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第二单元第9讲 函数模型及应用
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：用函数图象刻画变化过程
题型二：函数模型的选择(应用型)
题型三：构建函数模型解决实际问题
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
【讲方法】
1.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
2.求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
3.构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
二、【练】
【练题型】
【题型一】用函数图象刻画变化过程
【典例1】(2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
【解析】由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近．
故选D.
【典例2】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　)
【解析】依题意知，当0≤x≤4时，f(x)＝2x；
当4当8故选D.
【典例3】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　)
【解析】v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小.
故选B.
【题型二】函数模型的选择(应用型)
【典例1】某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
年份 2008 2009 2010 2011 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．
【解析】(1)将(3，1)，(5，2)代入y＝kx＋b(k≠0)，
得解得
所以y＝x－.
当x＝9时，y＝4，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)，
得解得所以y＝·()x＝2.
当x＝9时，y＝2＝8，不符合题意；
将(3，1)，(5，2)代入y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)，
得解得所以y＝log2(x－1)．
当x＝9时，y＝log28＝3；
当x＝17时，y＝log216＝4.故可用③来描述x，y之间的关系．
(2)令log2(x－1)>6，则x>65.
因为年利润＜10%，所以该企业要考虑转型．
【典例2】某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________元/100 kg.
【解析】因为随着时间的增加，种植成本先减少后增加，而且当t＝60和t＝180时种植成本相等，再结合题中给出的四种函数关系可知，种植成本与上市时间的变化关系应该用二次函数Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，将表中数据代入可得
解得
所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故当上市天数为120时，种植成本取到最低值80元/100 kg.
【典例3】据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知某工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　)
A．75，25 B．75，16
C．60，25 D．60，16
【解析】由题意可知4解得
故选D.
【题型三】构建函数模型解决实际问题
【典例1】响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【解析】(1)因为每件商品售价为6元，
则x万件商品销售收入为6x万元．
依题意得
当0P(x)＝6x－－2＝－x2＋4x－2，
当x≥8时，
P(x)＝6x－－2
＝35－.
故P(x)＝
(2)当0此时，当x＝6时，P(x)取最大值，最大值为10万元．
当x≥8时，P(x)＝35－≤35－2＝15(当且仅当x＝，即x＝10时，取等号)．
此时，当x＝10时，P(x)取得最大值，最大值为15万元．
因为10<15，所以当年产量为10万件时，
小王在这一商品的生产中所获利润最大，
最大利润为15万元．
【典例2】某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2020年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)
A．2022年 B．2023年
C．2024年 D．2025年
【解析】若2021年是第1年，则第n年全年投入的科研经费为1 300×1.12n万元，由1 300×1.12n>2 000，可得lg 1.3＋nlg 1.12>lg 2，所以n×0.05>0.19，得n>3.8，即n≥4，所以第4年，即2024年全年投入的科研经费开始超过2 000万元.
故选C.
【典例3】里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
【解析】M＝lg 1 000－lg 0.001＝3－(－3)＝6.
设9级地震的最大振幅和5级地震的最大振幅分别为A1，A2，则9＝lg A1－lg A0＝lg ，则＝109，
5＝lg A2－lg A0＝lg ，则＝105，所以＝104.
即9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的10 000倍．　
【练真题】
【真题1】（2019·高考全国卷Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　　)
A．165 cm　　　　　　　　　 B．175 cm
C．185 cm D．190 cm
【解析】26＋26÷0.618＋(26＋26÷0.618)÷0.618≈178(cm)，故其身高可能是175 cm.
故选B.
【真题2】（2020·高考全国卷Ⅲ）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A．60 B．63
C．66 D．69
【解析】由题意可知，当I(t*)＝0.95K时，＝0.95K，即＝1＋e－0.23(t*－53)，e－0.23(t*－53)＝，e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln 19≈3，所以t*≈66.
故选C.
【真题3】（2021·全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
【解析】由题意知4.9＝5＋lg V，得lg V＝－0.1，得V＝10－≈0.8，所以该同学视力的小数记录法的数据约为0.8.
故选C.
【真题4】（2020·高考江苏卷）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
【解析】(1)设AA1，BB1，CD1，EF1都与MN垂直，A1，B1，D1，F1是相应垂足．
由条件知，当O′B ＝40时，
BB1＝－×403＋6×40＝160，则AA1＝160.
由O′A2＝160，得O′A＝80.
所以AB＝O′A＋O′B＝80＋40＝ 120(米)．
(2)以O为原点，OO′为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示)．
设F(x，y2)，x∈(0，40)，
则y2＝－x3＋6x，
EF＝160－y2＝160＋x3－6x.
因为CE ＝80，所以O′C＝80－x，
设D(x－80，y1)，则y1＝( 80－x)2，
所以CD＝ 160－y1＝160－(80－x)2＝－x2 ＋4x.
记桥墩CD和EF的总造价为f(x)，
则f(x)＝k＋k
＝k(0f′(x)＝k＝x(x－20)，
令f′(x)＝0，得x＝20.
x (0，20) 20 (20，40)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ? 极小值 ?
所以当x＝20时，f(x)取得最小值．
答：(1)桥AB的长度为120米；
(2)当O′E为20米时，桥墩CD和EF的总造价最低．
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. (2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
【解析】由散点图可以看出，点大致分布在对数型函数的图象附近．
故选D.
2. 视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0
五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3
现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)(　　)
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8
【解析】由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lg x，
令y＝5＋lg x＝4.7，解得x＝10－0.3＝0.5.
故选B.
3. 某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了(　　)
A．0.33米 B．0.42米
C．0.39米 D．0.43米
【解析】该女生训练前立定跳远距离为
1.84－0.03×＝1.72(米)，
训练后立定跳远距离为
1.84＋0.1×＝2.14(米)，
则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米)．
故选B.
4. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.908 5x＋25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0) (　　)
A．6 min B．7 min
C．8 min D．9 min
【解析】由题意可知，
当x＝0时，y＝85，则85＝k＋25，解得k＝60，
所以y＝60×0.908 5x＋25.
当y＝55时，55＝60×0.908 5x＋25，
即0.908 5x＝0.5，
则x＝log0.908 50.5＝＝
≈≈7，
所以茶水泡制时间大约为7 min.
故选B.
【多选题】
5. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论正确的是(　　)
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
【解析】由题图可知，2014年8月到9月的月接待游客量在减少，则A错误.其余全部正确.
故选BCD.
6. 甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　)
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B.甲从家到公园的时间是30 min
C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
【解析】在A中，甲在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；
由题中图象知，B正确；
甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；
当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确.
故选BD.
【填空题】
7. 某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．
【解析】由题意知100＝alog2(1＋1) a＝100，
当x＝7时，可得y＝100log2(7＋1)＝300.
8. 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．则日销售额的最大值为________．
【解析】设日销售额为S，
当1≤t≤30时，S＝(－2t＋200)×
＝－t2＋40t＋6 000＝－(t－20)2＋6 400.
当t＝20时，Smax＝6 400；
当31≤t≤50时，S＝45(－2t＋200)＝－90t＋9 000，
当t＝31时，Smax＝6 210.
∵6 210<6 400，
故当t＝20时，日销售额有最大值6 400.
9. 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元．
(参考数据：1.022 54≈1.093,1.022 55≈1.118,1.040 15≈1.217)
【解析】将1 000元存入微信零钱通或者支付宝的余额宝，选择复利的计算方法，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋4.01%)5≈1 217(元)，故共得利息1 217－1 000＝217(元)．将1 000元存入银行，则存满5年后的本息和为1 000×(1＋2.25%)5≈1 118(元)，即获利息1 118－1 000＝118(元)．故可以多获利息217－118＝99(元)．
【解答题】
10. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
【解析】(1)由题意得当0显然v＝ax＋b在[4，20]内是减函数，
由已知得
解得所以v＝－x＋，
故函数v＝
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米，依题意并由(1)可得
f(x)＝
当0当4所以当0因为8<12.5，所以当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米．
11. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
【解析】(1)由题意可列方程组
两式相除，解得
(2)由题意可列不等式128≤0.5，
所以≤，即t≥8，解得t≥32.
故至少排气32分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态．
【测能力】
【单选题】
1. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为(　　)
A．72小时 B．36小时
C．24小时 D．16小时
【解析】当x＝6时，e6a＋b＝216；
当x＝24时，e24a＋b＝8，则＝＝27，
整理可得e6a＝，于是eb＝216×3＝648，
当x＝12时，
y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝×648＝72.
故选A.
2. “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg .取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m，60 m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为(　　)
A．10 B．100 C．200 D．1 000
【解析】设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，
则140＝10lg ，120＝10lg ，
两式相减即得20＝10lg ，即lg ＝2，
从而＝100，所以n的值约为100.
故选B.
3. 如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m
(0【解析】设AD＝x米，则CD＝(16－x)米，
要将树围在矩形内，则
∴a≤x≤12.
S＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64，x∈[a,12]，
当0当8Smax＝－a2＋16a.
综上有f(a)＝
故选C.
4. 某购物网站在2020年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】为使花钱总数最少，需使每张订单满足“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”，即每张订单打折前原金额不少于500元．由于每件原价48元，因此每张订单至少11件，又42＝11×3＋9，所以最少需要下的订单张数为3.
故选C.
【多选题】
5. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(　　)
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
【解析】甲、乙、丙、丁的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，它们对应的函数模型分别为指数型函数模型、二次函数模型、一次函数模型、对数型函数模型．
当x＝2时，f1(2)＝3，f2(2)＝4，所以A不正确；
当x＝5时，f1(5)＝31，f2(5)＝25，所以B不正确；
根据四种函数的变化特点，对数型函数的增长速度是先快后慢，又当x＝1时，甲、乙、丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知，当01时，丁走在最后面，所以C正确；
指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动的时间足够长时，最前面的物体一定是按照指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物体，所以D正确．
故选CD.
6. 某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：
年份x 2016 2017 2018 2019
包装垃圾y(万吨) 4 6 9 13.5
有下列函数模型：①y＝a·bx－2 016；②y＝asin ＋b；③y＝alg(x＋b)(a>0，b>1)(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则以下说法正确的是(　　)
A．选择模型①，函数模型解析式y＝4·x－2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系
B．选择模型②，函数模型解析式y＝4sin ＋2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系
C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
【解析】若选y＝4·x－2 016，计算可得对应数据近似为4,6,9,13.5，
若选y＝4sin ＋2 016，计算可得对应数据近似值都大于2 012，
显然A正确，B错误；
按照选择函数模型y＝4·x－2 016，
令y>40，即4×x－2 016>40，
∴x－2 016>10，
∴x－2 016>，
∴x－2 016>＝≈5.678 6，
∴x>2 021.678 6，
即从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误，D正确．
故选AD.
【填空题】
7. 某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(恒温单位：℃)满足函数关系t(x)＝且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．
①该食品在8 ℃的保鲜时间是________小时；
②已知甲在某日上午10时购买了该食品．并将其遗放在室外，且当日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了当日13时，甲所购买的食品________保鲜时间(填“过了”或“没过”)．
【解析】①因为食品在4 ℃的保鲜时间是16小时，所以24k＋6＝16，解得k＝－.
所以t(8)＝2－4＋6＝4.
②由图象可知在11时之前，温度已经超过了10 ℃，此时该食品的保鲜期少于21＝2小时．而食品在11时之前已放了一段时间，所以到13时，该食品已过保鲜期．
8. 一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
【解析】当t＝0时，y＝a；
当t＝8时，y＝ae－8b＝a，故e－8b＝.
当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则t＝24，所以再经过16 min容器中的沙子只有开始时的八分之一．
【解答题】
9. 某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10～1 000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：资金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.
(1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和的范围；
(2)现有两个奖励函数模型：①y＝＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．
【解析】(1)y＝f(x)的定义域是[10，1 000]，值域是(0，9]，∈(0，0.2]．
(2)①不符合，②符合．理由如下：
当y＝＋2时，＝＋的最大值是>0.2，不符合公司的要求．
当y＝4lg x－3时，函数在定义域上为增函数，最大值为9.
由≤0.2可知y－0.2x≤0.
令g(x)＝4lg x－3－0.2x，x∈[10，1 000]，则g′(x)＝<0，所以g(x)在[10，1 000]上单调递减，所以g(x)≤g(10)＝－1<0，即≤0.2.故函数y＝4lg x－3符合公司的要求．
10. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝＋k(p>0，k>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
【解析】(1)由题设可知，两个函数y＝kax(k>0，a>1)，y＝＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均为增函数，随着x的增大，函数y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越来越快，
而函数y＝＋k(p>0，k>0)的值增加得越来越慢，
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，故而函数模型y＝kax(k>0，a>1)满足要求．
由题意可得
解得k＝，a＝，故该函数模型的解析式为y＝·x(x∈N)．
(2)当x＝0时，y＝·0＝，
故元旦放入凤眼莲的面积为 m2，
由·x>10×，
即x>10，
故x>＝＝，
由于≈≈5.7，
故x≥6.
因此，凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．
11. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；
(2)现有两个奖励函数模型：
(ⅰ)y＝x＋1；
(ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
【解析】(1)设奖励函数模型为y＝f(x)，
则该函数模型满足的条件是：
①当x∈[10，100]时，f(x)是增函数；
②当x∈[10，100]时，f(x)≤5恒成立；
③当x∈[10，100]时，f(x)≤恒成立．
(2)(a)对于函数模型(ⅰ)y＝x＋1，
它在[10，100]上是增函数，满足条件①；
但当x＝80时，y＝5，因此，当x>80时，y>5，不满足条件②；故该函数模型不符合公司要求．
(b)对于函数模型(ⅱ)y＝log2x－2，它在[10，100]上是增函数，满足条件①，
x＝100时，ymax＝log2100－2＝2log25<5，即f(x)≤5恒成立．满足条件②，
设h(x)＝log2x－2－x，则h′(x)＝－，
又x∈[10，100]，所以≤≤，
所以h′(x)≤－<－＝0，
所以h(x)在[10，100]上是递减的，
因此h(x)≤h(10)＝log210－4<0，
即f(x)≤恒成立，满足条件③，
故该函数模型符合公司要求．
综上所述，函数模型(ⅱ)y＝log2x－2符合公司要求．
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第二单元第9讲 函数模型及应用
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：用函数图象刻画变化过程
题型二：函数模型的选择(应用型)
题型三：构建函数模型解决实际问题
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．三种函数模型的性质
函数 性质 y＝ax (a>1) y＝logax (a>1) y＝xn (n>0)
在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
2.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)
指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)
幂函数模型 f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)
【讲方法】
1.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法
(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；
(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案．
2.求解已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．
(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．
(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．
3.构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模：抽象出实际问题的数学模型；
(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解；
(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释、返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．
二、【练】
【练题型】
【题型一】用函数图象刻画变化过程
【典例1】(2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
【典例2】已知正方形ABCD的边长为4，动点P从B点开始沿折线BCDA向A点运动．设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f(x)的图象是(　　)
【典例3】高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(　　)
【题型二】函数模型的选择(应用型)
【典例1】某新型企业为获得更大利润，须不断加大投资，若预计年利润低于10%时，则该企业就考虑转型，下表显示的是某企业几年来年利润y(百万元)与年投资成本x(百万元)变化的一组数据：
年份 2008 2009 2010 2011 …
投资成本x 3 5 9 17 …
年利润y 1 2 3 4 …
给出以下3个函数模型：①y＝kx＋b(k≠0)；②y＝abx(a≠0，b＞0，且b≠1)；③y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)．
(1)选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系；
(2)试判断该企业年利润超过6百万元时，该企业是否要考虑转型．
【典例2】某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q(单位：元/100 kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：
时间t 60 100 180
种植成本Q 116 84 116
根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系：
Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.
利用你选取的函数，求：
(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是________；
(2)最低种植成本是________元/100 kg.
【典例3】据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：min)为f(x)＝(A，c为常数)．已知某工人组装第4件产品用时30 min，组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是(　　)
A．75，25 B．75，16
C．60，25 D．60，16
【题型三】构建函数模型解决实际问题
【典例1】响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝x2＋2x.在年产量不小于8万件时，W(x)＝7x＋－37.每件产品售价6元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．
(1)写出年利润P(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)
(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？
【典例2】某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2020年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)(　　)
A．2022年 B．2023年
C．2024年 D．2025年
【典例3】里氏震级M的计算公式为：M＝lg A－lg A0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A0是相应的标准地震的振幅．假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．
【练真题】
【真题1】（2019·高考全国卷Ⅰ）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是(≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是(　　)
A．165 cm　　　　　　　　　 B．175 cm
C．185 cm D．190 cm
【真题2】（2020·高考全国卷Ⅲ）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A．60 B．63
C．66 D．69
【真题3】（2021·全国甲卷）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录法的数据V满足L＝5＋lg V.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据约为(≈1.259)(　　)
A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6
【真题4】（2020·高考江苏卷）某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底O在水平线MN上，桥AB与MN平行，OO′为铅垂线(O′在AB上)．经测量，左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO′的距离a(米)之间满足关系式h1＝a2；右侧曲线BO上任一点F到MN的距离h2(米)与F到OO′的距离b(米)之间满足关系式h2＝－b3＋6b.已知点B到OO′的距离为40米．
(1)求桥AB的长度；
(2)计划在谷底两侧建造平行于OO′的桥墩CD和EF，且CE为80米，其中C，E在AB上(不包括端点)．桥墩EF每米造价k(万元)，桥墩CD每米造价k(万元)(k>0)，问O′E为多少米时，桥墩CD与EF的总造价最低？
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. (2020·全国Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散点图：
由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　)
A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2
C．y＝a＋bex D．y＝a＋bln x
2. 视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表：
小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0
五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3
现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)(　　)
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8
3. 某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了(　　)
A．0.33米 B．0.42米
C．0.39米 D．0.43米
4. 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度经有关研究可知：在室温25 ℃下，某种绿茶用85 ℃的水泡制，经过x min后茶水的温度为y ℃，且y＝k·0.908 5x＋25(x≥0，k∈R)．当茶水温度降至55 ℃时饮用口感最佳，此时茶水泡制时间大约为(结果保留整数，参考数据：ln 2≈0.693 1，ln 3≈1.098 6，ln 0.908 5≈－0.096 0) (　　)
A．6 min B．7 min
C．8 min D．9 min
【多选题】
5. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论正确的是(　　)
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
6. 甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，下列结论正确的是(　　)
A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min
B.甲从家到公园的时间是30 min
C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快
D.当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x
【填空题】
7. 某种动物的繁殖数量y(数量：只)与时间x(单位：年)的关系式为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第1年有100只，则到第7年它们发展到________只．
8. 经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t＋200(1≤t≤50，t∈N)，前30天价格为g(t)＝t＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N)．则日销售额的最大值为________．
9. 复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息．某同学有压岁钱1 000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1 000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元．
(参考数据：1.022 54≈1.093,1.022 55≈1.118,1.040 15≈1.217)
【解答题】
10. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数．当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当4(1)当0(2)当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)可以达到最大？并求出最大值．
11. 某地下车库在排气扇发生故障的情况下测得空气中一氧化碳含量达到了危险状态，经抢修排气扇恢复正常．排气4分钟后测得车库内的一氧化碳浓度为64 ppm，继续排气4分钟后又测得浓度为32 ppm.由检验知该地下车库一氧化碳浓度y(ppm)与排气时间t(分钟)之间存在函数关系y＝c(c，m为常数)．
(1)求c，m的值；
(2)若空气中一氧化碳浓度不高于0.5 ppm为正常，问至少排气多少分钟，这个地下车库中的一氧化碳含量才能达到正常状态？
【测能力】
【单选题】
1. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利．如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为(　　)
A．72小时 B．36小时
C．24小时 D．16小时
2. “喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(贝尔)，即L＝lg .取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(分贝)与喷出的泉水高度x(m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m，60 m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为(　　)
A．10 B．100 C．200 D．1 000
3. 如图所示，一直角墙角，两边的长度足够长，在P处有一棵树与两墙的距离分别是a m
(04. 某购物网站在2020年11月开展“全部6折”促销活动，在11日当天购物还可以再享受“每张订单金额(6折后)满300元时可减免100元”．某人在11日当天欲购入原价48元(单价)的商品共42件，为使花钱总数最少，他最少需要下的订单张数为(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【多选题】
5. 甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向运动，它们的路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x≥0)的函数关系式分别为f1(x)＝2x－1，f2(x)＝x2，f3(x)＝x，f4(x)＝log2(x＋1)，则下列结论正确的是(　　)
A．当x>1时，甲走在最前面
B．当x>1时，乙走在最前面
C．当01时，丁走在最后面
D．如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲
6. 某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：
年份x 2016 2017 2018 2019
包装垃圾y(万吨) 4 6 9 13.5
有下列函数模型：①y＝a·bx－2 016；②y＝asin ＋b；③y＝alg(x＋b)(a>0，b>1)(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)，则以下说法正确的是(　　)
A．选择模型①，函数模型解析式y＝4·x－2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系
B．选择模型②，函数模型解析式y＝4sin ＋2 016，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y(万吨)与年份x的函数关系
C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
【填空题】
7. 某食品的保鲜时间t(单位：小时)与储藏温度x(恒温单位：℃)满足函数关系t(x)＝且该食品在4 ℃的保鲜时间是16小时．
①该食品在8 ℃的保鲜时间是________小时；
②已知甲在某日上午10时购买了该食品．并将其遗放在室外，且当日的室外温度随时间变化如图所示，那么到了当日13时，甲所购买的食品________保鲜时间(填“过了”或“没过”)．
8. 一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．
【解答题】
9. 某公司计划投资开发一种新能源产品，预计能获得10～1 000万元的收益．现准备制定一个对开发科研小组的奖励方案：资金y(单位：万元)随收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金总数不超过9万元，同时奖金总数不超过收益的20%.
(1)若建立奖励方案函数模型y＝f(x)，试确定这个函数的定义域、值域和的范围；
(2)现有两个奖励函数模型：①y＝＋2；②y＝4lg x－3.试分析这两个函数模型是否符合公司的要求？请说明理由．
10. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲(其覆盖面积为k)，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24 m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36 m2，凤眼莲的覆盖面积y(单位：m2)与月份x(单位：月)的关系有两个函数模型y＝kax(k>0，a>1)与y＝＋k(p>0，k>0)可供选择．
(1)试判断哪个函数模型更合适并求出该模型的解析式；
(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份．(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)
11. 某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10，100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.
(1)若建立函数模型y＝f(x)制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；
(2)现有两个奖励函数模型：
(ⅰ)y＝x＋1；
(ⅱ)y＝log2x－2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求．
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