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第27讲　微专题四 带电粒子在叠加场和组合场中的运动
目录
[命题点研究] 1
命题点一　带电粒子在叠加场中的运动 1
命题点二　带电粒子在组合场中的运动 5
[命题点研究]
命题点一　带电粒子在叠加场中的运动
1．带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，可由此求解问题．
(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．
(3)电场力、洛伦兹力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．
2．带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动
带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．
（2023 浙江二模）磁控管在现代科技领域有广泛的应用。为使问题简化，我们将静态磁控管简化为一对长度足够的平行平板电极系统中的电子在正交稳恒电磁场中的运动。如图所示，在间距为d的两极板间加不计内阻、电动势为U的电源，两极板间存在方向垂直xOy平面向里、大小为B的匀强磁场，位于阴极表面附近的灯丝持续发射初速度可近似为零的电子，当U不变，改变B的大小时，电子在两极板间的运动轨迹将发生变化，如图2所示，其中轨迹Ⅲ最高点P恰好与阳极相切。电子电荷量为e，质量为m，不计电子的相互作用。
（1）求轨迹Ⅰ对应的磁感应强度大小BⅠ，并比较轨迹Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ所对应的磁感应强度BⅡ、BⅢ和BⅣ的大小关系；
（2）求轨迹Ⅲ对应的磁感应强度BⅢ以及轨迹在P处的曲率半径；
（3）若灯丝单位时间发射n个电子，画出电流I随磁感应强度B变化的图像。
【解答】解：（1）轨迹Ⅰ的电子做直线运动，则BⅠ＝0
电子在电场中加速的同时，受到的洛伦兹力使其偏转，洛伦兹力越大、偏转情况越明显，所以BⅡ＜BⅢ＜BⅣ
（2）动能定理，有：eU
解得：vP
在任意位置，将电子运动速度分解为vx和vy，则电子在水平方向受到的洛伦兹力为：Fx＝eBⅢvy
从开始到P点，取向右为正方向，水平方向根据动量定理，有：FxΔt＝mvP
即eBⅢd＝mvP
联立解得：BⅢ
在P点根据牛顿第二定律可得：evPBⅢ﹣e m
解得轨迹在P处的曲率半径：r＝2d
（3）饱和电流：Im＝ne
截止和饱和临界磁感应强度为：B＝BⅢ
电流I随磁感应强度B变化的图像如图所示：
答：（1）轨迹Ⅰ对应的磁感应强度大小为0，轨迹Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ所对应的磁感应强度BⅡ、BⅢ和BⅣ的大小关系为BⅡ＜BⅢ＜BⅣ；
（2）轨迹Ⅲ对应的磁感应强度，轨迹在P处的曲率半径为2d；
（3）若灯丝单位时间发射n个电子，电流I随磁感应强度B变化的图像见解析。
（2023 浙江模拟）如图所示，竖直平面内的直角坐标系xOy，在第一象限有竖直向下的匀强电场，电场强度为E；在第三象限某区域有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度为B。在电场区域内有一系列质量为m、电荷量为q的带正电的离子源，可持续沿水平向左发射速度为v0的离子，所有离子均从O点进入第三象限的磁场中，后均进入第四象限。离子在第三象限时均在磁场内运动。不计离子的重力和相互间作用。
（1）离子源在匀强电场中分布的坐标y和x间的关系；
（2）若离子源连续分布，当离子源的坐标最大值为时，求第三象限磁场区域的最小面积；
（3）在（2）问的基础上，若在第四象限的空间内加一沿x轴正方向的大小未知的匀强磁场B1，则从点进入电场的粒子，在B1磁场中运动轨迹最高点的y坐标恰好为0，求轨迹经过时对应的x坐标的可能取值。
【解答】解：（1）离子在第一象限做类平抛运动，沿x轴负方向做匀速直线运动，沿y轴负方向做匀加速直线运动，则有：
x＝v0t
y t2
解得坐标y和x间的关系为：
y；
（2）离子进入磁场区域做匀速圆周运动，设离子从O点进入磁场时的速度大小为v，其方向与y轴的夹角为θ，在第三象限磁场区域的轨迹半径为r，轨迹弦长为d，离子源坐标为（x，y）的离子运动轨迹如图1所示：
则有：v
由洛伦兹力提供向心力得：
qvB＝m，解得：r
d＝2rcosθ
可见d与离子源的位置无关，即所有离子均在同一点进入第四象限。
当离子源位于O点时，θ最小，且为零，轨迹恰好是半个圆周，其半径为：r1
由类平抛运动性质可知，末速度v与x轴夹角θ的正切值等于位移与水平方向夹角α的正切值的2倍，即tanθ＝2tanα。
当离子源的坐标最大值为时，α最大，θ最大，则有：tanθmax＝2tanαmax＝2.
可得：θmax＝60°，其轨迹圆心角为60°。
轨迹半径最大为：r2
第三象限磁场区域的最小面积为：
Sminπ（）；
（3）由（2）可知，从P点进入电场的粒子，经过y轴进入第四象限时速度方向与y轴负方向夹角为90°﹣θmax＝90°﹣60°＝30°。
将离子的初速度沿x轴方向与y轴方向分解，离子在B1磁场中沿x轴正方向做匀速直线运动，其速度大小为vx＝v0，在垂直于xOy平面的平面内做匀速圆周运动，其线速度大小为vy＝v0tan60°v0，设其运动半径为R，运动周期为T。
则有：T
因运动轨迹最高点的y坐标恰好为0，故R＝d
轨迹经过d的时间t′满足：t′＝n（n＝0、1、2、3……）
解得：t′（n＝0、1、2、3……）
对应的x坐标的可能取值为：
x＝vxt′（n＝0、1、2、3……）
答：（1）离子源在匀强电场中分布的坐标y和x间的关系为y；
（2）第三象限磁场区域的最小面积为；
（3）轨迹经过时对应的x坐标的可能取值为（n＝0、1、2、3……）。
命题点二　带电粒子在组合场中的运动
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段；
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下：
←←←→→→
第3步：用规律
→→→→
→
2．解题步骤
(1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
模型1　磁场与磁场组合
（2023 温州三模）如图所示，足够大的光滑水平地面上有一水平直角坐标系，第一、二和四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，AO和OC为光滑挡板，A点坐标为（﹣l，0），足够长的OC挡板与x轴夹角为30°。第三象限内一个电荷量为q、质量为m的可视为质点的带正电小球，以某一速度沿直线运动通过相互垂直的电场和磁场后，从A点垂直x轴进入第二象限，小球与AO挡板的碰撞为弹性碰撞；小球与OC挡板碰撞后反弹，垂直挡板方向的速度大小减为碰前的二分之一，平行挡板方向的速度不变，碰撞过程中小球电荷量保持不变。已知第三象限内的电场强度与磁感应强度的比值为。求：
（1）小球从A点进入磁场到第一次撞击OC挡板所用的时间及第一次撞击点坐标；
（2）小球打在OC挡板上离坐标原点的最远距离dm；
（3）当小球打在OC挡板上离坐标原点最远位置时，将B0方向反向（大小不变），同时加一个沿y轴负方向的匀强电场E，此后小球沿y轴负方向运动的最大距离h（用m，E，B0，q表示）。
【解答】解：（1）设第三象限内的电场强度与磁感线强度分别为E1，小球以某一速度沿直线运动通过相互垂直的电场和磁场，
根据洛伦兹力和电场力平衡：qvB1＝qE1
解得：
又已知第三象限内的电场强度与磁感线强度的比值为：，得
小球在磁感线强度为B0的磁场中运动，洛伦兹力提供向心力：
解得
小球做顺时针圆周运动，与板碰撞后原速率反弹继续做半径不变的圆周运动，直至打到OC板上，轨迹如图所示
从A点至第一次打到OC板，小球圆周运动转过的总角度为θ＝360°+30°
周期为
从A点至第一次打到OC板所用时间
设第一次撞击的坐标为（x，y）
y＝﹣r
第一次撞击的坐标为（，）；
（2）小球垂直打在OC挡板后，垂直挡板方向的速度大小减为碰前的二分之一，根据
解得
可知每次反弹后圆周运动半径变为原来的二分之一，即，其中，
故小球打在OC挡板上离坐标原点最远的距离：dm
代入数据得dm＝l
（3）受力分析如图所示
开始时小球沿斜面匀加速滑动，其加速度为，当qv0B0＝Eqcosθ时，小球离开斜面，此过程小球y轴负方向运动的距离为h1，则有
之后脱离斜面，x轴方向由动量定理B0qvyΔt＝mΔvx
即B0q∑Δh2＝m∑Δvx
求和得B0qh2＝m（v1﹣v0x）
x方向初始速度
小球y轴负方向运动到最大距离时，其速度v1沿x轴正方向，由动能定理得
联立上述两式得（sin2θ+sinθ）
故小球y轴负方向运动到最大距离为
将θ＝30°代入得：h
答：（1）所用的时间为，第一次撞击点坐标（，）；
（2）最远距离为l；
（3）最大距离为。
（2023 浙江模拟）如图所示是一种粒子探测装置，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，单位时间内有N个质量为m，电荷量大小为q，速度大小范围为v0～的粒子从PM和QK间平行于PM射入圆形磁场区域，PM与圆心O在同一直线上，PM和QK间距离为0.5R。已知从M点射入的速度为v0的粒子刚好从O点正下方的N点射出圆形磁场区域。挡板ND下方有磁感应强度为圆形磁场2倍、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，ND＝R，直线ND与圆形区域相切于N点，到达N点的粒子均能进入下方磁场。挡板ND上表面绝缘，下表面导电且可完全吸收到达的粒子，下表面通过一灵敏电流计接地。不计粒子重力以及粒子间的相互作用。求：
（1）圆形区域磁场的磁感应强度B及带电粒子的电性；
（2）已知灵敏电流计电流大小为I，则PQ间入射粒子中速度为v0的粒子的比例η；
（3）圆形磁场区域边界上有粒子射出的弧长长度l弧；
（4）若ND可以绕N点顺时针转动（0～90°），求ND挡板下表面有粒子打到的长度L与ND转过角度的关系，并求当转过多少角度时粒子打到的长度最大及长度Lm具体值？
【解答】解：（1）速度为v0的粒子从M点射入，从N点射出，轨道半径为r，由几何关系可知r＝R
由牛顿第二定律
解得
由左手定则判断可得粒子带正电；
（2）挡板下方磁感应强度为2B，粒子均以速度v0进入，有
轨道半径
所有速度为v0的粒子都能打在ND挡板上I＝ηNq
解得
（3）速度为v0入射的全部打在N点上，速度为的粒子从M点射入，射出位置离N点最远，射出点为A，如图所示
由牛顿第二定律：
由几何关系：
解得θ＝30°
∠MOA＝2（90°﹣θ）＝120°
所以AN之间的弧长。
（4）如图，由几何关系可知，能到达N点的带电粒子速度均为v0，半径均为r＝R△KOB中有
解得β＝60°
从K点射入的带电粒子速度偏转角为60°，从M点射入的带电粒子速度偏转角为90°，作竖直向下的粒子在下方磁场的轨迹圆1，作K点射入经N点后在下方磁场的轨迹圆2。ND顺时针转动α角后与连轨迹圆交点G、F，△NFD中有LNE＝NDcosα﹣2r'cosα
H为圆2的圆心，连接HG构成三角形，△NFD中有∠DNH＝30°，LNG＝2r'cos（α+30°）（0°≤α≤60°）
ND板下表面被粒子打到的长度为
当（60°≤α≤90°）时，G点与N点重合，ND板下表面被粒子打到的长度为L＝Rcosα（60°≤α≤90°）
令
则L＝Rsin（α+γ）
但因为
所以当α＝60°时
答：（1）圆形区域磁场的磁感应强度，带电粒子带正电；
（2）已知灵敏电流计电流大小为I，则PQ间入射粒子中速度为v0的粒子的比例；
（3）圆形磁场区域边界上有粒子射出的弧长长度；
（4）若ND可以绕N点顺时针转动（0～90°），ND挡板下表面有粒子打到的长度为：Rcosα﹣Rcos（α+30°）（0°≤α≤60°），L＝Rcosα（60°≤α≤90°）；当转过60°时粒子打到的长度最大，且。
（2023 浙江模拟）如图1所示，在无限长的竖直边界NS和MT间上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B1＝B和B2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，P、Q点距KL高为d，NS和MT间距为5d。质量为m、带电量为+q的粒子从粒子源飘出（初速度视为0），经电场加速后从P点垂直于S边界射入磁场区域，粒子源单位时间内发出的粒子数恒定，加速电压u如图2所示周期性变化，重力忽略不计，粒子在电场中加速时间极短可忽略不计，不考虑粒子间相互作用力与碰撞，粒子运动到与边界相切时仍能返回磁场。（题中可认为sin37°＝0.6，sin53°＝0.8）
（1）在t进入电场的粒子恰好能垂直KL经过磁场边界，求加速电压的最大值U0；
（2）当加速电压为U1时，粒子恰好不从NS边界飞出，求U1的值；
（3）求在时间0～T内发射的粒子中，从NS边界飞出的粒子数占总粒子数的比例η；
（4）若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子在磁场区域可能的运动时间。
【解答】解：（1）粒子恰好能垂直KL经过磁场边界，则由几何可得r＝d
由牛顿第二定律
所以
当时，u＝U0，由动能定理
解得
（2）粒子恰好不从NS边界飞出，则其运动轨迹如图
由
可得，，d﹣r1＝r1cosφ
所以
由牛顿第二定律，
解得
（3）易得，当u＜U1时，粒子都会从NS边界飞出，所以在时间内发射的粒子中，从NS边界飞出的粒子数占总粒子数的比例
（4）若粒子能经过Q点从MT边界飞出，则其运动轨迹如图
一个循环过程，粒子水平运动的距离为，5d＝nΔx
所以
又因为
所以解得1≤n≤3
当n＝1时r1＝d
此时粒子在磁场中的运动时间为
当n＝2时
则
所以φ＝53°
此时粒子在磁场中的运动时间为
当n＝3时，φ＝37°
此时粒子在磁场中的运动时间为
答：（1）加速电压的最大值为；
（2）当加速电压为时，粒子恰好不从NS边界飞出；
（3）在时间0～T内发射的粒子中，从NS边界飞出的粒子数占总粒子数的比例为31%；
（4）见解析。
模型2　电场与磁场组合
（2023 嘉兴一模）如图所示是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置中的“偏转系统”原理图。由正离子和中性粒子组成的多样性粒子束通过两极板间电场后进入偏转磁场。其中的中性粒子沿原方向运动，被接收板接收；一部分离子打到左极板，其余的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬并发出荧光。多样性粒子束宽度为L，各组成粒子均横向均匀分布。偏转磁场为垂直纸面向外的矩形匀强磁场，磁感应强度为B1。已知离子的比荷为k，两极板间电压为U、间距为L，极板长度为2L，吞噬板长度为2L并紧靠负极板。若离子和中性粒子的重力、相互作用力、极板厚度可忽略不计，则
（1）要使的离子能沿直线通过两极板间电场，可在极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场B0，求B0的大小；
（2）调整极板间磁场B0，使的离子沿直线通过极板后进入偏转磁场。若且上述离子全部能被吞噬板吞噬，求偏转磁场的最小面积和吞噬板的发光长度L0；
（3）若撤去极板间磁场B0且偏转磁场边界足够大，离子速度为、且各有n个，能进入磁场的离子全部能被吞噬板吞噬，求B1的取值范围及吞噬板上收集的离子个数。
【解答】解：（1）离子沿直线通过两极板间电场，洛伦兹力与电场力平衡，由平衡条件得：，其中
解得：B0
（2）粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：
其中：；；
联立解得：rL若离子全部能被吞噬板吞噬，要求从极板左边的粒子做匀速圆周运动也能到达吞噬板上，故磁场的总长度应为2r+LL
矩形磁场B1的最小面积SminL LL2
发光长度L0＝L
（3）粒子在电场中做类平抛运动，竖直方向方向：2L＝v0t
水平方向偏转距离：
又qE＝ma，，
联立解得：偏转距离
代入数据解得：
能进入磁场区域收集的离子个数为
进入磁场离子圆周运动半径
在磁场中偏转距离
v2离子射出偏转电场时，对于进入磁场的左右两边界离子而言，与吞噬板左右两端相距分别为2L、，设离子恰好打到吞噬板两端，由几何关系得
则
同理v3离子射出偏转电场时，对于进入磁场的左右两边界离子而言，与吞噬板左右两端相距分别为2L、，设离子恰好打到吞噬板两端，由几何关系得
则
故
答：（1）要使的离子能沿直线通过两极板间电场，可在极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场B0，其大小为；
（2）偏转磁场的最小面积为，吞噬板的发光长度为L；
（3）能进入磁场的离子全部能被吞噬板吞噬，B1的取值范围为，吞噬板上收集的离子个数为。
（2023 杭州一模）如图1所示，空间中放置一个平行板电容器MN，板长和板间距均为2L0，两极板上电压UMN＝2U0，U0＞0。极板右侧是一个无穷大匀强磁场区域，方向垂直纸面向里，磁场左边界CD紧贴极板右侧，磁场中放着一块与CD平行的足够长金属板PQ，PQ与CD间距为L0。有一粒子枪S，可以不断产生初速度近似为零的X和Y粒子，X粒子的质量为m，电荷量为+q，Y粒子的质量为4m，电荷量为+q，两种粒子经过枪内内置的加速电场加速后，能水平射入两极板间，内置加速电场的电压为U0，粒子枪可沿极板左边界EF上下移动。现将粒子枪紧靠在M极板的左端E处，发现射出的X粒子恰好击中金属板PQ上的B点，虚线AB是平行板电容器的中线。不考虑粒子间的相互作用，求：
（1）X粒子在电场中偏转的位移；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）金属板PQ被两种粒子都击中的区域长度d；
（4）将金属板PQ移到M板右上方并紧贴磁场左边界CD，如图2所示，Q点与M极板右端重合且彼此绝缘，将极板MN上的电压改为UMN＝Umsinωt，带电粒子在偏转电场中运动时间远小于所加交流电的周期且N极板可上下平移（F点随极板N一起移动），粒子枪内置的加速电压U0不变。当粒子枪S在EF上移动时，发现击中金属板PQ的X粒子和Y粒子的区域不重叠（粒子打到PQ板立即被导走）求极板M、N间距L的范围。
【解答】解：（1）X粒子首先被电子枪内置电场加速，有：
进入平行板电容器后做类平抛运动，水平方向有：2L0＝v0t
竖直方向有：
根据牛顿第二定律有：
联立以上各式可得粒子在电场中偏转的位移为：h＝L0
（2）根据几何关系可知，带电粒子射出平行板电容器时位移偏向角的正切值为：
因此，根据平抛运动的推论，速度偏向角的正切值等于位移偏向角正切值的两倍可得：tanθ＝2tanα＝1
由此可知带电粒子在射出平行板电容器时速度的偏向角：θ＝45°
则带电粒子X在进入磁场后打金属板PQ上的B点，根据几何关系可知粒子的轨道半径为：
粒子在磁场中做圆周运动的向心力由洛伦兹力提供，则有：
其中：
联立以上各式解得：
（3）由（2）可知，电子枪在EA间移动X粒子才能射出电场，且从A点射出的粒子经电场偏转进入磁场后打在PQ板上的位置恰好与N板齐平，故X粒子打在PQ板上的长度为L0，而若是Y粒子从M板的E点处进入电场，则在电场中竖直方向的的偏移量为：
水平方向有：2L0＝v01t1
根据牛顿第二定律由：
电子枪内置电压对Y粒子加速有：qU0
联立以上各式可得：h1＝L0
即可知电性相同的不同带电粒子通过同一加速电场和同一偏转电场后的偏移位移相等，且速度的偏向角也相等，则可知Y粒子在进入磁场时的速度为：
由洛伦兹力充当向心力可得：
解得Y粒子在磁场中运动的轨迹半径为：
则由几何关系可知，根据答图1可知
两粒子打在PQ板上的重合区域的长度为：
（4）由于带电粒子在偏转电场中运动时间远小于所加交流电的周期，故带电粒子在电场中仍做类平抛运动。设粒子在射出平行板电容器时速度的偏转角为β，速度大小为v′，粒子向上偏转击中金属板PQ的竖直距离s就等于圆弧轨迹的弦长，则有：
s＝2R′cosβ＝2 cosβ
因v′cosβ＝v0，故s
可见偏转距离s与极板MN上的电压如何变化，以及板间距离的变化无关。
设X粒子向上偏转的竖直距离为sX，Y粒子向上偏转的竖直距离为sY，结合上述结论可得：
sX＝L0，sY＝2L0
如下图所示：
因极板电压为正弦式交变电压，故在极板右端边界上任意位置都会有粒子射出，X粒子击中PQ的位置距离Q点最远距离为sX＝L0，Y粒子PQ的位置距离Q点最远距离为sY＝2L0，要使打在PQ板上的X粒子和Y粒子的区域不重叠，的板间距离L需满足：L＜sY﹣sX
解得：L＜L0
答：（1）X粒子在电场中偏转的位移为L0；
（2）磁感应强度B的大小为；
（3）金属板PQ被两种粒子都击中的区域长度d为（）；
（4）极板M、N间距L的范围是：L＜L0。
（2022秋 余杭区期末）电子被加速器加速后轰击重金属靶时，会产生射线，可用于放射治疗。如图是直线电子加速器的示意图，电子从电子枪逸出后从圆筒0处进入与圆筒1之间的电场，由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1，电子在各圆筒中做匀速直线运动。为使电子运动到圆筒与圆筒之间各个间隙中都能加速，圆筒长度的设计必须有一定的规律。序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图所示。在t＝0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值。电子离开加速电场后恰好垂直进入一个边长为L的正方形匀强磁场，垂直磁场的左边界从中点进入，垂直下边界从下边界中点出来，最后打到圆形金属靶上，产生射线。已知电子的质量为m、电荷量为e、电压的绝对值为u，周期为T，不计电子通过圆筒间隙的时间。求：
（1）电子从8号圆筒出来时的速度大小和磁感应强度B大小；
（2）金属圆筒长度和它的序号之间的关系；
（3）若每秒打在金属靶上的电子数为N，其中80%被吸收，20%被反向弹回，弹回速度为撞击速度前的0.6倍，求金属靶受到的作用力大小。
【解答】解：（1）电子从0到从8号圆筒出来过程，由动能定理得：8eu0
解得：v0＝4
电子垂直磁场的左边界从中点进入，垂直下边界从下边界中点出来，电子在磁场中做匀速圆周运动的轨道半径rL
电子在磁场中做运动圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律得：ev0B＝m
解得：B
（2）设电子进入第n个圆筒后的速度大小为v，由动能定理得：neu0
解得：v
第n个圆筒的长度ln＝vtvT
解得：ln
（3）以电子的初速度方向为正方向，对吸收的电子，根据动量定理得：﹣F1t＝0﹣0.8Nmv0，
以电子的初速度方向为正方向，对反弹的电子，由动量定理得：﹣F2t＝﹣0.2Nm（0.6v0）﹣0.2Nmv0，
金属靶受到的作用力大小F＝F1+F2
解得：F＝4.48N
答：（1）电子从8号圆筒出来时的速度大小是4，磁感应强度B大小是；
（2）金属圆筒长度和它的序号之间的关系是ln；
（3）金属靶受到的作用力大小是4.48N。
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[命题点研究] 1
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[命题点研究]
命题点一　带电粒子在叠加场中的运动
1．带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动
(1)洛伦兹力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，可由此求解问题．
(2)电场力、洛伦兹力并存(不计重力的微观粒子)
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电粒子做匀速直线运动．
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电粒子将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．
(3)电场力、洛伦兹力、重力并存
①若三力平衡，一定做匀速直线运动．
②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．
③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题．
2．带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动
带电粒子在叠加场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解．
（2023 浙江二模）磁控管在现代科技领域有广泛的应用。为使问题简化，我们将静态磁控管简化为一对长度足够的平行平板电极系统中的电子在正交稳恒电磁场中的运动。如图所示，在间距为d的两极板间加不计内阻、电动势为U的电源，两极板间存在方向垂直xOy平面向里、大小为B的匀强磁场，位于阴极表面附近的灯丝持续发射初速度可近似为零的电子，当U不变，改变B的大小时，电子在两极板间的运动轨迹将发生变化，如图2所示，其中轨迹Ⅲ最高点P恰好与阳极相切。电子电荷量为e，质量为m，不计电子的相互作用。
（1）求轨迹Ⅰ对应的磁感应强度大小BⅠ，并比较轨迹Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ所对应的磁感应强度BⅡ、BⅢ和BⅣ的大小关系；
（2）求轨迹Ⅲ对应的磁感应强度BⅢ以及轨迹在P处的曲率半径；
（3）若灯丝单位时间发射n个电子，画出电流I随磁感应强度B变化的图像。
（2023 浙江模拟）如图所示，竖直平面内的直角坐标系xOy，在第一象限有竖直向下的匀强电场，电场强度为E；在第三象限某区域有垂直纸面向里的匀强磁场（图中未画出），磁感应强度为B。在电场区域内有一系列质量为m、电荷量为q的带正电的离子源，可持续沿水平向左发射速度为v0的离子，所有离子均从O点进入第三象限的磁场中，后均进入第四象限。离子在第三象限时均在磁场内运动。不计离子的重力和相互间作用。
（1）离子源在匀强电场中分布的坐标y和x间的关系；
（2）若离子源连续分布，当离子源的坐标最大值为时，求第三象限磁场区域的最小面积；
（3）在（2）问的基础上，若在第四象限的空间内加一沿x轴正方向的大小未知的匀强磁场B1，则从点进入电场的粒子，在B1磁场中运动轨迹最高点的y坐标恰好为0，求轨迹经过时对应的x坐标的可能取值。
命题点二　带电粒子在组合场中的运动
1．带电粒子在组合场中运动的分析思路
第1步：分阶段(分过程)按照时间顺序和进入不同的区域分成几个不同的阶段；
第2步：受力分析和运动分析，主要涉及两种典型运动，如下：
←←←→→→
第3步：用规律
→→→→
→
2．解题步骤
(1)找关键点：确定带电粒子在场区边界的速度(包括大小和方向)是解决该类问题的关键．
(2)画运动轨迹：根据受力分析和运动分析，大致画出粒子的运动轨迹图，有利于形象、直观地解决问题．
模型1　磁场与磁场组合
（2023 温州三模）如图所示，足够大的光滑水平地面上有一水平直角坐标系，第一、二和四象限存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B0，AO和OC为光滑挡板，A点坐标为（﹣l，0），足够长的OC挡板与x轴夹角为30°。第三象限内一个电荷量为q、质量为m的可视为质点的带正电小球，以某一速度沿直线运动通过相互垂直的电场和磁场后，从A点垂直x轴进入第二象限，小球与AO挡板的碰撞为弹性碰撞；小球与OC挡板碰撞后反弹，垂直挡板方向的速度大小减为碰前的二分之一，平行挡板方向的速度不变，碰撞过程中小球电荷量保持不变。已知第三象限内的电场强度与磁感应强度的比值为。求：
（1）小球从A点进入磁场到第一次撞击OC挡板所用的时间及第一次撞击点坐标；
（2）小球打在OC挡板上离坐标原点的最远距离dm；
（3）当小球打在OC挡板上离坐标原点最远位置时，将B0方向反向（大小不变），同时加一个沿y轴负方向的匀强电场E，此后小球沿y轴负方向运动的最大距离h（用m，E，B0，q表示）。
（2023 浙江模拟）如图所示是一种粒子探测装置，半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向外的匀强磁场，单位时间内有N个质量为m，电荷量大小为q，速度大小范围为v0～的粒子从PM和QK间平行于PM射入圆形磁场区域，PM与圆心O在同一直线上，PM和QK间距离为0.5R。已知从M点射入的速度为v0的粒子刚好从O点正下方的N点射出圆形磁场区域。挡板ND下方有磁感应强度为圆形磁场2倍、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，ND＝R，直线ND与圆形区域相切于N点，到达N点的粒子均能进入下方磁场。挡板ND上表面绝缘，下表面导电且可完全吸收到达的粒子，下表面通过一灵敏电流计接地。不计粒子重力以及粒子间的相互作用。求：
（1）圆形区域磁场的磁感应强度B及带电粒子的电性；
（2）已知灵敏电流计电流大小为I，则PQ间入射粒子中速度为v0的粒子的比例η；
（3）圆形磁场区域边界上有粒子射出的弧长长度l弧；
（4）若ND可以绕N点顺时针转动（0～90°），求ND挡板下表面有粒子打到的长度L与ND转过角度的关系，并求当转过多少角度时粒子打到的长度最大及长度Lm具体值？
（2023 浙江模拟）如图1所示，在无限长的竖直边界NS和MT间上、下部分分别充满方向垂直于NSTM平面向外和向内的匀强磁场，磁感应强度大小分别为B1＝B和B2B，KL为上下磁场的水平分界线，在NS和MT边界上，P、Q点距KL高为d，NS和MT间距为5d。质量为m、带电量为+q的粒子从粒子源飘出（初速度视为0），经电场加速后从P点垂直于S边界射入磁场区域，粒子源单位时间内发出的粒子数恒定，加速电压u如图2所示周期性变化，重力忽略不计，粒子在电场中加速时间极短可忽略不计，不考虑粒子间相互作用力与碰撞，粒子运动到与边界相切时仍能返回磁场。（题中可认为sin37°＝0.6，sin53°＝0.8）
（1）在t进入电场的粒子恰好能垂直KL经过磁场边界，求加速电压的最大值U0；
（2）当加速电压为U1时，粒子恰好不从NS边界飞出，求U1的值；
（3）求在时间0～T内发射的粒子中，从NS边界飞出的粒子数占总粒子数的比例η；
（4）若粒子能经过Q点从MT边界飞出，求粒子在磁场区域可能的运动时间。
模型2　电场与磁场组合
（2023 嘉兴一模）如图所示是中国科学院自主研制的磁约束核聚变实验装置中的“偏转系统”原理图。由正离子和中性粒子组成的多样性粒子束通过两极板间电场后进入偏转磁场。其中的中性粒子沿原方向运动，被接收板接收；一部分离子打到左极板，其余的进入磁场发生偏转被吞噬板吞噬并发出荧光。多样性粒子束宽度为L，各组成粒子均横向均匀分布。偏转磁场为垂直纸面向外的矩形匀强磁场，磁感应强度为B1。已知离子的比荷为k，两极板间电压为U、间距为L，极板长度为2L，吞噬板长度为2L并紧靠负极板。若离子和中性粒子的重力、相互作用力、极板厚度可忽略不计，则
（1）要使的离子能沿直线通过两极板间电场，可在极板间施加一垂直于纸面的匀强磁场B0，求B0的大小；
（2）调整极板间磁场B0，使的离子沿直线通过极板后进入偏转磁场。若且上述离子全部能被吞噬板吞噬，求偏转磁场的最小面积和吞噬板的发光长度L0；
（3）若撤去极板间磁场B0且偏转磁场边界足够大，离子速度为、且各有n个，能进入磁场的离子全部能被吞噬板吞噬，求B1的取值范围及吞噬板上收集的离子个数。
（2023 杭州一模）如图1所示，空间中放置一个平行板电容器MN，板长和板间距均为2L0，两极板上电压UMN＝2U0，U0＞0。极板右侧是一个无穷大匀强磁场区域，方向垂直纸面向里，磁场左边界CD紧贴极板右侧，磁场中放着一块与CD平行的足够长金属板PQ，PQ与CD间距为L0。有一粒子枪S，可以不断产生初速度近似为零的X和Y粒子，X粒子的质量为m，电荷量为+q，Y粒子的质量为4m，电荷量为+q，两种粒子经过枪内内置的加速电场加速后，能水平射入两极板间，内置加速电场的电压为U0，粒子枪可沿极板左边界EF上下移动。现将粒子枪紧靠在M极板的左端E处，发现射出的X粒子恰好击中金属板PQ上的B点，虚线AB是平行板电容器的中线。不考虑粒子间的相互作用，求：
（1）X粒子在电场中偏转的位移；
（2）磁感应强度B的大小；
（3）金属板PQ被两种粒子都击中的区域长度d；
（4）将金属板PQ移到M板右上方并紧贴磁场左边界CD，如图2所示，Q点与M极板右端重合且彼此绝缘，将极板MN上的电压改为UMN＝Umsinωt，带电粒子在偏转电场中运动时间远小于所加交流电的周期且N极板可上下平移（F点随极板N一起移动），粒子枪内置的加速电压U0不变。当粒子枪S在EF上移动时，发现击中金属板PQ的X粒子和Y粒子的区域不重叠（粒子打到PQ板立即被导走）求极板M、N间距L的范围。
（2022秋 余杭区期末）电子被加速器加速后轰击重金属靶时，会产生射线，可用于放射治疗。如图是直线电子加速器的示意图，电子从电子枪逸出后从圆筒0处进入与圆筒1之间的电场，由静止开始加速，沿中心轴线进入圆筒1，电子在各圆筒中做匀速直线运动。为使电子运动到圆筒与圆筒之间各个间隙中都能加速，圆筒长度的设计必须有一定的规律。序号为奇数的圆筒和交变电源的一个极相连，序号为偶数的圆筒和该电源的另一个极相连。交变电源两极间电势差的变化规律如图所示。在t＝0时，奇数圆筒相对偶数圆筒的电势差为正值。电子离开加速电场后恰好垂直进入一个边长为L的正方形匀强磁场，垂直磁场的左边界从中点进入，垂直下边界从下边界中点出来，最后打到圆形金属靶上，产生射线。已知电子的质量为m、电荷量为e、电压的绝对值为u，周期为T，不计电子通过圆筒间隙的时间。求：
（1）电子从8号圆筒出来时的速度大小和磁感应强度B大小；
（2）金属圆筒长度和它的序号之间的关系；
（3）若每秒打在金属靶上的电子数为N，其中80%被吸收，20%被反向弹回，弹回速度为撞击速度前的0.6倍，求金属靶受到的作用力大小。
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