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第8讲　曲线运动　运动的合成与分解
目录
[考试标准] 1
[基础过关] 1
一、曲线运动 1
二、运动的合成与分解 2
[命题点研究] 2
命题点一　曲线运动的条件及轨迹 2
命题点二　运动的合成与分解 5
命题点三　小船渡河模型 9
命题点四　绳(杆)端速度分解模型 13
[课时训练] 18
[考试标准]
知识内容 考试要求 说明
曲线运动 b 不要求会画速度变化量矢量图.
运动的合成与分解 c
[基础过关]
一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，是沿曲线在这一点的切线方向．
2．运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度．
3．物体做曲线运动的条件：
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上．
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上．
4．合外力方向与轨迹的关系：
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．
二、运动的合成与分解
1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．合运动的性质判断
[命题点研究]
命题点一　曲线运动的条件及轨迹
1．曲线运动的特点
速度方向 时刻改变，某时刻的速度方向沿曲线上物体所处位置的切线方向
运动性质 变速运动
受力 合力与速度方向不共线
位移与路程的关系 位移大小小于路程
合力 合力不为0，指向曲线凹侧
轨迹 夹在速度方向与合力方向之间
2.判断物体是否做曲线运动的方法
判断物体是做曲线运动还是做直线运动，关键要看a和v的方向，两者方向在同一直线上则做直线运动，不在同一直线上则做曲线运动．
3．判断物体速度大小增减的方法
根据合力方向与速度方向的夹角，判断物体的速度大小变化情况：夹角为锐角时，速度大小变大；夹角为钝角时，速度大小变小；合力方向与速度方向总是垂直时，速度大小不变．
（2022春 拱墅区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．做曲线运动的物体所受的合力一定是变化的
B．两个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动
C．做匀速圆周运动的物体的加速度大小恒定，方向始终指向圆心
D．做曲线运动的物体，其速度方向与加速度方向可能在同一条直线上
【解答】解：A．做曲线运动的物体所受的合力不一定是变化的，如平抛运动，合力为重力，保持不变，故A错误；
B．两个匀变速直线运动的合运动，当合速度方向与合加速度方向在同一直线时，合运动为匀变速直线运动，故B错误；
C．根据匀速圆周运动的特点可知，做匀速圆周运动的物体的加速度大小恒定，方向始终指向圆心，故C正确；
D．做曲线运动的物体，其速度方向与加速度方向一定不在同一条直线上，故D错误。
故选：C。
（2022春 镇海区校级期末）如图所示，舰载机歼﹣15在“辽宁号”甲板上沿曲线MN向上加速爬升，图中画出表示该舰载机受到合力的四种方向其中可能的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：歼﹣15从M点运动到N点做曲线运动，合力方向指向轨迹弯曲方向，又由于飞机做加速运动，则有沿切线方向与速度同向的分力，即合力方向与速度方向夹角为锐角，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2023 乙卷）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据曲线运动的特点可知，曲线运动速度方向沿运动轨迹的切线方向，合力方向指向运动轨迹的凹侧。小车做曲线运动，且动能一直增加，则小车所受合力方向与运动方向夹角为锐角，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023春 兰州期中）如图所示，乒乓球从斜面上滚下后在水平桌面上沿直线运动。在与乒乓球运动路线垂直的方向上横放一个纸筒（纸筒开口略大于乒乓球直径）。人趴在桌子边沿并鼓起嘴巴正对纸筒口，当乒乓球经过筒口时，对着乒乓球向筒口吹气，则乒乓球被吹后（　　）
A．保持原运动方向继续前进
B．一定能沿吹气方向进入纸筒
C．偏离原运动方向滚向纸筒左侧
D．偏离原运动方向滚向纸筒右侧
【解答】解：一开始乒乓球向右运动，当乒乓球受到沿纸筒方向的吹气的力后，乒乓球参与了两个方向的分运动，会偏离原运动方向滚向纸筒右侧；由于惯性，乒乓球不可能吹气方向进入纸筒。故ABC错误，D正确。
故选：D。
（2023春 兰州期中）在一次校园足球联赛中，如图所示，比赛进行到59分钟时王同学以一记“香蕉球”破门赢得比赛。下列说法正确是（　　）
A．足球在空中运动时只受重力
B．足球在空中的运动一定是匀变速运动
C．足球在空中一定是变速运动
D．研究如何踢出香蕉球时，足球可看作质点
【解答】解：A．足球在空中运动时除了受重力外，还受到空气的作用力，否则不可能出现“香蕉球”，故A错误；
B．由于速度变化，空气阻力的方向也会发生变化，空气阻力是变力，则重力和空气阻力的合力为变力，a发生变化，故B错误；
C．从图中足球轨迹看，足球在空中运动的速度方向在发生变化，所以一定是变速运动，故C正确；
D．研究如何踢出香蕉球时，需要研究足球不同部位所受力的情况，不能把足球看作质点，故D错误。
故选：C。
命题点二　运动的合成与分解
1．运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动和分运动具有等时性，这是处理运动分解问题的切入点．
3．合运动是物体的实际运动，而分运动是物体同时参与的几个运动，并不是物体的实际运动．
4．两个分运动是直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，这是由合初速度与合加速度是否共线决定的．
（2023 浙江模拟）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示，图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹。O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．炮弹到达最高点b时的加速度为g
B．炮弹经过c点时的加速度方向沿该点切线斜向上
C．炮弹经过a点时加速度的竖直分量大于g
D．炮弹由a点运动到b点的时间与由b点运动到c点的时间相等
【解答】解：A．在最高点b，炮弹除了受重力还受到向后的空气阻力，加速度大于g，故A错误；
B．根据曲线运动特点，炮弹经过c点时加速度方向一定指向轨迹凹侧，故B错误；
C．炮弹经过a点时，受空气阻力和重力共同作用，空气阻力方向与速度方向相反斜向左下方，根据牛顿第二定律，加速度的竖直分量由重力和空气阻力竖直分力相加得出，所以炮弹经过a点时加速度的竖直分量大于g，故C正确；
D．设炮弹由a点运动到b点过程中，受阻力平均竖直分量为f1，由b点运动到c点过程中，受阻力平均竖直分量为f2，根据牛顿第二定律，则前、后两个过程炮弹竖直平均加速度大小分别为
根据运动学规律，炮弹由a点运动到b点时间小于由b点运动到c点时间，故D错误。
故选：C。
（2022春 温州期末）如图所示，在杂技表演中，表演者顶着杆沿水平地面向右匀速运动与此同时猴子从A点开始沿竖直杆向上做匀加速运动，最终达到B点。若以地面为参考系，猴子从A点到B点的运动轨迹可能是图中的（　　）
A．曲线1 B．曲线2 C．直线3 D．曲线4
【解答】解：由题意，小猴子从A点到B点沿水平方向为匀速直线运动，加速度为零；沿杆向上做匀加速直线运动，加速度向上，故小猴子的实际加速度竖直向上；初速度与加速度不在一条直线上，所以小猴子的运动轨迹为向上弯曲的曲线。故D正确，ABC错误；
故选：D。
（2022春 镇海区校级期末）如图所示为教室里可以沿水平方向滑动的黑板，一位老师用粉笔在其中可移动的黑板上画线。若粉笔相对于地面从静止开始向下匀加速直线滑动，同时一同学推动黑板以某一速度水平向左匀速滑动，取水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则粉笔在黑板上所画出的轨迹可能为下列图中的（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：黑板以某一速度水平向左匀速滑动，则相对而言，粉笔以某一速度水平向右匀速运动，同时从静止开始匀加速向下滑动，根据做曲线运动的物体所受合外力一定指向曲线凹侧，则粉笔在水平方向始终匀速，在竖直方向向下加速，由运动的合成与分解，结合矢量合成法则，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2021秋 浙江期中）在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点（0，0）开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图像如图甲、乙所示，下列说法中正确的是（　　）
A．0～2s内物体沿x轴做匀变速曲线运动
B．0～2s内物体的平均速度为2m/s
C．4s末物体坐标为（6m，2m）
D．2～4s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向
【解答】解：AD、0﹣2s内，物体沿x轴方向做匀变速直线运动，在2s～4s内，物体在x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做匀加速直线运动，根据运动的合成得知，物体做匀变速曲线运动，加速度沿y轴方向，故AD错误；
B、0～2s内，在x方向上物体的速度为vx＝2m/s，在y方向上速度为vy＝0m/s，那么物体的平均速度为m/s＝1m/s，故B错误；
C、在前2s内，物体在x轴方向根据平均速度公式可以得到位移为：x1t2m＝2m；
在后2s内，x轴方向的位移为x2＝vxt＝2×2m＝4m，y轴方向根据平均速度公式可以得到位移为：yt2m＝2m，则4s末物体的坐标为（x1+x2，y），即为（6m，2m），故C正确；
故选：C。
（2021春 绍兴期末）在一次杂技表演中，表演者顶着杆沿水平地面运动，其x﹣t图像如图甲所示。与此同时猴子沿竖直杆向上运动，如图乙所示，其v﹣t图像如图丙所示，若以地面为参考系，下列说法中正确的是（　　）
A．猴子的运动轨迹为直线
B．t＝0时猴子的速度大小为8m/s
C．t＝2s时猴子的加速度大小为4m/s2
D．猴子在前2s内运动的位移大小为16m
【解答】解：A、由丙图知，猴子竖直方向上做匀减速直线运动，竖直方向加速度竖直向下，由乙图知，猴子水平方向上做匀速直线运动，水平方向加速度为0，则猴子的合加速度竖直向下，与初速度方向不在同一直线上，所以猴子在2s内做匀变速曲线运动，运动轨迹为曲线，故A错误；
C、x﹣t图象的斜率等于速度，则知猴子水平方向的初速度大小为：vxm/s＝4m/s，t＝0时猴子竖直方向分速度：vy＝8m/s，根据矢量运算法则可知，t＝0时，猴子的速度：v0m/s＝4m/s，故B错误；
C、猴子在水平方向上没有加速度，v﹣t 图象的斜率等于加速度，可知猴子沿竖直方向的加速度大小为a4m/s2，故C正确；
D、v﹣t图中图线与时间轴之间的面积表示位移，由图乙可知，0～2s内的猴子沿竖直方向位移大小为ym＝8m；
由丙图知，猴子水平方向上做匀速直线运动，0～2s内的沿水平方向位移大小为8m，所以猴子在0～2s内的位移大小为：sm＝8m，故D错误。
故选：C。
命题点三　小船渡河模型
小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)．
②过河路径最短(v2③过河路径最短(v2>v1时)：合速度
图5
不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图5所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d.
（2022春 温州期中）如图所示，一只小船横渡一条河流。小船船头垂直于河岸，自A点出发沿直线抵达对岸的B点，历时20s，且知AB与河岸的夹角α＝37°，河水流速大小为4m/s，小船相对静水的速度不变。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列判断中错误的是（　　）
A．河流的宽度为60m
B．小船相对静水速度的大小为3m/s
C．无论怎样调整小船的航向，α不可能超过37°
D．无论怎样调整小船的航向，小船渡河的位移都不可能小于80m
【解答】解：小船顺着河流发生的位移为x＝v水t＝4×20m＝80m，根据数学知识，河流的宽度d＝xtan37°，故A正确。
B.根据等时性，小船过河时间为t，小船在静水中的速度，故B正确。
CD.由于船速小于水速，小船不可能垂直过河，当船速和水速的合速度与船速垂直时，位移最小，如图所受；设此时船头指向上游，合速度与河岸成θ，根据数学知识sinθsin37°＝0.6；根据直角三角形边角关系，得小船的过河位移，即小船渡河的最小位移为80m，故C错误，D正确。
本题选择错误的选项。
故选：C。
（2022春 浙江期中）小船横渡一条河，为尽快到达对岸，船头方向始终与河岸垂直，为避免船撞击河岸，小船先加速后减速，恰好使小船到达河对岸时速度为0，若小船在静水中的行驶速度v1和水的流速v2如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．小船的运动轨迹为直线
B．小船渡河的河宽是240m
C．小船渡河的过程中最大速度是7m/s
D．小船到达对岸时沿河岸方向运动了180m
【解答】解：A、小船在静水中先做加速运动后做减速运动，具有加速度，水流速度匀速不变，所以小船的运动轨迹是曲线，故A错误；
B、研究垂直于河岸方向的运动，速度﹣时间图像围成的面积表示位移，则小船渡河的宽度dm＝120m，故B错误；
C、根据矢量合成法则可知，小船在静水中的速度最大时，渡河速度最大，有m/s＝5m/s，故C错误；
D、根据运动的等时性可知，小船沿河岸方向运动了60s，距离为x＝3×60m＝180m，故D正确。
故选：D。
（2021 上海一模）如图所示，小船以大小为v（船在静水中的速度）、方向与上游河岸成θ的速度从O处过河，经过一段时间，正好到达正对岸的O′处．现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸的O′处．在水流速度不变的情况下，可采取的方法是（　　）
A．θ角不变且v增大 B．θ角减小且v增大
C．θ角增大且v减小 D．θ角增大且v增大
【解答】解：由题意可知，船相对水的速度为v1，其航线恰好垂直于河岸，当水流速度稍有增大，为保持航线不变，且能到达对岸，则如图所示，可知，故D正确，ABC错误；
故选：D。
（2020 平谷区一模）深刻理解运动的合成和分解的思想，可以帮助我们轻松处理比较复杂的问题。小船在流动的河水中行驶时，如图乙所示。假设河水静止，小船在发动机的推动下沿OA方向运动，经时间t运动至对岸A处，位移为x1；若小船发动机关闭，小船在水流的冲击作用下从O点沿河岸运动，经相同时间t运动至下游B处，位移为x小船在流动的河水中，从O点出发，船头朝向OA方向开动发动机行驶时，小船同时参与了上述两种运动，实际位移x为上述两个分运动位移的矢量和，即此时小船将到达对岸C处。请运用以上思想，分析下述问题：弓箭手用弓箭射击斜上方某位置处的一个小球，如图丙所示。弓箭手用箭瞄准小球后，以初速度v0将箭射出，同时将小球由静止释放。箭射出时箭头与小球间的距离为L，空气阻力不计。请分析说明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高时被射中；若不能射中，求小球落地前与箭头的最近距离。
【解答】解：如图所示：
箭射出后，若不受重力，将沿初速度方向做匀速直线运动，经时间t从P运动至小球初始位置D处，位移为x1＝L；脱离弓后，若箭的初速度为零，将沿竖直方向做自由落体运动，经相同时间t从P运动至E，位移为x2；箭射出后的实际运动，同时参与了上述两种运动，实际位移x为上述两个分运动位移的矢量和（遵循平行四边形定则），即此时箭将到达F处。小球由静止释放后做自由落体运动，经相同时间t运动的位移与箭在竖直方向分位移x2相同，即小球与箭同时到达F处，能够射中小球。
若不受重力，箭从P运动至小球初始位置D处的时间：t
射中时小球下落的高度：hgt2，解得：h
答：能射中，小球下落时被射中。
命题点四　绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图8所示．
（2023 浙江模拟）如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB，OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB长为R，连杆AB长为L（L＞R），当OB杆以角速度ω逆时针匀速转动时，滑块在水平横杆上左右滑动，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β。在滑块向左滑动过程中（　　）
A．滑块A从右向左先做加速度减小的加速运动，后做加速度减小的减速运动
B．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度最大
C．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为
D．当β＝90°时，滑块的速度大小为
【解答】解：设滑块的速度（合速度）大小为v，沿水平方向，如图将A点的速度分解为沿着杆的分速度和垂直杆的分速度
根据运动的合成与分解可知，沿杆方向的分速度：
v1＝vcosα
BB点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，如图设B的线速度为v'，则
沿杆的分速度：
v'1＝V'cosθ＝V'cos（90°﹣β）＝V'sinβ
V'＝ωR
又二者沿杆方向的分速度是相等的，即v1＝v'1
联立可得
在△AOB中，由正弦定理得
解得v＝ωsOAtanα
A.滑块A从右向左运动时，其速度v＝ωsOAtanα，随角度α变化而不均匀变化，角度α先增大后减小，根据正切函数的性质可知，滑块先做加速度增大的加速运动，后做加速度减小的减速运动，故A错误；
BC.当O杆OB与AB垂直时，α＝90°﹣β，sinβ＝cosα，则，滑块的速度不是最大，故B，C错误；
D.当β＝90°时，如图所示：
滑块的速度为：
，故D正确。
故选：D。
（2023 上饶模拟）某拐角处放着一根木棍，木棍下端B沿水平地面向右滑动，当木棍与水平方向的夹角为θ时，B点的瞬时速度大小为v0，则木棍上端A的速度大小为（　　）
A．v0cosθ B．v0sinθ C． D．v0tanθ
【解答】解：将木棍A、B两端的速度分解为沿木棍方向和垂直于木棍的方向，则沿木棍的分速度相等
则有v0cosθ＝vAsinθ
解得，故ABD错误，C正确。
故选：C。
（2023 高州市一模）如图所示，一根长为L的直杆一端抵在墙角，一端倚靠在物块的光滑竖直侧壁上，物块向左以速度大小v运动时，直杆绕O点做圆周运动且始终与物块间有弹力。当直杆与水平方向的夹角为θ时，则（　　）
A．A点速度大小也为v B．A点速度大小与θ有关
C．A点速度方向与θ无关 D．A点速度方向与OA成θ角
【解答】解：如下图，将A点的速度分解：
根据运动的合成与分解可知，接触点A的实际运动、即合运动为在A点垂直于杆的方向的运动，该运动由水平向左的分运动和竖直向下的分速度组成，所以vA，为A点做圆周运动的线速度，故B正确，ACD错误。
故选：B。
（2023 重庆模拟）如图所示，物体A和小车用轻绳连接在一起，小车以速度v0向右匀速运动。当小车运动到图示位置时，轻绳与水平方向的夹角为θ，关于此时物体A的运动情况的描述正确的是（　　）
A．物体A减速上升
B．物体A的速度大小vA＝v0
C．物体A的速度大小vA＝v0sinθ
D．物体A的速度大小vA＝v0cosθ
【解答】解：将小车的速度沿绳子方向和垂直于绳子方向进行分解，
沿绳子方向的分速度等于A的速度，则：vA＝v0cosθ，
小车向右做匀速直线运动，则θ减小，则A的速度增大，A做加速运动，故D正确，ABC错误。
故选：D。
（2022 襄城区校级模拟）如图所示，某人通过跨过定滑轮的绳子将小车拉上倾角为α的光滑斜面，人拉动绳子的速度v恒定，下列说法正确的是（　　）
A．小车沿斜面上升的过程中，人对绳子拉力恒定
B．小车沿斜面上升的过程中，小车的动能先增大后减小
C．小车沿斜面上升h高的过程中，绳子拉力对小车做的功大于小车重力势能的增加量
D．当绳子与斜面斜边的夹角为β时，小车的速度为
【解答】解：AD、当绳子与斜面斜边的夹角为β时，将小车的速度进行分解，如图所示；则小车速度v车；
随β增大，小车的速度增大，所以小车做加速运动，但不是匀加速直线运动，人对绳子的拉力不恒定，故AD错误；
B、随着小车沿斜面向上运动，小车速度增大，所以小车的动能增大，故B错误；
C、随着小车沿斜面向上运动，小车速度增大，此过程中只有拉力和重力做功，根据功能关系可得绳子拉力对小车做的功大于小车克服自身重力做的功，则绳子拉力对小车做的功大于小车重力势能的增加量，故C正确。
故选：C。
（多选）（2022 西城区校级模拟）如图所示，光滑半圆轨道竖直放置，在轨道边缘处固定一光滑定滑轮（忽略滑轮大小），一条轻绳跨过定滑轮且两端分别连接小球A、B，小球A在水平拉力F作用下静止于轨道最低点P。现增大拉力F使小球A沿着半圆轨道运动，当小球A经过Q点时速度为v，OQ连线与竖直方向的夹角为30°，则下列说法正确的是（　　）
A．小球A、B的质量之比为：2
B．小球A经过Q点时，小球B的速度大小为
C．小球A从P运动到Q的过程中，小球A、B组成的系统机械能一定在增加
D．小球A从P运动到Q的过程中，小球B的动能一直增加
【解答】解：A、小球A在最低点时，绳与竖直方向的夹角为45°，对小球A受力分析：
如果小球与轨道之间为零，则Tcos45°＝mAg、T＝mBg，解得小球A、B的质量之比为：，而小球与轨道之间的弹力无法确定，所以无法确定质量之比，故A错误；
B、小球经过Q的速度为vA，将vA分解得：vB＝vAsin30°，解得：vA：vB＝2：1，根据题意可知vA＝v，则vB，故B正确；
C、小球A从P运动到Q的过程中，拉力F对A、B组成的系统做正功，所以小球A、B组成的系统机械能一直增加，故C正确；
D、小球A从P运动到Q的过程中，小球B的重力势能一直增加，机械能一直增加，速度的变化情况无法确定，动能不一定一直增加，故D错误。
故选：BC。
[课时训练]
一．选择题（共12小题）
1．（2023 黄埔区三模）在一次足球比赛中，队友甲示意队友乙向前跑。当队友乙在图中位置以某一速度匀速前跑时，队友甲将足球从静止瞬间踢起，足球轨迹如图所示且刚好落在队友乙的脚下。用v表示队友乙与足球的水平速度，s表示水平位移。速率越大，空气阻力越大，从踢起足球到落地，下列图像大致能反映乙和球的运动情况的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意可知，球在水平方向只受到了阻力的作用，所以根据牛顿第二定律可知球的水平方向的加速度减小，故球的水平速度逐渐减小，所以水平方向上，球做加速度减小的减速运动，而乙做匀速直线运动；s﹣t图像的斜率表示速度，球做加速度减小的减速运动，即球的速度减小，即球的位移—时间图像斜率会变小；乙做匀速直线运动，位移随时间均匀增加。故A正确，BCD错误；
故选：A。
2．（2023春 兰州期中）一下雨天，某同学测定雨滴下落速度的大小，发现雨滴水平方向分速度为2m/s，合速度与竖直方向成37°，sin37°＝0.6，则雨滴此时的速度大小（　　）
A．m/s B．2m/s C．m/s D．m/s
【解答】解：由题意及几何关系可得
可得，故D正确，ABC错误。
故选：D。
3．（2023春 虹口区校级期中）一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。如选项图中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：汽车做速度大小减小的曲线运动，曲线运动的速度方向沿运动轨迹的切线方向，由曲线运动的受力特点可知，合力的方向指向运动轨迹的凹侧，且合力方向与速度方向夹角为钝角，故C正确，ABD错误。
故选：C。
4．（2023春 宁波期中）俄乌战争是2022年的头条新闻，其中俄罗斯使用了一款反辐射导弹打击敌方雷达，如图是分析导弹工作时的轨迹示意图，其中弹头的速度v与其所受合外力F关系可能正确的是（　　）
A．图中A点 B．图中B点 C．图中C点 D．图中D点
【解答】解：AC、速度方向沿运动轨迹切线方向，图中A点和C点标出的速度方向不是沿轨迹的切线方向，故AC错误；
B、图中B点标出的受力的方向不是沿弯曲的方向，故B错误；
D、曲线运动的D速度方向沿切线方向，而受到的合力应该指向运动轨迹弯曲的内侧，故D正确；
故选：D。
5．（2021 乌兰察布一模）如图所示，长度为l＝1m的轻杆一端通过铰链固定在地面上的O点，搭在一棱长为a＝18cm的正方体木块上，向左推动木块，轻杆绕O点转动。当轻杆与地面成37°角时，木块的速度大小为v＝3.0m/s，则轻杆最上端A点的速度大小为（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（　　）
A．5.0m/s B．6.0m/s C．9.0m/s D．10m/s
【解答】解：设物块在所示位置的速度为v，将物块与接触点处的速度沿垂直于杆的方向与沿杆的方向分解，如图所示：
物块与接触点处的速度沿垂直于杆方向的分速度：v⊥＝v sin37°＝3.0×0.6m/s＝1.8m/s
接触点到O点的距离：m＝0.3m
杆绕O点做圆周运动，根据公式：v＝ωr，可得：v⊥＝ωl1，vA＝ωl
代入数据可得：v＝6.0m/s，故B正确，ACD错误。
故选：B。
6．（2021 邛崃市校级模拟）如图所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车的速度的大小分别为vB、vA，则（　　）
A．vA＝vB
B．vA＜vB
C．绳子对B的拉力大于B的重力
D．绳子对B的拉力等于B的重力
【解答】解：AB、小车的运动可分解为沿绳方向和垂直于绳的方向两个运动，设斜拉绳子与水平面的夹角为θ，
由几何关系可得：vB＝vAcosθ，所以vA＞vB；故AB错误；
CD、因汽车匀速直线运动，而θ逐渐变小，故vB逐渐变大，物体B有向上的加速度，处于超重状态，故C正确，D错误。
故选：C。
7．（2023春 泉州期中）质点仅在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时速度的方向与x轴平行，则下列说法错误的是（　　）
A．该质点做匀变速曲线运动
B．恒力F的方向可能沿y轴负方向
C．恒力F的方向可能沿x轴正方向
D．任意两段相等时间内该质点速度变化量不仅大小相等而且方向相同
【解答】解：A、质点仅在恒力F的作用下运动，质点加速度不变，该质点做匀变速曲线运动，故A正确；
BC、由于物体做的是曲线运动，根据物体做曲线运动的条件可知，物体受到的恒力的方向应指向弧内，且与速度方向不在同一直线上，由于沿y轴正方向的分速度减为零，所以质点必定受到沿y轴负方向力，所以沿y轴负方向的力可能产生如图的曲线轨迹，恒力F的方向不可能沿x轴正方向，故B正确，C错误；
D、根据Δv＝aΔt，质点加速度不变，所以任意两段相等时间内该质点速度变化量不仅大小相等而且方向相同，故D正确。
本题选错误的，故选：C。
8．（2021 南充模拟）如图所示，质量均为m的两个滑块A和B分别套在固定于竖直平面内相互垂直的光滑杆上，A和B用轻连杆通过铰链相连，对B施加水平向左的外力F，使滑块A缓慢匀速上升，撤去外力F后较短时间内，A的速度减为0，此时轻连杆与竖直杆的夹角θ＝30°，然后滑块A下落且不反弹，不计铰链处摩擦，轻连杆长度为L，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　）
A．F作用过程中，滑块B的速度保持不变
B．F作用过程中，滑块B对水平杆的压力逐渐增大
C．A下落过程中，B的速度一直增大
D．A下落过程中，接触水平杆前瞬间，A的动能为mgL
【解答】解：A、A沿杆方向速度分量v1＝vAcosθ，B沿杆方向速度分量v2＝vBsinθ，两滑块沿杆方向速度分量相等，得：vAcosθ＝vBsinθ，滑块A缓慢匀速上升时，θ逐渐减小，所以滑块B的速度逐渐增大，故A错误；
B、将两滑块看作一个整体，在竖直方向加速度为零，合力为零，所以水平杆对滑块B的支持力与系统总重力平衡，即滑块B对水平杆的压力不变，故B错误；
C、A下落过程中，两滑块初始速度为零，随着A的下落两滑块沿杆方向速度分量仍然相等，即vA′cosθ＝vB′sinθ，当θ＝90°时A速度竖直向下，B速度又为零，所以B的速度先增大后减小，故C错误；
D、由C项可知A下落接触水平杆前瞬间B速度为零，对于AB和杆组成的系统，根据机械能守恒定律得mgLcosθ＝EkA，解得A的动能EkAmgL，故D正确。
故选：D。
9．（2023春 鼓楼区校级期中）如图所示，小船以大小为v1＝5m/s、方向与上游河岸成θ＝60°角的速度（在静水中的速度）从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处．已知河宽d＝180m，则下列说法中正确的是（　　）
A．河中水流速度为
B．小船以最短位移渡河的时间为72s
C．小船渡河的最短时间为3.6s
D．小船以最短的时间渡河的位移是
【解答】解：A、由题意知，小船方向与上游河岸成θ＝60°角的速度（在静水中的速度）从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处，v2＝v1cosθ＝5×0.5m/s＝2.5m/s，故A错误；
B、小船以最短位移渡河的时间为，故B错误；
C、小船以最短时间渡河，船头应垂直对岸，时间为，故C错误；
D、小船以最短时间渡河时到达对岸，小船的合速度为m/s＝2.5m/s，因此小船的位移为x＝v合t＝2.536m＝90m/s，故D正确。
故选：D。
10．（2023春 天河区校级期中）如图，有一条宽为20m的河道，小船从岸边某点渡河，渡河过程中始终保持船头与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为5m/s，水流速度为12m/s，下列说法正确的是（　　）
A．小船在河水中行驶轨迹为曲线
B．小船在河水中的速度为10m/s
C．小船渡河时间为4s
D．小船在渡河过程中位移大小为48m
【解答】解：A、由于小船在静水中的速度、水流速度均恒定，故小船的合速度恒定，小船在河水中做匀速直线运动，轨迹为直线，故A错误；
B、小船在河水中的速度大小为vm/s＝13m/s，故B错误；
C、小船渡河过程中始终保持船头与河岸垂直，故渡河时间为ts＝4s，故C正确；
D、小船沿河流方向的位移为l＝v水t＝12×4m＝48m，小船在渡河过程中位移大小为sm＞48m，故D错误。
故选：C。
11．（2023春 东城区校级期中）一个质点从水平面内的xOy坐标系的原点出发开始运动，其沿x轴正方向的分速度随时间变化的图象及沿y轴正方向的位移随时间变化的图象如图甲、乙所示，一条直线过坐标原点、与x轴正方向成30°角，如图丙所示。质点经过该直线时的坐标为（　　）
A．（12m，4m） B．（9m，3m） C．（6m，2m） D．（3m，m）
【解答】解：质点沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动，加速度大小a＝2m/s2，沿y轴正方向做匀速直线运动，速度大小v0＝2m/s，设质点经过时间t经过该直线，则有①，②，y0＝v0t③，解得ts，将t代入②式可得x＝12m，ym，过该直线的坐标（12m，4m），故BCD错误，故A正确。
故选：A。
12．（2021 南京模拟）如图所示，质量为m的小环P套在竖直杆上，P通过不可伸长的轻绳跨过轻小定滑轮与质量也为m的物体Q相连。O点为杆上与定滑轮等高的点，杆上A点和B点分别在O点的上方和下方且到O点距离相等，h。将小环P从A点从静止释放，不计一切摩擦，已知绳始终绷紧，在小环P下降过程中，下列说法正确的是（　　）
A．小环从A到O的过程中，物体Q的动能不断增大
B．小环从A到B的过程中，物体Q的机械能先减小再增大
C．小环到达O点时，小环的动能为mgh
D．小环到达B点时，小环的动能小于mgh
【解答】解：A、小环在A点时物体Q的速度为零，当小环下降到O点时，小环沿绳子方向的速度为零，则Q的速度为零，所以小环从A到O的过程中，物体Q的动能先增大后减小，故A错误；
B、小环从A到B的过程中，绳子拉力先对Q做负功、后做正功，所以物体Q的机械能先减小再增大，故B正确；
C、小环从A到O运动过程中，设绳子拉力对小环做的功（正功）为WF，根据动能定理可得：mgh+WF＝EkO，所以小环到达O点时，小环的动能EkO大于mgh，故C错误；
D、由于h，根据对称性可知，小环达到B点时，物体Q处于原来的位置，设此时小环的速度大小为v，Q的速度大小为v′，如图所示，根据运动的合成与分解可得：v′＝vcosθ；
根据机械能守恒定律可得：mg 2h
所以小环的动能Ekmgh，故D错误。
故选：B。
二．多选题（共2小题）
（多选）13．（2021 晋江市模拟）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是（　　）
A．环到达B处时，环的速度大小是重物的倍
B．环从A到B过程中，环的机械能是减少的
C．环到达B处时，重物上升的高度d
D．环到达B处时，重物上升的高度为d
【解答】解：A、环沿绳子方向的分速度大小等于重物的速度大小，在B点，将环的速度分解如图所示，可得v环cosθ＝v物。在B点，由几何关系可得θ＝45°，解得v环v物，所以环到达B处时，环的速度大小是重物的倍，故A正确；
B、对于重物与环组成的系统，因为只有重力做功，系统的机械能守恒。环从A到B过程中，重物的机械能增大，则环的机械能是减少的，故B正确；
CD、由几何关系可知，环到达B处时，重物上升的高度h，故CD错误。
故选：AB。
（多选）14．（2021 渭南模拟）如图所示，固定竖直杆上套着一个质量为m的小滑块（视为质点），用轻绳系着滑块绕过小定滑轮（大小不计），另一端以大小为v的速度匀速运动，使滑块沿竖直杆上升，先后经过A、B两点。滑轮边缘与轻绳相切于O点，O点到竖直杆的距离为L，∠OAC＝30°，∠OBC＝45°，重力加速度大小为g，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　）
A．滑块经过A、B两点时的速度大小之比为：
B．滑块经过A、B两点时的速度大小之比为：3
C．在滑块从A点运动到B点的过程中，轻绳的拉力对滑块做的功为（1）mgLmv2
D．在滑块从A点运动到B点的过程中，轻绳的拉力对滑块做的功为mgLmv2
【解答】解：AB、根据滑块沿绳子方向的分速度等于绳头移动的速度，滑块经过A点时，则有vAcos30°＝v，得vAv
滑块经过B点时，则有vBcos45°＝v，得vBv，故滑块经过A、B两点时的速度大小之比为vA：vB：3，故A错误，B正确；
CD、在滑块从A点运动到B点的过程中，滑块下降的高度为h
根据动能定理得：mgh+W
联立解得轻绳的拉力对滑块做的功W＝（1）mgLmv2，故C正确，D错误。
故选：BC。
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第8讲　曲线运动　运动的合成与分解
目录
[考试标准] 1
[基础过关] 1
一、曲线运动 1
二、运动的合成与分解 2
[命题点研究] 2
命题点一　曲线运动的条件及轨迹 2
命题点二　运动的合成与分解 4
命题点三　小船渡河模型 7
命题点四　绳(杆)端速度分解模型 9
[课时训练] 12
[考试标准]
知识内容 考试要求 说明
曲线运动 b 不要求会画速度变化量矢量图.
运动的合成与分解 c
[基础过关]
一、曲线运动
1．速度的方向：质点在某一点的速度方向，是沿曲线在这一点的切线方向．
2．运动性质：做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度．
3．物体做曲线运动的条件：
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上．
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上．
4．合外力方向与轨迹的关系：
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合外力方向与速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合外力方向指向轨迹的“凹”侧．
二、运动的合成与分解
1．遵循的法则
位移、速度、加速度都是矢量，故它们的合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动与分运动的关系
(1)等时性：合运动和分运动经历的时间相等，即同时开始、同时进行、同时停止．
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他运动的影响．
(3)等效性：各分运动的规律叠加起来与合运动的规律有完全相同的效果．
3．合运动的性质判断
[命题点研究]
命题点一　曲线运动的条件及轨迹
1．曲线运动的特点
速度方向 时刻改变，某时刻的速度方向沿曲线上物体所处位置的切线方向
运动性质 变速运动
受力 合力与速度方向不共线
位移与路程的关系 位移大小小于路程
合力 合力不为0，指向曲线凹侧
轨迹 夹在速度方向与合力方向之间
2.判断物体是否做曲线运动的方法
判断物体是做曲线运动还是做直线运动，关键要看a和v的方向，两者方向在同一直线上则做直线运动，不在同一直线上则做曲线运动．
3．判断物体速度大小增减的方法
根据合力方向与速度方向的夹角，判断物体的速度大小变化情况：夹角为锐角时，速度大小变大；夹角为钝角时，速度大小变小；合力方向与速度方向总是垂直时，速度大小不变．
（2022春 拱墅区校级期中）下列说法正确的是（　　）
A．做曲线运动的物体所受的合力一定是变化的
B．两个匀变速直线运动的合运动一定是曲线运动
C．做匀速圆周运动的物体的加速度大小恒定，方向始终指向圆心
D．做曲线运动的物体，其速度方向与加速度方向可能在同一条直线上
（2022春 镇海区校级期末）如图所示，舰载机歼﹣15在“辽宁号”甲板上沿曲线MN向上加速爬升，图中画出表示该舰载机受到合力的四种方向其中可能的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023 乙卷）小车在水平地面上沿轨道从左向右运动，动能一直增加。如果用带箭头的线段表示小车在轨道上相应位置处所受合力，下列四幅图可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
（2023春 兰州期中）如图所示，乒乓球从斜面上滚下后在水平桌面上沿直线运动。在与乒乓球运动路线垂直的方向上横放一个纸筒（纸筒开口略大于乒乓球直径）。人趴在桌子边沿并鼓起嘴巴正对纸筒口，当乒乓球经过筒口时，对着乒乓球向筒口吹气，则乒乓球被吹后（　　）
A．保持原运动方向继续前进
B．一定能沿吹气方向进入纸筒
C．偏离原运动方向滚向纸筒左侧
D．偏离原运动方向滚向纸筒右侧
（2023春 兰州期中）在一次校园足球联赛中，如图所示，比赛进行到59分钟时王同学以一记“香蕉球”破门赢得比赛。下列说法正确是（　　）
A．足球在空中运动时只受重力
B．足球在空中的运动一定是匀变速运动
C．足球在空中一定是变速运动
D．研究如何踢出香蕉球时，足球可看作质点
命题点二　运动的合成与分解
1．运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵循平行四边形定则．
2．合运动和分运动具有等时性，这是处理运动分解问题的切入点．
3．合运动是物体的实际运动，而分运动是物体同时参与的几个运动，并不是物体的实际运动．
4．两个分运动是直线运动的合运动可能是直线运动，也可能是曲线运动，这是由合初速度与合加速度是否共线决定的．
（2023 浙江模拟）由于空气阻力的影响，炮弹的实际飞行轨迹不是抛物线，而是“弹道曲线”，如图中实线所示，图中虚线为不考虑空气阻力情况下炮弹的理想运动轨迹。O、a、b、c、d为弹道曲线上的五点，其中O点为发射点，d点为落地点，b点为轨迹的最高点，a、c为运动过程中经过的距地面高度相等的两点，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．炮弹到达最高点b时的加速度为g
B．炮弹经过c点时的加速度方向沿该点切线斜向上
C．炮弹经过a点时加速度的竖直分量大于g
D．炮弹由a点运动到b点的时间与由b点运动到c点的时间相等
（2022春 温州期末）如图所示，在杂技表演中，表演者顶着杆沿水平地面向右匀速运动与此同时猴子从A点开始沿竖直杆向上做匀加速运动，最终达到B点。若以地面为参考系，猴子从A点到B点的运动轨迹可能是图中的（　　）
A．曲线1 B．曲线2 C．直线3 D．曲线4
（2022春 镇海区校级期末）如图所示为教室里可以沿水平方向滑动的黑板，一位老师用粉笔在其中可移动的黑板上画线。若粉笔相对于地面从静止开始向下匀加速直线滑动，同时一同学推动黑板以某一速度水平向左匀速滑动，取水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，则粉笔在黑板上所画出的轨迹可能为下列图中的（　　）
A． B．
C． D．
（2021秋 浙江期中）在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点（0，0）开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图像如图甲、乙所示，下列说法中正确的是（　　）
A．0～2s内物体沿x轴做匀变速曲线运动
B．0～2s内物体的平均速度为2m/s
C．4s末物体坐标为（6m，2m）
D．2～4s内物体继续做匀加速直线运动，但加速度沿y轴方向
（2021春 绍兴期末）在一次杂技表演中，表演者顶着杆沿水平地面运动，其x﹣t图像如图甲所示。与此同时猴子沿竖直杆向上运动，如图乙所示，其v﹣t图像如图丙所示，若以地面为参考系，下列说法中正确的是（　　）
A．猴子的运动轨迹为直线
B．t＝0时猴子的速度大小为8m/s
C．t＝2s时猴子的加速度大小为4m/s2
D．猴子在前2s内运动的位移大小为16m
命题点三　小船渡河模型
小船渡河问题分析
(1)船的实际运动是水流的运动和船相对静水的运动的合运动．
(2)三种速度：v1(船在静水中的速度)、v2(水流速度)、v(船的实际速度)．
(3)三种情景
①过河时间最短：船头正对河岸时，渡河时间最短，t短＝(d为河宽)．
②过河路径最短(v2③过河路径最短(v2>v1时)：合速度
图5
不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．确定方法如下：如图5所示，以v2矢量末端为圆心，以v1矢量的大小为半径画弧，从v2矢量的始端向圆弧作切线，则合速度沿此切线方向航程最短．由图可知：cos α＝，最短航程：s短＝＝d.
（2022春 温州期中）如图所示，一只小船横渡一条河流。小船船头垂直于河岸，自A点出发沿直线抵达对岸的B点，历时20s，且知AB与河岸的夹角α＝37°，河水流速大小为4m/s，小船相对静水的速度不变。已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列判断中错误的是（　　）
A．河流的宽度为60m
B．小船相对静水速度的大小为3m/s
C．无论怎样调整小船的航向，α不可能超过37°
D．无论怎样调整小船的航向，小船渡河的位移都不可能小于80m
（2022春 浙江期中）小船横渡一条河，为尽快到达对岸，船头方向始终与河岸垂直，为避免船撞击河岸，小船先加速后减速，恰好使小船到达河对岸时速度为0，若小船在静水中的行驶速度v1和水的流速v2如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．小船的运动轨迹为直线
B．小船渡河的河宽是240m
C．小船渡河的过程中最大速度是7m/s
D．小船到达对岸时沿河岸方向运动了180m
（2021 上海一模）如图所示，小船以大小为v（船在静水中的速度）、方向与上游河岸成θ的速度从O处过河，经过一段时间，正好到达正对岸的O′处．现要使小船在更短的时间内过河并且也正好到达正对岸的O′处．在水流速度不变的情况下，可采取的方法是（　　）
A．θ角不变且v增大 B．θ角减小且v增大
C．θ角增大且v减小 D．θ角增大且v增大
（2020 平谷区一模）深刻理解运动的合成和分解的思想，可以帮助我们轻松处理比较复杂的问题。小船在流动的河水中行驶时，如图乙所示。假设河水静止，小船在发动机的推动下沿OA方向运动，经时间t运动至对岸A处，位移为x1；若小船发动机关闭，小船在水流的冲击作用下从O点沿河岸运动，经相同时间t运动至下游B处，位移为x小船在流动的河水中，从O点出发，船头朝向OA方向开动发动机行驶时，小船同时参与了上述两种运动，实际位移x为上述两个分运动位移的矢量和，即此时小船将到达对岸C处。请运用以上思想，分析下述问题：弓箭手用弓箭射击斜上方某位置处的一个小球，如图丙所示。弓箭手用箭瞄准小球后，以初速度v0将箭射出，同时将小球由静止释放。箭射出时箭头与小球间的距离为L，空气阻力不计。请分析说明箭能否射中小球，若能射中，求小球下落多高时被射中；若不能射中，求小球落地前与箭头的最近距离。
命题点四　绳(杆)端速度分解模型
1．模型特点
沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等．
2．思路与方法
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则．
3．解题的原则：
把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解．常见的模型如图8所示．
（2023 浙江模拟）如图所示，斯特林发动机的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB，OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB长为R，连杆AB长为L（L＞R），当OB杆以角速度ω逆时针匀速转动时，滑块在水平横杆上左右滑动，连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β。在滑块向左滑动过程中（　　）
A．滑块A从右向左先做加速度减小的加速运动，后做加速度减小的减速运动
B．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度最大
C．当OB杆与OA垂直时，滑块的速度大小为
D．当β＝90°时，滑块的速度大小为
（2023 上饶模拟）某拐角处放着一根木棍，木棍下端B沿水平地面向右滑动，当木棍与水平方向的夹角为θ时，B点的瞬时速度大小为v0，则木棍上端A的速度大小为（　　）
A．v0cosθ B．v0sinθ C． D．v0tanθ
（2023 高州市一模）如图所示，一根长为L的直杆一端抵在墙角，一端倚靠在物块的光滑竖直侧壁上，物块向左以速度大小v运动时，直杆绕O点做圆周运动且始终与物块间有弹力。当直杆与水平方向的夹角为θ时，则（　　）
A．A点速度大小也为v B．A点速度大小与θ有关
C．A点速度方向与θ无关 D．A点速度方向与OA成θ角
（2023 重庆模拟）如图所示，物体A和小车用轻绳连接在一起，小车以速度v0向右匀速运动。当小车运动到图示位置时，轻绳与水平方向的夹角为θ，关于此时物体A的运动情况的描述正确的是（　　）
A．物体A减速上升
B．物体A的速度大小vA＝v0
C．物体A的速度大小vA＝v0sinθ
D．物体A的速度大小vA＝v0cosθ
（2022 襄城区校级模拟）如图所示，某人通过跨过定滑轮的绳子将小车拉上倾角为α的光滑斜面，人拉动绳子的速度v恒定，下列说法正确的是（　　）
A．小车沿斜面上升的过程中，人对绳子拉力恒定
B．小车沿斜面上升的过程中，小车的动能先增大后减小
C．小车沿斜面上升h高的过程中，绳子拉力对小车做的功大于小车重力势能的增加量
D．当绳子与斜面斜边的夹角为β时，小车的速度为
（多选）（2022 西城区校级模拟）如图所示，光滑半圆轨道竖直放置，在轨道边缘处固定一光滑定滑轮（忽略滑轮大小），一条轻绳跨过定滑轮且两端分别连接小球A、B，小球A在水平拉力F作用下静止于轨道最低点P。现增大拉力F使小球A沿着半圆轨道运动，当小球A经过Q点时速度为v，OQ连线与竖直方向的夹角为30°，则下列说法正确的是（　　）
A．小球A、B的质量之比为：2
B．小球A经过Q点时，小球B的速度大小为
C．小球A从P运动到Q的过程中，小球A、B组成的系统机械能一定在增加
D．小球A从P运动到Q的过程中，小球B的动能一直增加
[课时训练]
一．选择题（共12小题）
1．（2023 黄埔区三模）在一次足球比赛中，队友甲示意队友乙向前跑。当队友乙在图中位置以某一速度匀速前跑时，队友甲将足球从静止瞬间踢起，足球轨迹如图所示且刚好落在队友乙的脚下。用v表示队友乙与足球的水平速度，s表示水平位移。速率越大，空气阻力越大，从踢起足球到落地，下列图像大致能反映乙和球的运动情况的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023春 兰州期中）一下雨天，某同学测定雨滴下落速度的大小，发现雨滴水平方向分速度为2m/s，合速度与竖直方向成37°，sin37°＝0.6，则雨滴此时的速度大小（　　）
A．m/s B．2m/s C．m/s D．m/s
3．（2023春 虹口区校级期中）一辆汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小。如选项图中分别画出了汽车转弯时所受合力F的四种方向，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023春 宁波期中）俄乌战争是2022年的头条新闻，其中俄罗斯使用了一款反辐射导弹打击敌方雷达，如图是分析导弹工作时的轨迹示意图，其中弹头的速度v与其所受合外力F关系可能正确的是（　　）
A．图中A点 B．图中B点 C．图中C点 D．图中D点
5．（2021 乌兰察布一模）如图所示，长度为l＝1m的轻杆一端通过铰链固定在地面上的O点，搭在一棱长为a＝18cm的正方体木块上，向左推动木块，轻杆绕O点转动。当轻杆与地面成37°角时，木块的速度大小为v＝3.0m/s，则轻杆最上端A点的速度大小为（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）（　　）
A．5.0m/s B．6.0m/s C．9.0m/s D．10m/s
6．（2021 邛崃市校级模拟）如图所示，做匀速直线运动的汽车A通过一根绕过定滑轮的长绳吊起一重物B，设重物和汽车的速度的大小分别为vB、vA，则（　　）
A．vA＝vB
B．vA＜vB
C．绳子对B的拉力大于B的重力
D．绳子对B的拉力等于B的重力
7．（2023春 泉州期中）质点仅在恒力F的作用下，由O点运动到A点的轨迹如图所示，在A点时速度的方向与x轴平行，则下列说法错误的是（　　）
A．该质点做匀变速曲线运动
B．恒力F的方向可能沿y轴负方向
C．恒力F的方向可能沿x轴正方向
D．任意两段相等时间内该质点速度变化量不仅大小相等而且方向相同
8．（2021 南充模拟）如图所示，质量均为m的两个滑块A和B分别套在固定于竖直平面内相互垂直的光滑杆上，A和B用轻连杆通过铰链相连，对B施加水平向左的外力F，使滑块A缓慢匀速上升，撤去外力F后较短时间内，A的速度减为0，此时轻连杆与竖直杆的夹角θ＝30°，然后滑块A下落且不反弹，不计铰链处摩擦，轻连杆长度为L，重力加速度为g，以下说法正确的是（　　）
A．F作用过程中，滑块B的速度保持不变
B．F作用过程中，滑块B对水平杆的压力逐渐增大
C．A下落过程中，B的速度一直增大
D．A下落过程中，接触水平杆前瞬间，A的动能为mgL
9．（2023春 鼓楼区校级期中）如图所示，小船以大小为v1＝5m/s、方向与上游河岸成θ＝60°角的速度（在静水中的速度）从A处渡河，经过一段时间正好到达正对岸的B处．已知河宽d＝180m，则下列说法中正确的是（　　）
A．河中水流速度为
B．小船以最短位移渡河的时间为72s
C．小船渡河的最短时间为3.6s
D．小船以最短的时间渡河的位移是
10．（2023春 天河区校级期中）如图，有一条宽为20m的河道，小船从岸边某点渡河，渡河过程中始终保持船头与河岸垂直，小船在静水中的速度大小为5m/s，水流速度为12m/s，下列说法正确的是（　　）
A．小船在河水中行驶轨迹为曲线
B．小船在河水中的速度为10m/s
C．小船渡河时间为4s
D．小船在渡河过程中位移大小为48m
11．（2023春 东城区校级期中）一个质点从水平面内的xOy坐标系的原点出发开始运动，其沿x轴正方向的分速度随时间变化的图象及沿y轴正方向的位移随时间变化的图象如图甲、乙所示，一条直线过坐标原点、与x轴正方向成30°角，如图丙所示。质点经过该直线时的坐标为（　　）
A．（12m，4m） B．（9m，3m） C．（6m，2m） D．（3m，m）
12．（2021 南京模拟）如图所示，质量为m的小环P套在竖直杆上，P通过不可伸长的轻绳跨过轻小定滑轮与质量也为m的物体Q相连。O点为杆上与定滑轮等高的点，杆上A点和B点分别在O点的上方和下方且到O点距离相等，h。将小环P从A点从静止释放，不计一切摩擦，已知绳始终绷紧，在小环P下降过程中，下列说法正确的是（　　）
A．小环从A到O的过程中，物体Q的动能不断增大
B．小环从A到B的过程中，物体Q的机械能先减小再增大
C．小环到达O点时，小环的动能为mgh
D．小环到达B点时，小环的动能小于mgh
二．多选题（共2小题）
（多选）13．（2021 晋江市模拟）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的环，环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑的轻小定滑轮与直杆的距离为d，杆上的A点与定滑轮等高，杆上的B点在A点下方距离为d处。现将环从A处由静止释放，不计一切摩擦阻力，下列说法正确的是（　　）
A．环到达B处时，环的速度大小是重物的倍
B．环从A到B过程中，环的机械能是减少的
C．环到达B处时，重物上升的高度d
D．环到达B处时，重物上升的高度为d
（多选）14．（2021 渭南模拟）如图所示，固定竖直杆上套着一个质量为m的小滑块（视为质点），用轻绳系着滑块绕过小定滑轮（大小不计），另一端以大小为v的速度匀速运动，使滑块沿竖直杆上升，先后经过A、B两点。滑轮边缘与轻绳相切于O点，O点到竖直杆的距离为L，∠OAC＝30°，∠OBC＝45°，重力加速度大小为g，不计一切摩擦。下列说法正确的是（　　）
A．滑块经过A、B两点时的速度大小之比为：
B．滑块经过A、B两点时的速度大小之比为：3
C．在滑块从A点运动到B点的过程中，轻绳的拉力对滑块做的功为（1）mgLmv2
D．在滑块从A点运动到B点的过程中，轻绳的拉力对滑块做的功为mgLmv2
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