玻璃板插入两板之间，电容的决定式C可知，电容增大，电量不变，由C分析可知，板间电压减小，静电计指针张角变小。故C错误。
D、若将A板拿走，B板上带电量不变，静电计相当于验电器，指针张角不为零。故D错误。
故选：AB。
（2022秋 浙江期中）如图所示为一种电容传声器，b是固定不动的金属板，a是能在声波驱动下沿水平方向振动的金属膜片，a、b构成一个电容器，其工作原理是当声波作用于金属膜片时，金属膜片发生相应的振动，于是就改变了它与固定极板b间的距离，从而使电容发生变化，而电容的变化可以转化为电路中电信号的变化，闭合开关K，若声源S发出声波使a向右运动时（　　）
A．电容器的电容减小
B．a、b板之间的电场强度减小
C．电容器极板上的电荷量增加
D．流过电流表的电流方向为自右向左
【解答】解：A、声源S发出声波使a向右运动时，电容器板间距离减小，根据电容的决定式C可知，电容器的电容增大，故A错误；
B、开关K闭合，电容器两极板间的电压不变，板间距离减小，由E分析可知a、b板之间电场强度增大，故B错误；
CD、根据电容的定义式C得Q＝CU，C增大，U不变，则Q增加，电容器充电，电流流向电容器正极板，即b极板，电流流出负极板，即a极板，流过电流表的方向为自左向右，故C正确，D错误。
故选：C。
（2022秋 金东区校级期中）2022年9月16日12时40分前后，台风“梅花”（热带风暴）的中心在金普新区再次登陆，登陆时中心附近最大风力有9级。小李同学用所学知识设计了一个电容式风力传感器。如图所示，将电容器与静电计组成回路，可动电极在风力作用下向右移动，引起电容的变化，风力越大，移动距离越大（两电极不接触）。在受到风力作用时，下列说法正确的是（　　）
A．电容器电容变小
B．若极板上电荷量保持不变，则极板间电场强度变大
C．若电容器始终接在恒压电源上，则极板所带电荷量增大
D．只有保持极板电荷量不变，才能通过静电计指针张角反映风力大小，且风力越大张角越大
【解答】解：A、根据在受到风力作用时，d减小，则电容器电容变大，故A错误；
B、根据、Q＝CU和，可得极板间电场强度，故极板上电荷量保持不变，极板间电场强度不变，故B错误；
C、由Q＝CU可知，当电容器始终接在恒压电源上时，电容增大，则电荷量也增大。故C正确；
D、根据和Q＝CU风力越大，d越小，则极板间电压越小，静电计指针张角越小，故D错误。
故选：C。
（多选）（2022秋 柯桥区期中）图甲为某厂商生产的平行板电容式电子体重秤，其内部电路简化图如图乙所示，称重时，人站在体重秤面板上，使平行板上层膜片电极在压力作用下向下移动，则下列说法正确的是（　　）
A．上层膜片下移过程中，电流表有b到a的电流
B．电容器的电容减小，上下极板间的电压减小
C．电容器的电容增大，所带电荷量增大
D．上层膜片稳定后，平行板电容器上下极板均不带电荷
【解答】解：ABC、电容器与电源相连，两板间电压不变。上层膜片下移过程中，两极板间距离d减小，根据得，电容器电容C增大，根据Q＝CU得，电容器所带电荷量Q增大，电容器充电，电流表有b到a的电流，故AC正确，B错误；
D、上层膜片稳定后，平行板电容器上下极板带等量异种电荷，故D错误；
故选：AC。
命题点二　带电粒子在电场中的直线运动
1．做直线运动的条件
(1)粒子所受合外力F合＝0，粒子或静止，或做匀速直线运动．
(2)粒子所受合外力F合≠0，且与初速度方向在同一条直线上，带电粒子将做匀加速直线运动或匀减速直线运动．
2．用动力学观点分析
a＝，E＝，v2－v02＝2ad.
3．用功能观点分析
匀强电场中：W＝Eqd＝qU＝mv2－mv02
非匀强电场中：W＝qU＝Ek2－Ek1
类型1　带电粒子在匀强电场中的直线运动
（2023 浙江模拟）卫星在一定高度绕地心做圆周运动时，由于极其微弱的阻力等因素的影响，在若干年的运行时间中，卫星高度会发生变化（可达15km之多），利用离子推进器可以对卫星进行轨道高度、姿态的调整。离子推进器是利用电场将处在等离子状态的“工质”加速后向后喷出而获得前进的动力，原理如图所示：进入电离室的气体被电离成正离子，而后飘入电极A、B之间的匀强电场（离子初速度忽略不计），A、B间电压为U，使正离子加速形成离子束，在加速过程中推进器获得恒定的推力。设单位时间内飘入的正离子数目为n，离子质量为m，电荷量为q，加速正离子束所消耗的功率为P，引擎获得的推力为F，下列说法正确的是（　　）
A．正离子经加速后由B处喷出形成的等效电流大小
B．离子推进器获得的平均推力大小
C．加速正离子束所消耗的功率P＝nqU
D．为提高能量的转换效率，要使尽量大，可以使用比荷更大的正离子作为推进器
【解答】解：A、已知单位时间内飘入的正离子数目为n，离子电荷量为q，则正离子经加速后由B处喷出形成的等效电流大小为，故A错误；
B、电场对离子加速，由动能定理有
取向右为正方向，对n个正离子，根据动量定理有m0v0＝Ft
其中m0＝nmt，Q＝nqt
由牛顿第三定律知离子推进器获得的平均推力大小F′＝F
联立解得离子推进器获得的平均推力大小F′＝n，故B错误；
C、加速正离子束所消耗的功率，故C正确；
D、根据以上分析可得，要使尽量大，可以用质量大、带电量小即比荷更小的离子作为推进器，故D错误。
故选：C。
（2022秋 余姚市校级期中）密立根通过观测油滴的运动规律证明了电荷的量子性，因此获得了1923年的诺贝尔奖。如图是密立根油滴实验的原理示意图，两个水平放置、相距为d的足够大金属极板，上极板中央有一小孔。通过小孔喷入一些小油滴，由于碰撞或摩擦，部分油滴带上了电荷。有两个质量均为m0、位于同一竖直线上的球形小油滴A和B，在时间t内都匀速下落了距离h1。此时给两极板加上电压U（上极板接正极），A继续以原速度下落，B经过一段时间后向上匀速运动。B在匀速运动时间t内上升了距离h2（h2≠h1），随后与A合并，形成一个球形新油滴，继续在两极板间运动直至匀速。已知球形油滴受到的空气阻力大小为f＝kv，其中k为比例系数，m为油滴质量，v为油滴运动速率。不计空气浮力，重力加速度为g。求：
（1）比例系数k；
（2）油滴A、B的带电量和电性；B上升距离h2电势能的变化量；
（3）新油滴匀速运动速度的大小和方向。
【解答】解：（1）因为两个油滴在未加电压时均做匀速直线运动，对A油滴进行分析，根据运动学公式得：
根据平衡状态得：m0g＝f
结合空气阻力的表达式f＝kv
联立解得：k
（2）因为加电压后A油滴的速度不变，所以A油滴不带电；B油滴最终向上做匀速运动，由此可知，B油滴受到的电场力应向上，故B油滴带负电。
B油滴向上做匀速直线运动时，根据运动学公式得：
其受到的空气阻力向下，根据平衡状态得：
解得：q
根据功能关系得：
ΔEp＝﹣W电
联立解得：ΔEp
（3）油滴相遇时，质量为2m0，电荷量等于B油滴的电荷量，则新油滴受到的电场力为
此时要对电场力进行分类讨论
①若F＞2m0g，即h2＞h1，新油滴最终向上匀速运动，设达到平衡时速度为v'，则有
2m0g+k 2v'＝F
解得：v'
②若F＜2m0g，即h1＞h2，新油滴最终向下匀速运动，设达到平衡时速度为v''，则有
2m0g＝F+k
解得：v′'
答：（1）比例系数为；
（2）油滴A不带电，油滴B带负电，电荷量为；B上升距离h2电势能的变化量为；
（3）①若h2＞h1，则新油滴的速度大小为，方向竖直向上；②若h1＞h2，则新油滴的速度大小为，方向竖直向下。
类型2　带电粒子在交变电场中的直线运动
（多选）（2022秋 衢州期末）如图甲所示，直线加速器由一个金属圆板（序号为0）和多个横截面积相同的金属圆筒组成，序号为奇数的圆筒和电源的一极相连，圆板和序号为偶数的圆筒和该电源的另一极相连，交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。若电压的绝对值为U，电子电量大小为e，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计。在t＝0时刻，圆板中央的一个电子在圆板和圆筒之间的电场中由静止开始加速，沿中心轴线冲进圆筒1，电子在每个圆筒中运动的时间均小于T，且电子均在电压变向时恰从各圆筒中射出，不考虑相对论效应，则（　　）
A．在时奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为负值
B．由于静电屏蔽作用，圆筒内不存在电场
C．电子运动到第n个圆筒时动能为（n﹣1）eU
D．第n个和第n+1个圆筒的长度之比为
【解答】解：A．根据题意可知，时圆筒1相对圆板的电势差为正值，同理，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值，故A错误；
B．因为静电屏蔽作用，所以圆筒内不存在电场，故B正确；
C．电子每经过一个间隙，电场力做功eU，根据动能定理可得：
neU＝Ek﹣0
由上式可知电子运动到第n个圆筒时动能为neU，故C错误；
D．根据动能定理得
第n个和第n+1个圆筒的长度之比为Ln：Ln+1＝vn：vn+1
解得，故D正确。
故选：BD。
（2022春 湖州期末）如图甲所示，某装置由多个横截面积相同的金属圆筒依次排列，其中心轴线在同一直线上，序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图乙所示。在t＝0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值。此时位于和偶数圆筒相连的金属圆板（序号为0）中央有一个电子由静止开始加速。已知电子质量为m、电荷量为e、电压绝对值为U、周期为T，电子通过圆筒间隙的时间可以忽略不计，则（　　）
A．电子在金属圆筒中被加速
B．电子在金属圆筒中的运动时间为T
C．电子出第n个圆筒瞬间速度为
D．第n个圆筒长度为
【解答】解：A、金属圆筒中电场为零，电子不受电场力，做匀速直线运动，故A错误；
B、只有电子在每个圆筒内做匀速直线运动的时间为时，才能保证每次在缝隙中被电场加速，故B错误；
CD、电子进入第n个圆筒时，经过n次加速，根据动能定理得：neU0，解得电子出第n个圆筒瞬间速度为vn
由于不计电子通过圆筒间隙的时间，则电子在圆筒内做匀速直线运动的时间恰好是，则第n个圆筒长度为Ln＝vn ，故C错误，D正确。
故选：D。
（2018秋 金华期末）如图是某款家用空气净化器及其原理示意图，污浊空气通过过滤网后尘埃带电。图中充电极b、d接电源正极集尘极a、c、e接电源负极（接地）。以下说法正确的是（　　）
A．通过过滤网后空气中的尘埃带负电
B．c、d两个电极之间的电场方向竖直向下
C．尘埃在被吸附到集尘极e的过程中动能增大
D．尘埃被吸附到集尘极a的过程中所受电场力做负功
【解答】解：A、尘埃经过过滤网后背负极吸引，所以尘埃带正电，故A错误。
B、电场线从正极板指向负极板，d是正极板，c是负极板，所以电场线方向由d指向c，方向向上，故B错误。
C、尘埃带正电，被吸引到集尘极e的过程中电场力做正功，动能增大，故C正确。
D、尘埃带正电受力方向与电场线方向相同，故吸附到集尘极a的过程中所受电场力做正功，故D错误。
故选：C。
命题点三　带电粒子在电场中的偏转
1．两个结论
(1)不同的带电粒子从静止开始经过同一电场加速后再从同一偏转电场射出时，偏移量和偏转角总是相同的．
证明：由qU0＝mv02
y＝at2＝··()2
tan θ＝
得：y＝，tan θ＝
(2)粒子经电场偏转后，合速度的反向延长线与初速度延长线的交点O为粒子水平位移的中点，即O到偏转电场边缘的距离为.
2．功能关系
当讨论带电粒子的末速度v时也可以从能量的角度进行求解：qUy＝mv2－mv02，其中Uy（2022春 平阳县校级期中）长为L的平行金属板水平放置，两极板带等量的异种电荷，板间形成匀强电场，一个带电量为+q、质量为m的带电粒子，以初速度v0紧贴上极板垂直于电场线方向进入该电场，刚好从下极板边缘射出，射出时速度恰与下极板成30°角，如图所示，不计粒子重力，求：
（1）粒子末速度的大小；
（2）匀强电场的场强；
（3）两板间的距离．
【解答】解：（1）粒子离开电场时，合速度与水平夹角30度，
由速度关系得合速度：，
（2）粒子在匀强电场中为类平抛运动，
在水平方向上：L＝v0t，
在竖直方向上：vy＝at，
由牛顿第二定律得：qE＝ma
解得：；
（3）粒子做类平抛运动，
在竖直方向上：，
解得：；
答：（1）粒子末速度的大小；（2）匀强电场的场强；（3）两板间的距离：．
（多选）（2022秋 荔湾区校级期中）如图所示，平行板电容器充电后形成一个匀强电场，大小保持不变，让质子（）流先、后两次以不同初速度垂直射入电场，分别沿a、b轨迹落到极板的中央和边缘，则质子沿b轨迹运动时（　　）
A．加速度更大
B．初速度更大
C．动能增量更大
D．电势能增量与沿a轨迹运动时相同
【解答】解：A、加速度为 a，质子的质量m和电量q不变，场强E相同，则加速度相同。故A错误。
B、质子在竖直方向做初速度为零的匀加速直线运动，则偏转距离 y ，x是水平位移，由图看出，y相同，则知，v0越大时，x越大，故质子沿b轨迹运动时初速度v0更大。故B正确。
CD、电场力做功为W＝qEy，可见，电场力做功相同，由能量守恒得知，两次的电势能增量相同。故C错误，D正确。
故选：BD。
（2021秋 兴义市校级期中）如图所示，带正电的粒子以一定的初速度v0沿两板的中线进入水平放置的平行金属板内，恰好沿下板的边缘飞出。已知板长为L，板间距离为d，板间电压为U，带电粒子的电荷量为q，粒子通过平行金属板的时间为t（不计粒子的重力），则（　　）
A．在前时间内，电场力对粒子做的功为
B．在后时间内，电场力对粒子做的功为
C．粒子的出射速度偏转角满足tanθ
D．粒子前和后的过程中，速度变化量之比为：1
【解答】解：AB．粒子在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，因为在t时刻末恰好沿下板的边缘飞出，则
在前内
粒子电势降落为
所以电场力对粒子做功为
后内
电场力对粒子做功为
故AB错误；
C．粒子的出射速度偏转角正切为
故C正确；
D．根据初速度为零的匀加速直线运动连续相等位移所用时间之比的推论可知，粒子前和后的过程中，运动时间之比为，而加速度恒定，故速度变化量之比为，故D错误。
故选：C。
（2020秋 鄂州期中）氢原子的三个同位素（H、H、H）在同一地点同时以相同的初速度飞入偏转电场，出现了如图所示的轨迹，由此可以判断下列正确的是（　　）
A．动能的增加量c最小，a和b一样大
B．在b飞离电场的同时，a刚好打在负极板上
C．动能增加量a最小，b和c一样大
D．三个粒子（H、H、H）的轨迹分别为c、b、a
【解答】解：AC、根据动能定理知，w＝qEy＝△Ek，三个电荷竖直方向的偏移量y，ya＝yb＞yc，a、b两电荷，电场力做功一样多，所以动能增加量相等。c电荷电场力做功最少，动能增加量最小，故A正确，C错误；
B、因为三个粒子沿板方向做匀速直线运动，由图可知，a沿板的位移小于bc的位移，故a打在板上的时间小于b飞离电场所用的时间，故B错误；
D、由牛顿第二定律得加速度为：a，同一偏转电场电势差U相同，三个粒子的加速度取决于粒子的比荷，由比荷越大，加速度越大，在相等时间内，在竖直方向上的偏移量越大，故三个粒子（H，H，H）的轨迹分别为a、b、c，故D错误；
故选：A。
（多选）（2022秋 南岗区校级期末）电荷控制式喷墨打印机的打印头的结构简图如图所示。其中墨盒可以喷出极小的墨汁微粒（重力不计），此微粒经过带电室后以一定的初速度垂直射入偏转电场，再经偏转电场后打到纸上，显示出字符。已知偏移量越大打在纸上的字迹越大。现要缩小字迹，下列措施可行的是（　　）
A．增大墨汁微粒的比荷
B．增大墨汁微粒进入偏转电场时的初动能
C．增大偏转极板的长度
D．增大偏转极板间的间距
【解答】解：微粒以一定的初速度垂直射入偏转电场后做类平抛运动，则
水平方向：L＝v0t
竖直方向：yat2
又a
联立解得：y
要缩小字迹，就要减小微粒通过偏转电场的偏转量y，由上式分析可知，采用的方法有：减小比荷、增大墨汁微粒进入偏转电场时的初动能Ek0、减小极板的长度L、减小偏转极板间的电压U，故BD正确，AC错误。
故选：BD。
[课时训练]
一．选择题（共9小题）
1．（2023 西湖区校级模拟）利用如图所示电路观察电容器的充、放电现象，其中E为电源，R为定值电阻，C为电容器，A为电流表，V为电压表。下列说法正确的是（　　）
A．充电过程中，电流表的示数逐渐增大后趋于稳定
B．充电过程中，电压表的示数迅速增大后趋于稳定
C．放电过程中，电流表的示数均匀减小至零
D．放电过程中，电压表的示数均匀减小至零
【解答】解：A、充电过程中，由于电容器两端的电压越来越高，电源与电容器间的电势差越来越小，电流表的示数逐渐减小，故A错误；
B、充电过程中，电流减小的，且减小的越来越慢，电容器的电荷量增加的越来越慢，电容器的电压即电压表的示数增大的也越来越慢，故电压表的示数先迅速增大，后慢慢增大趋于稳定，故B正确；
C、放电过程，电流表的示数是逐渐变小的，但不是均匀减小的，如图所示：
故C错误；
D、放电过程，电压表的示数是逐渐变小的，但不是均匀减小的，故D错误。
故选：B。
2．（2022 浙江三模）下列四幅图中描述电容器充电时，其电荷量Q、电压U、电容C之间的相互关系，其中不正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、根据C可知，Q＝UC，由于电容不变，故电量Q和电压U成正比，故A正确；
BCD、C是电容的定义式，电容器电容的大小与电容的带电量Q以及电容器两极板之间的电压无关，故在C﹣U以及C﹣Q图象中均为平行横坐标的直线，故BC正确，D错误。
本题选错误的，
故选：D。
3．（2022 浙江模拟）如图所示，平行板电容器充电后断开电源，上极板接地，在板间P点处固定一个试探电荷q，现将下极板向下平移一小段距离，用F表示试探电荷在P点所受的电场力，用E表示极板间的电场强度，用φ表示P点的电势，用Ep表示试探电荷在P点的电势能，则下列物理量随P与下极板的距离d的变化关系图线中，可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：下极板下移，d变大，由可知，C变小，由可知，U变大，由可知，E不变，则由F＝qE知F不变；上极板电势为零，上极板与P点的距离不变，则P点的电势、电势能都不变，故C正确，ABD错误；
故选：C。
4．（2020 浙江模拟）近几年有轨电车在我国多个城市开通试运营。这种电车采用超级电容器作为电能存储设备，安全环保。给该车充电的充电桩安装在公交站点，在乘客上下车的时间里可把电容器充满。假设这种电车的质量（含乘客）为10t，以速度10m/s正常匀速行驶时，一次充满可持续正常行驶5km，电车受到的平均阻力为车重的0.02倍，充电桩电能最终转化为电车机械能的效率为75%，则（　　）
A．该电车正常匀速行驶时，电动机输出功率为2×103W
B．连接充电桩充电时，超级电容器将电能转化为化学能
C．连接充电桩充电时，加在超级电容器两端的电压应高于其额定电压
D．若某次进站从接近没电到充满电，电车从充电桩所获得的电能约为1.3×107J
【解答】解：A、电车的重力：G＝mg＝10×103kg×10N/kg＝1×105N，
所受阻力：f＝0.02G＝0.02×1×105N＝2000N，
电车匀速行驶，则牵引力F＝f＝2000N，
电车正常匀速行驶时的功率：P行＝Fv＝2000N×10m/s＝2.0×104W，故A错误；
B、超级电容器直接储存电荷和电能装置，故B错误；
C、连接充电桩充电时，加在超级电容器两端的电压应小于等于其额定电压，故C错误；
D、电车每次充满电后持续正常行驶5km，电车做功：W＝Fs＝2×103N×5×103m＝1×107J，充电桩输出的能量约为：E1.3×107J，故D正确。
故选：D。
5．（2023 甲卷）在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：电子在电场中只受电场力，电场力沿电场线的切线方向，与电场线方向相反，指向电子运动轨迹的凹侧。
B：选项中电子在图1E处受力指向凸测，故B错误；
C：选项中电子在图2F处受力指向凸测，故C错误；
D：选项中电子在图3G处受力指向凸测，故D错误；
A：选项电子各处的运动轨迹和受的电场力相符合，故A正确。
故选：A。
6．（2023 全国）如图，两块大导体板水平相对放置，相距为d，电势分别为U0和﹣U0（U0＞0 ），长为L的绝缘细绳上端固定于上板，下端与质量为m的带正电小球连接，小球带电量为Q。重力加速度大小为g。小球在平衡位置附近摆动的周期是（　　）
A．2π B．2π
C．2π D．2π
【解答】解：若上下导体板电势均为零时，由单摆周期公式可得，小球在平衡位置附近摆动的周期为
T0＝2π
由于上下导体板间有电势差，带电小球处于重力场和电场的双重作用中，故上述周期公式中的重力加速度g实际应为重力场和电场作用下的等效重力加速度g′
上下导体板间有电势差为U＝U0﹣（﹣U0）＝2U0
上下导体板间的电场强度为E
按照力的独立性原则，小球在重力场和电场共同作用下，产生的等效重力加速度g′应满足
g′＝g
联立各式解得
g′
代入单摆周期公式，可得小球在平衡位置附近摆动的周期为
T＝2π
故A正确，BCD错误。
故选：A。
7．（2021 浙江模拟）如图所示，A、B两导体板平行放置，在t＝0时将电子从A板附近由静止释放（电子的重力忽略不计）。为使电子有可能在板间做往复运动，在A、B两板间应加的电压是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A、加A图电压，电子从A板开始向B板做匀加速直线运动。故A错误；
B、加B图所示电压电子先匀加速直线运动时间，后做匀减速直线运动时间，至速度为0，再反向匀加速直线运动时间，再匀减速直线运动时间，至速度为0，只要在半个周期没到达B板，就做往复运动，故B正确；
C、加C图电压，电子一直向前运动；故C错误；
D、加D图电压，可以知道电子在一个周期内速度的方向不变，一直向前运动。故D错误。
故选：B。
8．（2023 浙江）AB、CD两块正对的平行金属板与水平面成30°角固定，竖直截面如图所示。两板间距10cm，电荷量为1.0×10﹣8C、质量为3.0×10﹣4kg的小球用长为5cm的绝缘细线悬挂于A点。闭合开关S，小球静止时，细线与AB板夹角为30°；剪断细线，小球运动到CD板上的M点（未标出），则（　　）
A．MC距离为5cm
B．电势能增加了J
C．电场强度大小为104N/C
D．减小R的阻值，MC的距离将变大
【解答】解：A、剪断细线，小球沿直线运动到M点，如图所示：
根据几何关系可得：MCcm＝10cm，故A错误；
B、根据几何关系可得电场力F和细线拉力T夹角为60°，在三个力所在的三角形中，根据正弦定理可得：
可得电场力大小为：Fmg3.0×10﹣4×10N10﹣3N
逆电场线方向的位移：x＝d﹣Lsin30°，其中：d＝10cm＝0.1m，L＝5cm＝0.05m
解得：x＝0.075m
克服电场力做的功为：W电＝Fx10﹣3×0.075JJ，所以电势能增加了J，故B正确；
C、电场强度的大小为：E，解得：E105N/C，故C错误；
D、电阻两端电压为零，电容器两板间的电压等于电源电动势，减小R的阻值，平行板间电压不变、电场强度不变，受力情况不变，运动情况不变，则MC的距离不变，故D错误。
故选：B。
9．（2021 浙江模拟）如图所示，水平放置的充电平行金属板相距为d，其间形成匀强电场，一带正电的油滴从下极板左边缘射入，并沿直线从上极板右边缘射出，油滴质量为m，带电荷量为q。现仅将上极板上移少许，其他条件保持不变，重力加速度为g，则下列分析正确的是（　　）
A．上移后，油滴的运动轨迹是曲线
B．上移后，电场强度大小小于，方向竖直向上
C．上移后，下极板和上极板之间的电势差为
D．上移后，油滴穿越两板之间的电场时电势能减少了mgd
【解答】解：AB、由于油滴沿直线在极板间运动，可知油滴一定做匀速直线运动，可得qE＝mg，则电场强度大小为，根据公式，，可得，则当上极板向上移动时，E不变，方向竖直向上，仍有qE＝mg，所以油滴的运动轨迹仍然是直线，故AB错误；
C、综上分析，由于E不变，根据U＝Ed，当上极板向上移动少许，d变大，所以U变大，两极板间的电势差不再是，故C错误；
D、当上极板向上移动少许，E不变，所以油滴射出电场时的位置也不变，重力做的负功为﹣mgd，则电场力做的正功为mgd，根据功能关系可知，油滴的电势能减少了mgd，故D正确。
故选：D。
二．解答题（共1小题）
10．（2022 杭州二模）某种质谱仪由偏转电场和偏转磁场组成，其示意图如图所示，整个装置处于真空中。偏转电场的极板水平放置，极板长度和间距均为L。在偏转电场右侧适当位置有一夹角为2θ的足够大扇形区域OPQ，区域内分布着方向垂直于纸面的匀强磁场，区域的OP边与偏转极板中心轴线MN垂直，扇形圆心O点与轴线MN的距离为d。现有大量正离子（单个离子质量为m、电荷量为q）连续不断地以速度v0沿轴线MN射入偏转电场。当偏转电压为0时，离子均能垂直扇形区域的OQ边射出磁场；若在两极板间加峰值为Um的正弦式电压，则所有离子经过磁场偏转后都能经过磁场外同一点（图中未画出）。若仅考虑极板间的电场，离子在电场中运动的时间远小于两极板间所加交变电压的周期，不计离子的重力和离子间的相互作用，求：（可能用到的数学公式：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ）
（1）偏转磁场的磁感应强度；
（2）离子在通过偏转电场的过程中动量变化量的最大值；
（3）离子在偏转磁场中运动的最长时间与最短时间的差值；
（4）扇形区域的OP边与极板右端的距离。
【解答】解：（1）不加偏转电压时，离子束能垂直磁场的边界OQ出磁场，所以在磁场中离子做圆周运动的半径为：
R＝d
又qv0B
解得：B，且方向垂直纸面向外；
（2）当偏转电压最大时，动量变化量最大为：
Δpmax＝mvy
离子在电场中的偏转过程有：
竖直方向：vy＝at
qE＝ma
E
水平方向：L＝v0t
联立解得：vy，Δpmax；
（3）如图，进入磁场的离子速度方向反向延长都汇于G1，最后该束粒子都能会聚于一点G2，故离子在磁场中的圆周运动圆心均在2θ的角平分线上。
离子在磁场中的运动周期与离子的速度无关，所以：
T
当偏转电压正向最大时，圆周运动轨迹为C1D1，所对应圆心角最大为：
2（θ+α），
运动的时间为：
tmax
当偏转电压负向最大时，圆周运动轨迹为C2D2，所对应圆心角最小为：
2（θ﹣α），
运动时间为：
tmin
由（1）解可知：
tanα，
得α
离子在偏转磁场中运动的最长时间与最短时间的差值
Δt＝tmax﹣tmin
以上式子联立可得：Δt；
（4）由离子在电场中偏转可求得：
（）tanα
在磁场中做圆周运动时有：
qvB；
其中：v
解得：Rmax
在△OO1C1中，根据正弦定理知：
联立方程组解得：扇形区域的OP边与极板右端的距离x＝（）。
答：（1）偏转磁场的磁感应强度大小为，方向垂直纸面向外；
（2）离子在通过偏转电场的过程中动量变化量的最大值为；
（3）离子在偏转磁场中运动的最长时间与最短时间的差值为；
（4）扇形区域的OP边与极板右端的距离为（）。
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