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专题1.5 绝对值的相关最值问题 专题讲练
模块1：专题前言
最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。
模块2：核心考点与典例
考点1. 两个绝对值的和的最值
【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
分类情况（的取值范围） 图示 取值情况
当时 无法确定
当时 的值为定值，即为
当 无法确定
结论：式子在时，取得最小值为。
例1.（2022·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意将可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，分三种情况分别化简，根据解答即可得到答案.
【解析】方法一：代数法（借助零点分类讨论）
当x<-2时，=（-2-x）+（5-x）=3-2x；
当时，=（x+2）+（5-x）=7；
当x>5时，=（x+2）+（x-5）=2x-3；
∴有最小值，最小值为7，此时，故选：D.
方法二：几何法（根据绝对值的几何意义）
可以理解为数轴上表示实数x与实数-2的距离，实数x与实数5的距离，两者的和，
通过数轴分析反现当时，有最小值，最小值为7。
【点睛】此题考查依据绝对值的性质化简绝对值，正确理解题意，得到表示的意义，再利用分类思想解答问题.
变式1．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝ _______．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
【答案】（1）7；（2）﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；（3）最小值是3
【分析】（1）根据题目中的式子和绝对值可以解答本题；
（2）分别讨论当x＞2时，当﹣5≤x≤2时，当x＜﹣5时去绝对值进行求解即可；
（3）同（2）利用分类讨论的思想进行求解即可．
【详解】解：（1）|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7．故答案为：7；
（2）当x＞2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+x﹣2＝7，解得：x＝2与x＞2矛盾，故此种情况不存在；
当﹣5≤x≤2时，|x+5|+|x﹣2|＝x+5+2﹣x＝7，故﹣5≤x≤2时，使得|x+5|+|x﹣2|＝7，故使得|x+5|+|x﹣2|＝7的整数是﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
当x＜﹣5时，|x+5|+|x﹣2|＝﹣x﹣5+2﹣x＝﹣2x+3＝7，得x＝﹣5与x＜﹣5矛盾，故此种情况不存在．
故答案为：﹣5、﹣4、﹣3、﹣2、﹣1、0、1、2；
（3）|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．理由如下：
当x＞6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+x﹣6＝2x﹣9＞3；
当3≤x≤6时，|x﹣3|+|x﹣6|＝x﹣3+6﹣x＝3；
当x＜3时，|x﹣3|+|x﹣6|＝3﹣x+6﹣x＝9﹣2x＞3．
故|x﹣3|+|x﹣6|有最小值，最小值是3．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值，解答本题的关键是明确数轴的特点和绝对值，利用数轴和分类讨论的数学思想解答．
例2.（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的
距离；可以理解为数轴上表示 3 与﹣1 的两点之间的距离．
从“数”的角度看：数轴上表示 4 和﹣3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） ．
根据以上阅读材料探索下列问题：
(1)数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是 ；（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数 x 和﹣2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为 ；
②若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值为 ．
【答案】(1)6，7；(2)①－6或2；②4
【分析】（1）直接根据数轴上两点之间的距离求解即可；
（2）①根据数轴上两点之间的距离公式列绝对值方程，然后解方程即可；②由于所给式子表示x到－1和3的距离之和，当x在－1和3之间时和最小，故只需求出－1和3的距离即可．
(1)解：数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是｜9－3｜=6，数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是｜2－（－5）｜=7，故答案为：6，7；
(2)解：①根据题意，得：｜x－(－2)｜=4，
∴｜x+2｜=4，∴x+2=－4或x+2=4，
解得：x=－6或x=2，故答案为：－6或2；
②∵表示x到－1和3的距离之和，
∴当x在－1和3之间时距离和最小，最小值为｜－1－3｜=4，故答案为：4．
【点睛】本题考查数轴上两点之间距离，会灵活运用数轴上两点之间的距离解决问题是解答的关键．
变式2.（2022 思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝　 　．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是　 　．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
【分析】（1）直接去括号，再按照去绝对值的方法去绝对值就可以了．（2）要x的整数值可以进行分段计算，令x+5＝0或x﹣2＝0时，分为3段进行计算，最后确定x的值．（3）根据（2）方法去绝对值，分为3种情况去绝对值符号，计算三种不同情况的值，最后讨论得出最小值．
【解答】解：（1）原式＝|5+2|＝7故答案为：7；
（2）令x+5＝0或x﹣2＝0时，则x＝﹣5或x＝2
当x＜﹣5时，∴﹣（x+5）﹣（x﹣2）＝7，
﹣x﹣5﹣x+2＝7，x＝5（范围内不成立）
当﹣5＜x＜2时，∴（x+5）﹣（x﹣2）＝7，x+5﹣x+2＝7，7＝7，
∴x＝﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1
当x＞2时，∴（x+5）+（x﹣2）＝7，x+5+x﹣2＝7，2x＝4，x＝2，x＝2（范围内不成立）
∴综上所述，符合条件的整数x有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
故答案为：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2；
（3）由（2）的探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|有最小值为3．
【点评】本题主要考查了去绝对值和数轴相联系的综合试题以及去绝对值的方法和去绝对值在数轴上的运用，难度较大，去绝对值的关键是确定绝对值里面的数的正负性．
考点2. 两个绝对值的差的最值
【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
分类情况（的取值范围） 图示 取值情况
当时 的值为定值，即为—
当时
当 的值为定值，即为
结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。
例1.（2022·浙江·温州七年级开学考试）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
【答案】C
【分析】分三种情况：当x≥1时；当-2＜x＜1时；当x≤-2时；进行讨论可求代数式|x-1|-|x+2|的值，即可求出a与b的值．
【详解】解：当x≥1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝x﹣1﹣x﹣2＝﹣3；
当﹣2＜x＜1时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）﹣（x+2）＝﹣2x﹣1；
当x≤﹣2时，|x﹣1|﹣|x+2|＝﹣（x﹣1）+（x+2）＝3．
∵代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，∴a＝3，b＝﹣3．故选：C．
【点睛】考查了绝对值，如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定：①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数-a；③当a是零时，a的绝对值是零．注意分类思想的运用．
变式1．（2022·上海七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．
【答案】 3 -9
【分析】当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可．
【详解】解：当时，x-1＜0，x+2＜0，
∴，
当时，，
当x＞1时，
∵当时，，
∴代数式的最大值为3，最小值为-3，
∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式．
例2.（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__．
【答案】8.5．
【分析】先根据-1≤x≤3，确定x-3与x+2的符号，再对x的符号进行讨论即可．
【详解】∵﹣1≤x≤3，
当﹣1≤x≤0时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x+x+x+2＝+5，最大值为5，最小值为4.5；
当0≤x≤3时，|x﹣3|﹣|x|+|x+2|＝3﹣x﹣x+x+2＝﹣+5，最大值为5，最小值为3.5，
∴最大值与最小值之和为8.5；故答案为：8.5．
【点睛】本题考查绝对值的化简，掌握求绝对值的法则以及分类讨论的思想方法，是解题的关键．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：
（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______．
【答案】（1）|x-1|，|x+1|；（2）2；（3）20
【分析】（1）根据题意即可列式解答；
（2）由x的取值范围分三种情况：①当x≤-1时，②当-1≤x≤1时，③当x≥1时，分别化简绝对值，再计算整式的值即可得到答案；
（3）根据（2）得到规律，依次进行计算即可．
【详解】（1）由题意得到：数轴上的数x与1所对应的点的距离为，
数x与-1所对应的点的距离为，故答案为：， ；
（2）表示x到1之间的距离，表示x到-1之间的距离，
①当x≤-1时，=1-x，=-1-x，∴=（-1-x）-（1-x）=-2；
②当-1≤x≤1时，=1-x，=x+1，∴=（x+1）-（1-x）=2x≤2；
③当x≥1时，=x-1，=x+1，∴=（x+1）-（x-1）=2，
∴的最大值为2
（3）由（2）知：的最大值为2，由此可得： 的最大值为4，
的最大值是6，的最大值是8，
∴的最大值是2+4+6+8=20
【点睛】此题考查有理数的计算，绝对值的性质，数轴上两点间的距离公式．
考点3. 多个绝对值的和的最值
【解题技巧】最小值规律：
①当有两个绝对值相加：
若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当有三个绝对值相加：
若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合；
③当有（奇数）个绝对值相加：
，且，则取中间数，即当时，取得最小值为；
④当有（偶数）个绝对值相加：
，且，则取中间段，
即当时，取得最小值为。
例1.（2022·天津初一月考）若是有理数，则的最小值是________．
【答案】509040
【分析】首先判断出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|就是求数轴上某点到2、4、6、…、2018的距离和的最小值；然后根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2018之间时，到2和2018距离和最小；当点在4与2016之间时，到4和2016距离和最小；…，所以当x=1010之间时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，据此求出|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|最小值是多少即可．
【解析】据绝对值得几何意义分析，知当x=1010时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018的值最小，
最小值是：（2018﹣2）+（2016﹣4）+（2014﹣6）+…+（1010-1010）
＝2016+2012+2008+…+0＝（2016+0）×505÷2＝2016×505÷2＝509040
∴|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2018|的最小值是509040．
【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x-a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离．
变式1．（2022 武侯区校级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为　 　，此时x的取值为　 　．
解：原式可转化为在数轴上找一个点到1，2，3，…，2014对应的点的距离和最小，
故当1007≤x≤1008时，距离和最小，
可取x＝1007，则此时距离和为：
1006+1005+1004+…+0+1+2+…+1006+1007＝2×（1+2+3+…+1006）+1007
＝1014049，即原式的最小值为1014049；
当x＝1008时，最小值也为1014049，故1007≤x≤1008．
例2.（2022·北京市七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．A，B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离．
例如：当a＝2，b＝5时，＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时，＝＝7；当a＝－2，b＝－5时，＝＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离＝（也可以表示为）．
请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝ ；
（2）如果数轴上表示数a的点位于－4和3之间，则＝ 。（3）代数式的最小值是 ．（4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子的最小值为 （用含有a，b，c，d的式子表示结果）
【答案】（1）4和-8；（2）7；（3）2；（4）
【分析】（1）据题意可得： ，解出即可求解；（2）根据题意可得： ，从而得到 ，进而得到＝a＋4，＝3－a，即可求解；（3）根据题意可得：当a＝2时，代数式存在最小值，化简即可求解；（4）根据题意可得：原式表示 对应点到 对应的点的距离之和，从而得到当 时，有最小值，即可求解．
【详解】解：（1）根据题意得： ，
∴ 或 ，解得： 或-8；
（2）∵表示数a的点位于－4和3之间，∴ ，∴ ，
∴＝a＋4，＝3－a，∴＝ a＋4＋3－a＝7；
（3） 当a＝2时，代数式存在最小值， ∴＝1＋0＋1＝2. 所以，最小值是2；
（4）根据题意得：，
∴原式表示 对应点到 对应的点的距离之和，如图所示，
∴当 时，有最小值，
∴原式 ．
【点睛】本题考查绝对值得几何意义，数轴上两点间的距离，利用数形结合思想解答是解题的关键．
变式2.（2022 龙泉驿区期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．
例，若|x+5|＝2，那么x为：
①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．
文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．
②图形语言：
③答案：x为﹣7和﹣3．
请你模仿上题的①②③，完成下列各题：
（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．
①文字语言：
②图形语言：
③答案：
【分析】运用数形结合思想：
图一 图二
图三 图四
【解答】解：（1）文字语言：数轴上什么数到﹣4的距离等于到2的距离．
图形语言： 答案：x＝﹣1．
（2）文字语言：数轴上什么数到3的距离比到原点（0）的距离大2．
图形语言： 答案：x．
（3）文字语言：数轴上什么数到1的距离和它到3的距离大于4．
图形语言： 答案：x＞4，x＜0．
（4）文字语言：数轴上什么数到1，2，3，4，5距离之和最小值．
图形语言： 答案：6．
【点评】本题主要考查了绝对值的性质以及利用数形结合求解问题．
模块4：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江·七年级期中）若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，当x取任意有理数时，代数式的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，可知当x处于2和6中间时，|x-6|+|x-2|取得最小值，即为数轴上2和6之间的距离．
【详解】解：∵|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，
∴|x-6|+|x-2|表示数轴上数x与6和数x与2对应的点之间的距离之和，
∴当2≤x≤6时，代数式|x-6|+|x-2|有最小值，最小值为|6-2|=4，故选：B．
【点睛】本题考查了数轴上的两点之间的距离，明确|x-a|表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离是解题的关键．
2．（2022·浙江·七年级期末）的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【分析】根据|x-a|表示数轴上x与a之间的距离，因而原式表示：数轴上一点到-1，1和3距离的和，当x在-1和3之间的1时距离的和最小．
【详解】解：表示：数轴上一点到-1，1和3距离的和，
当x在-1和3之间的1时距离的和最小，是4．故选：B．
【点睛】本题主要考查了绝对值的意义，正确理解|x-a|表示数轴上x与a之间的距离，是解决本题的关键．
3．（2022·河南南阳·七年级期末）|x＋8|＋|x＋1|＋|x﹣3|＋|x﹣5|的最小值等于（ ）
A．10 B．11 C．17 D．21
【答案】C
【分析】由|x+8|+|x+1|+|x-3|+|x-5|所表示的意义，得出当-1≤x≤3时，这个距离之和最小，再根据数轴表示数的特点进行计算即可．
【详解】解：|x+8|+|x+1|+|x﹣3|+|x﹣5|表示数轴上表示数x的点，到表示数﹣8，﹣1，3，5的点的距离之和，由数轴表示数的意义可知，当﹣1≤x≤3时，这个距离之和最小，
最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17，故选：C．
【点睛】本题考查绝对值，理解绝对值的定义，掌握数轴上两点距离的计算方法是解决问题的关键．
4．（2022·山东·七年级课时练习）的最小值是（ ）
A．1 B．1010 C．1021110 D．2020
【答案】C
【分析】x为数轴上的一点，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|表示：点x到数轴上的2021个点（1、2、3、…2021）的距离之和，进而分析得出最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|求出即可．
【详解】解：在数轴上，要使点x到两定点的距离和最小，则x在两点之间，最小值为两定点为端点的线段长度（否则距离和大于该线段）；
所以：当1≤x≤2021时，|x-1|+|x-2021|有最小值2020；
当2≤x≤2020时，|x-2|+|x-2020|有最小值2018；…
当x=1011时，|x-1011|有最小值0．
综上，当x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值，
最小值为：|1011-1|+|1011-2|+|1011-3|+…|1011-2021|
=1010+1009+…+0+1+2+…+1010=1011×1010=1021110．故选：C．
【点睛】本题考查了绝对值的性质以及利用数形结合求最值问题，利用已知得出x=1011时，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…|x-2021|能够取到最小值是解题关键．
5．（2022·广东初一课时练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，p=|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
分析：若P为定值，则化简后x的系数为0，由此可判定出x的取值范围，然后再根据绝对值的性质进行化简．
【解析】∵P为定值，∴P的表达式化简后x的系数为0；
由于2+3+4+5+6+7=8+9+10；∴x的取值范围是：1-7x≥0且1-8x≤0，即≤x≤；
所以P=（1-2x）+（1-3x）+…+（1-7x）-（1-8x）-（1-9x）-（1-10x）=6-3=3．故选：B．
点睛：能够根据P为常数的条件判断出x的取值范围，是解答此题的关键．
6．（2022·浙江七年级期中）若不等式，对一切实数x都成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先得出代数式的意义，从而得出结论．
【详解】解：由数轴知，表示x到4，2，1，0这四个点的距离之和．
当1≤x≤2时，距离之和最小，此时=5，
即不等式≥5对一切数x都成立，∴a≤5，故选B．
【点睛】本题考查绝对值的意义，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
7．（2022·杭州七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．
【答案】3 -9
【分析】当时，可得x-1＜0，x+2＜0，利用绝对值的性质即可化简，分别化简当时以及当x＞1时，根据当时，，求出a，b即可．
【详解】解：当时，x-1＜0，x+2＜0，
∴，
当时，，
当x＞1时，
∵当时，，
∴代数式的最大值为3，最小值为-3，
∴a=3，b=-3，∴ab=-9，故答案为：3，-9．
【点睛】本题主要考查了绝对值的化简，解题的关键是对x进行分类讨论，再化简代数式．
8．（2022·江苏·七年级专题练习）当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是__，最小值是__．
【答案】 ﹣1≤x≤2##2≥x≥﹣1 3
【分析】|x＋1|＋|x 2|的最小值，意思是x到 1的距离与到2的距离之和最小，那么x应在 1和2之间的线段上，据此求解．
【详解】解：|x＋1|＋|x 2|的最小值，意思是x到 1的距离与到2的距离之和最小，那么x应在 1和2之间的线段上，所以﹣1≤x≤2，最小值是3．故答案为：﹣1≤x≤2，3．
【点睛】本题考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离等于两个数之差的绝对值是解题关键．
9．（2022·全国·七年级课时练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________．
【答案】 6
【分析】根据x的不同取值去绝对值计算即可；
【详解】当时，，
∵，∴；
当时，；
当时，，
∵，∴；
综上所述：的最小值为6，此时取值范围为．故答案是：6；．
【点睛】本题主要考查了绝对值的应用，准确计算是解题的关键．
10．（2022·浙江·七年级阶段练习）代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______．
【答案】2
【详解】试题解析：|x-1|-|x+6|的最大值为1-（-6）=1+6=7，
则代数式的最大值为7-5=2．
点睛：|x-1|-|x+6|表示数轴上表示x的点到1与-6之差，最大值为1-（-6）.
11．（2022·上海同济大学附属存志学校期末）的最小值为__________．
【答案】4
【分析】由绝对值的几何意义可知的值最小表示的就是数轴上的点到1，2，3，4这四个点的距离和最小，然后利用数轴进行讨论求解即可．
【详解】解：由绝对值的几何意义可知的值最小表示的就是数轴上的点到1，2，3，4这四个点的距离和最小，
如图当x在1的左边时，此时四个距离的和大于1+2+3=6，
同理当x在4的右边时，会得到相同的结论；
如图当x在1和2之间时，此时四个距离的和大于1+1+2=4，
同理当x在3和4之间时，会得到相同的结论；
如图当x在2和3之间时，此时四个距离的和等于1+3=4，
∴综上所述，的值最小为4，故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了绝对值的几何意义，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
12．（2022·江苏江苏·七年级期末）若x是有理数，则|x﹣2|＋|x﹣4|＋|x﹣6|＋|x﹣8|＋…＋|x﹣2022|的最小值是______．
【答案】511060
【分析】根据绝对值的几何意义即可得出答案．
【详解】解：|x﹣2|＋|x﹣4|＋|x﹣6|＋|x﹣8|＋…＋|x﹣2022|的最小值，就是求数轴上某点到2、4、6、…、2022的距离和的最小值；根据某点在a、b两点之间时，该点到a、b的距离和最小，当点x在2与2022之间时，到2和2022距离和最小；当点在4与2020之间时，到4和2020距离和最小；…，
∴当x＝1012时，算式|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+…+|x﹣2022|的值最小，
最小值是：2|x﹣2|+2|x﹣4|+2|x﹣6|+…+2|x﹣1012|＝2020+2016+2012+…+0＝（2020+0）×506÷2
＝2020×506÷2＝511060．故答案为：511060．
【点睛】此题主要考查了绝对值的几何意义：|x|表示数轴上表示x的点到原点之间的距离，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：|x﹣a|表示数轴上表示x的点到表示a的点之间的距离．
13．（2022·浙江七年级期中）满足的非负整数有________对．
【答案】3
【分析】先根据绝对值的非负性得出的取值范围，再根据非负整数的特性分类讨论即可．
【详解】即，解得
为非负整数，且也为整数的可能取值为
因此，分以下五种情况：（1）当时，即或
若，则，解得或（舍去）
若，则，解得或（舍去）
因此，此时满足条件的非负整数有2对，即和
（2）当时，则
此时，即没有满足条件的非负整数
（3）当时，则或
若，则，即不满足条件
若，则，即不满足条件
（4）当时，则或
若，则，即不满足条件
若，则，即不满足条件
（5）当时，则或或
若，则，即不满足条件
若，则，满足条件
若，则，即不满足条件
此时，满足条件的非负整数有1对，即
综上，满足条件的非负整数共有3对故答案为：3．
【点睛】本题考查绝对值的非负性的应用，用非负整数的特性得出的所有可能的取值是解题关键．
14．（2022·江苏江阴七年级阶段练习）阅读下列内容：
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作|a﹣b|，如|3﹣5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|＝|3﹣（﹣5）|表示数轴上表示数3的点与表示数﹣5的点的距离，|a﹣3|表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若|x﹣1|=|x+1|，则x=　 　，若|x﹣2|＝|x+1|，则x=　 　；
（3）若|x﹣2|+|x+1|=3，则x的取值范围是　 　；
（2）若|x﹣2|+|x+1|=5，则x的值是　 　；
（4）若|x﹣2|﹣|x+1|=3，则x能取到的最大值是　 　．
【答案】（1）0，；（2）大于等于﹣1且小于等于2；（3）-2或3；（4）﹣1．
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）|x-2|+|x+1|=3表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；
（3）若|x-2|-|x+1|=3，所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值；
（4）根据|x-2|+|x+1|的意义，求出|x-2|+|x+1|的最小值为3，从而确定取值范围．
【详解】（1）|x-1|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示1和-1的距离相等，因此到1和-1距离相等的点表示的数为，
|x-2|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示2和-1的距离相等，因此到2和-1距离相等的点表示的数为，
故答案为：0，；
（2）|x-2|+|x+1|=3表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和-1两点的距离之和为3，
∵2和-1两点的距离之和为3
∴表示x的点在2和-1之间 ∴-1≤x≤2，
（3）|x﹣2|+|x+1|=5表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点距离比它到表示-1的点的距离等于5，
∵2和-1两点的距离之和为3
∴在2的右边多出（5-3）÷2=1，即表示数x=2+1=3；
或者在-1的左边多出（5-3）÷2=1，即表示数x=-1-1=-2；故答案为-2或3；
（4）|x-2|-|x+1|=3表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数2的点距离比它到表示-1的点的距离大3，根据数轴直观可得，x≤-1，x的最大值为-1，故答案为：-1；．
【点睛】考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．
三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2022·浙江杭州·七年级期中）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么 ．
（3）可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离．
（4）可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．
（5）最小值是 ，的最小值是 ．
【答案】（1）3，4；（2）|x+1|，x=1或-3；（3）-2；（4）2，3，-2，1；（5）1，3
【分析】（1）根据两点之间的距离公式计算即可；（2）根据两点之间的距离公式计算即可；
（3）根据绝对值的意义可得；（4）根据绝对值的意义可得；
（5）分别得出和的意义，再根据数轴的性质可得．
【详解】解：（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是3，
数轴上表示1和-3的两点之间的距离是4；
（2）数轴上表示x和-1的两点A和B之间的距离是|x+1|，
如果|AB|=2，即|x+1|=2，
∴x=1或-3；
（3）|x+2|可以理解为数轴上表示x和-2的两点之间的距离；
（4）|x-2|+|x-3|可以理解为数轴上表示x的点到表示2和3这两点的距离之和，
|x+2|+|x-1|可以理解为数轴上表示x的点到表示-2和1这两点的距离之和；
（5）由（4）可知：
当x在2和3之间时，|x-2|+|x-3|最小值是1，
当x在-2和1之间时，|x+2|+|x-1|的最小值是3．
【点睛】本题考查的是绝对值的问题，涉及到数轴应用问题，只要理解绝对值含义和数轴上表示数值的关系（如：|x+2|表示x与-2的距离），即可求解．
16．（2022·浙江杭州·七年级期中）问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值
问题二：已知点在数轴上表示的数分别为
（1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示)
（2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离
（3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值．
①；②；③
【答案】问题一：见解析；问题二：（1）|m-n|；（2）-2；（3）|x-2|+|x+3|的最小值是5，|x-2|+|x+3|+|x+5|的最小值为7，的最小值为50
【分析】问题一：根据A，B两点距离小于8，大于4，且a=-3.5，据此可求出b，再根据C在之间，求出c值；
问题二：（1）结合数轴可以比较直观的A、B两点的距离，从而可以得到d；
（2）根据（1）的结论即可求解；（3）根据绝对值的几何意义即可求解.
【详解】解：问题一：如图：
∴b=-11，-10，-9，-8，-7，-6，-5，-4，-3，-2，-1，-0，1，2，3，4，
c=1，2，3，4或-8，-9，-10，-11；
问题二： （1）A、B两点的距离为d，则d=|m-n|；
（2）由（1）的结论可知|x+2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-2的点的距离；
（3）①∵动点C表示的数为x，
∵|x-2|的意义是：数轴上表示数x的点到表示2 的点的距离，
|x+3|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-3 的点的距离，
∴当动点C在2和-3之间时，|x-2|+|x+3|有最小值，
∴|x-2|+|x+3|的最小值是2+3=5；
②∵|x+5|的意义是：数轴上表示数x的点到表示-5 的点的距离，
∴当动点C表示-3时，|x-2|+|x+3|+|x+5|有最小值7，
③|x-2|，|x-4|，|x-6|，…，|x-20|分别表示数轴上表示数x的点到表示2，4，6，…，20 的点的距离，
∴当动点C在10和12之间时，18+14+…+2=50
有最小值50.
【点睛】此题综合考查了数轴，以及有理数的绝对值计算在实际问题的应用，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题意列出计算式即可解决问题，体现了数形结合的优点．
17．（2022·浙江杭州·七年级期中）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______；
（2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之同的距离为____．
（3）的最小值为_______．的最小值为_____．
（4）的最大值为_______．
【答案】（1）4，3；（2）|x-1|, |x+3|;（3）7, 10;（4）2
【分析】（1）直接代入公式即可;（2）根据数轴上两点间的距离公式计算即可；
（3）可知x对应点在对应-3和4的点之间时|x+ 3|+|x-4|的值最小; 当-2≤x≤1时，|x-1|+ |x+ 2|+ |x-3|+ |x+4|值最小;（4） 分3种情况讨论，|x-1|-|x-3|的值最大.
【详解】解：（1）6﹣2=4, 1-(-2)=3
所以,数轴上表示2和6两点之间的距离是4,数轴上表示1和-2的两点之间的距离为3；答案为: 4, 3;
（2）根据两点间距离公式可知:数轴上表示x和1两点之间的距离为|x-1|,数轴上表示x和-3两点之间的距离为|x+ 3|故答案为: |x-1|, |x+3|;
(3)x+3=0,x-4=0,解得x=-3,x=4；
当x＜-3时，|x+3|+|x-4|=-x-3-x+4=-2x+1＞7
当-3≤x≤4时，|x+3|+|x-4|=x+3+4-x=7
当x＞4时，|x+3|+|x-4|=x+3+x-4=2x-1＞7
x对应点在点-4和3之间时的任意一点,|x-3|+ |x+4|的最小值为7；
同理,分5种情况说明：
当x＜-4时，原式=-4x-2＞14
当-4≤x＜-2时，原式=-2x+6, 10≤原式≤14
当-2≤x≤1时，原式=10,
当1＜x≤3时，原式=2x+8, 10＜原式≤14
当x＞3时，原式=4x+2＞14
由此可得，当-2≤x≤1时原式值最小，最小值是10，
∴当-2≤x≤1时，|x-1|+ |x+2|十|x-3|+ |x+4|的最小值为10,
故答案为: 7, 10;
(4) ∵x-1=0,x-3=0∴x=1,或x=3
∴当x≤1时，|x-1|-|x-3|=1-x-(3-x)= -2，
当x≥3时，|x-1|-|x-3|=x-1-(x-3)=2
当1＜x＜3时，|x-1|-|x-3|=x-1-(3-x)=2x-4,-2＜2x-4＜2
∴当x≥3时，|x-1|-|x-3|最大，最大值是2故答案为: 2
【点睛】此题主要考查了绝对值、数轴等知识，用几何方法借助数轴来求解，非常直观，,体现了数形结合的优点.
18．（2022·浙江杭州·七年级期中）（阅读材料）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；……
如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表为或，记为．
（解决问题）（1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为______，若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于_______．
（拓展探究）（2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为点，动点表示的数为．
①若点在点两点之间，则______；
②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，求的值．
【答案】（1），，或（2）①②或
【分析】（1）根据数轴上、两点之间的距离，代入数值运用绝对值可求数轴上任意两点间的距离；由可列出关于的方程，解方程即可得解；
（2）点在点、两点之间时，即为、两点之间的距离；由动点的位置不同分情况进行讨论求解．
【详解】解：（1）由阅读材料可知：
①数轴上有理数与对应的两点之间的距离为
②数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为
③∵∴∴，∴或；
（2）①∵点、、是数轴上的三点，点表示的数为，点表示的数为点，动点表示的数为，点在点、两点之间∴；
②∵ ∴
I．当点在点左侧时，如图：
∴ ∴
II．当点在点、之间时，如图：
∴ ∴
III．当点在点右侧时
∴ ∴（不合题意舍去）
∴综上所述，或．
故答案是：（1），，或（2）①②或
【点睛】本题考查数轴与绝对值的概念的应用，读懂题目信息，理解绝对值的几何意义是解题的关键．
19．（2022·四川·石室初中七年级阶段练习）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为，当、两点中有一点在原点时，不妨设在原点，如图1，，当、两点都不在原点时，①如图2，点、都在原点的右边；②如图3，点、都在原点的左边，③如图4，点、在原点的两边，；综上，数轴上、两点之间的距离．
回答下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______．
（2）若表示一个有理数，则当在什么范围内时，有最小值？请写出的范围及的最小值．
（3）若表示一个有理数，则当在什么范围内时，有最小值？请写出的范围及的最小值．
图1
图2
图3
图4
【答案】（1）；；或；（2）；；（3）；．
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值，算出即可；
（2）|x+1|+|x-3|的最小值，意思是x到-1的距离与到3的距离之和最小，那么x应在-1和2之间的线段上．（3）参考阅读材料，写出代数式表示的意义即可.
【详解】（1）数轴上表示和两点之间的距离为
数轴上表示和的两点和之间的距离为
，，故或，或．
（2）代数式表示数轴上一点到，两点的距离的和，
可知 有最小值为．
（3）代数式表示到，两点的距离，
可知取值范围， 有最小值为．
【点睛】本题主要考查了数轴和绝对值，掌握数轴上两点间的距离=两个数之差的绝对值．
20．（2022·重庆市铜梁区关溅初级中学校七年级期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若，则_______，若，则_______；
（2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______；
（3）若，则x能取到的最大值是_______；
（4）关于x的式子的取值范围是_______．
【答案】（1）0，1；（2）-1，3；（3）-1；（4）大于或等于3
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义，得到x的取值范围，进而得到最大值和最小值；
（3）若|x-3|-|x+1|=4，所表示的意义，确定x的取值范围，进而求出最大值；
（4）根据|x-2|+|x+1|的意义，求出|x-2|+|x+1|的最小值为3，从而确定取值范围．
【详解】解：（1）|x-2|=|x+2|表示数轴上表示x的点到表示2和-2的距离相等，因此到2和-2距离相等的点表示的数为，
|x-3|=|x+1|表示数轴上表示x的点到表示3和-1的距离相等，
因此到3和-1距离相等的点表示的数为=1，故答案为：0，1；
（2）|x-3|+|x+1|=4表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和-1两点的距离之和为4，可得-1≤x≤3，
因此x的最大值为3，最小值为-1；故答案为：-1，3；
（3）|x-3|-|x+1|=4表示的意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点距离比它到表示-1的点的距离大4，根据数轴直观可得，x≤-1，即x的最大值为-1，故答案为：-1；
（4）式子|x-2|+|x+1|表示的意义是数轴上表示x的点到表示2和-1两点的距离之和，由数轴直观可得，|x-2|+|x+1|最小值为3，因此|x-2|+|x+1|≥3，故答案为：大于或等于3．
【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解绝对值的意义和两点距离的计算方法是正确解答的关键．
21．（2022·云南·昆明七年级期中）阅读下面材料并解决有关问题，我们知道：
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，，称，分别为与的零点值在有理数范围内，零点值，，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：
①；②；③
从而化简代数式时可分以下种情况：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
综上所述：
原式，通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当时，______．（2）化简代数式：
（3）直接写出的最大值______．
【答案】（1）；（2）原式；（3）
【分析】（1）根据绝对值的意义可得结论；（2）零点值x=2和x=4可将全体实数分为不重复不遗漏的如下三种情况：、、分该三种情况找出的值；（3）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值．
【详解】解：（1）当时，．故答案为：
（2）化简代数式：
分为以下三种情况讨论：
当时，原式；
当时，原式；
当时，原式；
综上所述：
原式
（3）的最大值：
当时，原式，
当时，原式，，
当时，原式，
则的最大值为．
【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用．
22．（2022·浙江·七年级单元测试）阅读下列两则材料：
材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x1，x2，x3，……，xk，称为数列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．
材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当-2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
根据以上材料，回答下列问题：(1)已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个整数，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，请直接写出一种可能的数列A4．(2)已知数列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，则a的值为 　 　．(3)已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．
【答案】(1)， （答案不唯一）(2) (3)0
【分析】（1）根据材料1列出算式，再根据绝对值的意义可求解，答案不唯一．
（2）根据材料1列出算式，再分类讨论，再根据绝对值的意义可求解．
（3）因为x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，所以>| |，>||，>||，>||，>0，然后列出不等式可求解．
(1)解：V（A4）=| |+||+||=4，∴| |+||+||=4，
当， ，V（A4）=| |+||+||=4
(2)解：| |+||+||=3，即| |+||+||=3
①2≤a<3时，| |+||+||=3，
所以 ，解得以a=1，但不符合题意，舍去．
②a≤2时，| |+||+||=3
所以 ，解得以 ，符合题意．
③a>3时，| |+||+||=3
所以，，解得以 ，符合题意．
综上所述，或．
(3)解：∵x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数
∴>| |，>||，>||，>||，>0，
∴0≤| |+||+||+||≤
∴0≤V（A5）≤a ∴V（A5）的最小值为0．
【点睛】本题是一道综合题，正确理解题意、熟练掌握去绝对值的方法是解决本题的关键．
23．（2022·福建·晋江市七年级期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答一列问题：(1)若，则______．若，则_____．
(2)若，则能取到的最小值是______，最大值是______．
(3)当，求的最大值和最小值．
【答案】(1)0；或0；(2)；；(3)最大值是15；最小值是；
【分析】（1）根据绝对值表示的意义和中点计算方法得出答案；（2）根据数轴的定义和绝对值的意义进行计算，即可得到答案；（3）由绝对值意义和数轴的定义，先求出，，，然后分解求出最大值和最小值即可
(1)解：∵表示数轴上表示x的点到表示1和1的距离相等，
∴到1和1距离相等的点表示的数为：；
∵，表示数轴上表示x的点到表示和1的距离的和等于5，
∴或；故答案为：0；或0；
(2)解：∵，
表示数轴上表示x的点到表示和1的距离的和等于4，
又∵，∴能取到的数在和1之间，
即，∴能取到的最小值是，最大值是；故答案为：；；
(3)解：根据题意，
∵，，，
∴，
∵，
∴，，，
∴，，，
∴当，，时，有最大值，
∴最大值为：；
∴当，，时，有最小值，
∴最小值为：；
【点睛】本题考查了绝对值意义、最值、数轴、两点间的距离及相反数的知识，综合的知识点较多，难度一般，注意理解绝对值的几何意义是关键．
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专题1.5 绝对值的相关最值问题 专题讲练
模块1：专题前言
最值问题一直都是初中数学中的最难点，但也是高分的必须突破点，需要牢记绝对值中的最值情况规律，解题时能达到事半功倍的效果。
模块2：核心考点与典例
考点1. 两个绝对值的和的最值
【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值：
分类情况（的取值范围） 图示 取值情况
当时 无法确定
当时 的值为定值，即为
当 无法确定
结论：式子在时，取得最小值为。
例1.（2022·珠海市初三二模）阅读下面材料：数轴是数形结合思想的产物．有了数轴以后，可以用数轴上的点直观地表示实数，这样就建立起了“数”与“形”之间的联系．在数轴上，若点，分别表示数，，则，两点之间的距离为．反之，可以理解式子的几何意义是数轴上表示实数与实数3两点之间的距离．则当有最小值时，的取值范围是（ ）
A．或 B．或 C． D．
变式1．（2022·江苏苏州·七年级阶段练习）同学们都知道，|5－（－2）|表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索：（1）求|5－（－2）|＝ _______．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x＋5|＋|x－2|＝7这样的负整数是_____________．（3）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x－3|＋|x－6|是否有最小值？如果有写出最小值，如果没有说明理由．
例2.（2022·河南·郑州外国语中学七年级期末）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．
例如：从“形”的角度看：可以理解为数轴上表示 3 和 1 的两点之间的
距离；可以理解为数轴上表示 3 与﹣1 的两点之间的距离．
从“数”的角度看：数轴上表示 4 和﹣3 的两点之间的距离可用代数式表示为： 4-（-3） ．
根据以上阅读材料探索下列问题：
(1)数轴上表示 3 和 9 的两点之间的距离是 ；数轴上表示 2 和﹣5 的两点之间的距离是 ；（直接写出最终结果）(2)①若数轴上表示的数 x 和﹣2 的两点之间的距离是 4，则 x 的值为 ；②若 x 为数轴上某动点表示的数，则式子的最小值为 ．
变式2.（2022 思明区校级期末）同学们都知道|5﹣（﹣2）|表示5与（﹣2）之差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对的两点之间的距离，试探索：（1）求|5﹣（﹣2）|＝　 　．（2）找出所有符合条件的整数x，使得|x+5|+|x﹣2|＝7成立的整数是　 　．（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由．
考点2. 两个绝对值的差的最值
【解题技巧】目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值：
分类情况（的取值范围） 图示 取值情况
当时 的值为定值，即为—
当时
当 的值为定值，即为
结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值。
例1.（2022·浙江·温州七年级开学考试）代数式|x﹣1|﹣|x+2|的最大值为a，最小值为b，下列说法正确的是（　　）
A．a＝3，b＝0 B．a＝0，b＝﹣3 C．a＝3，b＝﹣3 D．a＝3，b 不存在
变式1．（2022·上海七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．
例2.（2022·湖北十堰·七年级期中）设﹣1≤x≤3，则|x﹣3|﹣|x|+|x+2|的最大值与最小值之和为__．
变式2．（2022·湖北武汉·七年级期中）我们知道，的几何意义是数轴上表示数a的点与原点的距离，一般地，点A，B在数轴上分别表示数a，b，那么A，B之间的距离可表示为|a-b|，请根据绝对值的几何意义并结合数轴解答下列问题：（1）数轴上的数x与1所对应的点的距离为__ ，数x与-1所对应的点的距离为__ ；（2）求的最大值；（3）直接写出的最大值为______．
考点3. 多个绝对值的和的最值
【解题技巧】最小值规律：
①当有两个绝对值相加：
若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间；
②当有三个绝对值相加：
若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合；
③当有（奇数）个绝对值相加：
，且，则取中间数，即当时，取得最小值为；
④当有（偶数）个绝对值相加：
，且，则取中间段，
即当时，取得最小值为。
例1.（2022·天津初一月考）若是有理数，则的最小值是________．
变式1．（2022 武侯区校级月考）|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2014|的最小值为　 　，此时x的取值为　 　．
例2.（2022·北京市七年级期中）阅读下面一段文字：在数轴上点A，B分别表示数a，b．A，B两点间的距离可以用符号表示，利用有理数减法和绝对值可以计算A，B两点之间的距离．
例如：当a＝2，b＝5时，＝5－2＝3；当a＝2，b＝－5时，＝＝7；当a＝－2，b＝－5时，＝＝3，综合上述过程，发现点A、B之间的距离＝（也可以表示为）．请你根据上述材料，探究回答下列问题：（1）表示数a和－2的两点间距离是6，则a＝ ；
（2）如果数轴上表示数a的点位于－4和3之间，则＝ 。（3）代数式的最小值是 ．（4）如图，若点A，B，C，D在数轴上表示的有理数分别为a，b，c，d，则式子的最小值为 （用含有a，b，c，d的式子表示结果）
变式2.（2022 龙泉驿区期中）我们知道，在数轴上，|a|表示数a到原点的距离．进一步地，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，那么A，B两点之间的距离就表示为|a﹣b|；反过来，|a﹣b|也就表示A，B两点之间的距离．下面，我们将利用这两种语言的互化，再辅助以图形语言解决问题．
例，若|x+5|＝2，那么x为：①|x+5|＝2，即|x﹣（﹣5）|＝2．
文字语言：数轴上什么数到﹣5的距离等于2．
②图形语言：
③答案：x为﹣7和﹣3．
请你模仿上题的①②③，完成下列各题：
（1）若|x+4|＝|x﹣2|，求x的值；
①文字语言： ②图形语言：
③答案：
（2）|x﹣3|﹣|x|＝2时，求x的值：
①文字语言： ②图形语言：
③答案：
（3）|x﹣1|+|x﹣3|＞4．求x的取值范围：
①文字语言： ②图形语言：
③答案：
（4）求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+|x﹣4|+|x﹣5|的最小值．
①文字语言： ②图形语言：
③答案：
模块4：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：60分钟 试卷满分：120分
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江·七年级期中）若表示数轴上x与a两数对应的点之间的距离，当x取任意有理数时，代数式的最小值为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
2．（2022·浙江·七年级期末）的最小值是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2022·河南南阳·七年级期末）|x＋8|＋|x＋1|＋|x﹣3|＋|x﹣5|的最小值等于（ ）
A．10 B．11 C．17 D．21
4．（2022·山东·七年级课时练习）的最小值是（ ）
A．1 B．1010 C．1021110 D．2020
5．（2022·广东初一课时练习）如果对于某一特定范围内的任意允许值，p=|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（2022·浙江七年级期中）若不等式，对一切实数x都成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
7．（2022·杭州七年级期中）代数式，当时，可化简为______；若代数式的最大值为与最小值为，则的值______．
8．（2022·江苏·七年级专题练习）当式子|x+1|+|x﹣2|取最小值时，相应的x的取值范围是 ，最小值是__ ．
9．（2022·全国·七年级课时练习）的最小值为_________；此时取值范围是_________．
10．（2022·浙江·七年级阶段练习）代数式|x－1|－|x+6|－5的最大值是_______．
11．（2022·上海同济大学附属存志学校期末）的最小值为__________．
12．（2022·江苏江苏·七年级期末）若x是有理数，则|x﹣2|＋|x﹣4|＋|x﹣6|＋|x﹣8|＋…＋|x﹣2022|的最小值是______．
13．（2022·浙江七年级期中）满足的非负整数有________对．
14．（2022·江苏江阴七年级阶段练习）阅读下列内容：
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作|a﹣b|，如|3﹣5|表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，|3+5|＝|3﹣（﹣5）|表示数轴上表示数3的点与表示数﹣5的点的距离，|a﹣3|表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若|x﹣1|=|x+1|，则x=　 　，若|x﹣2|＝|x+1|，则x=　 　；
（3）若|x﹣2|+|x+1|=3，则x的取值范围是　 　；
（2）若|x﹣2|+|x+1|=5，则x的值是　 　；
（4）若|x﹣2|﹣|x+1|=3，则x能取到的最大值是　 　．
三、解答题（本大题共9小题，共64分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2022·浙江杭州·七年级期中）阅读绝对值拓展材料：表示数a在数轴上的对应点与原点的距离如：表示5在数轴上的对应点到原点的距离而，即表示5、0在数轴上对应的两点之间的距离，类似的，有：表示5、在数轴上对应的两点之间的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，那么A、B之间的距离可表示为．
回答下列问题：
（1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和的两点之间的距离是 ；
（2）数轴上表示x和的两点A和B之间的距离是 ，如果A、B两点之间的距离为2，那么 ．
（3）可以理解为数轴上表示x和 的两点之间的距离．
（4）可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．可以理解为数轴上表示x的点到表示 和 这两点的距离之和．
（5）最小值是 ，的最小值是 ．
16．（2022·浙江杭州·七年级期中）问题一：有理数对应的数轴上的点是．如果两点距离小于8，两点距离大于4，且C在之间，，都是整数，试利用数轴求出的可能值
问题二：已知点在数轴上表示的数分别为
（1）若两点的距离为d，则_________(用含的式子表示)
（2）由（1）的结论可知的意义是：数轴上表示数x的点到表示_______的点的距离
（3）若动点C表示的数为x，当x为何值时，下列各式有最小值？请求出它们的最小值．
①；②；③
17．（2022·浙江杭州·七年级期中）点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离．
利用数轴，根据数形结合思想，回答下列问题：
（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是_______，数轴上表示1和-2的两点之间的距离为______；
（2）数轴上表示x和1两点之间的距离为________，数轴上表示x和-3两点之同的距离为____．
（3）的最小值为_______．的最小值为_____．
（4）的最大值为_______．
18．（2022·浙江杭州·七年级期中）（阅读材料）数轴是学习有理数的一种重要工具，任何有理数都可以用数轴上的点表示．这样能够运用数形结合的方法解决一些问题，例如，两个有理数在数轴上对应的点之间的距离可以用这两个数的差的绝对值表示；
在数轴上，有理数3与1对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数5与对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与3对应的两点之间的距离为；
在数轴上，有理数与对应的两点之间的距离为；……
如图1，在数轴上有理数对应的点为点，有理数对应的点为点两点之间的距离表为或，记为．
（解决问题）（1）数轴上有理数与对应的两点之间的距离等于______，数轴上有理数与对应的两点之间的距离用含的式子表示为______，若数轴上有理数与对应的两点之间的距离，则等于_______．
（拓展探究）（2）如图2，点是数轴上的三点，点表示的数为4，点表示的数为点，动点表示的数为．
①若点在点两点之间，则______；
②若，即点到点的距离等于点到点的距离的2倍，求的值．
19．（2022·四川·石室初中七年级阶段练习）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示实数、，、两点之间的距离表示为，当、两点中有一点在原点时，不妨设在原点，如图1，，当、两点都不在原点时，①如图2，点、都在原点的右边；②如图3，点、都在原点的左边，③如图4，点、在原点的两边，；综上，数轴上、两点之间的距离．
回答下列问题：
（1）数轴上表示和的两点之间的距离是_____，数轴上表示和的两点和之间的距离是______，如果，那么为______．
（2）若表示一个有理数，则当在什么范围内时，有最小值？请写出的范围及的最小值．
（3）若表示一个有理数，则当在什么范围内时，有最小值？请写出的范围及的最小值．
图1
图2
图3
图4
20．（2022·重庆市铜梁区关溅初级中学校七年级期末）数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作．数轴上表示数a的点与表示数b的点的距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数－5的点的距离，表示数轴上表示数a的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答下列问题：（将结果直接填写在答题卡相应位置，不写过程）
（1）若，则_______，若，则_______；
（2）若，则x能取到的最小值是_______；最大值是_______；
（3）若，则x能取到的最大值是_______；
（4）关于x的式子的取值范围是_______．
21．（2022·云南·昆明七年级期中）阅读下面材料并解决有关问题，我们知道：
，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式时，可令和，分别求得，，称，分别为与的零点值在有理数范围内，零点值，，可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下种情况：
①；②；③
从而化简代数式时可分以下种情况：
①当时，原式；
②当时，原式；
③当时，原式；
综上所述：
原式，通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）当时，______．（2）化简代数式：
（3）直接写出的最大值______．
22．（2022·浙江·七年级单元测试）阅读下列两则材料：
材料1：君君同学在研究数学问题时遇到一个定义：对于按固定顺序排列的k个数：x1，x2，x3，……，xk，称为数列Ak：x1，x2，x3，……，xk，其中k为整数且k≥3．定义：V（Ak）＝|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+……+|xk﹣1﹣xk|．例如数列A5：1，2，3，4，5，则V（A5）＝|1﹣2|+|2﹣3|+|3﹣4|+|4﹣5|＝4．
材料2：有理数a，b在数轴上对应的两点A，B之间的距离是|a﹣b|；反之，|a﹣b|表示有理数a，b在数轴上对应点A，B之间的距离，我们称之为绝对值的几何意义．君君同学在解方程|x﹣1|+|x+2|＝5时，利用绝对值的几何意义分析得到，该方程的左式表示在数轴上x对应点到1和-2对应点的距离之和，而当-2≤x≤1时，取到它的最小值3，即为1和-2对应点之间的距离．由方程右式的值为5可知，满足方程的x对应点在1的右边或一2的左边，若x的对应点在1的右边，利用数轴分析可以得到x=2；同理，若x的对应点在-2的左边，可得x＝﹣3；故原方程的解是x＝2或x＝﹣3．
根据以上材料，回答下列问题：(1)已知数列A4：x1，x2，x3，x4，其中x1，x2，x3，x4为4个整数，且x1＝3，x4＝5，V（A4）＝4，请直接写出一种可能的数列A4．(2)已知数列A4：3，a，3，a+1，若V（A4）＝3，则a的值为 　 　．(3)已知数列A5：x1，x2，x3，x4，x5，5个数均为非负整数，且x1+x2+x3+x4+x5＝a（a≥1），求V（A5）的最小值．
23．（2022·福建·晋江市七年级期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作．数轴上表示数的点与表示数的点距离记作，如表示数轴上表示数3的点与表示数5的点的距离，表示数轴上表示数3的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数3的点的距离．
根据以上材料回答一列问题：(1)若，则______．若，则_____．
(2)若，则能取到的最小值是______，最大值是______．
(3)当，求的最大值和最小值．
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