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专题1.2 数轴与相反数
模块1：学习目标
1. 能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；
2. 能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数；
3. 会用数轴比较两个数的大小；初步感受数形结合的思想；
4. 能理解相反数的意义；能求出已知数的相反数；
5. 能根据相反数的意思进行化简。
模块2：知识梳理
1.数轴
1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：
①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点．
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
2）数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
3）有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数．
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向
4）利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
2.相反数
1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．①一般地，与互为相反数，表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是
②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身．③相反数是成对出现的。
2）相反数的几何意义
互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。
3.多重符号的化简
1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉
2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉
3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号
口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号
注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。
模块3：核心考点与典例
考点1、数轴的三要素及其画法
例1．（2022·菏泽市牡丹区初一月考）下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数
③有理数数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④
【答案】D
【分析】根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案．
【解析】①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误；
②数轴上两个不同的点可以表示两个不同的有理数，故原说法错误；
③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误；
④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确；故选：D．
【点睛】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念．
变式1. （2022·广东七年级期末）下列数轴画法正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用数轴定义进行判断即可．
【详解】解：A、没有正方向和原点位置，则画法错误，故此选项不合题意；
B、数轴画法正确，故此选项符合题意；C、没有正方向，则画法错误，故此选项不合题意；
D、数轴上的数标注错误，则画法错误，故此选项不合题意；故选：B．
【点睛】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的三要素：原点，单位长度，正方向．
考点2、用数轴上的点表示有理数
例2．（2023·吉林·九年级二模）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由数轴上数的特征可得该数的取值范围，再进行判断即可．
【详解】解：由数轴上墨迹的位置可知，该数大于-3，且小于-1，
因此备选项中，只有选项C符合题意，故选：C．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义和方法，确定被墨迹所盖的数的取值范围是正确解答的前提．
变式2. （2022·黑龙江·七年级期末）在数轴上表示﹣2.1和3.3两点之间的整数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【分析】在数轴上找出点-2.1和3.3，找出两点之间的整数即可得出结论．
【详解】解：依照题意，画出图形，如图所示．
在﹣2.1和3.3两点之间的整数有：﹣2，﹣1，0，1，2，3，共6个，故选：C．
【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是画出数轴，利用数形结合的方法解答．
考点3、利用数轴比较有理数的大小
1）正方向上，离原点越远，数越大；2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）. 注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。
例3．（2022·河北沧州市·七年级期末）a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据、在数轴上的位置可得、在数轴上的位置，进而可得答案．
【详解】解：根据题意可得：、、、在数轴上的位置如图所示：
所以把、、、按照从小到大的顺序排列为：．故选择：C．
【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较，属于常考题型，正确理解题意、掌握解答的方法是解题的关键．
变式3. （2022·沙坪坝区·七年级月考）将有理数﹣5，0.4，0，﹣2，﹣4表示在数轴上，并用“＜”连接各数．
【答案】见解析，
【分析】先把各数在数轴上表示出来，再从左到右用“＜”连接起来即可．
【详解】解：如图所示：
故．
【点睛】本题主要考查数轴及有理数的大小比较，熟练掌握数轴及有理数的大小比较是解题的关键．
考点4、数轴上两点之间的距离
例4．（2022·广州市·七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6
（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
【答案】（1）8；（2）见解析；MN的长度不会发生改变，线段MN＝4．
【分析】（1）数轴上两点之间的距离等于较大数与较小数的差；
（2）根据中点的意义，利用线段的和差可得出答案．
【详解】解：（1）AB＝|﹣2﹣6|＝8，答：AB的长为8；
（2）MN的长度不会发生改变，线段MN＝4，理由如下：
如图，因为M为PA的中点，N为PB的中点，
所以MA＝MP＝PA，NP＝NB＝PB，
所以MN＝NP﹣MP＝PB﹣PA＝（PB﹣PA）＝AB＝×8＝4．
【点睛】本题考查了数轴上两点之间的距离，数轴上线段中点的意义，熟练掌握两点间距离计算方法，灵活运用中点的意义是解题的关键．
变式4.（2022.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（ ）
A．点A所对应的数为 B．点C所对应的数为
C．点D所对应的数为 D．点A与点D间的距离为
【答案】D
【分析】根据，点B所对应的数为m，先得到点A所表示的数，进而求出B，C，D表示的数，进而即可判断．
【详解】∵，点B所对应的数为m，∴点A所对应的数为，
∵，∴点C所对应的数为，
∴点D所对应的数为，点A与点D间的距离为，∴D选项错误，故选D．
【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
考点5、相反数的定义及求一个数的相反数
例5．（2023·辽宁·九年级一模）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，2021的相反数是（ ）
A．2021 B．-2021 C．- D．
【答案】B
【分析】直接根据相反数的概念得出结果即可
【详解】2021的相反数是-2021故选：B
【点睛】本题考查相反数的概念，熟练掌握概念是关键
变式5. （2022·河南安阳市·七年级期中）的相反数（　　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相反数的定义、去括号法则即可得．
【详解】的相反数为，故选：C．
【点睛】本题考查了相反数、去括号，熟记相反数的定义是解题关键．
考点6、判断两个数是否互为相反数
例6．（2022.重庆市七年级专项）在0和0，和，和3这三对数中，互为相反数的有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
【答案】B
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
【详解】互为相反数的是： 0和0，和-，共有2对，故选: B.
【点睛】本题考查了相反数的定义，是基础题，熟记概念是解题的关键.
变式6. （2023·深圳市南山区九年级二模）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．－4 和 B．和 4 C．－4 和－ D．4 和－4
【答案】D
【分析】根据相反数的概念进行判断即可．
【详解】解：4的相反数是-4，∴互为相反数的是4与，故选：D．
【点睛】本题考查相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题关键．
考点7、化简多重符号
例7．（2022·临沂七年级月考）化简下列各数：
（1）=________________； （2）-（+3.5）=_____________； （3）+（-4）=_______________；
【答案】 -3.5 -4
【分析】根据多重符号的化简规律进行化简即可．
【详解】解：，-（+3.5）=-3.5，+（-4）=-4；
故答案为：，-3.5，-4
【点睛】本题考查符号的化简．化简符号的规律是：非0数的正负与前边的正号的个数无关，而与负号的个数有关，当有奇数个负号时，值是负数，当有偶数个负号时，值是正数．
变式7. （2022·新乡县七年级月考）化简下列各数：
①－（－82） = ________ ②－｜－5｜ = _______
③ = ________ ④ = ___________．
【答案】82 -5 100
【分析】分别根据相反数的定义进行化简即可．
【详解】解：①-（-82）=82，②-｜-5｜=-5，③=100，④=．
故答案为：82，-5，100，．
【点睛】本题考查了利用相反数的定义化简，是基础题，熟记概念是解题的关键．
考点8、相反数的应用
例8．（2023·河北唐山市·九年级二模）如图，数轴上点A、、、、表示的数中，表示互为相反数的两个点是（ ）．
A．点和点 B．点A和点
C．点和点 D．点A和点
【答案】B
【分析】根据数轴、相反数的性质分析，即可得到答案．
【详解】根据题意，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为
∴表示互为相反数的两个点是点A和点故选：B．
【点睛】本题考查了有理数的知识；解题的关键是熟练掌握数轴、相反数的性质，从而完成求解．
变式8.（2022·陕西西安市·七年级月考）如图所示，数轴上的一个单位长度表示2，观察下图，回答问题：（1）若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是多少？
（2）若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数的相反数是多少？
【答案】（1）点表示的数为5；（2）点表示的数的相反数为
【分析】（1）先确定原点，即可确定点表示的数；
（2）先确定原点，可确定点表示的数，再确定点表示的数的相反数．
【详解】（1）如图：
∵AD=10，点与点表示的数互为相反数，∴点表示的数为5；
（2）如图：
∵点与点表示的数互为相反数，∴点表示的数为2；
∴点表示的数的相反数为．
【点睛】本题主要考查了数轴和相反数的应用，要注意两点，一是单位长度是多少，二是要注意找好原点，利用原点确定所表示的数．
考点9、相反数的性质
例9．（2022·广西贵港市·七年级期末）若a，b，c，m都是不为零的有理数，且，，则b与c的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定
【答案】A
【分析】由题可得，则可得到与的关系，即可得到答案．
【详解】为不为零的有理数 ，
互为相反数故选：A．
【点睛】本题考查了代数式的换算，相反数的性质，熟练掌握是解题关键．
变式9.（2022·浙江七年级课时练习）若a与b互为相反数且a≠b，则＝（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．0，±1
【答案】C
【分析】根据相反数的性质即可求解．
【详解】若a与b互为相反数且a≠b，则a≠b≠0∴故选C．
【点睛】此题主要考查相反数的性质，解题的关键是熟知相反数的特点．
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022·绵阳市七年级期中）数轴的原型来源于生活实际，数轴体现了（ ）的数学思想，是我们学习和研究有理数的重要工具．
A．整体 B．方程 C．转化 D．数形结合
【答案】D
【分析】因为数轴是解决数的运算的一种重要工具，所以它充分体现了数形结合的思想．
【解析】数轴是数学的重要内容之一，它体现的数学思想是数形结合的思想．故选：D
【点睛】本题考查几种数学思想，解题的关键是理解数形结合的定义：根据数与形之间的一一对应关系，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，从而起到优化解题途径的目的．
2．（2022·浙江温州市·七年级期中）在数轴上位置的描述，正确的是（ ）
A．在点的左边 B．在点和原点之间
C．由点1向左平移4个单位得到 D．和原点的距离是
【答案】C
【分析】比较-3和选项中的数的大小，依据右边的数总是大于左边的数即可判断．
【详解】解：A、-3＞-4，则-3在-4的右边，选项错误；B、-3∠-2，则-3在-2的左边，选项错误；
C、点1向左平移4个单位得到-3，选项正确；D、-3和原点的距离是3，选项错误．故选：C．
【点睛】本题考查了利用数轴表示有理数的大小，理解数轴上的数总是大于左边的数是解题的关键．
3．（2022·天津市初一月考）下列各式中，化简正确的是（　　）
A．﹣（+7）=﹣7 B．﹣（﹣7）=﹣7 C．+（﹣7）=7 D．﹣[+（﹣7）]=﹣7
【答案】A
【分析】根据相反数的定义逐个分析即可：-a表示数a的相反数.
【解析】﹣（+7）=﹣7,故选项A正确； ﹣（﹣7）=7，故选项B错误；
+（﹣7）=-7，故选项C错误； ﹣[+（﹣7）]=7，故选项D错误.故选A
【点睛】本题考核知识点：相反数；解题关键点：理解相反数的意义.
4．（2022·江苏盐城·七年级期末）2022的相反数是（ ）
A． B． C． 2022 D．2022
【答案】C
【分析】根据相反数的定义求解即可，只有符号不同的两个数互为相反数．
【详解】解：2022的相反数是 2022．故选：C．
【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．
5.（2022 金华七年级月考）下列关于数轴的图示，画法不正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】通过观察数轴上的原点，单位长度，正方向即可进行判断，从而选出答案．
【解答】解：通过观察易知（1）数轴单位长度不一致故错误；（2）数轴没有原点，故错误；（3）数轴原点，单位长度，正方向都具有，故正确；（4）数轴没有正方向，故错误；
故不正确的由（1）（2）（4）共三个，故选：B．
【点评】本题考查数轴相关概念，熟练掌握数轴上原点，单位长度，正方向三要素是解题关键．
6.（2022·菏泽市初一月考）下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数
③有理数数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点。
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④
【答案】D
【分析】根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案．
【解析】①规定了原点、正方向和单位长度的直线是数轴，故原说法错误；
②数轴上两个不同的点可以表示两个不同的有理数，故原说法错误；
③有理数在数轴上可以表示出来，故原说法错误；
④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点，说法正确；故选：D．
【点睛】此题主要考查了数轴，关键是掌握数轴的概念．
7．（2022 庐阳区七年级期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达A′的位置，则点A′表示的数是（　　）
A．π﹣1 B．﹣π+1 C．﹣π﹣1 D．π﹣1或﹣π﹣1
【思路点拨】先求出圆的周长为π，从A滚动向左运动，运动的路程为圆的周长．
【答案】解：∵圆的直径为1个单位长度，∴此圆的周长＝π，
∴当圆向左滚动时点A′表示的数是﹣π+1；故选：B．
【点睛】本题考查的是实数与数轴的特点，掌握数轴上点平移的关系是解答此题的关键．
8．（2022·山东淄博市·七年级期中）如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A、B、C，若点A、C表示的数互为相反数，则图中点B对应的数是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．3
【答案】C
【分析】根据点A、C表示的数互为相反数得到数轴原点的位置，读出点Ｂ表示的数即可求解.
【详解】解：根据点A、C表示的数互为相反数，可得图中点D为数轴原点，
，
∴点B对应的数是1，故选：C．
【点睛】本题考查数轴上表示的数，根据相反数在数轴上的位置确定原点的位置是解题的关键．
9．（2022·北京顺义七年级期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据在数轴上的位置判断这四个数的大小，再根据哪个数越大则其相反数就越小判断即可．
【解析】由题意，得，所以这四个数中，相反数最大的是a．故选：A．
【点睛】本题考查了数轴的知识、相反数的定义和实数的大小比较，属于基础题型，明确哪个数越大则其相反数就越小是解本题的关键．
10.（2022.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（ ）
A．点A所对应的数为 B．点C所对应的数为
C．点D所对应的数为 D．点A与点D间的距离为
【答案】D
【分析】根据，点B所对应的数为m，先得到点A所表示的数，进而求出B，C，D表示的数，进而即可判断．
【详解】∵，点B所对应的数为m，∴点A所对应的数为，
∵，∴点C所对应的数为，
∴点D所对应的数为，点A与点D间的距离为，∴D选项错误，故选D．
【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数，两点间的距离，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 福州七年级期末）在数轴上，表示数a的点在原点的左侧，距离原点4个单位长度，则a＝　　．
【思路点拨】根据原点左边的数是负数，求出a的值即可．
【答案】解：∵表示数a的点在原点的左侧，距离原点4个单位长度，∴a＝﹣4．故答案为：﹣4．
【点睛】本题考查了数轴的知识，根据题意得出a是负数是解题的关键．
12．（2021 涪城区七年级期末）数轴上表示数m的A点与原点相距3个单位的长度，将该点A右移动5个单位长度后，点A对应的数是　 　．
【思路点拨】先求出m的值，再求出m+5即可．
【答案】解：当A在原点的左边时，A表示的数是m＝0﹣3＝﹣3，
当A在原点的右边时，A表示的数是m＝0+3＝3，∵将该点A向右移动5个单位长度后，
∴点A对应的数是﹣3+5＝2或3+5＝8，故答案为：2或8．
【点睛】本题考查了数轴的应用，掌握数轴的意义（右移是+，左移是﹣）是解题的关键．
13．（2022·四川泸州市·七年级月考）化简：________．
【答案】-4
【分析】运用相反数的定义进行解答即可．
【详解】解：．故填：-4．
14．（2022 罗庄区期末）一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是　 　．
【思路点拨】根据实数在数轴上排列的特点判断出墨迹盖住的最左侧的整数和最右侧的整数，即可得到所有的被盖住的整数．
【答案】解：因为墨迹最左端的实数是﹣109.2，最右端的实数是10.5．根据实数在数轴上的排列特点，可得墨迹遮盖部分最左侧的整数是﹣109，最右侧的整数是10．所以遮盖住的整数共有120个．
故答案是：120．
【点睛】此题考查了数轴的有关内容，要求掌握在数轴上的基本运算．解决此题的关键是数轴上实数排列的特点．另外容易疏忽的是整数0．
15.（2022 合江县七年级月考）﹣m的相反数是　 　，﹣m+1的相反数是　 　，a-b+c的相反数是　 　．
【分析】根据相反数的定义，即可解答．
【解答】解：﹣m的相反数是m，﹣m+1的相反数是m﹣1，a-b+c的相反数是-a+b-c，
故答案为：m，m﹣1，-a+b-c．
【点评】本题考查了相反数，解决本题的关键是熟记相反数的定义．
16．（2022·山东七年级月考）若与互为相反数，则的值为________________．
【答案】4
【分析】根据相反数的定义求解即可．
【详解】解：由题意可得出，，
∴∴．故答案为：4．
【点睛】本题考查的知识点是相反数的定义以及求代数式的值，利用已知条件得出是解此题的关键．
17．（2022 沙县七年级期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是﹣10和4，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2，则C点表示的数是　 　．
【思路点拨】设点C表示的数为x，则AC＝x﹣（﹣10）＝x+10，BC＝4﹣x，由于以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2，可得AC﹣BC＝2，即：x+10﹣（4﹣x）＝2，解方程结论可得．
【答案】解：设点C表示的数为x，则AC＝x﹣（﹣10）＝x+10，BC＝4﹣x．
∵以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2，
∴AC﹣BC＝2．即：x+10﹣（4﹣x）＝2．解得：x＝﹣2．故答案为：﹣2．
【点睛】本题主要考查了数轴，借助数轴利用几何的方法解题直观简单，体现了数形结合的思想方法．
18．（2022·浙江七年级期中）如图，数轴的单位长度为1，点A，B表示的数互为相反数，若数轴上有一点C到点B的距离为8个单位，则点C表示的数是__________．
【答案】11或-5
【分析】由点A、B在数轴上的位置，点A，B表示的数互为相反数，可求出点A、B所表示的数，再利用数轴上两点之间的距离公式求出结果即可．
【详解】解：由点A、B在数轴上的位置，得AB=6，
∵点A，B表示的数互为相反数，∴点A表示的数为-3，点B表示的数为3，
设点C表示的数为x，则|x-3|=8，解得x=11或-5．故答案为：11或-5．
【点睛】本题考查数轴，掌握数轴上两点之间距离公式是正确解答的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河南七年级专项）化简下列各数：
（1）+（﹣2）； （2）﹣（+5）； （3）﹣（﹣3.4）；
（4）﹣[+（﹣8）]； （5）﹣[﹣（﹣9）]
化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数有什么关系？
【答案】（1）-2；（2）-5；（3）3.4；（4）8；（5）-9，规律：运算结果与“﹣”的个数有密切关系，当“﹣”的个数是奇数，最后结果为负数，当“﹣”的个数是偶数，最后结果为正数．
【分析】先根据去括号法则化简（1）~（5），进而总结符号与原式中的“-"号的个数关系即可解答．
【解析】解：（1）+（﹣2）=﹣2； （2）﹣（+5）=﹣5； （3）﹣（﹣3.4）=3.4；
（4）﹣[+（﹣8）]=8； （5）﹣[﹣（﹣9）]=﹣9．
归纳发现：运算结果与“﹣”的个数有密切关系，当“﹣”的个数是奇数，最后结果为负数，当“﹣”的个数是偶数，最后结果为正数．
【点睛】本题主要考查了相反数的定义和去括号法则，根据计算结果归纳变化规律是解答本题关键．
20.（2022·陕西西安市·七年级月考）如图所示，数轴上的一个单位长度表示2，观察下图，回答问题：（1）若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是多少？
（2）若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数的相反数是多少？
【答案】（1）点表示的数为5；（2）点表示的数的相反数为
【分析】（1）先确定原点，即可确定点表示的数；
（2）先确定原点，可确定点表示的数，再确定点表示的数的相反数．
【详解】（1）如图：
∵AD=10，点与点表示的数互为相反数，∴点表示的数为5；
（2）如图：
∵点与点表示的数互为相反数，∴点表示的数为2；
∴点表示的数的相反数为．
【点睛】本题主要考查了数轴和相反数的应用，要注意两点，一是单位长度是多少，二是要注意找好原点，利用原点确定所表示的数．
21．（2022·邯郸市七年级月考）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列；
（2）若数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的数是多少？
（3）在（2）的条件下，若数a与数b的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的数是多少？
【答案】（1）数轴见解析，；（2）-8；（3）4
【分析】（1）根据相反数的定义作图，再根据数轴右边的数大于左边的数排列即可；
（2）先得到b表示的点到原点的距离为8，然后根据数轴表示数的方法即可确定b表示的数；
（3）先得到-b表示的点到原点的距离为8，再利用数a表示的点与数的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的点到原点的距离为4，然后根据数轴表示数的方法确定a表示的数．
【详解】解：（1）a，b的相反数的位置表示如图：
∴；
（2）∵数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的点到原点的距离为8∴b表示的数是-8；
（3）∵-b表示的点到原点的距离为8，而数a表示的点与数b的相反数表示的点相距4个单位长度
∴a表示的点到原点的距离为8-4=4∴a表示的数是4．
【点睛】本题考查了相反数和数轴的应用，灵活应用相反数的定义和数形结合思想是解答本题的关键．
22．（2022·河北省七年级期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示)，
操作一：（1）折叠纸面，使表示的点1与 1表示的点重合，则 2表示的点与_____表示的点重合；
操作二：（2）折叠纸面，使 1表示的点与3表示的点重合，那么5表示的点与_____表示的点重合，此时若数轴上A、B两点之间距离为9，(A在B的左侧)，且A、B两点经折叠后重合，那么A、B两点表示的数分别是______、______；
操作三：（3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，那么a的值是____．
【答案】（1）2；（2）-3，-3.5，5.5；（3）±2.
【分析】（1）先求出折痕点，再根据到折痕点的距离相等计算即可得出答案；
（2）先求出折痕点，再根据到折痕点的距离相等计算即可答案；先求出点A和点B到折痕点的距离，再根据距离公式计算即可得出答案；
（3）分两种情况进行讨论：①往左移动，②往右移动，再利用相反数的性质计算即可得出答案.
【解析】（1）∵折叠纸面，点1和点-1表示的点重合
∴折痕点为0 ∴-2表示的点与2表示的点重合
（2）∵-1表示的点与3表示的点重合
∴折痕点为1 ∴5表示的点与-3表示的点重合
∵AB之间的距离为9 ∴AB两点与中心点的距离为9÷2=4.5
∴点A表示的点为-3.5，点B表示的点为5.5
（3）①若点A往左移动4个单位长度 则可得：a-4+a=0 解得：a=2
②若点A往右移动4个单位长度 则可得：a+4+a=0 解得：a=-2
综上所述a=±2
【点睛】本题考查的是数轴上两点间的距离，难度适中，需要理解并记忆两点之间的距离公式.
23.（2022 宁波七年级期中）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与何数表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，0表示的点与何数表示的点重合；
（3）若﹣1表示的点与5表示的点之间的线段折叠2次，展开后，请写出所有的折点表示的数？
【分析】（1）根据对称的知识，若1表示的点与﹣1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到﹣2的对称点；
（2）若数﹣1表示的点与数5表示的点重合，则对称中心是2表示的点，从而找到0的对称点；根据对应点连线被对称中心平分，先找到对称中心，再找到点表示的数；从而求解；
（3）先得到﹣1与5的对称点是2，第二次对折得到两个对称点是0.5和3.5．
【解答】解：（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与2表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，0表示的点与4表示的点重合；
（3）若﹣1表示的点与5表示的点之间的线段折叠2次，展开后，所有的折点表示的数0.5，2，3.5．
【点评】此题综合考查了数轴上的点和数之间的对应关系以及中心对称的性质．注意：数轴上折点到两点的距离相等．
24. （2022·浙江·七年级期中）已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数，4．
（Ⅰ）数轴上点A到点B的距离为______；
数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为______；
（Ⅱ）若有动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒．用含t的式子分别表示P点到点A和点B的距离．
【答案】（Ⅰ）10；；（Ⅱ）当时，，；当时，，．
【分析】（Ⅰ）数轴上两点间的距离为数字大的减去数字小的差，数轴上到两点间的距离相等的点是这两个点的中点，根据中点坐标解题；
（Ⅱ）根据题意，点P在点A的右侧，据此可解得AP的长，分两种情况讨论，当点P在点B的左侧，或当点P在点B的右侧时，分别根据数轴上两点间的距离解题即可．
【详解】（Ⅰ）数轴上点A到点B的距离为：；
数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为：，故答案为：10；-1；
（Ⅱ）根据题意，点P表示的数是：,因为点P在点A的右侧，故点P到点A的距离为：，
当点P在点B的左侧，即时，P点到点B的距离为：；
当点P在点B的右侧，即时，P点到点B的距离为：；
综上所述，当时，，；当时，，．
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离，数轴上的动点等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
25．（2022 海淀区七年级期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是　 　；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是　 　（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？
【思路点拨】（1）根据幸福点的定义即可求解；
（2）根据幸福中心的定义即可求解；
（3）分两种情况列式：①P在B的右边；②P在A的左边讨论；可以得出结论．
【答案】解：（1）A的幸福点C所表示的数应该是﹣1﹣3＝﹣4或﹣1+3＝2；
（2）∵4﹣（﹣2）＝6，∴M，N之间的所有数都是M，N的幸福中心．
故C所表示的数可以是﹣2或﹣1或0或1或2或3或4（答案不唯一）；
（3）设经过x秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心，依题意有
①8﹣2x﹣4+（8﹣2x+1）＝6，解得x＝1.75；
②4﹣（8﹣2x）+[﹣1﹣（8﹣2x）]＝6，解得x＝4.75．
故当经过1.75秒或4.75秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心．
【点睛】本题考查了数轴及数轴上两点的距离、动点问题，熟练掌握动点中三个量的数量关系式：路程＝时间×速度，认真理解新定义
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专题1.2 数轴与相反数
模块1：学习目标
1. 能正确地画出数轴，掌握数轴的三要素；
2. 能将已知数在数轴上表示出来，能指出数轴上的点所表示的数；
3. 会用数轴比较两个数的大小；初步感受数形结合的思想；
4. 能理解相反数的意义；能求出已知数的相反数；
5. 能根据相反数的意思进行化简。
模块2：知识梳理
1.数轴
1）数轴定义：在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．它满足以下要求：
①原点：在直线上任取一个点表示数，这个点叫做原点．原点是数轴的基准点．
②正方向：通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向．
③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示，，，…；从原点向左，用类似的方法依次表示，，，…．原点、正方向和单位长度是数轴的三要素．
2）数轴的画法
①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）；②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点；
③确定向右的方向为正方向，用箭头表示；④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致．
3）有理数与数轴的关系
①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来．
②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数．
③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边．
④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）
注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向
4）利用数轴比较有理数的大小：在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大．因此，正数总大于零，负数总小于零，正数大于负数．
2.相反数
1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．①一般地，与互为相反数，表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是
②正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是本身．③相反数是成对出现的。
2）相反数的几何意义
互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。
3.多重符号的化简
1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉
2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉
3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号
口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号
注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。
模块3：核心考点与典例
考点1、数轴的三要素及其画法
例1．（2022·菏泽市牡丹区初一月考）下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数
③有理数数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④
变式2. （2022·广东七年级期末）下列数轴画法正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
考点2、用数轴上的点表示有理数
例2．（2023·吉林·九年级二模）如图，数轴上被墨水遮盖的数可能是（ ）
A． B． C． D．
变式2. （2022·黑龙江·七年级期末）在数轴上表示﹣2.1和3.3两点之间的整数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
考点3、利用数轴比较有理数的大小
1）正方向上，离原点越远，数越大；2）负方向上，离原点越近，数越大（负数数字越大，结果反而越小）. 注：数轴从负方向向正方向，数值逐渐增大。
例3．（2022·河北沧州市·七年级期末）a，b是有理数，它们在数轴上的位置如图所示．把a，b，﹣a，﹣b按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式3. （2022·沙坪坝区·七年级月考）将有理数﹣5，0.4，0，﹣2，﹣4表示在数轴上，并用“＜”连接各数．
考点4、数轴上两点之间的距离
例4．（2022·广州市·七年级期末）如图，已知数轴上A、B两点所表示的数分别为﹣2和6
（1）求线段AB的长；（2）已知点P为数轴上点A左侧的一个动点，且M为PA的中点，N为PB的中点．请你画出图形，并探究MN的长度是否发生改变？若不变，求出线段MN的长；若改变，请说明理由．
变式4.（2022.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（ ）
A．点A所对应的数为 B．点C所对应的数为
C．点D所对应的数为 D．点A与点D间的距离为
考点5、相反数的定义及求一个数的相反数
例5．（2023·辽宁·九年级一模）中国人最早使用负数，可追溯到两千多年前的秦汉时期，2021的相反数是（ ）
A．2021 B．-2021 C．- D．
变式5. （2022·河南安阳市·七年级期中）的相反数（　　　）
A． B． C． D．
考点6、判断两个数是否互为相反数
例6．（2022.重庆市七年级专项）在0和0，和，和3这三对数中，互为相反数的有（ ）
A．3对 B．2对 C．1对 D．0对
变式6. （2023·深圳市南山区九年级二模）下列各组数中互为相反数的是（ ）
A．－4 和 B．和 4 C．－4 和－ D．4 和－4
考点7、化简多重符号
例7．（2022·临沂七年级月考）化简下列各数：
（1）=________________； （2）-（+3.5）=_____________； （3）+（-4）=_______________；
变式7. （2022·新乡县七年级月考）化简下列各数：
①－（－82） = ________ ②－｜－5｜ = _______
③ = ________ ④ = ___________．
考点8、相反数的应用
例8．（2023·河北唐山市·九年级二模）如图，数轴上点A、、、、表示的数中，表示互为相反数的两个点是（ ）．
A．点和点 B．点A和点
C．点和点 D．点A和点
变式8.（2022·陕西西安市·七年级月考）如图所示，数轴上的一个单位长度表示2，观察下图，回答问题：（1）若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是多少？
（2）若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数的相反数是多少？
考点9、相反数的性质
例9．（2022·广西贵港市·七年级期末）若a，b，c，m都是不为零的有理数，且，，则b与c的关系是（ ）
A．互为相反数 B．互为倒数 C．相等 D．无法确定
变式9.（2022·浙江七年级课时练习）若a与b互为相反数且a≠b，则＝（ ）
A．0 B．1 C．－1 D．0，±1
模块4：同步培优题库
全卷共25题 测试时间：70分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.（2022·绵阳市七年级期中）数轴的原型来源于生活实际，数轴体现了（ ）的数学思想，是我们学习和研究有理数的重要工具．
A．整体 B．方程 C．转化 D．数形结合
2．（2022·浙江温州市·七年级期中）在数轴上位置的描述，正确的是（ ）
A．在点的左边 B．在点和原点之间 C．由点1向左平移4个单位得到 D．和原点的距离是
3．（2022·天津市初一月考）下列各式中，化简正确的是（　　）A．﹣（+7）=﹣7 B．﹣（﹣7）=﹣7 C．+（﹣7）=7 D．﹣[+（﹣7）]=﹣7
4．（2022·江苏盐城·七年级期末）2022的相反数是（ ）
A． B． C． 2022 D．2022
5.（2022 金华七年级月考）下列关于数轴的图示，画法不正确的有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
6.（2022·菏泽市初一月考）下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数
③有理数数轴上无法表示出来；④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点。
其中正确的是（ ）
A．①②③④ B．②②③④ C．③④ D．④
7．（2022 庐阳区七年级期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示1的点重合，将该圆沿数轴向左滚动1周，点A到达A′的位置，则点A′表示的数是（　　）
A．π﹣1 B．﹣π+1 C．﹣π﹣1 D．π﹣1或﹣π﹣1
8．（2022·山东淄博市·七年级期中）如图，数轴上的单位长度为1，有三个点A、B、C，若点A、C表示的数互为相反数，则图中点B对应的数是（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．3
9．（2022·北京顺义七年级期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，这四个数中，相反数最大的是（ ）
A． B． C． D．
10.（2022.绵阳市七年级期中）已知点O，A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，O为原点，，，点B所对应的数为m，则下列结论错误的是（ ）
A．点A所对应的数为 B．点C所对应的数为
C．点D所对应的数为 D．点A与点D间的距离为
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022 福州七年级期末）在数轴上，表示数a的点在原点的左侧，距离原点4个单位长度，则a＝　　．
12．（2021 涪城区七年级期末）数轴上表示数m的A点与原点相距3个单位的长度，将该点A右移动5个单位长度后，点A对应的数是　 　．
13．（2022·四川泸州市·七年级月考）化简：________．
14．（2022 罗庄区期末）一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是　 　．
15.（2022 合江县七年级月考）﹣m的相反数是　 　，﹣m+1的相反数是　 　，a-b+c的相反数是　 　．
16．（2022·山东七年级月考）若与互为相反数，则的值为________________．
17．（2022 沙县七年级期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，A和B表示的数分别是﹣10和4，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝2，则C点表示的数是　 　．
18．（2022·浙江七年级期中）如图，数轴的单位长度为1，点A，B表示的数互为相反数，若数轴上有一点C到点B的距离为8个单位，则点C表示的数是__________．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·河南七年级专项）化简下列各数：
（1）+（﹣2）； （2）﹣（+5）； （3）﹣（﹣3.4）；
（4）﹣[+（﹣8）]； （5）﹣[﹣（﹣9）]
化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数有什么关系？
20.（2022·陕西西安市·七年级月考）如图所示，数轴上的一个单位长度表示2，观察下图，回答问题：（1）若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是多少？
（2）若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数的相反数是多少？
21．（2022·邯郸市七年级月考）已知数a，b表示的点在数轴上的位置如图所示．
（1）在数轴上表示出a，b的相反数的位置，并将这四个数从小到大排列；
（2）若数b与其相反数相距16个单位长度，则b表示的数是多少？
（3）在（2）的条件下，若数a与数b的相反数表示的点相距4个单位长度，则a表示的数是多少？
22．（2022·河北省七年级期中）操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图所示)，
操作一：（1）折叠纸面，使表示的点1与 1表示的点重合，则 2表示的点与_____表示的点重合；
操作二：（2）折叠纸面，使 1表示的点与3表示的点重合，那么5表示的点与_____表示的点重合，此时若数轴上A、B两点之间距离为9，(A在B的左侧)，且A、B两点经折叠后重合，那么A、B两点表示的数分别是______、______；
操作三：（3）已知在数轴上点A表示的数是a，点A移动4个单位，此时点A表示的数和a是互为相反数，那么a的值是____．
23.（2022 宁波七年级期中）在数轴上，已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．
（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与何数表示的点重合；
（2）若﹣1表示的点与5表示的点重合，0表示的点与何数表示的点重合；
（3）若﹣1表示的点与5表示的点之间的线段折叠2次，展开后，请写出所有的折点表示的数？
24. （2022·浙江·七年级期中）已知数轴上有A，B两个点，分别表示有理数，4．
（Ⅰ）数轴上点A到点B的距离为______；数轴上到点A，B的距离相等的点的位置表示的有理数为______；（Ⅱ）若有动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度向右移动，设移动时间为t秒．用含t的式子分别表示P点到点A和点B的距离．
25．（2022 海淀区七年级期末）“幸福是奋斗出来的”，在数轴上，若C到A的距离刚好是3，则C点叫做A的“幸福点”，若C到A、B的距离之和为6，则C叫做A、B的“幸福中心”
（1）如图1，点A表示的数为﹣1，则A的幸福点C所表示的数应该是　 　；
（2）如图2，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为4，点N所表示的数为﹣2，点C就是M、N的幸福中心，则C所表示的数可以是　 　（填一个即可）；（3）如图3，A、B、P为数轴上三点，点A所表示的数为﹣1，点B所表示的数为4，点P所表示的数为8，现有一只电子蚂蚁从点P出发，以2个单位每秒的速度向左运动，当经过多少秒时，电子蚂蚁是A和B的幸福中心？
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