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【四年真题】四年（2020-2023）高考数学真题分项汇编（全国通用）
专题09 复数
一、单选题
1．（2023·全国·统考高考真题）（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2020·全国·统考高考真题）（1–i）4=（ ）
A．–4 B．4
C．–4i D．4i
3．（2020·全国·统考高考真题）若z=1+i，则|z2–2z|=（ ）
A．0 B．1 C． D．2
4．（2020·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A．0 B．1
C． D．2
5．（2020·全国·统考高考真题）若，则z=（ ）
A．1–i B．1+i C．–i D．i
6．（2020·浙江·统考高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ）
A．1 B．–1 C．2 D．–2
7．（2021·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·全国·高考真题）已知，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022·北京·统考高考真题）若复数z满足，则（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
10．（2022·全国·统考高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国·统考高考真题）设，其中为实数，则（ ）
A． B． C． D．
13．（2022·全国·统考高考真题）（ ）
A． B． C． D．
14．（2022·浙江·统考高考真题）已知（为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
15．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（ ）
A． B． C．0 D．1
16．（2023·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A．-1 B．0 · C．1 D．2
17．（2023·全国·统考高考真题）（ ）
A．1 B．2 C． D．5
18．（2020·全国·统考高考真题）复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
19．（2020·海南·统考高考真题）（ ）
A．1 B． 1
C．i D． i
20．（2023·北京·统考高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（ ）
A． B．
C． D．
21．（2020·北京·统考高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．
A． B． C． D．
22．（2020·海南·高考真题）=（ ）
A． B． C． D．
23．（2021·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
24．（2021·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
25．（2021·浙江·统考高考真题）已知，，(i为虚数单位)，则（ ）
A． B．1 C． D．3
26．（2021·北京·统考高考真题）在复平面内，复数满足，则（ ）
A． B． C． D．
27．（2023·全国·统考高考真题）设，则（ ）
A． B． C． D．
28．（2021·全国·统考高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
29．（2022·全国·统考高考真题）若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
30．（2022·全国·统考高考真题）若．则（ ）
A． B． C． D．
31．（2023·全国·统考高考真题）在复平面内，对应的点位于（ ）．
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二、填空题
32．（2021·天津·统考高考真题）是虚数单位，复数_____________．
33．（2022·天津·统考高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_______．
34．（2023·天津·统考高考真题）已知是虚数单位，化简的结果为_________．
35．（2020·全国·统考高考真题）设复数，满足，，则=__________.
36．（2020·江苏·统考高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
37．（2020·天津·统考高考真题）是虚数单位，复数_________．
参考答案：
1．C
【分析】利用复数的四则运算求解即可.
【详解】
故选：C.
2．A
【分析】根据指数幂的运算性质，结合复数的乘方运算性质进行求解即可.
【详解】.
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的乘方运算性质，考查了数学运算能力，属于基础题.
3．D
【分析】由题意首先求得的值，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得：，则.
故.
故选：D.
【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.
4．C
【分析】先根据将化简，再根据复数的模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以 ．
故选：C．
【点睛】本题主要考查复数的模的计算公式的应用，属于容易题．
5．D
【分析】先利用除法运算求得，再利用共轭复数的概念得到即可.
【详解】因为，所以.
故选：D
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到共轭复数的概念，是一道基础题.
6．C
【分析】根据复数为实数列式求解即可.
【详解】因为为实数，所以，
故选：C
【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
8．B
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，
.
故选：B.
9．B
【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有，故．
故选：B．
10．A
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
【详解】
由,结合复数相等的充要条件为实部、虚部对应相等，
得,即
故选:
11．C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选 ：C
12．A
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为R，，所以，解得：．
故选：A.
13．D
【分析】利用复数的乘法可求.
【详解】，
故选：D.
14．B
【分析】利用复数相等的条件可求.
【详解】，而为实数，故，
故选：B.
15．A
【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出．
【详解】因为，所以，即．
故选：A．
16．C
【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．
【详解】因为，
所以，解得：．
故选：C.
17．C
【分析】由题意首先化简，然后计算其模即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：C.
18．D
【分析】利用复数的除法运算求出z即可.
【详解】因为，
所以复数的虚部为.
故选：D.
【点晴】本题主要考查复数的除法运算，涉及到复数的虚部的定义，是一道基础题.
19．D
【分析】根据复数除法法则进行计算.
【详解】
故选：D
【点睛】本题考查复数除法，考查基本分析求解能力，属基础题.
20．D
【分析】根据复数的几何意义先求出复数，然后利用共轭复数的定义计算.
【详解】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，
由共轭复数的定义可知，.
故选：D
21．B
【分析】先根据复数几何意义得，再根据复数乘法法则得结果.
【详解】由题意得，.
故选：B.
【点睛】本题考查复数几何意义以及复数乘法法则，考查基本分析求解能力，属基础题.
22．B
【分析】直接计算出答案即可.
【详解】
故选：B
【点睛】本题考查的是复数的计算，较简单.
23．C
【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.
【详解】由题意可得：.
故选：C.
24．C
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：C.
25．C
【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】，
利用复数相等的充分必要条件可得：.
故选：C.
26．D
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：.
故选：D.
27．B
【分析】由题意首先计算复数的值，然后利用共轭复数的定义确定其共轭复数即可.
【详解】由题意可得，
则.
故选：B.
28．A
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，
故选：A.
29．D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
30．D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．
故选：D.
31．A
【分析】根据复数的乘法结合复数的几何意义分析判断.
【详解】因为，
则所求复数对应的点为，位于第一象限.
故选：A.
32．
【分析】利用复数的除法化简可得结果.
【详解】.
故答案为：.
33．/
【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．
【详解】．
故答案为：．
34．/
【分析】由题意利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，然后计算其运算结果即可.
【详解】由题意可得.
故答案为：.
35．
【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
【详解】方法一：设，，
，
，又，所以，，
.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，
∴.
【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.
方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解
36．3
【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
【详解】∵复数
∴
∴复数的实部为3.
故答案为：3.
【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题．
37．
【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
【详解】.
故答案为：.
【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.
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