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专题1.2 定义与命题+1.3 证明
模块1：学习目标
1. 了解定义、命题、定理（公理）、证明、命题的条件和结论等相关概念；
2. 能判定已知命题的真假及举例法判定命题的真假；
3. 能正确表达证明的解题步骤及正确的逻辑推理；
4. 了解三角形的外角的概念；掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
5. 会利用三角形的外角性质解决问题.
模块2：知识梳理
1．定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
2．命题
（1）命题：一般地，判断某一件事情的句子叫做命题。命题一般由条件和结论构成。
其实以“如果……”开头的叫条件，以“那么……”后面的部分的叫结论。
（2）真命题：正确的命题。
（3）假命题：不正确的命题。
注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．
3.基本事实：人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.
4.定理：用推理的方法判断为正确的命题叫定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。
注意：满足以下两个条件的真命题称为定理：
（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.
5．证明的概念
要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫做证明。
6．证明的解题步骤
1）按题意画出图形。
2）分清命题的条件与结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论。
3）在“证明”中写出推理过程。
7．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
模块3：核心考点与典例
考点1．定义与命题的辨别
例1．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）下列定理中，下面语句是命题的是（ ）
A．是有理数 B．已知，求 C．作的角平分线 D．正数大于一切负数吗？
【答案】A
【分析】根据命题的定义逐一判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对事情作出了判断，是命题，符合题意；
B、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
C、为陈述句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意；
D、为疑问句，没有对问题作出判断，不是命题，不符合题意．故选：A．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解命题是判断一件事情的句子，难度不大．
变式1．（2022秋·浙江丽水·八年级校考阶段练习）下列语句是命题的是（　　）
A．负数小于零 B．画一个角等于已知角 C．把16开平方 D．垂线段最短吗
【答案】A
【分析】根据命题是判断事情的一个句子对，对各选项分析即可求解．
【详解】解：命题是能判断事情的一个句子，
B、 C、 D都没有判断事情，故B． C． D都不是命题，
A项对负数作出了判断，故A是命题．故选∶A
【点睛】本题考查命题的定义，命题是判断事情的一个句子，难度不大，熟记命题的定义是解题关键．
变式2．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）下列语句中，属于定义的是（ ）
A．直线和垂直吗？ B．延长到使
C．两直线平行，内错角相等 D．无限不循环小数是无理数
【答案】D
【分析】根据定义的概念对各个选项进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A不是，这是一个疑问句；B不是，这是一个作法；
C不是，这是一个定理；D是，这是无理数的定义；故选择：D.
【点睛】本题主要主要考查了学生对命题与定理的理解及运用，难度适中．
考点2．真假命题的判断
例2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）下列命题中是假命题的是（　　）
A．两条直线相交有2对对顶角
B．互为邻补角的两个角的平分线互相垂直
C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行
D．互补的两个角一定是邻补角
【答案】D
【分析】利用对顶角的定义、垂直的定义、平行线的判定及邻补角的定义分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、两条直线相交有2对对顶角，正确，是真命题，不符合题意；
B、互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，正确，是真命题，不符合题意；
C、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，正确，是真命题，不符合题意；
D、互补的两个角不一定是邻补角，故错误，是假命题，符合题意．故选：D．
【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、垂直的定义、平行线的判定及邻补角的定义，难度不大．
变式2．（2022春·浙江金华·七年级校联考期中）下列语句：
①若三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；
②如果两条平行线被第三条所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（　　）
A．①②是真命题 B．②③是真命题 C．①③是真命题 D．以上结论皆是假命题
【答案】A
【分析】根据平行公理、平行线的性质逐项判定即可．
【详解】解：①三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行，故为真命题；
②如果两条平行线被第三条截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直，故为真命题；
③过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故为假命题；故选A．
【点睛】本题主要考查命题与定理知识，熟练掌握平行公理、平行线的性质是解题的关键．
考点3．命题的改写（命题的条件与结论）
例3．（2022·浙江金华·八年级期末）把“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式______，______．
【答案】 如果两个角是对顶角 那么这两个角相等
【分析】根据条件是两个角是对顶角，则放在“如果”的后面，结论是这两个角相等，则放在“那么”的后面解答即可．
【详解】解：题设为：对顶角，结论为：相等，
故写成“如果……，那么……”的形式是：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
故答案为：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等．
【点睛】本题主要考查将原命题写成条件与结论的形式．“如果”后面是命题的条件，“那么”后面是命题的结论，解决本题的关键是找到相应的条件和结论．
变式3．（2023春·浙江金华·八年级月考）将命题“有一个内角是直角的三角形是直角三角形”改写成如果…那么…的形式 _____ ．
【答案】如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角形
【分析】判断语句中的条件和结论，将条件放在如果后面，将结论放在那么后面即可．
【详解】题中“有一个内角是直角的三角形”是条件，“直角三角形”是结论，所以命题“有一个内角是直角的三角形是直角三角形”改写成如果…那么…的形式为：如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角．
故答案为：如果一个三角形有一个内角是直角，那么这个三角形是直角三角形．
【点睛】本题主要考查命题的改写，正确找出条件和结论是解决本题的关键．
考点4．举例说明真假命题
例4．（2023·浙江宁波·一模）能说明命题“对于任意实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，只要举例说明0的平方等于0即可．
【详解】解：∵，∴当时，该命题是假命题，故选：C．
【点睛】本题考查了举反例说明命题是假命题掌握以上知识是解题的关键．
变式4．（2023·浙江宁波·校考一模）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】说明是假命题只要举出两个锐角的和不是钝角即可．
【详解】解：A．，，则，能说明；
B．，，则，不能说明；
C． ，，不是锐角，不可以说明；
D．，，不是锐角，不能说明；故选：A．
【点睛】本题考查说明一个命题是假命题．比较简单，只需要条件符合，结论不符即可．
考点5．逻辑推理
例5．（2022·北京市七年级期中）某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是_____．
【答案】丁
【分析】先阅读理解题意，再逐一进行检验进行简单的合情推理即可．
【详解】①若获得一等奖的团队是甲团队，则小张、小李、小赵预测结果对的，与题设矛盾，即假设错误，②若获得一等奖的团队是乙团队，则小张预测结果是对的，与题设矛盾，即假设错误，
③若获得一等奖的团队是丙团队，则四人预测结果都是错的，与题设矛盾，即假设错误，
④若获得一等奖的团队是丁团队，则小李、小王预测结果是对的，与题设相符，即假设正确，
即获得一等奖的团队是：丁；故答案为：丁．
【点睛】本题考查了推理与论证，正确进行简单的合情推理是解题关键．
变式5．（2022·浙江嵊州·八年级期中）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是____．
【答案】3
【分析】先分析甲手中的数，根据甲不知道谁手中的数更大，推出甲手中的数不可能为1和5，再根据乙也不知道谁手中的数更大，即可推出乙手中的数不可能为2和4，即可得出答案．
【详解】解析：五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，
∵甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大，∴甲手中的数可能为2，3，4，
∵乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．
∴乙手中的数不可能是2，4，只能是3．故答案为：3．
【点睛】本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理，根据题目意思分析判断是解题的关键．
考点6．写出命题的已知求证和证明过程
例6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：
已知：_______________________________ 求证：_______________ ．
【答案】 已知：△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线 求证：AD平分∠BAC.
【分析】结合几何图形写出已知条件和结论．
【详解】已知：△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）； 求证：AD平分∠BAC．
故答案为△ABC中，AB=AC，D为BC中点（或BD=DC）；AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查了命题与定理：命题写成“如果…，那么…”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．
变式6．（2023春·江苏·七年级专题练习）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.要求：画图写出已知、求证并证明．
【答案】见解析
【分析】根据题意，写出已知、求证并根据同位角相等，两条直线平行即可得出结论．
【详解】已知：，
求证：．
证明：如图：
∵∴∴ (同位角相等，两直线平行) ．
【点睛】本题考查了同位角相等，两直线平行，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．
考点7. 证明外角性质定理
例7．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．
求证：．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
【答案】B
【分析】根据三角形的内角和定理与平角的定义可判断A与B，利用理论与实践相结合可判断C与D．
【详解】解：A. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故A不符合题意；
B. 证法1给出的证明过程是完整正确的，不需要分情况讨论，故选项B符合题意；
C. 证法2用量角器度量两个内角和外角，只能验证该定理的正确性，用特殊到一般法证明了该定理缺少理论证明过程，故选项C不符合题意；D. 证法2只要测量够一百个三角形进行验证，验证的正确性更高，就能证明该定理还需用理论证明，故选项D不符合题意．故选择：
【点睛】本题考查三角形外角的证明问题，命题的正确性需要严密推理证明，三角形外角分三种情形，锐角、直角、和钝角，证明中应分类才严谨．
变式7. （2022·江苏·苏州市八年级阶段练习）用两种方法证明“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和”．如图，是的一个外角．
求证：．
证法1：（____）
（平角的定义）
（_____）
（等式的基本性质1）
请把证法1依据填充完整，并用不同的方法完成证法2
【答案】见解析
【分析】证法1：根据三角形的内角和和平角的定义即可得到结论；
证法2：根据平行线的性质即可得到结论．
【详解】解：已知，∠DAB是△ABC的一个外角．
求证：∠DAB=∠B+∠C
证法1：∵∠BAC+∠B+∠C=180° （三角形内角和定理）
∠BAC+∠DAB=180°（平角的定义）
∴∠BAC+∠B+∠C=∠BAC+∠DAB（等量代换）
∴∠DAB=∠B+∠C（等式基本性质1）
故答案为：三角形内角和定理，等量代换；
证法2：如图，过点A作AE∥BC，∴∠DAE=∠C，∠EAB=∠B，
∵∠DAB=∠DAE+∠EAB，∴∠DAB=∠B+∠C；
【点睛】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，平行线的性质，熟记性质并读懂题目信息是解题的关键．
考点8. 外角性质的相关计算
例8．（2022·江苏八年级专题练习）如图，把ABC纸片沿DE折叠，使点B落在图中的B处，设EC1，DA2若25，则21=______
【答案】50
【分析】由折叠性质求得，由三角形的外角性质，用表示 ，进而求得．
【详解】解：，，
，
，，故答案为50．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，折叠的性质，关键是根据三角形的外角的性质表示出与的关系式．
变式8. （2022·苏州八年级期中）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
【答案】52°
【分析】根据三角形外角的性质和角平分线的定义可求出∠E，利用三角形内角和求出，得到，从而求出，再次利用角平分线的定义和三角形内角和得到∠A．
【详解】解：、分别平分、，，，
，，
即，，，
、分别平分、，
，，，
，∴，
∴，
、分别平分、，，，
∴，
，故答案为：52°．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
考点9. 内角和与外角性质的综合问题（双角平分线问题）
例9．（2022·山西阳泉初二期中）佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关.
测量数据如下表：
测量和度数
测量工具 量角器
示意图 与的平分线交于点
测量数据
第一次
第二次
第三次
第四次
… …
（1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：______.（2）如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由.
【答案】（1）；（2），理由见解析
【分析】（1）根据表格中的数据，设，利用待定系数法进行计算，即可得到答案；
（2）根据角平分线的性质，得到，，然后利用外角性质，以及角的和差关系，即可得到结论成立.
【解析】（1）根据题意，设，∴，解得：，∴.
（2）. 理由：∵与的平分线交于点，
∴，.
∵，∴.
∵是的外角，∴，∴.
【点睛】本题考查了角平分线定理，三角形内角和定理以及三角形外角性质，待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是掌握所学性质进行解题.
变式9. （2022 南海区八年级期末）阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝　 　；如图2，∠O＝　 　；如图3，∠O＝　 　；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；
（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．
【解答】解；（1）如图1，
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠BAC）（180°﹣60°）＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD ∴∠OBC∠ABC，∠OCD∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A ∴∠OCD（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O ∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC∠ABC∠A∠ABC∠A＝30°
如图3，∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD∴∠OBC∠EBC，∠OCB∠BCD
∴∠OBC+∠OCB（∠EBC+∠BCD）（∠A+∠ACB+∠BCD）（∠A+180°）（60°+180°）＝120° ∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2
∴∠O2BC∠ABC，∠O2CB∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C
∴∠O2BC+∠O2CB（∠ABC+∠ACB）（180°﹣∠BAC）（180°﹣60°）＝80°
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°∴∠BO2O1∠BO2C＝50°
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝90°∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，∴∠A＝70°．
【点评】本题考查了利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进行角的计算或证明，熟练掌握相关性质定理及其应用，是解题的关键．
模块4：同步培优题库
全卷共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）下列语句中哪句话是定义（ ）
A．连接A、B两点. B．等角的余角相等吗？
C．内错角相等，两直线平行. D．整数与分数统称为有理数.
【答案】D
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题和定义的概念进行判断．
【详解】解：A、联结A、B两点，不是定义，不符合题意；
B、等角的余角相等吗？不是定义，不符合题意；
C、内错角相等，两直线平行，不是定义，不符合题意；
D、整数与分数统称为有理数，是定义，符合题意；故选：D．
【点睛】本题主要考查了命题的定义：判断一件事情的语句是命题，一般有“是”，“不是”等判断词，比较简单．
2．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．三角形的内角和等于180度 B．把16开平方 C．直角都相等 D．对顶角相等
【答案】B
【分析】根据命题的定义即可进行解答．
【详解】解：A、C、D都是命题，B不是命题；故选：B．
【点睛】本题主要考查了命题的定义，解题的关键是掌握：“判断一件事情的语句是命题”．
3．（2022秋·浙江·八年级期末）已知命题“若，则”，下列说法正确的是（　　）
A．它是一个真命题 B．它是一个假命题，反例
C．它是一个假命题，反例 D．它是一个假命题，反制
【答案】B
【分析】利用命题的定义和判断命题为真、假命题的方法进行判断即可．
【详解】解：A．若，则，说法错误，是一个假命题；
B．是一个假命题，反例：能确定原命题是个假命题，故正确；
C．是一个假命题，反例：不能确定原命题是个假命题，故错误；
D．是一个假命题，反例：不能确定原命题是个假命题，故错误；故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何判断一个命题的真假，难度不大．
5．（2023·浙江宁波·校考一模）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】说明是假命题只要举出两个锐角的和不是钝角即可．
【详解】解：A．，，则，能说明；
B．，，则，不能说明；
C． ，，不是锐角，不可以说明；
D．，，不是锐角，不能说明；
故选：A．
【点睛】本题考查说明一个命题是假命题．比较简单，只需要条件符合，结论不符即可．
6．（2022·山东·七年级）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是（　　）
A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹 C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿
【答案】D
【分析】根据题意，可以判断出其中的三个人年龄相同，再根据实际可知其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，从而可以得到最差选手和最佳选手，本题得以解决．
【详解】由①和②可知，最佳选手的孪生同胞与最差选手不是同一个人，因此一定是其中的三个人的年龄相同，布鲁斯先生很显然比他的儿子和女儿大，则其中年龄相同的三个人是布鲁斯先生的儿子、女儿和妹妹，由此，布鲁斯先生的儿子和女儿必定是①中所指的孪生同胞，所以，布鲁斯先生的儿子或女儿是最佳选手，最差选手是布鲁斯先生的妹妹，由①知，最佳选手的孪生同胞一定是布鲁斯先生的儿子，则最佳选手就是布鲁斯先生的女儿．故选：D．
【点睛】本题考查了推理和论证，解题的关键是明确题意，能够写出正确的推理过程．
7．（2022·河南焦作市·八年级期末）如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由三角形外角性质结合图形，逐项判断即可．
【详解】∵，∴，故A选项正确，不符合题意；
由三角形外角性质即可直接得出，故B选项正确，不符合题意；
没有条件可以证明出和的关系，故C选项错误，符合题意；
∵，，∴，
∴，故D选项正确，不符合题意；故选C．
【点睛】本题考查三角形外角性质，掌握“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”是解答本题的关键．
8.（2022 龙岗区期末）如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）
A．36° B．72° C．50° D．46°
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【解答】解：由折叠的性质得：∠D＝∠C＝36°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+72°，则∠1﹣∠2＝72°．故选：B．
【点评】此题考查翻折变换（折叠问题）以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．
9．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……和的平分线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用角平分线的性质和三角形外角与内角的关系，先用表示出、并找出规律，再利用规律得到结论．
【详解】解：∵和的平分线交于点，∴．
∵，∴．
∵，∴．
同理可得：，．．．∴．故选C．
【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，掌握三角形的外角与内角的关系及角平分线的性质是解决本题的关键．
10．（2023春·河北保定·八年级校考期中）如图，，，，分别平分的外角，内角，外角．现有以下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得，根据角平分线的定义可得，然后求出，再根据同位角相等，两直线平行可得，然后根据平行线的性质以及角平分线的定义，判断出①正确；
根据两直线平行，内错角相等可得，再根据角平分线的定义可得，从而得到，判断出②正确；
根据两直线平行，内错角相等可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和和角平分线的定义整理可得，判断出⑤正确；
根据三角形的外角性质与角平分线的定义表示出，然后整理得到 ，判断出④正确；再根据两直线平行，内错角相等可得，与不一定相等，所以与不一定相等，判断出③错误．
【详解】解：平分，，
，，
，，，
平分，，，，故①正确；
，，平分，，
，，故②正确；
，，是的平分线，
，故⑤正确；
，故④正确；
平分， ，
， ，
与不一定相等，与不一定相等，故③错误．
综上所述，结论正确的是①②④⑤共4个．故选：C．
【点睛】本题考查三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，三角形内角和定理的应用，熟记各性质并综合分析，理清图中各角度之间的关系是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知下列语句：①平角都相等；②画两个相等的角；③两直线平行，同位角相等；④等于同一个角的两个角相等吗；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥等腰三角形的两个底角相等，其中是命题的有_____（填序号）
【答案】①③⑤⑥
【分析】根据命题的定义可进行求解．
【详解】解：平角都相等，它是命题；
画两个相等的角为描叙性语言，它不是命题；
两直线平行，同位角相等，它是命题；
等于同一个角的两个角相等吗是疑问句，它不是命题；
邻补角的平分线互相垂直，它是命题；
等腰三角形的两个底角相等，它是命题．
故答案为①③⑤⑥．
【点睛】本题主要考查命题，熟练掌握命题的定义是解题的关键．
12．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”改写为“如果……，那么……”的形式为_____________________________．
【答案】如果在同一平面内两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行
【分析】命题由题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【详解】解：命题可以改写为：如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
故答案为：如果在同一平面内两条直线垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行．
【点睛】本题考查命题的题设和结论，解题的关键是掌握任何一个命题都可以写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．在改写过程中，不能简单地把题设部分、结论部分分别写在“如果”、“那么”后面，要适当增减词语，保证句子通顺而不改变原意．
13．（2022 宁波模拟）写出一个能说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题的反例　 　．
【分析】写出a、b的值满足|a|＞|b|，不满足a＞b即可．
【解析】因为a＝﹣5，b＝1时，满足|a|＞|b|，不满足a＞b，
所以a＝﹣5，b＝1可作为说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题的反例．
故答案为a＝﹣5，b＝1．
14．（2022·江苏扬州市·八年级期中）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．则第二局的输者是________。
【答案】丙
【解析】由题意，知：由丙当了3次裁判知有三场比赛是甲乙比赛，丙当裁判，且这三场比赛分别是第一局，第三局，第五局：
第一局：甲VS乙，丙当裁判；第三局：甲VS乙，丙当裁判；第五局：甲VS乙，丙当裁判；
由于输球的人下局当裁判，因此第二场输的人是丙。故答案是：丙。
15．（2022春 东坡区期末）如图，∠1＝140°，∠2＝120°，则∠3的度数为
【思路点拨】根据三角形的外角和等于360°计算即可．
【答案】解：∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角，∴∠1+∠2+∠3＝360°，
∵∠1＝140°，∠2＝120°，
∴∠3＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣140°﹣120°＝100°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角，掌握三角形的外角和等于360°是解题的关键．
16．（2022 仪征市期末）如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝40°，∠DAE＝55°，则∠ACB的度数是 　 　．
【思路点拨】由角平分线的定义可求解∠EAC，利用三角形外角的性质可求解∠ACB．
【答案】解：∵AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠DAE＝55°，∴∠EAC＝2∠DAE＝110°，
∵∠EAC＝∠B+∠ACB，∠B＝40°，∴∠ACB＝110°﹣40°＝70°，故答案为70°．
【点睛】本题主要考查三角形外角的性质，角平分线的定义，掌握三角形外角的性质是解题的关键．
17．（2022春 雨花区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC．CD是△ABC外角的角平分线，若∠A＝50°，则∠D＝　 　．
【思路点拨】根据三角形的外角性质得到∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∠D＝∠DCE﹣∠DBC，根据角平分线的定义计算即可．
【答案】解：∵∠ACE是△ABC的一个外角，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，同理：∠D＝∠DCE﹣∠DBC，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，∴∠DBE＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，
∴∠D＝（∠ACE﹣∠ABC）＝∠A＝×50°＝25°，故答案为：25°．
【点睛】本题考查的是三角形的外角性质、三角形内角和定理，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
18．（2022·无锡市江南中学七年级月考）如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A之间的关系为___________．
【答案】∠1+∠2-∠A=90°
【分析】先根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，写出∠1+∠2与∠A的关系，再根据三角形内角和等于180°，求出∠1+∠2与∠A的度数关系．
【详解】∵BD、CE为△ABC的两条角平分线，∴∠ABD=∠ABC，∠ACE=∠ACB，
∵∠1=∠ACE+∠A，∠2=∠ABD+∠A
∴∠1+∠2=∠ACE+∠A+∠ABD+∠A=∠ABC+∠ACB+∠A+∠A
＝（∠ABC+∠ACB+∠A）+∠A =90°+∠A 故答案为∠1+∠2-∠A=90°．
【点睛】考查了三角形的内角和等于180°、外角与内角关系及角平分线的性质，是基础题．三角形的外角与内角间的关系：三角形的外角与它相邻的内角互补，等于与它不相邻的两个内角的和．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·浙江·八年级专题练习）判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论．
(1)内错角相等；(2)对顶角相等； (3)画一个60°的角．
【答案】(1)是命题．题设是：两个角是内错角，结论是：这两个角相等
(2)是命题．题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等 (3)不是命题
【分析】（1）先根据命题的定义判断，然后找到相应的条件和结论作为命题的题设和结论即可；
（2）先根据命题的定义判断，然后找到相应的条件和结论作为命题的题设和结论即可；
（3）根据命题的定义判断即可．
【详解】（1）解：是命题．题设是：两个角是内错角，结论是：这两个角相等；
（2）是命题．题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等；
（3）不是命题．
【点睛】本题考查了命题，解决本题的关键是理解命题是判断一件事情的语句，命题的题设为条件部分，结论为由条件得到的结论．
20．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知命题“若 a＞b，则 a2＞b2”．
（1）此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个 反例．
（2）写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假 命题，请举出一个反例．
【答案】（1）假命题，举例如a=1，b=－1；反例不唯一.（2）逆命题为“若a2＞b2，则a＞b”，该命题也是假命题，举例如a=－2，b=1；反例不唯一.
【分析】（1）判断是否为真命题，需要分析由题设是否能推出结论，本题可从a、b的正负性来考虑反例，如a=1，b=－1来进行检验判断；
（2）先写出逆命题，再按照（1）的思路进行判断.
【详解】解：（1）假命题，举例如a=1，b=－1，满足a＞b，但很明显，，不满足a2＞b2，所以原命题是假命题；当然反例不唯一.
（2）逆命题为“若a2＞b2，则a＞b”，该命题也是假命题，举例如a=－2，b=1，满足a2＞b2，但不满足a＞b；反例也不唯一.
【点睛】本题主要考查命题和逆命题的知识，判断命题的真假关键是熟知课本中有关的定义和性质定理等，另外，正确举出反例是判断假命题的常用方法.
21．（2022秋·全国·八年级专题练习）命题证明.求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．
已知：________________
求证：___________________
证明：____________________．
【答案】见解析
【分析】根据等腰三角形的性质，角平分线的定义，求出，利用全等三角形的判定，证明,由全等三角形的性质即可证明．
【详解】已知：在中，，、分别是和的角平分线，
求证：.
证明：,
,
、分别是和的角平分线,
,
,
在和中
，
，
即等腰三角形两底角的角平分线相等．
【点睛】考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质和判定定理是解题的关键．
22．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析
(2)都是真命题，推理见解析
【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可
【详解】（1）解：一共能组成三个命题：
①如果DE//BC，，那么；
②如果DE//BC，，那么；
③如果，，那么DE//BC ；
（2）解：都是真命题，
如果DE//BC，，那么，
理由如下：∵DE//BC，
∴，
∵，
∴．
如果DE//BC，，那么；
理由如下：∵DE//BC，
∴，，
∵，
∴；
如果，，那么DE//BC ；
理由如下：∵，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴∠B=∠1，
∴DE//BC ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
23．（2023·江苏南京·七年级期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”如图，∠BAE、∠FBC、∠DCA是△ABC的三个外角．
求证∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360
(1)第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格：
(2)根据第二种思路，完成证明．
【答案】(1)①；②；③；④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和 (2)见解析
【分析】（1）根据三角形内角和以及外角性质填写即可；
（2）过B作BM∥AC，即可利用平行线把三个外角集中到一点，最后利用周角360°证明．
【解析】 (1)①根据后面推论是根据三角形内角和，故答案为：；
根据左右两边的等式可以推测是根据外角的性质填写，+，
故答案为：②；③，④三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
(2)过B作BM∥AC，∴,
∵∴∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360°
【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的外角的性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24.（2023 赣榆区期末）在数学课本中，有这样一道题：
如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB
∴∠B＝∠　 　
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠　 　＝∠　 　（等式性质）
∴EF∥　 　
∵EF∥AB∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
【分析】（1）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，证出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出结论；
（2）过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠BMN＝∠BCM+∠CBM，证出∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，得出∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，由角平分线得出∠BCM＝∠NCD，即可得出结论；
（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，∴∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），
∴∠C＝∠CEF（等式性质），∴EF∥CD，
∵EF∥AB，∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）；
故答案为：BEF，C，CEF，CD；
（2）证明：过点N作NG∥AB，交BM于点G，如图3所示：则NG∥AB∥CD，
∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠BMN是△BCM的一个外角，∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，
又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，
∵CN平分∠BCD，∴∠BCM＝∠NCD，∴∠CBM＝∠ABN；
（3）解：∠BEC＝2∠BFC，
理由：如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，
同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，
∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，
∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．
【点评】本题考查了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．
25.（2022 蓬溪县月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝　 　°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝　 °．
【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．
【解答】解：（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBCABC，∠PCB∠ACB（角平分线的性质），
∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（ ∠ABC∠ACB）＝180°（∠ABC+∠ACB）
＝180°（180°﹣∠A）＝180°﹣90°∠A＝90°∠A＝90＝122°．故答案为：122°；
（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，∴∠ECB∠ACB，∠ECD∠ABD．
∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，
∴∠EBD∠ABD（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，
∴∠BEC∠A；
（3）结论∠BQC＝90°∠A．
∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，∴∠QBC（∠A+∠ACB），∠QCB（∠A+∠ABC）．
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，
∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB＝180°（∠A+∠ACB）（∠A+∠ABC），
＝180°∠A（∠A+∠ABC+∠ACB）＝180°∠A﹣90°＝90°∠A；
（4）由（3）可知，∠BQC＝90°∠A＝90°58°，
由（1）可知∠BPC＝90°∠BQC＝90°119°；
由（2）可知，∠R∠BQC＝29°故答案为119，29．
【点评】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
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专题1.2 定义与命题+1.3 证明
模块1：学习目标
1. 了解定义、命题、定理（公理）、证明、命题的条件和结论等相关概念；
2. 能判定已知命题的真假及举例法判定命题的真假；
3. 能正确表达证明的解题步骤及正确的逻辑推理；
4. 了解三角形的外角的概念；掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
5. 会利用三角形的外角性质解决问题.
模块2：知识梳理
1．定义：一般地，能清楚地规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义。
2．命题
（1）命题：一般地，判断某一件事情的句子叫做命题。命题一般由条件和结论构成。
其实以“如果……”开头的叫条件，以“那么……”后面的部分的叫结论。
（2）真命题：正确的命题。
（3）假命题：不正确的命题。
注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以．
3.基本事实：人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理.
4.定理：用推理的方法判断为正确的命题叫定理。定理也可以作为判断其他命题真假的依据。
注意：满足以下两个条件的真命题称为定理：
（1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到.（2）其又可作为判断其它命题真假的依据.
5．证明的概念
要判定一个命题是真命题，往往需要从命题的条件出发，根据已知的定义、基本事实、定理（包括推论），一步一步推得结论成立。这样的推理过程叫做证明。
6．证明的解题步骤
1）按题意画出图形。
2）分清命题的条件与结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论。
3）在“证明”中写出推理过程。
7．三角形的外角性质
（1）三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
三角形共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对．
（2）三角形的外角性质：①三角形的外角和为360°．②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．
（3）若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去．
（4）探究角度之间的不等关系，多用外角的性质③，先从最大角开始，观察它是哪个三角形的外角．
模块3：核心考点与典例
考点1．定义与命题的辨别
例1．（2022秋·浙江杭州·八年级校联考期中）下列定理中，下面语句是命题的是（ ）
A．是有理数 B．已知，求 C．作的角平分线 D．正数大于一切负数吗？
变式1．（2022秋·浙江丽水·八年级校考阶段练习）下列语句是命题的是（　　）
A．负数小于零 B．画一个角等于已知角 C．把16开平方 D．垂线段最短吗
变式2．（2022秋·浙江宁波·八年级校考期中）下列语句中，属于定义的是（ ）
A．直线和垂直吗？ B．延长到使
C．两直线平行，内错角相等 D．无限不循环小数是无理数
考点2．真假命题的判断
例2．（2022秋·浙江·八年级专题练习）下列命题中是假命题的是（　　）
A．两条直线相交有2对对顶角 B．互为邻补角的两个角的平分线互相垂直
C．同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 D．互补的两个角一定是邻补角
变式2．（2022春·浙江金华·七年级校联考期中）下列语句：
①若三条直线只有两个交点，则其中两条直线互相平行；
②如果两条平行线被第三条所截，同旁内角相等，那么这两条平行线都与第三条直线垂直；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中（　　）
A．①②是真命题 B．②③是真命题 C．①③是真命题 D．以上结论皆是假命题
考点3．命题的改写（命题的条件与结论）
例3．（2022·浙江金华·八年级期末）把“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式______，______．
变式3．（2023春·浙江金华·八年级月考）将命题“有一个内角是直角的三角形是直角三角形”改写成如果…那么…的形式 _____ ．
考点4．举例说明真假命题
例4．（2023·浙江宁波·一模）能说明命题“对于任意实数，”是假命题的一个反例可以是（ ）
A． B． C． D．
变式4．（2023·浙江宁波·校考一模）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．， B．， C．， D．，
考点5．逻辑推理
例5．（2022·北京市七年级期中）某学校举办科技节活动，有甲、乙、丙、丁四个团队参加“智能机器人“项目比赛，该项目只设置一个一等奖，在评奖揭晓前，小张、小王、小李、小赵四位同学对这四个参赛团队获奖结果预测如下：
小张说：“甲或乙团队获得一等奖”； 小王说：“丁团队获得一等奖”；
小李说：“乙、丙两个团队均未获得一等奖”； 小赵说：“甲团队获得一等奖”．
若这四位同学只有两位预测结果是对的，则获得一等奖的团队是_____．
变式5．（2022·浙江嵊州·八年级期中）甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有1、2、3、4、5五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机抽取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大．甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是____．
考点6．写出命题的已知求证和证明过程
例6．（2022秋·浙江·八年级专题练习）根据下图和命题“等腰三角形底边上的中线是顶角的角平分线”写出：
已知：_______________________________ 求证：_______________ ．
变式6．（2023春·江苏·七年级专题练习）在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行.要求：画图写出已知、求证并证明．
考点7. 证明外角性质定理
例7．（2021·河北中考真题）定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：如图，是的外角．
求证：．
下列说法正确的是（ ）
A．证法1还需证明其他形状的三角形，该定理的证明才完整
B．证法1用严谨的推理证明了该定理
C．证法2用特殊到一般法证明了该定理
D．证法2只要测量够一百个三角形进行验证，就能证明该定理
变式7. （2022·江苏·苏州市八年级阶段练习）用两种方法证明“三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角之和”．如图，是的一个外角．
求证：．
证法1：（____）
（平角的定义）
（_____）
（等式的基本性质1）
请把证法1依据填充完整，并用不同的方法完成证法2
考点8. 外角性质的相关计算
例8．（2022·江苏八年级专题练习）如图，把ABC纸片沿DE折叠，使点B落在图中的B处，设EC1，DA2若25，则21=______
变式8. （2022·苏州八年级期中）如图，在中，，、分别平分、，M、N、Q分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、，则_______．
考点9. 内角和与外角性质的综合问题（双角平分线问题）
例9．（2022·山西阳泉初二期中）佳琪同学在学习了三角形内角和及角平分线定义后经大量的测试实验发现，在一个三角形中，两个内角的角平分线所夹的角只与第三个角的大小有关.
测量数据如下表：
测量和度数
测量工具 量角器
示意图 与的平分线交于点
测量数据
第一次
第二次
第三次
第四次
… …
（1）通过以上测量数据，请你写出与的数量关系：______.（2）如图，在中，若与的平分线交于点，则与存在怎样的数量关系？请说明理由.
变式9. （2022 南海区八年级期末）阅读下面的材料，并解决问题．（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．
如图1，∠O＝　 　；如图2，∠O＝　 　；如图3，∠O＝　 　；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
模块4：同步培优题库
共24题 测试时间：80分钟 试卷满分：100分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022秋·上海普陀·八年级校考期中）下列语句中哪句话是定义（ ）
A．连接A、B两点. B．等角的余角相等吗？
C．内错角相等，两直线平行. D．整数与分数统称为有理数.
2．（2022秋·浙江温州·八年级统考期中）下列语句不是命题的是（ ）
A．三角形的内角和等于180度 B．把16开平方 C．直角都相等 D．对顶角相等
3．（2022秋·浙江·八年级期末）已知命题“若，则”，下列说法正确的是（　　）
A．它是一个真命题 B．它是一个假命题，反例
C．它是一个假命题，反例 D．它是一个假命题，反制
5．（2023·浙江宁波·校考一模）下列选项中，可以用来说明命题“两个锐角的和是钝角”是假命题的例子是（ ）
A．， B．， C．， D．，
6．（2022·山东·七年级）布鲁斯先生、他的妹妹、他的儿子，还有他的女儿都是网球选手．这四人中有以下情况：①最佳选手的孪生同胞与最差选手性别不同：②最佳选手与最差选手年龄相同．则这四人中最佳选手是（　　）
A．布鲁斯先生 B．布鲁斯先生的妹妹 C．布鲁斯先生的儿子 D．布鲁斯先生的女儿
7．（2022·河南焦作市·八年级期末）如图，为的一个外角，点E为边上一点，延长到点F，连接，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
8.（2022 龙岗区期末）如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）
A．36° B．72° C．50° D．46°
9．（2023春·江苏宿迁·七年级统考期中）中，，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；……和的平分线交于点，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023春·河北保定·八年级校考期中）如图，，，，分别平分的外角，内角，外角．现有以下结论：①；②；③平分；④；⑤．其中正确的结论有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022秋·浙江·八年级专题练习）已知下列语句：①平角都相等；②画两个相等的角；③两直线平行，同位角相等；④等于同一个角的两个角相等吗；⑤邻补角的平分线互相垂直；⑥等腰三角形的两个底角相等，其中是命题的有_____（填序号）
12．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）将命题“在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”改写为“如果……，那么……”的形式为_____________________________．
13．（2022 宁波模拟）写出一个能说明命题“若|a|＞|b|，则a＞b”是假命题的反例　 　．
14．（2022·江苏扬州市·八年级期中）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，规则是：两人比赛，另一人当裁判，输者将在下一局中担任裁判，每一局比赛没有平局．已知甲、乙各比赛了4局，丙当了3次裁判．则第二局的输者是________。
15．（2022春 东坡区期末）如图，∠1＝140°，∠2＝120°，则∠3的度数为
16．（2022 仪征市期末）如图，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝40°，∠DAE＝55°，则∠ACB的度数是 　 　．
17．（2022春 雨花区期末）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC．CD是△ABC外角的角平分线，若∠A＝50°，则∠D＝　 　．
18．（2022·无锡市江南中学七年级月考）如图，BD、CE为△ABC的两条角平分线，则图中∠1、∠2、∠A之间的关系为___________．
三、解答题（本大题共6小题，共46分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022秋·浙江·八年级专题练习）判断下列语句是否是命题．如果是，请写出它的题设和结论．
(1)内错角相等；(2)对顶角相等； (3)画一个60°的角．
20．（2023秋·浙江·八年级专题练习）已知命题“若 a＞b，则 a2＞b2”．
（1）此命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出一个 反例．
（2）写出此命题的逆命题，并判断此逆命题的真假；若是真命题，请给予证明；若是假 命题，请举出一个反例．
21．（2022秋·全国·八年级专题练习）命题证明.求证：等腰三角形两底角的角平分线相等．
已知：________________
求证：___________________
证明：____________________．
22．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
23．（2023·江苏南京·七年级期末）用两种方法证明“三角形的外角和等于360°”如图，∠BAE、∠FBC、∠DCA是△ABC的三个外角．
求证∠BAE＋∠FBC＋∠DCA＝360
(1)第一种思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格：
(2)根据第二种思路，完成证明．
24.（2023 赣榆区期末）在数学课本中，有这样一道题：
如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB
∴∠B＝∠　 　
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠　 　＝∠　 　（等式性质）
∴EF∥　 　
∵EF∥AB∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．
25.（2022 蓬溪县月考）某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　；（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝　 　°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝　 °．
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