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第30讲　微专题五 动力学和能量观点在电磁感应中的应用
目录
[命题点研究] 1
命题点一　电磁感应中的动力学问题 1
命题点二　电磁感应中动力学和能量观点的综合应用 6
[课时训练] 10
[命题点研究]
命题点一　电磁感应中的动力学问题
1．题型简述
感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起．解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)．
2．两种状态及处理方法
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
3.动态分析的基本思路
解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度最大值或最小值的条件．具体思路如下：
（2023春 宁波期中）如图所示，平行光滑金属导轨（足够长）与水平面成37°角倾斜固定，两导轨间距为1m，上端接一标有“8V，80W”的灯泡，导轨间有方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小B＝1T的匀强磁场，一质量m＝1kg、长度为1m的金属棒MN，放在两导轨平面上，且与导轨在同一平面内，现给MN一沿导轨向下的恒力F，MN达到平衡后，小灯泡恰好正常发光。不计导轨和金属棒MN的电阻，MN沿导轨滑动过程始终与导轨接触良好且无摩擦。取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．金属棒MN沿导轨运动的过程中通过小灯泡的电流方向为从b到a
B．金属棒MN平衡时的速度大小为6m/s
C．恒力F的大小为4N
D．金属棒MN平衡时其受到重力的功率为80W
【解答】解：A、金属棒MN沿导轨运动的过程中，由右手定则可判断通过小灯泡的电流方向为从a到b，故A错误；
B、由题意结合动生电动势公式可得：U额＝E＝BLv，解代入数据解得：v＝8m/s，故B错误；
C、由受力平衡可得：F+mgsin37°＝FA
又因为安培力：，灯泡电阻：
联立解得：F＝4N，故C正确；
D、由公式：PG＝mgvsin37°，代入数据解得：PG＝48W，故D错误。
故选：C。
（多选）（2022春 浙江月考）如图所示，有两根和水平方向成α（α＜90°）角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m、电阻不计的金属杆从轨道上由静止滑下。经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则（　　）
A．如果B增大，vm将变大
B．如果α变大（仍小于90°），vm将变大
C．如果R变大，vm将变大
D．如果m变小，vm将变大
【解答】解：对金属棒受力分析，受重力、支持力和安培力（平行导轨平面向上），当棒d加速度为零时，速度达到最大，
根据平衡条件，有：mgsinα﹣FA＝0
其中：E＝BLvm
E＝IR
FA＝BIL
联立解得，最大速度为：vm①
A．由①式，如果B增大，vm将变小，故A错误；
B．由①式，如果α变大，vm将变大，故B正确；
C．由①式，如果R变大，vm将变大，故C正确；
D．由①式，如果m变小，vm将变小，故D错误；
故选：BC。
（2023春 杭州期中）如图所示，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为l＝1m，左侧接一阻值为R＝0.3Ω的电阻。区域cdef内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为s＝1m。一质量为m＝1kg、电阻为r＝0.2Ω的金属棒MN置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，受到外力F与金属棒速度v变化的关系式为F＝0.5v+0.4，从磁场的左边界由静止开始运动，测得电阻两端电压随时间均匀增大。
（1）分析并说明该金属棒在磁场中做何种运动；
（2）求磁感应强度B的大小；
（3）若外力F作用一段时间后撤去，棒运动到ef处时恰好静止，则外力F作用的时间为多少？
（4）在（3）的情形下，在撤去外力之后金属棒上产生的焦耳热。
【解答】解：（1）金属棒从磁场的左边界由静止开始运动，测得电阻两端电压随时间均匀增大，则有U＝kt
设金属棒的速度为v，则有：
可知金属棒的速度也随时间均匀增大，故金属棒做初速度为零的匀加速直线运动。
（2）当金属棒速度为v时，感应电动势为：E＝Blv
感应电流为：
导体棒受到的安培力：F安＝BIl
根据牛顿第二定律可得：F﹣F安＝ma
联立代入数据可得：0.5v+0.4﹣2B2v＝a
由于金属棒做匀加速直线运动，则有：0.5v﹣2B2v＝0，a＝0.4m/s2
解得磁感应强度的大小为：B＝0.5T
（3）设外力F作用的时间为t1，则匀加速过程有：v1＝at1
位移为：
撤去力后棒运动到ef处时恰好静止，根据动量定理可得：
又
由题设条件有：x1+x2＝s
联立解得：t1＝1s
（4）在（3）的情形下，可知撤去外力时，金属棒的速度为：v1＝at1＝0.4×1m/s＝0.4m/s
根据能量守恒可知，撤去外力之后回路产生的焦耳热为：QJ＝0.08J
则撤去外力之后金属棒上产生的焦耳热为：Q0.032J
答：（1）金属棒做初速度为零的匀加速直线运动；
（2）磁感应强度B的大小为0.5T；
（3）棒运动到ef处时恰好静止，则外力F作用的时间为1s；
（4）撤去外力之后金属棒上产生的焦耳热为0.032J。
（2022 湖北模拟）如图所示，水平面内有两根金属导轨MN、PQ平行放置，两导轨之间的距离L＝1.0m。以虚线OO'为分界线，左侧导轨粗糙，空间有水平向左的匀强磁场，磁感应强度大小B1＝1.5T，OO'右侧导轨光滑，空间有与水平面成30°的匀强磁场，磁感应强度大小B2＝0.6T。两根质量均为m＝0.50kg的均匀直金属杆AB、CD放在两导轨上，并与导轨垂直且接触良好，在导轨上接有阻值为R的固定电阻。已知两金属杆接入电路的电阻与固定电阻的阻值均为2.0Ω，其余部分电阻忽略不计，重力加速度g取10m/s2。AB杆在水平恒力F1＝2.65N作用下向左匀速运动，CD杆在水平恒力F2的作用下向右以v＝4m/s的速度做匀速运动。求：
（1）水平恒力F2的大小；
（2）金属杆AB与导轨之间的动摩擦因数μ；
（3）从某一时刻开始计时，在时间t＝5s内杆CD克服安培力做的功。
【解答】解：（1）磁感应强度B2在竖直方向的分量为：B＝B2sin30°＝0.6×0.5T＝0.3T
CD棒切割磁感应线产生的感应电动势为：E＝BLv＝0.3×1×4V＝1.2V
CD棒为电源，外电阻为R与AB棒的电阻并联，根据题意可知，AB与CD的电阻均为r＝2.0Ω，电阻R＝2.0Ω。
则电路总电阻为R总＝r，解得：R总＝3Ω
通过CD棒的电流为：IA＝0.4A
对CD，水平方向根据平衡条件可得：F2＝BIL＝0.3×0.4×1N＝0.12N；
（2）通过AB棒的电流为：I10.2A
根据左手定则可知AB棒受到的安培力方向向上，大小为FA＝B1I1L＝1.5×0.2×1N＝0.3N
对AB，水平方向根据平衡条件可得：F1＝μ（mg+FA）
代入数据解得：μ＝0.5；
（3）在t＝5s内CD杆的位移为：x＝vt＝4×5m＝20m
由于CD杆匀速运动，所以CD杆克服摩擦力做的功等于克服安培力做的功，所以有：
WA＝F2x＝0.12×20J＝2.4J。
答：（1）水平恒力F2的大小为0.12N；
（2）金属杆AB与导轨之间的动摩擦因数为0.5；
（3）从某一时刻开始计时，在时间t＝5s内杆CD克服安培力做的功为2.4J。
命题点二　电磁感应中动力学和能量观点的综合应用
1．题型简述
电磁感应过程的实质是不同形式的能量相互转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功来实现的．安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程；外力克服安培力做功的过程，则是其他形式的能转化为电能的过程．
2．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化；
(3)根据能量守恒定律或功能关系列式求解．
3．求解电能应分清两类情况
(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算．
(2)若电流变化，则
①利用安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；
②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则减少的机械能等于产生的电能．
（2022秋 宁波期末）如图所示，平行金属导轨固定在斜面上，导轨上下两端分别连着定值电阻R1和R2，且R1＝R2＝R。匀强磁场垂直于斜面向上，恒力F拉动阻值也为R的金属杆从静止开始沿导轨向上滑动，金属杆与导轨接触良好，导轨光滑且电阻不计。已知从静止开始到金属杆达到最大速度的过程中，恒力F做功为W，金属杆克服重力做功为 W1，金属杆克服安培力做功为W2，定值电阻R1上产生的焦耳热为Q，金属杆动能的增加量为ΔEk，重力势能的增加量为ΔEp，则（　　）
A．W＝2Q+W1+W2+ΔEk+ΔEp B．W＝3Q+ΔEk+ΔEp
C．W＝W2+ΔEk+ΔEp D．W2＝4Q，W1＝ΔEp
【解答】解：两定值电阻与金属杆的电阻阻值相等，两定值电阻并联，流过每个定值电阻的电流相等，流过金属杆的电流是流过两定值电阻的电流之和，定值电阻R1上产生的焦耳热为Q，根据焦耳定律Q＝I2Rt可知，定值电阻R2上产生的焦耳热也是Q，金属杆产生的焦耳热是Q金属杆＝4Q，克服安培力做功转化为焦耳热，则W2＝Q+Q+4Q＝6Q，克服重力做功转化为金属杆的重力势能，则W1＝ΔEP，拉力做功转化为金属杆的动能、重力势能与系统产生的焦耳热，系统产生的焦耳热等于金属棒克服安培力做的功，由功能关系可知：W＝W2+ΔEk+ΔEp，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2022秋 西湖区期末）如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面且方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置，接触良好。已知导体棒a质量为2m，导体棒b质量为m，长度均为l，电阻均为r，其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度v0。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b的动能增加量等于导体棒a的动能减少量
B．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b的动量改变量与导体棒a的动量改变量相同
C．从开始到最终稳定的全过程中，通过导体棒b的电荷量为
D．从开始到最终稳定的全过程中，两棒共产生的焦耳热为
【解答】解：AB．两棒组成回路，电流相同，故所受安培力合力为零，动量守恒，故任何一段时间内，导体棒b的动量改变量跟导体棒a的动量改变量总是大小相等、方向相反；根据能量守恒定律可知，a的动能减少量等于b的动能增加量与回路中产生的焦耳热之和，导体棒b的动能增加量小于导体棒a的动能减少量，故A、B错误；
CD．a、b两棒的速度最终相等，设为v，以向右为正方向，根据动量守恒定律可得2mv0＝（2m+m）v
解得：v
对b棒，由动量定理有
解得
根据能量守恒定律，两棒共产生的焦耳热为
故D错误，C正确。
故选：C。
（多选）（2022秋 沧州期末）如图所示，两电阻不计、间距为L的平行金属导轨由两部分构成，倾斜导轨光滑，水平导轨粗糙，两部分衔接在虚线1位置，两导轨的右端接有电阻值为R的定值电阻，其中水平部分存在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场。现将一质量为m、阻值为R、长为L，的导体棒由距离水平轨道h高处无初速释放，经过一段时间导体棒刚好停在虚线2位置，已知虚线1、2之间的距离为d，导体棒与水平导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。导体棒经过衔接处的能量损失不计，导体棒与导轨始终保持垂直且良好的接触。则下列说法正确的是（　　）
A．定值电阻上产生的焦耳热为
B．整个过程系统产生的总热量为mgh﹣μmgd
C．导体棒刚经过虚线1瞬间的加速度大小为
D．导体棒由虚线1到虚线2的时间为
【解答】解：B、设导体棒克服安培力做功为W1、克服摩擦力做功为W2，由动能定理得mgh﹣μmgd﹣W1＝0，则整个过程系统产生的热量为Q＝μmgd+W1＝mgh，故B错误；
A、导体棒克服安培力所做的功为W1＝mgh﹣μmgd，则电路中产生的总总的焦耳热Q＝W1＝mg（h﹣μd），则定值电阻上产生的焦耳热为Q'，故A正确；
C、导体棒在下滑过程中，其机械能守恒，由机械能守恒定律得mgh
导体棒进入磁场瞬间的感应电动势为E＝BLv0＝ma
由闭合电路欧姆定律得I
又F＝BIL
由牛顿第二定律得μmg+F＝ma
解得：aμg
故C错误；
D、金属棒经过磁场通过某截面的电量为qt Δt
根据动量定理﹣BLΔt﹣μmgΔt＝0﹣mv0
解得：Δt
故D正确；
故选：AD。
（2022秋 河南期末）如图1所示，平行金属导轨ADCE倾斜固定放置，导轨间距L＝1m，导轨平面与水平面之间的夹角为θ＝37°，导轨下端连接阻值R＝1Ω的电阻。导轨电阻不计，将质量为m、长为1.0m、电阻为r＝2Ω的金属棒ab垂直放在导轨上，并将其锁定，金属棒离导轨下端的距离为6m，导轨处在垂直于导轨平面向上的磁场中，磁场的磁感应强度B随时间t变化情况如图2所示。t＝0时刻，解除金属棒的锁定，此时金属棒刚好不上滑，t＝1s时刻，金属棒刚好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导体棒ab沿导轨向下运动到达导轨底端前已达最大速度，导体棒ab与导轨始终接触良好，重力加速度取g＝10m/s2，sin37°＝0.6。求：
（1）金属棒的质量m及金属棒与导轨间的动摩擦因数μ；
（2）金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度vm大小；
（3）从t＝0时刻至导体棒ab运动到导轨最底端的过程中，导体棒ab中产生的焦耳热。
【解答】解：（1）t＝0时刻，解除金属棒的锁定，金属棒速度为0，回路中的感应电动势：E16V
金属棒中感应电流：I1A＝2A
金属棒受到的安培力：F安1＝B0I1L＝2×2×1N＝4N
方向沿斜面向上，此时金属棒刚好不上滑，摩擦力方向沿斜面向下，对金属棒受力分析，在沿斜面方向应有：f+mgsinθ＝F安1
在垂直于斜面方向有：FN＝mgcosθ
而滑动摩擦力：f＝μFN
0～1s内，F安1随B的减小而减小，f先减小后增大，金属棒始终静止不动，t＝1s时刻，金属棒刚好不下滑，受力分析应有：mgsinθ＝F安2+f
其中：F安2＝B1I1L＝1×2×1N＝2N
联立解得金属棒的质量：m＝0.5kg
导轨间的动摩擦因数：μ＝0.25
（2）t＝1s后，金属棒开始向下做加速度减小的加速运动直至加速度为0，最终做匀速直线运动，因此金属棒ab沿导轨向下运动有最大速度vm时，加速度为0，由牛顿第二定律有：mgsinθ﹣F安2﹣f＝0
其中：F安2＝B1I2L＝BB
联立解得：vm＝6m/s
（3）从t＝0时刻至t＝1s时刻，回路中感应电流大小始终为I1，导体棒ab中产生的焦耳热：Q1rt1＝22×2×1J＝8J
从t＝1时刻至导体棒ab沿导轨向下运动到达导轨底端，根据能量守恒定律有：mgxsinθQ+fx
解得：Q＝3J
根据串联电路特征可知，此过程中导体棒ab中产生的焦耳热：Q2J＝2J
从t＝0时刻至导体棒ab运动到导轨最底端的过程中，导体棒ab中产生的焦耳热：Qr＝Q1+Q2＝8J+2J＝10J
答：（1）金属棒的质量m为0.5kg，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ为0.25；
（2）金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度vm大小为6m/s；
（3）从t＝0时刻至导体棒ab运动到导轨最底端的过程中，导体棒ab中产生的焦耳热为10J。
[课时训练]
（2022秋 宁波期末）如图所示，平行金属导轨固定在斜面上，导轨上下两端分别连着定值电阻R1和R2，且R1＝R2＝R。匀强磁场垂直于斜面向上，恒力F拉动阻值也为R的金属杆从静止开始沿导轨向上滑动，金属杆与导轨接触良好，导轨光滑且电阻不计。已知从静止开始到金属杆达到最大速度的过程中，恒力F做功为W，金属杆克服重力做功为 W1，金属杆克服安培力做功为W2，定值电阻R1上产生的焦耳热为Q，金属杆动能的增加量为ΔEk，重力势能的增加量为ΔEp，则（　　）
A．W＝2Q+W1+W2+ΔEk+ΔEp B．W＝3Q+ΔEk+ΔEp
C．W＝W2+ΔEk+ΔEp D．W2＝4Q，W1＝ΔEp
【解答】解：两定值电阻与金属杆的电阻阻值相等，两定值电阻并联，流过每个定值电阻的电流相等，流过金属杆的电流是流过两定值电阻的电流之和，定值电阻R1上产生的焦耳热为Q，根据焦耳定律Q＝I2Rt可知，定值电阻R2上产生的焦耳热也是Q，金属杆产生的焦耳热是Q金属杆＝4Q，克服安培力做功转化为焦耳热，则W2＝Q+Q+4Q＝6Q，克服重力做功转化为金属杆的重力势能，则W1＝ΔEP，拉力做功转化为金属杆的动能、重力势能与系统产生的焦耳热，系统产生的焦耳热等于金属棒克服安培力做的功，由功能关系可知：W＝W2+ΔEk+ΔEp，故C正确，ABD错误。
故选：C。
（2022秋 西湖区期末）如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面且方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置，接触良好。已知导体棒a质量为2m，导体棒b质量为m，长度均为l，电阻均为r，其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度v0。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b的动能增加量等于导体棒a的动能减少量
B．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b的动量改变量与导体棒a的动量改变量相同
C．从开始到最终稳定的全过程中，通过导体棒b的电荷量为
D．从开始到最终稳定的全过程中，两棒共产生的焦耳热为
【解答】解：AB．两棒组成回路，电流相同，故所受安培力合力为零，动量守恒，故任何一段时间内，导体棒b的动量改变量跟导体棒a的动量改变量总是大小相等、方向相反；根据能量守恒定律可知，a的动能减少量等于b的动能增加量与回路中产生的焦耳热之和，导体棒b的动能增加量小于导体棒a的动能减少量，故A、B错误；
CD．a、b两棒的速度最终相等，设为v，以向右为正方向，根据动量守恒定律可得2mv0＝（2m+m）v
解得：v
对b棒，由动量定理有
解得
根据能量守恒定律，两棒共产生的焦耳热为
故D错误，C正确。
故选：C。
（多选）（2022秋 沧州期末）如图所示，两电阻不计、间距为L的平行金属导轨由两部分构成，倾斜导轨光滑，水平导轨粗糙，两部分衔接在虚线1位置，两导轨的右端接有电阻值为R的定值电阻，其中水平部分存在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场。现将一质量为m、阻值为R、长为L，的导体棒由距离水平轨道h高处无初速释放，经过一段时间导体棒刚好停在虚线2位置，已知虚线1、2之间的距离为d，导体棒与水平导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。导体棒经过衔接处的能量损失不计，导体棒与导轨始终保持垂直且良好的接触。则下列说法正确的是（　　）
A．定值电阻上产生的焦耳热为
B．整个过程系统产生的总热量为mgh﹣μmgd
C．导体棒刚经过虚线1瞬间的加速度大小为
D．导体棒由虚线1到虚线2的时间为
【解答】解：B、设导体棒克服安培力做功为W1、克服摩擦力做功为W2，由动能定理得mgh﹣μmgd﹣W1＝0，则整个过程系统产生的热量为Q＝μmgd+W1＝mgh，故B错误；
A、导体棒克服安培力所做的功为W1＝mgh﹣μmgd，则电路中产生的总总的焦耳热Q＝W1＝mg（h﹣μd），则定值电阻上产生的焦耳热为Q'，故A正确；
C、导体棒在下滑过程中，其机械能守恒，由机械能守恒定律得mgh
导体棒进入磁场瞬间的感应电动势为E＝BLv0＝ma
由闭合电路欧姆定律得I
又F＝BIL
由牛顿第二定律得μmg+F＝ma
解得：aμg
故C错误；
D、金属棒经过磁场通过某截面的电量为qt Δt
根据动量定理﹣BLΔt﹣μmgΔt＝0﹣mv0
解得：Δt
故D正确；
故选：AD。
（2022秋 河南期末）如图1所示，平行金属导轨ADCE倾斜固定放置，导轨间距L＝1m，导轨平面与水平面之间的夹角为θ＝37°，导轨下端连接阻值R＝1Ω的电阻。导轨电阻不计，将质量为m、长为1.0m、电阻为r＝2Ω的金属棒ab垂直放在导轨上，并将其锁定，金属棒离导轨下端的距离为6m，导轨处在垂直于导轨平面向上的磁场中，磁场的磁感应强度B随时间t变化情况如图2所示。t＝0时刻，解除金属棒的锁定，此时金属棒刚好不上滑，t＝1s时刻，金属棒刚好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导体棒ab沿导轨向下运动到达导轨底端前已达最大速度，导体棒ab与导轨始终接触良好，重力加速度取g＝10m/s2，sin37°＝0.6。求：
（1）金属棒的质量m及金属棒与导轨间的动摩擦因数μ；
（2）金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度vm大小；
（3）从t＝0时刻至导体棒ab运动到导轨最底端的过程中，导体棒ab中产生的焦耳热。
【解答】解：（1）t＝0时刻，解除金属棒的锁定，金属棒速度为0，回路中的感应电动势：E16V
金属棒中感应电流：I1A＝2A
金属棒受到的安培力：F安1＝B0I1L＝2×2×1N＝4N
方向沿斜面向上，此时金属棒刚好不上滑，摩擦力方向沿斜面向下，对金属棒受力分析，在沿斜面方向应有：f+mgsinθ＝F安1
在垂直于斜面方向有：FN＝mgcosθ
而滑动摩擦力：f＝μFN
0～1s内，F安1随B的减小而减小，f先减小后增大，金属棒始终静止不动，t＝1s时刻，金属棒刚好不下滑，受力分析应有：mgsinθ＝F安2+f
其中：F安2＝B1I1L＝1×2×1N＝2N
联立解得金属棒的质量：m＝0.5kg
导轨间的动摩擦因数：μ＝0.25
（2）t＝1s后，金属棒开始向下做加速度减小的加速运动直至加速度为0，最终做匀速直线运动，因此金属棒ab沿导轨向下运动有最大速度vm时，加速度为0，由牛顿第二定律有：mgsinθ﹣F安2﹣f＝0
其中：F安2＝B1I2L＝BB
联立解得：vm＝6m/s
（3）从t＝0时刻至t＝1s时刻，回路中感应电流大小始终为I1，导体棒ab中产生的焦耳热：Q1rt1＝22×2×1J＝8J
从t＝1时刻至导体棒ab沿导轨向下运动到达导轨底端，根据能量守恒定律有：mgxsinθQ+fx
解得：Q＝3J
根据串联电路特征可知，此过程中导体棒ab中产生的焦耳热：Q2J＝2J
从t＝0时刻至导体棒ab运动到导轨最底端的过程中，导体棒ab中产生的焦耳热：Qr＝Q1+Q2＝8J+2J＝10J
答：（1）金属棒的质量m为0.5kg，金属棒与导轨间的动摩擦因数μ为0.25；
（2）金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度vm大小为6m/s；
（3）从t＝0时刻至导体棒ab运动到导轨最底端的过程中，导体棒ab中产生的焦耳热为10J。
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[命题点研究] 1
命题点一　电磁感应中的动力学问题 1
命题点二　电磁感应中动力学和能量观点的综合应用 4
[课时训练] 7
[命题点研究]
命题点一　电磁感应中的动力学问题
1．题型简述
感应电流在磁场中受到安培力的作用，因此电磁感应问题往往跟力学问题联系在一起．解决这类问题需要综合应用电磁感应规律(法拉第电磁感应定律、楞次定律)及力学中的有关规律(共点力的平衡条件、牛顿运动定律、动能定理等)．
2．两种状态及处理方法
状态 特征 处理方法
平衡态 加速度为零 根据平衡条件列式分析
非平衡态 加速度不为零 根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系进行分析
3.动态分析的基本思路
解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度最大值或最小值的条件．具体思路如下：
（2023春 宁波期中）如图所示，平行光滑金属导轨（足够长）与水平面成37°角倾斜固定，两导轨间距为1m，上端接一标有“8V，80W”的灯泡，导轨间有方向垂直导轨平面向上、磁感应强度大小B＝1T的匀强磁场，一质量m＝1kg、长度为1m的金属棒MN，放在两导轨平面上，且与导轨在同一平面内，现给MN一沿导轨向下的恒力F，MN达到平衡后，小灯泡恰好正常发光。不计导轨和金属棒MN的电阻，MN沿导轨滑动过程始终与导轨接触良好且无摩擦。取重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．金属棒MN沿导轨运动的过程中通过小灯泡的电流方向为从b到a
B．金属棒MN平衡时的速度大小为6m/s
C．恒力F的大小为4N
D．金属棒MN平衡时其受到重力的功率为80W
（多选）（2022春 浙江月考）如图所示，有两根和水平方向成α（α＜90°）角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面向上的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m、电阻不计的金属杆从轨道上由静止滑下。经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则（　　）
A．如果B增大，vm将变大
B．如果α变大（仍小于90°），vm将变大
C．如果R变大，vm将变大
D．如果m变小，vm将变大
（2023春 杭州期中）如图所示，光滑的平行金属导轨水平放置，电阻不计，导轨间距为l＝1m，左侧接一阻值为R＝0.3Ω的电阻。区域cdef内存在垂直轨道平面向下的有界匀强磁场，磁场宽度为s＝1m。一质量为m＝1kg、电阻为r＝0.2Ω的金属棒MN置于导轨上，与导轨垂直且接触良好，受到外力F与金属棒速度v变化的关系式为F＝0.5v+0.4，从磁场的左边界由静止开始运动，测得电阻两端电压随时间均匀增大。
（1）分析并说明该金属棒在磁场中做何种运动；
（2）求磁感应强度B的大小；
（3）若外力F作用一段时间后撤去，棒运动到ef处时恰好静止，则外力F作用的时间为多少？
（4）在（3）的情形下，在撤去外力之后金属棒上产生的焦耳热。
（2022 湖北模拟）如图所示，水平面内有两根金属导轨MN、PQ平行放置，两导轨之间的距离L＝1.0m。以虚线OO'为分界线，左侧导轨粗糙，空间有水平向左的匀强磁场，磁感应强度大小B1＝1.5T，OO'右侧导轨光滑，空间有与水平面成30°的匀强磁场，磁感应强度大小B2＝0.6T。两根质量均为m＝0.50kg的均匀直金属杆AB、CD放在两导轨上，并与导轨垂直且接触良好，在导轨上接有阻值为R的固定电阻。已知两金属杆接入电路的电阻与固定电阻的阻值均为2.0Ω，其余部分电阻忽略不计，重力加速度g取10m/s2。AB杆在水平恒力F1＝2.65N作用下向左匀速运动，CD杆在水平恒力F2的作用下向右以v＝4m/s的速度做匀速运动。求：
（1）水平恒力F2的大小；
（2）金属杆AB与导轨之间的动摩擦因数μ；
（3）从某一时刻开始计时，在时间t＝5s内杆CD克服安培力做的功。
命题点二　电磁感应中动力学和能量观点的综合应用
1．题型简述
电磁感应过程的实质是不同形式的能量相互转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功来实现的．安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程；外力克服安培力做功的过程，则是其他形式的能转化为电能的过程．
2．解题的一般步骤
(1)确定研究对象(导体棒或回路)；
(2)弄清电磁感应过程中，哪些力做功，哪些形式的能量相互转化；
(3)根据能量守恒定律或功能关系列式求解．
3．求解电能应分清两类情况
(1)若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算．
(2)若电流变化，则
①利用安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；
②利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则减少的机械能等于产生的电能．
（2022秋 宁波期末）如图所示，平行金属导轨固定在斜面上，导轨上下两端分别连着定值电阻R1和R2，且R1＝R2＝R。匀强磁场垂直于斜面向上，恒力F拉动阻值也为R的金属杆从静止开始沿导轨向上滑动，金属杆与导轨接触良好，导轨光滑且电阻不计。已知从静止开始到金属杆达到最大速度的过程中，恒力F做功为W，金属杆克服重力做功为 W1，金属杆克服安培力做功为W2，定值电阻R1上产生的焦耳热为Q，金属杆动能的增加量为ΔEk，重力势能的增加量为ΔEp，则（　　）
A．W＝2Q+W1+W2+ΔEk+ΔEp B．W＝3Q+ΔEk+ΔEp
C．W＝W2+ΔEk+ΔEp D．W2＝4Q，W1＝ΔEp
（2022秋 西湖区期末）如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面且方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置，接触良好。已知导体棒a质量为2m，导体棒b质量为m，长度均为l，电阻均为r，其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度v0。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b的动能增加量等于导体棒a的动能减少量
B．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b的动量改变量与导体棒a的动量改变量相同
C．从开始到最终稳定的全过程中，通过导体棒b的电荷量为
D．从开始到最终稳定的全过程中，两棒共产生的焦耳热为
（多选）（2022秋 沧州期末）如图所示，两电阻不计、间距为L的平行金属导轨由两部分构成，倾斜导轨光滑，水平导轨粗糙，两部分衔接在虚线1位置，两导轨的右端接有电阻值为R的定值电阻，其中水平部分存在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场。现将一质量为m、阻值为R、长为L，的导体棒由距离水平轨道h高处无初速释放，经过一段时间导体棒刚好停在虚线2位置，已知虚线1、2之间的距离为d，导体棒与水平导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。导体棒经过衔接处的能量损失不计，导体棒与导轨始终保持垂直且良好的接触。则下列说法正确的是（　　）
A．定值电阻上产生的焦耳热为
B．整个过程系统产生的总热量为mgh﹣μmgd
C．导体棒刚经过虚线1瞬间的加速度大小为
D．导体棒由虚线1到虚线2的时间为
（2022秋 河南期末）如图1所示，平行金属导轨ADCE倾斜固定放置，导轨间距L＝1m，导轨平面与水平面之间的夹角为θ＝37°，导轨下端连接阻值R＝1Ω的电阻。导轨电阻不计，将质量为m、长为1.0m、电阻为r＝2Ω的金属棒ab垂直放在导轨上，并将其锁定，金属棒离导轨下端的距离为6m，导轨处在垂直于导轨平面向上的磁场中，磁场的磁感应强度B随时间t变化情况如图2所示。t＝0时刻，解除金属棒的锁定，此时金属棒刚好不上滑，t＝1s时刻，金属棒刚好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导体棒ab沿导轨向下运动到达导轨底端前已达最大速度，导体棒ab与导轨始终接触良好，重力加速度取g＝10m/s2，sin37°＝0.6。求：
（1）金属棒的质量m及金属棒与导轨间的动摩擦因数μ；
（2）金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度vm大小；
（3）从t＝0时刻至导体棒ab运动到导轨最底端的过程中，导体棒ab中产生的焦耳热。
[课时训练]
（2022秋 宁波期末）如图所示，平行金属导轨固定在斜面上，导轨上下两端分别连着定值电阻R1和R2，且R1＝R2＝R。匀强磁场垂直于斜面向上，恒力F拉动阻值也为R的金属杆从静止开始沿导轨向上滑动，金属杆与导轨接触良好，导轨光滑且电阻不计。已知从静止开始到金属杆达到最大速度的过程中，恒力F做功为W，金属杆克服重力做功为 W1，金属杆克服安培力做功为W2，定值电阻R1上产生的焦耳热为Q，金属杆动能的增加量为ΔEk，重力势能的增加量为ΔEp，则（　　）
A．W＝2Q+W1+W2+ΔEk+ΔEp B．W＝3Q+ΔEk+ΔEp
C．W＝W2+ΔEk+ΔEp D．W2＝4Q，W1＝ΔEp
（2022秋 西湖区期末）如图所示，足够长的水平光滑金属导轨所在空间中，分布着垂直于导轨平面且方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。两导体棒a、b均垂直于导轨静止放置，接触良好。已知导体棒a质量为2m，导体棒b质量为m，长度均为l，电阻均为r，其余部分电阻不计。现使导体棒a获得瞬时平行于导轨水平向右的初速度v0。除磁场作用外，两棒沿导轨方向无其他外力作用，在两导体棒运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b的动能增加量等于导体棒a的动能减少量
B．从开始到最终稳定的任意一段时间内，导体棒b的动量改变量与导体棒a的动量改变量相同
C．从开始到最终稳定的全过程中，通过导体棒b的电荷量为
D．从开始到最终稳定的全过程中，两棒共产生的焦耳热为
（多选）（2022秋 沧州期末）如图所示，两电阻不计、间距为L的平行金属导轨由两部分构成，倾斜导轨光滑，水平导轨粗糙，两部分衔接在虚线1位置，两导轨的右端接有电阻值为R的定值电阻，其中水平部分存在竖直向上、磁感应强度为B的匀强磁场。现将一质量为m、阻值为R、长为L，的导体棒由距离水平轨道h高处无初速释放，经过一段时间导体棒刚好停在虚线2位置，已知虚线1、2之间的距离为d，导体棒与水平导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。导体棒经过衔接处的能量损失不计，导体棒与导轨始终保持垂直且良好的接触。则下列说法正确的是（　　）
A．定值电阻上产生的焦耳热为
B．整个过程系统产生的总热量为mgh﹣μmgd
C．导体棒刚经过虚线1瞬间的加速度大小为
D．导体棒由虚线1到虚线2的时间为
（2022秋 河南期末）如图1所示，平行金属导轨ADCE倾斜固定放置，导轨间距L＝1m，导轨平面与水平面之间的夹角为θ＝37°，导轨下端连接阻值R＝1Ω的电阻。导轨电阻不计，将质量为m、长为1.0m、电阻为r＝2Ω的金属棒ab垂直放在导轨上，并将其锁定，金属棒离导轨下端的距离为6m，导轨处在垂直于导轨平面向上的磁场中，磁场的磁感应强度B随时间t变化情况如图2所示。t＝0时刻，解除金属棒的锁定，此时金属棒刚好不上滑，t＝1s时刻，金属棒刚好不下滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导体棒ab沿导轨向下运动到达导轨底端前已达最大速度，导体棒ab与导轨始终接触良好，重力加速度取g＝10m/s2，sin37°＝0.6。求：
（1）金属棒的质量m及金属棒与导轨间的动摩擦因数μ；
（2）金属棒ab沿导轨向下运动的最大速度vm大小；
（3）从t＝0时刻至导体棒ab运动到导轨最底端的过程中，导体棒ab中产生的焦耳热。
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