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长郡湘府中学2023年高二第二学期期末考试数学模拟试卷
一、单选题（40分）
1．已知实数集合若，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
2．若两个正实数，满足且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（　　）
A． B． C． D．
4．函数在上的大致图象为（ ）
A．B．C．D．
5．已知，则是的（ ）条件.
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
6．设复数满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
7．已知，，，则，，的大小关系为　　
A． B． C． D．
8．已知是函数的零点，是函数的零点，且满足，则实数的最小值是( )
A． B． C． D．
二、多选题（20分）
9．已知，，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知等差数列的前项和为，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．数列中最小 D．数列中最小
11．设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则下列关于的说法正确的有（ ）
A．的一个周期为4 B．点是函数的一个对称中心
C．时， D．
12．如图是函数的部分图像，则（ ）
A．
B．在区间单调递增
C．直线是曲线的对称轴
D．的图像向左平移个单位得到函数的图像
三、填空题（20分）
13．若随机变量，且，则______.
14．已知函数在区间单调，其中为正整数，，且.则图像的一条对称轴__________.
15．一个圆锥母线与底面所成的角为，体积为，过圆锥顶点的平面截圆锥，则所得截面面积的最大值为______．
16．如图，已知球O的面上四点A，B，C，P，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，，，则球O的体积等于____________．
四、解答题（70分）
17．设函数是定义域为的偶函数，是定义域为的奇函数，且.
(1)求与的解析式；
(2)若在上的最小值为，求的值.
18．小家电指除大功率、大体积家用电器（如冰箱、洗衣机、空调等）以外的家用电器，运用场景广泛，近年来随着科技发展，智能小家电市场规模呈持续发展趋势，下表为连续5年中国智能小家电市场规模（单位：千亿元），其中年份对应的代码依次为1 5．
年份代码 1 2 3 4 5
市场规模 0.9 1.2 1.5 1.4 1.6
(1)由上表数据可知，可用线性回归模型拟合与的关系，求关于的经验回归方程（系数精确到0.01）；
(2)某传媒公司为了了解中国智能小家电消费者年龄分布，随机调查了200名消费者，统计这200名消费者年龄，按照青少年与中老年分为两组，得到如下2×2列联表，请将列联表补充完整，并回答：依据的独立性检验，能否认为是否喜欢够买智能小家电与年龄有关？
青少年 中老年 合计
喜欢购买智能小家电 80
不喜欢购买智能小家电 60
合计 110 200
参考数据及公式：
，，中，
，
附：临界值表
0.10 0.010 0.001
2.706 6.635 10.828
19．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间
(2)若在中，角，，所对的边分别为，，，且，，求面积的最大值.
20．如图，直三棱柱中，，为上一点，且.
(1)证明：平面平面；
(2)若直三棱柱的体积为，求二面角的余弦值.
21．设正项数列的前项和为，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
22．已知函数（a为常数）．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)设函数的两个极值点分别为，（），求的范围．
试卷第4页，共4页
参考答案：
1．A
【解】由题意可知，两集合元素全部相等，
得到或又根据集合互异性，可知，
解得或（舍），所以
2．C
【解】因为，且，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即，解得或，
所以的取值范围是．
3．D
【解】若向量与向量共线，
则存在实数，使，
，
，解得.
4．C
【解】∵，∴在上为偶函数．
又，∴只有选项C的图象符合．
5．A
【解】记集合，.
因为A B，所以是的充分不必要条件.
6．D
【解】.
7．D
【解】；
设，；
时，；在，上单调递减；
；；．
8．A
【解】，，
当时，单调递减，
当时，单调递增，
为方程的根，即﹒
故，即为，解得﹒
是函数的零点，
方程在上有解﹒即在上有解﹒
，在上有解﹒
令，
则，
设，
则，易知h(t)在上单调递增，在上单调递减﹒
又，﹒
﹒故实数a的最小值是﹒
9．ABD
【解】对选项A，因为，，且，
所以，当且仅当时，等号成立，故A正确.
对选项B，由A知：，所以，
当且仅当时，等号成立，故B正确.
对选项C，，当且仅当时，等号成立，故C错误.
对选项D，因为，，所以，故D正确.
10．BC
【解】因为，所以，
因为，所以，所以，，
对于A：因为，，所以，，故A错误；
对于B和C：因为，，所以最小，故B，C正确；
对于D：因为，，，所以，
所以，故D错误；
11．AD
【解】为奇函数，，且，函数关于点，
偶函数，，函数关于直线对称，
，
即，，
令，则，，
，故的一个周期为4，故A正确；
则直线是函数的一个对称轴，故B不正确；
当时，，
，，
又，，解得，
，，当时，，故C不正确；
，故D正确.
12．AC
【解】A项：由图象可得，解得，所以，故，
由周期及图象知：，将代入可得，解得，
又，所以，所以，A正确；
B项：当，即时，单调递增，
因为，B错误；
C项：令，解得，当时，，C正确；
D项：的图象向左平移个单位，得到，D错误．
13．
【解】因为，且，
所以.
14．
【解】因为函数在区间单调，，，
，在同一个周期内，
，图像的一条对称轴为.
15．8
【解】设圆锥的顶点为，底面圆心为，过圆锥顶点的平面截圆锥所得截面为，
为的中点，则，，，
则圆锥的体积为，
由题意得，解得，，
，，
所以
，
因为，，所以当，时，取得最大值为.
16．
【解】将三棱锥补为一个同一顶点出发的三条棱长分别为的长方体，
则三棱锥外接球的半径，即等于该长方体外接球的半径.
易知长方体外接球的半径，
所以，球O的体积.
17．【解】（1）为偶函数，，
又为奇函数，，
，①
，即，②
由得：，可得.
（2）解：，
所以，，
令，因为函数、在上均为增函数，
故在上单调递增，则，
设，，对称轴，
①当时，函数在上为减函数，在上为增函数，
则，解得：或（舍）；
②当时，在上单调递增，
，解得：，不符合题意.
综上：.
18．【解】（1）由已知得，，
，，
，
所以，
因为与的相关系数近似为0.92，说明与的线性相关程度较高，
所以可以用线性回归模型拟合与的关系．
由题可得，，
，，
故与的经验回归方程为．
（2）由题意可得如下2×2列联表：
青少年 中老年 合计
喜欢购买智能小家电 80 30 110
不喜欢购买智能小家电 30 60 90
合计 110 90 200
所以，所以能认为是否喜欢购买智能小家电与年龄有关．
19．【解】（1）因为，
即，
令，，解得，，
所以函数的单调减区间为，．
（2）由得，由，∴，∴．
又，由余弦定理得，
所以，得，当且仅当时等号成立，
所以，
所以面积的最大值为．
20．【解】（1）:如图，作交于点，交于点，连接，
因为，
所以，所以，
所以由等面积可得，
由勾股定理得，
所以，所以，
又，，所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
因为直三棱柱平面平面，平面平面，
所以平面，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（2）因为直三棱柱的体积为，所以，解得，
所以，由题知平面，又平面，
所以两两垂直，以点为原点，以所在直线分别为轴 轴 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面的法向量为，
则，
令，得平面的一个法向量为，
易知平面的一个法向量为
设二面角的大小为，则，
易知为锐角，所以二面角的余弦值为.
21．【解】（1）当时，，得，
当时，，
则，
化简得，
又，所以，．
所以数列是首项为1，公差为2的等差数列，所以；
（2）因为，，所以，
所以，
，
所以，
所以，
整理得.
22．【解】（1）当时，，，
所以，，
故曲线在点处的切线方程为．
（2）若在定义域内有两个极值点，则是方程即的两个不相等的正根，
从而得到，即，
又，故，且
令，则，
，
所以在上单调递减，
所以，即的值域为，
所以的范围是.

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